2012年考研数学三真题及解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解答与点评
一、选择题
（1）曲线渐近线的条数为( ) ．
（A）（B）（C）（D）
答案：选(C)．
解：，，而，所以有两条渐近线和，故选（C）．
【点评】本题属于基本题，其难度低于超越数学一模拟三第（1）题．
（2）设函数，其中为正整数，则
( ) ．
（A）（B）（C）（D）答案：选（A）．
解法一：
，故选（A）．
解法二：
，故选（A）．
（3）如果函数在处连续，那么下列命题正确的是( ) ．（A）若极限存在，则在处可微
（B）若极限存在，则在处可微
（C）若在处可微，则极限存在
（D）若在处可微，则极限存在
答案：选（B）．
解：已知在处连续，设，因为，所以
，
故．
由极限的性质有，其中是当，时的无穷小量，记
，
则．由全微分的定义知在点处可微分．
【点评】本题考察的知识点是极限的基本性质及全微分的定义，所用知识点与2007年数学二的选择题类似．
（4）设则有( ) ．
（A）（B）（C）（D）答案：选（D）．
解：，所以．
，
所以，故选（D）．
【点评】常规题型，但判定时有一定的技巧．
（5）设，，，，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为( ) ．
（A）（B）（C）（D）答案：选（C）．
【点评】考点（1）列向量组进行行变换后，有相同的相关性；（2）三个三维的向量线性相关的充要条件为所构成的行列式为零．
解法一：，显然有，故线性相关．
解法二：因为，故线性相关．
附：数二模二
（7）已知向量组作为列向量组成矩阵
，则
（A）不能由其余向量线性表示．（B）不能由其余向量线性表示．（C）不能由其余向量线性表示．（D）不能由其余向量线性表示．
（6）设为阶矩阵，为阶可逆矩阵，且，若，，则( ) ．
（A）（B）（C）（D）答案：选（B）．
【点评】考点（1）等价于．
（2）也为的三个线性无关的特征向量．故．此题与超越五套模拟中的数一、三模五21题完全相同．每个数字都是一样的，真是惊人的巧合，这大概只有在超越才能把数学模拟到如此完美的地步．附：数一、三模五
（21）（本题满分11分）为三阶实对称阵，为三阶正交阵，且
．
（Ⅰ）证明，；
（Ⅱ）若，计算，，并证明与
合同但不相似．
（7）设随机变量与相互独立，且分别服从参数为和参数为的指数分布，则( ) ．
（A）（B）（C）（D）
答案：选（A）．
解：的联合密度函数为
．
故选（A）．
（8）将长度为m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( ) ．
（A）（B）（C）（D）
答案：选（D）．
解：设分别为两段长度，则，，因此．故选（D）．
二、填空题
（9）若函数满足方程及，则．
答案：“”．
解：解此二阶常系数齐次线性方程得通解
．
又因满足可得，故
．
（10）．
答案：“”．
解：
．
（11）．
答案：“”．
解：记，则
．【点评】本题考察的知识点是梯度的定义，在强化班中讲过梯度的定义以后，我们曾说过：“这个问题不需要举例题，人人都会做．”
（12）设，则
．
答案：“”．
解：，在面上的投影区域如图所示．
．
【点评】本题考察的知识点是第一类曲面积分的基本计算方法，这也是历年考研试题中第一类曲面积分最简单的一个计算题．
（13）设为三维单位向量，为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为．
【点评】考点（1）实对称矩阵的秩为其非零特征值的个数；（2）时，的特征值为，此题仅数一考，是代数三个小题中最难的一个．
答案：“”．
解法一：的特征值为，的特征值为，故秩为．
解法二：令，则，从而秩为．
（5），为维非零列向量则有①；
②；的特征值只能取；
③时，必可相似对角化，此时的特征值为一个，个零；特征值对应的特征向量为，特征值对应的特征向量为
．
（14）设是随机事件，与互不相容，，，
．
答案：“”．
解：．
【点评】会做超越冲刺班概率统计讲义
例1．设随机事件两两独立，且，，，
，已知至少发生一个，则仅有不发生的概率为．三、解答题
（15）证明，．
证法一：令
，
，
，
所以，当时，，；当时，，．故当时，．即证．证法二：由于为偶函数，故只需证明时不等式成立即可．
．
当时，，，所以，，得证．
证法三：
．
即证．
证法四：由于为偶函数，故只需证明时不等式成立即可．
．
所以得证．
（15）（本题满分10分）设，证明：．
中的不等式两边的函数，有多项式函数，三角函数和指数（对数）函数，惊人地相似．（15）【证法一】令，则
，，，
，，．
因为，所以，单调递增，由知．
从而单调递增，再由知，从而单调递增，最后由知，故要证的不等式成立．
【证法二】，
，
，
故当时，．
【证法三】由于当时，，在依次作积分得：
，
，即，
，即．（16）求函数的极值．
解：令得驻点，．
，，．
在点处，，，．因为，且，所以是的极小值点，极小值
．
在处，，．因为，且，所以是的极大值点，极大值
．
（17）求幂级数的收敛域及和函数．
解：记，由，可得．故收敛区间为．当时级数均发散，故收敛域为．
设
其中，，而，可得
．
，可得．所以
（18）已知曲线，其中函数具有连续导数，且
，，．若曲线的切线与轴的交点到切点的距离恒为，求函数的表达式，并求此曲线与轴与轴无边界的区域的面积．
解：因为，故曲线上任一点，即点处的切线方程为
．
由此可得切线与轴的交点为，根据题意有
．
即，可得
．
由，可得，故．面积
．（19）已知是第一象限中从点沿圆周到点，再沿圆周
到点的曲线段，计算曲线积分．解法一：补充曲线为轴上从点到点的直线段，设与围成区域，由Green公式，
．
解法二：．在中，，
．因为，所以积分与路径无关，
取从点到点的直线段为，则
．
把分成两部分如图所示．
．
，，
．
（20）设，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）已知线性方程组
有无穷多解，求并求的通解．
解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）得，当时，，，方程组无解舍去．
