2012年考研数学三真题及解析
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编22 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (1990年)设函数f(x)=xtanxesinx，则f(x)是( )
A．偶函数．
B．无界函数．
C．周期函数．
D．单调函数．
正确答案：B
解析：由于 则f(x)无界．
2． (2011年)已知当x→0时，函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则( )
A．k=1，c=4．
B．k=1，c=一4．
C．k=3，c=4．
D．k=3，c=一4．
正确答案：C
解析：则 k=3，c=4
3． (2000年)设函数f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分条件是( )
A．f(a)=0且f’(a)=0
B．f(a)=0且f’(a)≠0
C．f(a)＞0且f’(a)＞0
D．f(a)＜0且f’(a)＜0
正确答案：B
解析：排除法．A选项显然不正确，f(x)=(x一a)2就是一个反例．事实上C和D也是不正确的．因为f(x)在a点可导，则f(x)在a点连续，若f(a)＞0(或f(a)＜0)则存在a点某邻域在此邻域内f(x)＞0(或f(x)＜0)，因此在a点的此邻域内｜f(x)｜=f(x)(或｜f(x)｜=一f(x))．从而可知｜f(x)｜与f(x)在a点可导性相同，而f(x)在点可导，从而C和D都不正确，因此，应选
B．
4． (2007年)设某商品的需求函数为Q=160—2p，其中Q，p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( )
A．10
B．20．
C．30．
D．40．
正确答案：D
解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由知p=40．故应选
D．
5． (1987年)下列广义积分收敛的是( )
2012年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合
题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸
．．．指定位置上.
(1)曲线2
21xx
y
x
的渐近线条数
( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeen
，其中n为正整数,则(0)f
( )
(A) 1
(1)(1)!n
n
(B) (1)(1)!n
n
(C) 1
(1)!n
n
(D) (1)!n
n
(3) 设
1230(1,2,3),
nnnanSaaaa
，则数列
nS有界是数列
na收敛
的
( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件
(C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要
(4) 设2
0sind,(1,2,3),k
x
kIexxk
则有
( )
(A)
123III (B)
321III (C)
231III (D)
213III
(5) 设函数(,fxy）为可微函数，且对任意的,xy都有(,)(,)
0,0,xyxy
xy
则使不等式
1122(,)(,)fxyfxy成立的一个充分条件是
(
)
(A)
1212,xxyy (B)
1212,xxyy (C)
1212,xxyy (D)
1212,xxyy
(6) 设区域D由曲线sin,,1
2yxxy
围成，则5(1)dd
Dxyxy
( )
(A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 设
1
10
0
c
α,
2
20
1
c
α ,
3
31
1
c
α ,
4
41
1
c
α ,其中
1234,,,cccc为任意常数，则下列
向量组线性相关的为
( )
(A)
123,,ααα (B)
考研数学三(综合)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（综合）历年真题试卷汇编1 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (91年)曲线y＝
A．没有渐近线．
B．仅有水平渐近线．
C．仅有铅直渐近线
D．既有水平渐近线也有铅直渐近线．
正确答案：D
解析：因为＝1，则原曲线有水平渐近线y＝1，又＝∞，则原曲线有铅直渐近线χ＝0，所以应选
D．
2． (93年)设f(χ)＝∫0sinχsin(t2)dt，g(χ)＝χ3＋χ4，则当χ→0时，f(χ)是g(χ)的
A．等价无穷小．
B．同阶但非等价无穷小．
C．高阶无穷小．
D．低阶无穷小．
正确答案：B
解析： 则应选
B．
3． (98年)设周期函数f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，周期为4，又＝－1，则曲线y＝f(χ)在点(5，f(5))处的切线斜率为
A．
B．0
C．－1
D．－2
正确答案：D
解析： 则f′(1)＝－2，由f′(χ)周期性知，f′(5)＝f′(1)＝－2．故应选
D．
4． (97年)设在区间[a，b]上f(χ)＞0，f′(χ)＜0，fχ(χ)＞0，令S1＝∫abf(χ)dχ，S2＝f(b)(b－a)，S3＝[f(a)＋f(b)](b－a)则
A．S1＜S2＜S3
B．S2＜S1＜S3
C．S3＜S1＜S2
D．S2＜S3＜S1
正确答案：B
解析：由题设可知，在[a，b]上，f(χ)＞0单调减，曲线y＝f(χ)上凹，如图1．5． S1表示y＝f(χ)和χ＝a，χ＝b及χ轴围成曲边梯形面积，S2表示矩形abBC的面积，S3表示梯形AabB的面积．由图1．5可知，S2＜S1＜S3．故应选
B．
5． (97年)若f(－χ)＝f(χ)，(－∞＜χ＜＋∞)，在(－∞，0)内f′(χ)＞0，且f〞(χ)＜0，则在(0，＋∞)内
