离散数学等价类
离散数学37.商集和划分
∴ Π细分Π R R.
加细（细分）图解
2、定理3-10.3 集合A的任一划分S确定了A的一个等价关 系R.
证明 设S={S1，S2，…Sm}（构造性证明）. 定义关系R: aRb当且仅当a,b在S的同一块中，
现证R是等价关系. (1) aA， a与a在同一块中
∴aRa，自反性成立. (2) a,bA ，若aRb，则a与b在同一块中，则b与a也在同 一块. ∴ bRa，即 aRbbRa. ∴对称性成立.
• 3、定理3-10.4 设R1，R2是非空集合A上的等价关系，则 R1=R2 A/R1=A/R2.
证明 ‘’ 若R1=R2 , ∵A/R1={[a]R1|aA}，A/R2={[a]R2|aA}, 则 x[a] R1 , <x,a>R1 <x,a>R2. x[a] R2 ， ∴[a] R1 [a] R2. 同理可证， [a] R2 [a] R1 . ∴[a] R1 = [a] R2. ∴ A/R1 = A/R2 .
证明 A/R={ [a]R|aA }. （1）根据等价类定义，aA，[a]R A
∴∪[a]R A ∵aA，aRa ∴a[a]R ∴ A ∪[a]R
∴∪[a]R=A ∴A/R是一个覆盖 .
（2）证：需证 a,bA， 若[a]R[b]R ，则 [a]R∩[b]R= . 反证法：若[a]R∩[b]R 则c[a]R∩[b]R. ∴cRa 且 cRb. ∵R是对称、传递的 , ∴aRb. 则 [a]R=[b]R ，这与前提矛盾. ∴ 由（1），（2） 得A/R是一个划分.
商集和划分
一、商集
• 1、定义3-10.3 集合A上的等价关系R，其等价类集合 {[a]R|aA}，称为A关于R的商集，记为A/R。.
离散数学中关系的等价类划分方法
离散数学中关系的等价类划分方法在离散数学中，关系是描述元素之间具有某种联系或性质的数学概念。
而等价关系是其中一种重要的关系类型，它可以将元素分为相互等价的类别。
本文将介绍离散数学中关系的等价类划分方法，并探讨其应用。
一、等价关系的定义在离散数学中，等价关系是一种具有以下三个性质的二元关系：1. 自反性（Reflexivity）：对于集合中的任意元素a，a与自身是等价的。
2. 对称性（Symmetry）：对于集合中的任意元素a和b，如果a与b是等价的，则b与a也是等价的。
3. 传递性（Transitivity）：对于集合中的任意元素a、b和c，如果a与b是等价的，b与c也是等价的，则a与c是等价的。
基于上述定义，我们可以利用等价关系将集合划分为若干个等价类，每个等价类包含具有相同性质或联系的元素。
二、等价类划分方法在离散数学中，常用的等价类划分方法有以下几种：1. 等价关系的特征矩阵法：特征矩阵法是一种基于矩阵运算的等价类划分方法。
首先，我们可以通过矩阵来表示给定的等价关系，其中矩阵的行和列表示集合中的元素，而矩阵的元素表示对应元素之间的关系。
例如，对于集合{1,2,3,4,5}，若等价关系R定义为{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)}，则对应的特征矩阵为：```1 1 0 0 01 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 10 0 0 1 1```接下来，我们可以通过矩阵的幂运算来判断两个元素是否属于同一个等价类。
具体而言，对于矩阵的幂运算A^n（n为正整数），若矩阵A的第i行第j列元素为1，则A^n的第i行第j列元素也为1；若矩阵A的第i行第j列元素为0，则A^n的第i行第j列元素仍为0。
通过不断进行矩阵的幂运算，直到得到的矩阵不再发生变化，我们可以确定出所有的等价类。
2. 等价类的划分法：等价类的划分法是一种基于划分操作的等价类划分方法。
离散数学第三章第四节
R= R1R2R3 ={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<e,e>, <a,b>,<b,a>,<d,e>,<e,d>}
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5、等价关系、商集及划分之间的关系（4）
例3：给出A={1，2，3}上的所有等价关系。 解：因A的所有划分如下图所示:
A上的所有等价关系就是π1 、π2 、π3 、π4 、π5对应的等 价 关 系 ，它们依次为 EA ， R2 ， R3 ， R4 ， IA ，其中 EA=A A为全域关系， IA= {<1,1> ,<2,2> ,<3,3> }， R2={<2,3>,<3,2>} IA R3={<1,3>,<3,1>} IA R4={<2,1>,<1,2>} IA