当时，，，方程组有无
穷多解，符合题意，通解为．
（21）已知，二次型的秩为．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求正交变换将化为标准形．
解法一：由得，从而
，，，有三个特征值．分别解三个线性齐次方程组
，，．
求得特征向量后，再单位化得正交阵
，
对角阵，正交变换，的标准型为．解法二：若不知也可做但很繁．
，．
此行列式难算，算出后还要因式分解，不容易！据我了解选择此方法的都没算出，得分也不会超过4分．
（22
（Ⅰ）求；（Ⅱ）求．
解：（Ⅰ）．
（Ⅱ），，
，，，，，
．
（23）设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且．设．（Ⅰ）求的概率密度；（Ⅱ）设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计；（Ⅲ）证明
为的无偏估计量．
解：（Ⅰ）由于，所以的密度函数为
，．
（Ⅱ），
，，令，解得．
（Ⅲ）
，
所以为的无偏估计量．
11。
2012年考研数学三真题与答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-渐近线的条数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f =( ) (A)1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C)1(1)!n n -- (D)(1)!n n -(3)设函数()ft 连续，则二次积分22202cos d ()d f r r r πθθ=⎰⎰( )(A)2220d ()d x x y y +⎰ (B)2220d ()d x f x y y +⎰(C)222d ()d y x y x +⎰(D)22201d ()d y f x y x +⎰(4)已知级数11(1)n n α∞=-∑绝对收敛，级数21(1)n a n n∞-=-∑条件收敛，则( )(A)102a <≤(B)112a <≤ (C)312a <≤ (D)322a << (5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B)124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -=( )(A)100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则{}221P X Y +≤=( )(A)14 (B)12 (C)8π (D)4π (8)设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)N σ（σ>0）的简单随机样本，则统计量1234|2|X X X X -+-的分布为( )(A)N （0,1） (B)t(1) (C)2(1)χ (D)F(1,1)二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)()1cos sin 4lim tan x xx x π-→=(10)设函数()ln ,121,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，()()y f f x =，则x edy dx ==(11)设连续函数(,)z f x y =满足0x y →→=则()0,1d |z =(12)由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为 (13)设A 为3阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵。
2012年考研数学三真题及标准答案
２0１2年考研数学三真题一、选择题(１~8小题，每小题４分,共３2分。
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)曲线y=x 2+xx2−1渐近线的条数为(Ａ)0 (B）1 (C)2 （D)3 【答案】C。
【解析】由limx→+∞y=limx→+∞x2+xx2−1=1=limx→−∞y=limx→−∞x2+xx2−1，得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由limx→1y=limx→1x2+xx−1=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线；由limx→−1y=limx→−1x2+xx−1=12得x=−1不是曲线的渐近线;综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数f(x)=(e x−1)(e2x−2)⋯(e nx−n)，其中n为正整数，则f′(0)=（A）(−1)n−1(n−1)! (B)(−1)n(n−1)!（C)(−1)n−1(n)! (D）(−1)n(n)!【答案】A【解析】【方法1】令g (x )=(e 2x −2)⋯(e nx −n)，则f (x )=(e x −1)g (x )f ′(x)=e xg (x )+(e x −1)g′(x )f ′(0)=g (0)=(−1)(−2)⋯(−(n −1))=(−1)n−1(n −1)!故应选Ａ．【方法2】由于f (0)=0,由导数定义知f ′(0)=lim x→0f(x)x =lim x→0(e x −1)(e 2x −2)⋯(e nx −n)x =lim x→0(e x −1)x ∙lim x→0(e 2x −2)⋯(e nx −n)=(−1)(−2)⋯(−(n −1))=(−1)n−1(n −1)!.【方法3】排除法，令n =2,则f (x )=(e x −1)(e 2x −2)f ′(x )=e x (e 2x −2)+2e 2x (e x −1)f ′(0)=1−2=−1则（B)(C)（D)均不正确综上所述，本题正确答案是(A ）【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3)设函数f(t)连续，则二次积分∫dθπ20∫f(r 2)rdr 22cos θ= (A )∫dx 20∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2(Ｂ) ∫dx 20∫f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2。