A．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0
2012年考研数学一真题及详细解答
2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
（1）曲线221xxyx渐近线的条数为（）
（A）0（B）1（C）2（D）3
【答案】：C【解析】：221lim1xxxx，所以1x为垂直的
22lim11xxxx，所以1y为水平的，没有斜渐近线 故两条选C
（2）设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeen，其中n为正整数，则'(0)f
（A）1(1)(1)!nn（B）(1)(1)!nn（C）1(1)!nn（D）(1)!nn
【答案】：C【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()xxnxxxnxxxnxfxeeeneeeneenen所以'(0)f1(1)!nn
（3）如果(,)fxy在0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ）
（A）若极限00(,)limxyfxyxy存在，则(,)fxy在(0,0)处可微
（B）若极限2200(,)limxyfxyxy存在，则(,)fxy在(0,0)处可微
（C）若(,)fxy在(0,0)处可微，则极限00(,)limxyfxyxy存在
（D）若(,)fxy在(0,0)处可微，则极限2200(,)limxyfxyxy存在
【答案】：B【解析】：由于(,)fxy在0,0处连续，可知如果2200(,)limxyfxyxy存在，则必有00(0,0)lim(,)0xyffxy这样，2200(,)limxyfxyxy就可以写成2200(,)(0,0)limxyfxyfxy，也即极限2200(,)(0,0)limxyfxyfxy存在，可知2200(,)(0,0)lim0xyfxyfxy，也即22(,)(0,0)00fxyfxyoxy。由可微的定义可知(,)fxy在(0,0)处可微。
2012年考研数学二真题及答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
（1）曲线221xxyx渐近线的条数为（当x=1时，y=无穷，为垂直渐近线。当x=无穷时，y=1，为水平渐近线。）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】：（C）
【解析】：221lim1xxxx，所以1x为垂直渐近线
22lim11xxxx，所以1y为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C）。
（2）设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeen，其中n为正整数，则'(0)f
（A）1(1)(1)!nn （B）(1)(1)!nn
（C）1(1)!nn （D）(1)!nn
【答案】：（C）
【解析】：''22()(2)()(1)(2)()xxnxxxnxfxeeeneeen
所以'(0)f1(1)!nn，故选（C）。
（3）设0,(1,2,...)nan，1...nnsaa，则数列ns有界是数列na收敛的
(A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.
（C）必要非充分条件. （D）即非充分地非必要条件.
【答案】：(B)
【解析】：由于0na，ns是单调递增的，可知当数列ns有界时，ns收敛，也即limnns是存在的，此时有11limlimlimlim0nnnnnnnnnassss，也即na收敛。
反之，na收敛，ns却不一定有界，例如令1na，显然有na收敛，但nsn是无界的。故数列ns有界是数列na收敛的充分非必要条件，选(B)。 （4）设20sinkxkIexdx (k=1,2,3),则有D（画图应该能说明）
(精品)考研数学三真题及解析
- 1 - 2004年考研数学（三）真题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
(1) 若5)(cossinlim0bxaexxx，则a =______，b =______.
(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) 0，则2fuv.
(3) 设21,12121,)(2xxxexfx，则212(1)fxdx.
(4) 二次型213232221321)()()(),,(xxxxxxxxxf的秩为 .
(5) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则}{DXXP_______.
(6) 设总体X服从正态分布),(21σμN, 总体Y服从正态分布),(22σμN,1,,21nXXX和 2,,21nYYY分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则
12221112()()2nnijijXXYYEnn.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
(7) 函数2)2)(1()2sin(||)(xxxxxxf在下列哪个区间内有界.
(A) (1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ]
(8) 设f (x)在( , +)内有定义，且axfx)(lim，
0,00,)1()(xxxfxg，则
(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.
(C) x = 0必是g(x)的连续点.
(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ ]
2012考研数一真题解析
1 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸
．．．指定位置上.