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5、等价关系、商集及划分之间的关系（1）
定理4 集合A上的等价关系R确定A的一个划分，这个划分 就是商集A／R。 证：1、A/R={[a]R|aA},显然
aA
[a]
R
A
2、对aA，有a[a]R，所以A中的每个元素都属于 某个分块。 3、下面证明A中的任一个元素仅属于某一个分块。 设aA ，a[b]R且a[c]R，那么，bRa，cRa 。因 R对称，所以aRc。又因R是传递的,所以bRc。按定理3, [b]R=[c]R 。 综上所述，A/R是A关于R的一个划分。
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3、等价类（2）
定理3 设R为非空集合A上的等价关系，a,b A, aRb当且仅当[a]R=[b]R。
证明：若aRb，任取c[a]R , c[a]RaRccRacRbbRcc[b]R , 故[a]R[b]R。 同理可证[b]R[a]R。 故[a]R=[b]R 。 反之,若[a]R=[b]R ,则 a[a]R a[b]R bRa aRb
山东科技大学 离散数学3-11 相容关系
3、定理3-11.3：集合A上的相容关系R与完全覆盖 CR(A)存在一一对应。 证明： 留做课后练习。
作业
P139：(1)， (4)， (6)
3-12 序关系
掌握如下概念： 偏序关系、盖住关系、链、反链、全序集、极 大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、最 小上界（上确界）、最大下界（下确界）、良序集、 严格序关系、拟序关系。
2、定理3-10.1：设给定集合A上的等价关系R，对 于a，bA有aRb iff [a]R=[b]R。 证明：假定[a]R=[b]R，因为a[a]R，故a[b]R，即 aRb。 反之，若aRb，设c[a]RaRcbRcc[b]R 即[a]R[b]R 同理，若aRb，设c[b]RbRcaRcc[a]R 即[b]R[a]R 由此证得若aRb，则[a]R=[b]R。
定理3的证明和例题4的求解过程给出了一种 利用划分求取等价关系的方法。
4、定理3-10.4：设R1和R2为非空集合A上的等价关 系，则R1=R2当且仅当A/R1=A/R2。 证明：留作课后练习。
作业
• P134：
– （3） – （4） – （6） – （9）
3-11 相容关系
一、相容关系及其表示
一、偏序关系及其表示
定义3-12.1：设A是一个集合，如果A上的一 个关系R满足自反性、反对称性和传递性，则 称R是A上的一个偏序关系，记作≤ 。 <A，≤ >称作偏序集。
•定理3-11.2说明：由集合的一个覆盖可以确定一个 相容关系。 •不同的覆盖确定的相容关系可能相同。 例如，设A={1，2，3，4}， 集合{{1，2，3}，{3，4}}和 {{1，2}，{2，3}，{1，3}，{3，4}} 都是A的覆盖，但它们可以产生相同的相容关系 R={<1，1>，<1，2>，<2，1>，<2，2>，<2，3>， <3，2>，<1，3>，<3，1>，<3，3>，<4，4>，<3， 4>，<4，3>}
清华离散数学(第2版)：11.3-5
w ≡ 45 + 45 / 4 + 19 / 4 2 × 19 + 2 × 6 +
(6 + 6 / 7) / 2 + 6 / 12 + 15 ≡ 3(mod 7 )
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大整数算术运算
大于1且两两互素, 设m1,m2,…,mk大于 且两两互素 m=m1m2…mk. 对任意的 0≤x<m, 令xi=x mod mi, i=1,…,k. 把(x1,x2,…,xk)叫作 关于 ≤ 叫作x关于 叫作 模表示, 简称x的模表示, 记作x=(x1,x2,…,xk). 模m1,…,mk的模表示 简称 的模表示 记作 模表示运算 设x=(x1,x2,…,xk), y=(y1,y2,…,yk), 则有 x+y=((x1+y1)mod m1, (x2+y2)mod m2, …, (xk+yk)mod mk), xy=((x1y1)mod m1, (x2y2)mod m2, …, (xkyk)mod mk), xy=(x1y1mod m1, x2y2mod m2, …, xkykmod mk).