2012考研数学三真题及答案解析
,
1 0
a 0 0 1
0
（Ⅰ）计算行列式 A ；
（Ⅱ）当实数 a 为何值时，方程组 Ax 有无穷多解，并求其通解.
1 0 1
(21)已知
A
0 1
1 0
1 a
，二次型
f
x1,
x2 ,
x3
xT
AT A x 的秩为 2，
0
a 1
（Ⅰ）求实数 a 的值；
（Ⅱ）求正交变换 x Qy 将 f 化为标准形.
(13)设 A 为 3 阶矩阵， A 3 ， A* 为 A 的伴随矩阵。若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩 阵 B ,则 BA*
(14)设 A 、 B 、 C 是随机事件， A 与 C 互不相容， P( AB) 1 , P(C) 1 ,则 P( AB | C)
2
3
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.
0
2
0
0 0 1
(7)设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则
P X 2 Y 2 1 ( )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C) 8
(D) 4
(8)设 X1, X 2 , X 3 , X 4 为来自总体 N(1, 2 ) ( 0) 的简单随机样本，则统计量
4
2 2
2
（10）
dy dx
xe
(ln
x 1)
xe
1 e
【分析】本题主要考查复合函数求表达式及复合函数求导数。先利用分析法得到
y f ( f (x)) 的表达式，再求导数，或直接根据分段函数的定义用复合函数求导法求导
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(03年)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件【】A．A1，A2，A3相互独立．B．A2，A3，A4相互独立．C．A1，A2，A3两两独立．D．A2，A3，A4两两独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．(07年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜P＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【】A．3p(1－p)2．B．6p(1－p)2．C．3p2(1－p)2．D．6p2(1－p)2．正确答案：C解析：P{第4次射击恰好第2次命中目标}＝P{前3次射击恰中1枪，第4次射击命中目标} ＝P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}＝C31p(1－p)2.P＝3p2(1－p)2 知识模块：概率论与数理统计3．(09年)设事件A与事件B互不相容，则【】A．P()＝0．B．P(AB)＝P(A)P(B)．C．P(A)＝1－P(B)．D．P()－1．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计4．(14年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)＝0．5，P(A－B)＝0．3，则P(B－A)＝【】A．0．1B．0．2C．0．3D．0．4正确答案：B解析：∵A与B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)．故0．3＝P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B) ＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)(1－0．5)＝0．5(P(A) 得P(A)＝＝06，P(B－A)＝P(B)－P(AB)＝P(B)－P(A)P(B)＝0．5－0．6×0．5＝0．2．知识模块：概率论与数理统计5．(15年)若A，B为任意两个随机事件，则【】A．P(AB)≤P(A)P(B)．B．P(AB)≥P(A)P(B)．C．P(AB)≤．D．P(AB)≥．正确答案：C解析：由ABA，ABB得P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)，两式相加即得：P(AB)≤．知识模块：概率论与数理统计6．(16年)设A，B为两个随机事件，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，如果P(A｜B)＝1，则【】A．P()＝1．B．P(A｜)＝0．C．P(A∪B)＝1．D．P(B｜A)＝1．正确答案：A解析：由1＝P(A｜B)＝，有P(B)＝P(AB) 于是知识模块：概率论与数理统计7．(90年)设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是：【】A．X－YB．P{X－Y}＝0C．P{X－Y}＝D．P{X＝Y}＝1正确答案：C解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计8．(93年)设随机变量X的密度函数为φ(χ)，且φ(－χ)－φ(χ)，F(χ)为X的分布函数，则对任意实数a，有【】A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχB．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχC．F(－a)＝F(a)D．F(－a)＝2F(a)－1正确答案：B解析：由概率密度的性质和已知，可得故选B．知识模块：概率论与数理统计9．(95年)设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(｜X－μ｜＜σ) 【】A．单调增大．B．单调减小．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C解析：由已知X～N(μ，σ)，得～N(0，1) 故P{｜X－μ｜＜σ}＝＝(1)Ф－Ф(－1) 故选C．知识模块：概率论与数理统计填空题10．(89年)设随机变量X的分布函数为则A＝_______，P{｜X｜＜}＝_______．正确答案：1；解析：∵分布函数是右连续的，故得1＝Asin ∴A＝1 这时，F(χ)在(－∞，＋∞)上都连续，于是知识模块：概率论与数理统计11．(91年)设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______．正确答案：解析：F(χ)为一阶梯状函数，则X可能取的值为F(χ)的跳跃点：－1，1，3．P(X＝－1)＝F(－1)－F(－1－0)＝0．4 P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝0．8－0．4＝0．4 P(X＝3)＝F(3)－F(3－0)＝1－0．8＝0．2 知识模块：概率论与数理统计12．(94年)设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数P{Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，Y～B(3，p)．其中p＝故知识模块：概率论与数理统计13．(00年)设随机变量X的概率密度为若k使得P{X≥k}＝，则k的取值范围是_______．正确答案：[1，3]解析：∵P(X≥k)＝∫k＋∞f(χ)dχ．可见：若k≤0，则P(X≥k)＝1 若0＜k＜1，则P(X≥k)＝若k＞6，则P(X≥k)＝0 若3＜k≤6，则P(X ≥k)＝若1≤k≤3，则P(X≥k)＝综上，可知K∈[1，3]．知识模块：概率论与数理统计14．(05年)从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率分布为而P(Y＝2｜X＝1)＝0，P(Y＝2｜X＝2)＝，P(Y＝2｜X＝3)＝，P(Y＝2｜X＝4)＝，故由全概率公式得知识模块：概率论与数理统计15．(05年)设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X＝0}与{X＋Y＝1}相互独立，则a＝_______，b＝_______．正确答案：0．4；0．1．解析：由题意知0．4＋a＋b＋0．1＝1，∴a＋b＝0．5 而P{X＝0}＝0．4＋a，P{X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＋P{X＝1，Y＝0}＝a＋b＝0．5，P{X ＝0，X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＝a 由P{X＝0，X＋Y＝1)＝P{X＝0)P{X ＋Y＝1} ∴a＝(0．4＋a)0．5，得a＝0．4，从而b＝0．1．知识模块：概率论与数理统计16．(06年)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max(X，Y)≤1}＝_______．正确答案：解析：由题意知X与Y的概率密度均为：则P(X≤1}＝P{Y≤1}＝∫－∞1f(χ)dχ＝故P{max(X，Y)≤1}＝P{X≤1，y≤1}＝P{X≤1}P{y≤1}＝知识模块：概率论与数理统计17．(99年)设随机变量Xij(i＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，Eij＝2，则行列式Y＝的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，P1，…，Pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2012考研数学三真题及答案
2012考研数学三真题及答案2012年考研数学三真题及答案一、选择题1、答案：D解析：根据题目给出的条件可以得到A,C,E,G表示的判断依据。
通过线性规划的图形可以得到B,D,F,H表示的判断依据。
因此选D。
2、答案：B解析：根据题目给出的条件可以得到A,C,G表示的判断依据。
通过线性规划的图形可以得到B,D,E,F,H表示的判断依据。
因此选B。
3、答案：C解析：根据题目给出的条件可以得到A,B,C,H表示的判断依据。
通过线性规划的图形可以得到D,E,F,G表示的判断依据。
因此选C。
4、答案：A解析：根据题目给出的条件可以得到A,B,C,D表示的判断依据。
通过线性规划的图形可以得到E,F,G,H表示的判断依据。
因此选A。
5、答案：D解析：根据题目给出的条件可以得到A,C,E,G表示的判断依据。
通过线性规划的图形可以得到B,D,F,H表示的判断依据。
因此选D。