(1) 曲线2
21xxyx
渐近线的条数为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【答案】C
【考点】函数图形的渐近线
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i）当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条
直线称为这条曲线的渐近线。
（ii）渐近线分为水平渐近线（lim()
xfxb
，b
为常数）、垂直渐近线（
0lim()
xxfx
）和斜
渐近线（lim[()()]0
xfxaxb
，,ab
为常数）。
（iii）注意：如果
（1）()
lim
xfx
x
不存在；
（2）()
lim
xfx
a
x
，但lim[()]
xfxax
不存在，可断定()fx
不存在斜渐近线。
在本题中，函数2
21xx
y
x
的间断点只有1x
.
由于
1lim
xy
，故1x
是垂直渐近线.
（而
11(1)1
limlim
(1)(1)2
xxxx
y
xx
，故1x
不是渐近线）.
又
21
1
limlim1
1
1xxx
y
x
，故1y
是水平渐近线.（无斜渐近线）
综上可知，渐近线的条数是2.故选C. 梦想不会辜负每一个努力的人
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2 (2) 设函数2
()(1)(2)()xxnx
fxeeen
,其中n
为正整数,则(0)f
( )
(A) 1
(1)(1)!n
n
(B) (1)(1)!n
n
(C) 1
(1)!n
n
(D) (1)!n
n
【答案】A
【考点】导数的概念
【难易度】★★
【详解一】本题涉及到的主要知识点： 00000()
()
()limlim
xxfxxfxy
fx
xx
2012年考研数学一真题及详解
2012考研数学答案——数学一真题及答案
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2012年考研数学一真题解析
王道考研系列：2001年-2012年考研数学（数学一）真题
- 1 - 2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 曲线221xxyx渐进线的条数
（A）0 (B)1 (C)2 (D)3
【考点分析】：曲线的渐近线条数。
【求解过程】：C
方法一：利用函数图像的平移，将已知的函数的渐近线条数转化为简单的基本函数的渐进线条数。
由于22(1)111(1)(1)11xxxxxyxxxxx，
可知，221xxyx 的图像是由1yx的图像向由右平移一个单位，再向上平移一个单位所得。
由于图像平移并不改变其渐进线的条数。
1yx 有两条渐进线，其中一条为水平渐近线0y，一条为垂直渐近线0x。
所以221xxyx也有两条渐近线，选择C。
【相关补充】：函数平移口诀：上加下减，左加右减。
例如，把函数()yfx依次做以下四次的平移：（1）向上平移1个单位，（2）向下平移2个单位（3）向左平移1个单位（4）向右平移2个单位。则新函数的解析式为
(12)12(1)1yfxfx。
方法二：直接求解函数的渐近线。
因为 22lim1,1xxxx 所以1y 为水平渐进线。
又由于有水平渐进线，所以一定不存在同一趋向下的斜渐进线。 王道考研系列：2001年-2012年考研数学（数学一）真题
- 2 - 又因为221lim,1xxxx所以1x为垂直渐进线。
综上所述，221xxyx也有两条渐近线，选择C。
【相关补充】：斜渐进线的求解步骤：
1) 考察是否有lim()xfx？若是，则转2）
2) 考察是否有()limxfxax（常数）？，若是，则转3）
2012年首都经济贸易大学统计学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解【圣才出品】
1 / 23 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 2012年首都经济贸易大学统计学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解 一、单项选择题（本题共30小题，每小题2分，共60分） 1．某机构调查居民幸福感，将幸福感设定为“非常幸福”“比较幸福”“一般”“不太幸福”和“很不幸福”，则“幸福感”是（ ）。 A．分类变量 B．顺序变量 C．定距变量 D．定比变量 【答案】B 【解析】顺序变量是说明事物有序类别的一个名称，其取值是顺序数据。本题将“幸福感”分为5个类别，并进行了排序，因此属于顺序变量。 2．为了研究北京市财政支付能力，从北京统计年鉴搜集到历年北京市财政支出额数据，则该数据是（ ）。 A．原始数据 B．二手数据 C．观察数据 D．实验数据 【答案】B 【解析】二手数据是指已经经过加工整理的统计数据，能够在一定程度上说明总体现象。 