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实例
例2 (续) 续 方法3. 方法 直接观察 5×3=15, 15 ≡1(mod 7), 得 51≡3(mod7). ×
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中国剩余定理(孙子定理 中国剩余定理 孙子定理) 孙子定理
《孙子算经》 "物不知数"问题 今有物 不知其数 三三 孙子算经》 物不知数"问题: 今有物, 不知其数, 数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何? 数之剩二 五五数之剩三 七七数之剩二 问物几何 x≡2(mod 3) x≡3(mod 5) x≡2(mod 7) ≡ 定理11.11 (中国剩余定理 设正整数 1, m2,…,mk两两互素 中国剩余定理) 两两互素, 定理 中国剩余定理 设正整数m 则一次同余方程组 x≡ai(mod mi), i=1,2, … ,k 有整数解, 并且在模m=m1m2…mk下解是惟一的, 即任意两 有整数解 并且在模 下解是惟一的 个解都是模m同余的 同余的. 个解都是模 同余的
离散数学4.4-等价和偏序关系
4.4.3 集合的划分
集合的划分
定义4.21 设A为非空集合, 若A的子集族 ( P(A)) 满 足下面条件： (1) (2) xy (x,y∈∧x≠y→x∩y=) (3) ������∈������ ������=A 则称是A的一个划分, 称 中的元素为A的划分块. 例3 设A＝{a, b, c, d}, 给定 1, 2, 3, 4, 5, 6如下： 1={{a, b, c},{d}}， 2={{a, b},{c},{d}} 3={{a},{a, b, c, d}}， 4={{a, b},{c}} 5={,{a, b},{c, d}}， 6={{a,{a}},{b, c, d}} 则 1和 2 是A的划分, 其他都不是A的划分. 12
4.4.4 偏序关系
相关概念
定义4.23 x与 y可比 设R为非空集合A上的偏序关系, x, yA, x与 y 可比 x≼y ∨ y≼x. 对IA, A上的元素可比吗？ 不可比 定义4.24 非空集合A上的反自反和传递的关系，称为A 上的拟序关系，简称为拟序，记作≺. 求证：如果一个关系是拟序，那么它一定是反对称的。 证：如果不是反对称的，则 ∃x, y, 使 x≺y, 且 y≺x成立。 根据传递性，有 x≺x， 与反自反性矛盾。 19 得证
4.4.1 等价关系
模3等价关系的关系图
设 A={1, 2, …, 8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y (mod 3) } R 的关系图如下：
4
4.4.1 等价关系
注: (1) 关系图的特点: ① 不连通 ② 在每个连通分支中是完全图 (2) 关系矩阵的特点: 修改排列顺序后为对角块矩阵,对角块为全”1”矩阵 1 4 7 2 5 8 3 6 1 1 1 1 0 0 0 0 0 4 1 1 1 0 0 0 0 0 7 1 1 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 1 1 0 0 5 0 0 0 1 1 1 0 0 8 0 0 0 1 1 1 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 0 1 1
离散数学等价关系与偏序关系
等价类
设R是非空集合A上的等价关系， 则A上互相等价的元素构成了A的 若干个子集，称作等价类
定义 设R为非空集合A上的等价关系, x∈A，令
[x]R = { y | y∈A∧xRy } 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简 记为[x].