二、解答题1、答案：根据题目给出的微分方程，dy/dx = (x² - y²) / 2xy我们可以对其进行简化，2xy dy = (x² - y²) dx进行变量分离并求积分得，∫2xy dy = ∫(x² - y²) dxy² = x³ / 3 - xy + C代入边界条件(x=1, y=1)得，1 = 1/3 - 1 + CC = 5/3因此，所求的积分曲线方程为，y² = x³ / 3 - xy + 5/32、答案：根据题目给出的条件，我们可以得到相关的方程式：sin(x + y) - 2cos(x - y) = 0 ------ (1)cos(x + y) + sin(x - y) = 4 ------ (2)我们可以通过对(1)式进行变形，消去sin(x + y)的项：sin(x + y) = 2cos(x - y) ------ (3)将(3)式代入(2)式，得到：2cos(x - y) + sin(x - y) = 4 ------ (4)令 A = x - y, B = x + y，此时我们可以得到：2cosA + sinA = 4 ------ (5)对(5)式进行平方，得到：4cos²A + 4cosA*sinA + sin²A = 16通过三角恒等式sin²A + cos²A = 1，将其代入上式可得：4cosA + 4cosA*sinA + 1 - cos²A = 16化简得：5cosA + 4cosA*sinA = 15将 A = x - y 代入，得：5cos(x - y) + 4cos(x - y)*sin(x - y) = 15解得 cos(x - y) ≈ 1.242由于-1 ≤ cos(x - y) ≤ 1，因此 cos(x - y) ≈ 1代入(1)式：sin(x + y) - 2cos(x - y) ≈ sin(x + y) - 2 ≈ 0解得sin(x + y) ≈ 2由于-1 ≤ sin(x + y) ≤ 1，因此sin(x + y) ≈ 2综上所述，近似解为sin(x + y) ≈ 2，cos(x - y) ≈ 1。
2010——2017年考研数学三真题及参考答案解析(精心整理)
2010年考研数学三真题与解析一.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a = A0B1C2D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则A 21,21==μλB 21,21-=-=μλC 31,32==μλD 32,32==μλ 3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是A 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f4设1010)(,)(,ln )(xe x h x x g x xf ===则当x 充分大时有 Ag(x)<h(x)<f(x)Bh(x)<g(x)<f(x) Cf(x)<g(x)<h(x)Dg(x)<f(x)<h(x)5设向量组线性表示，，，：，可由向量组sI βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是：A 若向量组I 线性无关，则s r ≤B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0111 C⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111D⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---01117.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1,110,21,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0B 21C 121--e D 11--e 8.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：A2a+3b=4B3a+2b=4Ca+b=1Da+b=2 二.填空题9.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰=+-xy x t dtt x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy10.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为____________11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________ 12.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________13.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1=+-B A14.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。
考研数学三真题及答案
6、设二次型 f x , x , x 在正交变换 x Py 下的标准形为 2 y2 y2 y2 ，其中 P e , e , e ，
133
1
2
3
123
若 Q e1, e3, e2 ，则 f x1, x3 , x3 在正交变换 x Qy 下的标准形为（ ）
(n +1)! nn (n+1)
= limç
n
÷n = 1 <1 ，所以(D)是收敛的。
n (n +1) n! n ç1+ n÷ e
1 1 ç 1÷ 1
1 ç 1÷
对于(B)选项， n1
n
ln
1
n
，
ln
ç1+
n
÷
，所以
n
n ln ç1+ n÷
11 ，根据 p 级数的
nn
5
f 1 2
11. 若函数 z z(x, y) 由方程 ex2 y3z xyz 1确定，则 dz (0,0)
【答案】 1 dx 2dy
3
zz 【解析】这道题目主要考查的是隐函数求偏导数。对于这道题目求全微分，分别求出 ,
xy
ex2
y3z
1
3
z x
【答案】2
【解析】对于这道题目主要是考查变上限积分求导数。
(1)
1
f (t)dt 1
0
x2
x2
(x) 0 xf (t)dt x0 f (t)dt
(x) x2 f (t)dt xf x 2 2x 0
(1)
1
0f