2 / 23 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 二手数据的来源有：①公开出版的统计数据，主要来自官方的统计部门和政府、组织、学校、科研机构。如：《中国统计年鉴》《人口普查资料汇编》《北京市统计年鉴》《世界发展报告》等；②尚未公开发表的统计数据，如各企业的经营报表数据、专业调查咨询机构未公开发布的调查结果数据。 3．某企业有日产A产品50件的设备200台，企业质检部门为了了解该设备所生产的产品的质量，从200台设备中随机抽取10台，由这10台设备生产的500件产品构成样本，这种抽样方法是（ ）。 A．简单随机抽样 B．分层抽样 C．系统抽样 D．整群抽样 【答案】D 【解析】整群抽样是先将总体中若干单位合并为组，这样的组称为群，抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查。本题中，先将200台设备看成200个群，然后直接抽取10台，即10个群，最后对这10台设备生产的500件产品全部实施调查，因此这种抽样方法属于整群抽样。 4．某证券公司为调查民众的投资意向，进行了问卷调查。以下问题中，你认为不合适的问项是（ ）。 A．现在稍有知识的人都在投资股票，请问您投资股票了吗？ B．您现在持有股票吗？ 3 / 23 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 C．您认为现在是入市的好时机吗？ D．您认为未来三个月内股市会持续繁荣吗？ 【答案】A 【解析】A项中“现在稍有知识的人都在投资股票”带有诱导性，不适合作为选项。 5．下列各项中属于抽样误差的是（ ）。 A．由于访问员记录错误产生的误差 B．由于被调查人对所问问题理解不准确产生的误差 C．由于被调查人拒绝回答造成的误差 D．由于样本的随机性产生的误差 【答案】D 【解析】抽样误差是由抽样的随机性引起的样本结果与总体真值之间的误差。ABC三项均属于非抽样误差。 6．下面所列统计图中，适用于展示定性数据的是（ ）。 A．茎叶图 B．条形图 C．雷达图 D．直方图 【答案】B 【解析】条形图是用宽度相同的条形的高度或长度来表示数据多少的图形。ACD三项都是用于展示定量数据的图示方法。 4 / 23 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 7．某次考试学生成绩分布如下图所示，最低分数出现在哪个科目（ ）。 A．数学 B．物理 C．语文 D．英语 【答案】C 【解析】箱线图是由一组数据的最大值、最小值、中位数、两个四分位数这五个特征值绘制而成的。从下往上依次是最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值。因此，据图可知，最低分数出现在语文这个科目。 8．下列各项中，最容易受到极端值影响的是（ ）。 A．极差 B．四分位差 C．异众比率 D．方差 【答案】A 5 / 23 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 【解析】极差是一组数据的最大值与最小值之差，最容易受极端值的影响，因此，不能准确描述出数据的分散程度。四分位差是上四分位数与下四分位数之差，反映了中间50%数据的离散程度。异众比率是指非众数组的频数占总频数的比例，主要用于衡量众数对一组数据的代表程度。方差是各变量值与其平均数离差平方的平均数。 9．能够度量数据分散程度的统计量是（ ）。 A．众数 B．中位数 C．均值 D．方差 【答案】D 【解析】数据的分散程度反映的是各变量值远离其中心值的程度。描述数据分散程度的测度值主要有异众比率、四分位差、方差和标准差、极差、平均差、离散系数等。ABC三项均是度量数据集中程度的统计量。 10．某保险公司为了研究投保人的年龄构成情况，得到了四个数据的分布，分别是：①所有投保人的年龄分布；②所有投保人的保额分布；③随机抽取的30人的年龄分布；④多次抽样得到的样本平均年龄的分布，这四个分布中属于抽样分布的是（ ）。 A．① B．② C．③ D．④ 6 / 23 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 【答案】D 【解析】由样本统计量所形成的概率分布就是抽样分布，如样本均值的分布，样本比例的分布等。 11．在估计总体均值时，下列各项中属于随机变量的是（ ）。 A．总体均值 B．置信区间 C．置信水平 D．样本均值分布 【答案】D 【解析】由于样本是随机变量，而统计量是样本的函数，因此样本统计量是随机变量。样本均值分布是由样本统计量所形成的概率分布，因此也属于随机变量。 12．在一项消费者口味偏好的调查研究中，随机抽取了200名饮料的消费者，调查他们对两种品牌饮料口味的满意度，并进行了假设检验，其零假设是消费者对两种饮料没有偏好。如果满意度使用10分制打分，得到饮料甲平均得分为7分，饮料乙平均得分为5分，计算伴随概率P-值为0.001，因此研究人员做出了拒绝零假设的结论，下面说法正确的是（ ）。 A．犯弃真错误的概率等于0.001 B．犯取伪错误的概率等于0.0001 C．犯弃真错误的概率不大于0.001 D．犯取伪错误的概率不大于0.001