实例 A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7} [2]=[5]=[8]={2,5,8} [3]=[6]={3,6}
如果顶点 xi 连通到xk , 则 从 xi到 xk 有 边
1
例：给定集合X={a,b,c}，R和S是X中的关系，给
定
R {a,b, a, c, c, b}
S {a,b, b, c, c, a}
试求出t(R),t(S)，并画出关系图
解：t(R) R1 R2 R3 R
t(S) S1 S2 S3 S1 S2 S3
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例题
例1 设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：
π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} }
关系性质判别
定义
条件 关系 矩阵
自反
反自反
对称
反对称
x(x∈A→<x x(x∈A→
,x>R)
<x,x>R)
xy(x,y∈A∧ <x,y>∈R→<y,x >∈R)
离散数学求等价类例题
离散数学求等价类例题
在离散数学中，等价关系是一种非常重要的关系。
等价关系描述了两个对象之间的某种关系，使得它们可以被分类到同一个等价类中。
在这里，我们将讨论一个求等价类的例题。
假设我们有一个集合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，并且我们定义了一个关系R，如果两个元素的差是3的倍数，则它们在R下是等价的。
现在我们的任务是找出所有在R下等价的元素，并将它们分别放在它们自己的等价类中。
首先，我们可以列出所有的可能的元素对。
这样做可以帮助我们更好地理解哪些元素在R下是等价的。
我们可以使用以下步骤来找到所有的等价类：
1. 将每个元素放在它自己的等价类中。
2. 对于每个等价类中的元素，找到与它等价的所有元素。
如果有一个元素与该等价类中的元素等价，则将其添加到该等价类中。
3. 重复步骤2，直到没有新的元素可以添加到任何等价类中。
在这个例子中，我们可以得到以下等价类：
{1,4,7,10}
{2,5,8,11}
{3,6,9,12}
这些等价类中的元素在R下是等价的。
我们可以看到，其中的每个等价类都包含了与其内部元素等价的所有元素。
通过这个例题，我们可以更好地理解等价关系和等价类的概念。
它们在离散数学中有着广泛的应用，对于我们理解和解决许多问题都是非常重要的。
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离散数学等价类
离散数学是一门研究离散结构及其运算规律的数学学科，其中一个重要的概念是等价关系。
等价关系是一种对集合中元素进行分类的方法，将具有相同性质的元素划分到同一个等价类中。
在离散数学中，等价类是以等价关系划分出的子集。
对于一个给定的等价关系R，对于集合A中的元素a和b，如果a和b满足R关系，即aRb，那么a和b属于同一个等价类。
等价类的定义要满足三个性质：自反性、对称性和传递性。
举个例子来说明等价类的概念。
考虑一个集合A表示所有人的集合，定义一个等价关系R表示两个人的年龄相同。
那么对于A中的每个人，他们可以被划分到不同的等价类中，每个等价类中的人年龄相同。
例如，如果集合A中有三个人a、b和c，其中a和b的年龄相同，b和c的年龄相同，那么a、b和c分别属于两个等价类。
等价类在离散数学中有广泛的应用。
它们可以用于表示相似关系，例如在图像处理中用于图像的分割和识别。
此外，在数据库的设计和查询过程中，等价类的概念也扮演了重要的角色。
等价类的划分可以将数据集合划分成更小的、具有相似特性的子集，从而方便进行数据的管理和查询。
总之，离散数学中的等价类是根据等价关系将集合划分成具有相同性质的子集。
它们在不同领域中都有重要的应用，帮助我们理解和处理具有相似特性的元素。