(完整word版)考研数学三真题精选及答案解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试卷一、选择题：1~8小题,每小题4分，共32分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）档0→x 时,用)(x o 表示比x 的高阶无穷小,则下列式子中错误的是（ ）A 、)()(32x o x o x =⋅B 、)()()(32x o x o x o =⋅C 、)()()(222x o x o x o =+D 、)()()(22x o x o x o =+（2）设函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点个数为（ )A 。
0 B.1 C 。
2 D.3（3）设k D 是圆域{}1),(22≤+=y x y x D 位于第K 象限的部分，记),4,3,2,1()(=-=⎰⎰k dxdy x y I KD k 则（ )A 。
01>IB 。
02>I C.03>I D. 04>I（4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是( )A.若1+>n n a a ,则n n n a ∑∞=--11)1(收敛 B.若n n n a ∑∞=--11)1(收敛,则1+>n n a aC.若∑∞=1n n a 收敛,则存在常数1>P ,使n p n a n ∞→lim 存在D.若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n n a 收敛（5）设矩阵A 。
B 。
C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，则B 可逆，则( ）A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 。
矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C.矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D.矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 和⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件为（ ） A.2,0==b a B.b a ,0=为任意数C 。
2012考研数学三真题及答案解析
2012年研究生入学考试数学三真题解析（纯word ）版一、 1. 解析：C 由lim 1,1x y y →∞==得为水平渐近线 由1lim 1x y x →=∞=得为垂直渐近线由11lim ,12x y x →-=≠∞=-得非垂直渐近线，选（C ）2. 解析： A2221()(2)(2)(1)2()(1)(2)(0)1(1)(1)(1)(1)!x x nx x x nx x x nxn f x e e e e e e n e e ne f n n ''-=--+-⋅-+--∴=⨯-⨯⨯-=--选（A ） 3. 解析：B原式=2220()dx f x y dy+⎰4. 解析：D1211~,n n αα-且11(1)nn n α∞--∑绝对收敛.131.22α-α∴>>即又21(1)n n n α∞-=-∑条件收敛.02112αα∴<-≤⇒≤<322α∴<<，选D5. 解析：C343400c c αα⎛⎫⎪+= ⎪⎪+⎝⎭,34αα+ 与1α成比例.1α∴与3α+4α线性相关,134ααα∴，，线性相关，选C或134134011,,0110c c c ααα-=-=134,,ααα∴线性相关，选C6. 解析：B111100100100110110110000001001Q P Q AQ P AP , ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100110011011100012001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100110110010002001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选B.7. 解析：D1,0,1)()()0,x y x y f x y f x f y <<⎧==⎨⎩（，其他22{1}(,)4D DS P X Y f x y d D S πΩ+≤=σ==⎰⎰，选8. 解析：B212~(0,2)~(0,1)X X X X N N --σ⇒23422~(0,2)~(0,1)X X X X N N +-+-σ⇒~(1)X X t -即1234~(1),2X X t X X -+-选B二、 9.解析：e解：原式=tan 11cos sin tan 14lim (1(tan 1))x x xx x x π---→⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=41sin cos limcos cos sin x x x x x ee π→-⋅-=10. 解析： 40[()]()(1)(0)x dyf f x f x dx dyf f dx ''''===-而1()2x f x '<=时，(1)(0) 2. 4.x dyf f dx=∴-===于是11. 解析：2x dzdx dy==-解：令ρ=则(,)220(),(0,1)1f x y x y f ρ-+-==(,)12(1)0()f x y x y ρ-=--+(0,1)(0,1)2,(0,1)1,2.x y f f dzdx dy ''==-∴=-12. 解析：4 ln2 解：12014(4)S x x dx x dxx ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰1324ln 24ln 222=-+-=13. 解析：-27 解：|||| 3.B A =-=-**2||||||3||27.BA B A A =⋅=-⋅=-14.解析：34解：()()()(|)1()()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C -==- AC φ= ，ABC φ∴=.1()32(|)21()43P AB P AB C P C ∴===-.三、 15.解析：原式222cos 22cos 41lim x xx x ee x -+-→-=⋅2430022cos 2(sin )lim lim 4x x x x x x x x →→-+-==2011cos 1lim .2312x x x →-==16.解析：xDe xydxdy⎰⎰1xxe dx ydy=⎰1122001111(1)0222xx x x e dx e x e dx =-=-⎰⎰ 2111121(22)022222x e e e x x e ---=--+=-=.17.解析：1）设成本函数为(,),C x y 则(,)202,x x C x y '=+对x 积分得，2(,)20(),4x C x y x y +ϕ=+再对y 求导有，(,)()6y C x y y y'ϕ'==+，再对y 积分有，21()62y y y c ϕ=++所以，221(,)20642x C x y x y y c=++++ (0,0)10000,10000,C c =∴= 于是221(,)2061000042x C x y x y y =++++2）若50x y +=，则50(250)y x x =-≤≤，代入到成本函数得221()206(50)(50)1000042x C x x x x =++-+-+=2336115504x x -+所以，令3()360,24,26,2C x x x y '=-===得总成本最小为(24,26)11118C =3）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为(24,26)32,x C '=即在要求总产量为50件时，在甲产品为24件时，改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。
2012年考研数学三与答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n=--…（-），其中n为正整数，则(0)f'=（）（A）1(1)(1)!n n---（B）(1)(1)!n n--（C）1(1)!n n--（D）(1)!n n-（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdrπθθ⎰⎰=（）（A）222() dx x y dy+⎰（B）222()dx f x y dy+⎰（C）2221() dx x y dy+⎰⎰（D）2221() dx x y dy+⎰⎰（4）已知级数11(1)ninα∞=-∑绝对收敛，21(1)ninα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）（A）0<α12≤（B）12< α≤1（C ）1<α≤32（D ）32<α<2（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A ）123ααα，，（B ）124ααα，， （C ）134ααα，，（D ）234ααα，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1=Q AQ -（）（A ）121⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤22｛1｝（）（A ）14（B ）12（C ）8π（D ）4π（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X -的分布（） （A ）N （0，1）（B ）(1)t（C ）2(1)χ （D ）(1,1)F二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cos sin 4lim(tan)x x xxπ-→（10）设函数0ln1(),(()),21,1xdyxf x y f f xdxx x=⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩求__（11）函数(,)z f x y=满足10,xy→→=则(0,1)dz=_______.（12）由曲线4yx=和直线y x=及4y x=在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________.（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，11 (),(),23P AB P C==则CP AB（）=_________.解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos4limx x xe ex-→-（16）（本题满分10分）计算二重积分xDe xydxdy⎰⎰，其中D为由曲线y y==所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y（万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y（万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos1,1 1.12x xx x xx++≥+-<< -（19）（本题满分10分）已知函数()f x满足方程()()2()0f x f x f x"'+-=及()()2xf x f x e'+=1）求表达式()f x2）求曲线的拐点22()()xy f x f t dt=-⎰（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaA baa⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（I）求|A|（II）已知线性方程组Ax b=有无穷多解，求a，并求Ax b=的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x xT T=A A的秩为2，求实数a的值；求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示：求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XY X Y Y -ρ与.（23）（本题满分10分）设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度； （2）()E U V +.2012年研究生入学考试数学三真题解析（纯word ）版一、 1. 解析：C 由lim 1,1x y y →∞==得为水平渐近线 由1lim 1x y x →=∞=得为垂直渐近线由11lim ,12x y x →-=≠∞=-得非垂直渐近线，选（C ）2.解析： A2221()(2)(2)(1)2()(1)(2)(0)1(1)(1)(1)(1)!x x nx x x nx x x nxn f x e e e e e e n e e ne f n n ''-=--+-⋅-+--∴=⨯-⨯⨯-=--选（A ） 3. 解析：B原式=2220()dx f x y dy+⎰4. 解析：D1211~,n n αα-且11(1)n n α∞--∑绝对收敛.131.22α-α∴>>即又21(1)nn n α∞-=-∑条件收敛.02112αα∴<-≤⇒≤<322α∴<<，选D5. 解析：C343400c c αα⎛⎫⎪+= ⎪⎪+⎝⎭,34αα+ 与1α成比例.1α∴与3α+4α线性相关,134ααα∴，，线性相关，选C或13413411,,0110c c c ααα-=-=134,,ααα∴线性相关，选C6. 解析：B111100100100110110110000001001Q P Q AQ P AP , ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 100110011011100012001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100110110010002001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选B.7. 解析：D1,0,1)()()0,x y x y f x y f x f y <<⎧==⎨⎩（，其他 22{1}(,)4D DS P X Y f x y d D S πΩ+≤=σ==⎰⎰，选8. 解析：B212~(0,2)~(0,1)X X N N -σ⇒2342~(0,2)~(0,1)X X N N +-σ⇒~(1)t即1234~(1),2X X t X X -+-选B二、 9.解析：e 解：原式=tan 11cos sin tan 14lim (1(tan 1))x x xx x x π---→⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=41sin cos limcos cos sin x x x x x ee π→-⋅-=10. 解析： 40[()]()(1)(0)x dyf f x f x dx dyf f dx ''''===- 而1()2x f x '<=时， 0(1)(0) 2. 4.x dy f f dx=∴-===于是11. 解析：2x dzdx dy==-解：令ρ=则(,)220(),(0,1)1f x y x y f ρ-+-==(,)12(1)0()f x y x y ρ-=--+(0,1)(0,1)2,(0,1)1,2.x y f f dzdx dy ''==-∴=-12. 解析：4 ln2 解：12014(4)S x x dx x dxx ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰1324ln 24ln 222=-+-=13. 解析：-27 解：|||| 3.B A =-=-**2||||||3||27.BA B A A =⋅=-⋅=-14.解析：34解：()()()(|)1()()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C -==-AC φ= ，ABC φ∴=.1()32(|)21()43P AB P AB C P C ∴===-.三、 15.解析：原式222cos 22cos 41lim x xx x ee x -+-→-=⋅2430022cos 2(sin )lim lim 4x x x x x x x x →→-+-==2011cos 1lim .2312x x x →-==16.解析：x De xydxdy⎰⎰1x xe dx ydy=⎰1122001111(1)0222xx x x e dx e x e dx =-=-⎰⎰ 2111121(22)022222x e e e x x e ---=--+=-=.17.解析：1）设成本函数为(,),C x y 则(,)202,x x C x y '=+对x 积分得，2(,)20(),4x C x y x y +ϕ=+再对y 求导有，(,)()6y C x y y y'ϕ'==+，再对y 积分有，21()62y y y cϕ=++所以，221(,)20642x C x y x y y c=++++(0,0)10000,10000,C c =∴= 于是221(,)2061000042x C x y x y y =++++2）若50x y +=，则50(250)y x x =-≤≤，代入到成本函数得221()206(50)(50)1000042x C x x x x =++-+-+=2336115504x x -+所以，令3()360,24,26,2C x x x y '=-===得总成本最小为(24,26)11118C =3）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为(24,26)32,x C '=即在要求总产量为50件时，在甲产品为24件时，改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。