空间向量的应用(一) 平行与垂直与垂直
《新高考》理科数学高考大一轮总复习课件：第9章 第7讲 空间向量的应用(一)——证明平行与垂直
间直角坐标系．设正方体的棱长为 1，
则可得 M(0,1，12)，N(21，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．
于是
uuuur MN
＝(21，0，21)，
uuuur DA1
＝(1,0,1)，
uuuur DB1
＝(1,1,0)．
设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)．
34
(2)由 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥CD，又 AD⊥CD，所以 CD⊥平面 PAD，
又 AF⊂平面 PAD，所以 CD⊥AF， 又△PAD 为等腰直角三角形，F 为 PD 中点， 所以 AF⊥PD，所以 AF⊥平面 PCD. 由(1)EG∥AF，所以 EG⊥平面 PCD， 又 EG⊂平面 PEC，所以，平面 PCD⊥平面 PEC.
则 λ 等于( B )
2
9
A.3
B.2
C．－29
D．－32
5
解析：因为 a∥b，所以－13＝－λ32＝－25125，
解得 λ＝92，故选 B.
6
3.若直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，能使
l∥α 的是( D )
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
26
【温馨提示】 证明线面平行和垂直问题，可以用几何 法，也可以用空间向量法．用向量法的关键在于构造向量， 再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定 理，对于易建立空间直角坐标系的题，这种方法很方便．
27
【跟踪训练 2】 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4， E，F 分别是 BC，CD 上的点，且 BE＝CF＝3.
空间几何中的平行与垂直
空间几何中的平行与垂直在空间几何中，平行和垂直是两个重要的概念。
它们用来描述线、面和空间中的关系，帮助我们理解和解决各种几何问题。
本文将介绍平行和垂直的定义、判定方法，以及它们在空间几何中的应用。
一、平行的定义和判定在平面几何中，我们知道两条直线要想平行，它们的斜率必须相等。
但是在空间几何中，直线不再只有斜率这一个属性，因此平行的定义也有所不同。
在空间中，我们把两条直线称为平行线，当且仅当它们处于不同平面上，且不相交。
也就是说，两条平行线可以看作是两个相互平行且不相交的平面上的交线。
判定平行的方法有以下几种：1. 通过判断两条直线的方向向量是否平行。
如果两条直线的方向向量相等或成比例，那么它们是平行的。
2. 通过判断两条直线上的一点到另一条直线的垂足距离是否为0。
如果两条直线上的所有垂足距离都为0，那么它们是平行的。
3. 通过判断两个平面的法向量是否平行。
如果两个平面的法向量相等或成比例，那么它们是平行的。
二、垂直的定义和判定在空间几何中，垂直用来描述直线、平面和空间中的相互关系。
两条直线、两个平面或一条直线与一个平面之间的垂直关系都具有重要意义。
在空间中，我们把两条直线称为垂直线，当且仅当它们在某个平面上相交，并且互相垂直。
也就是说，两条垂直线可以看作是相互垂直的平面上的交线。
判定垂直的方法有以下几种：1. 通过判断两条直线的方向向量的数量积是否为0。
如果两条直线的方向向量的数量积为0，那么它们是垂直的。
2. 通过判断直线上的一点到另一条直线的垂足是否在另一条直线上。
如果两条直线上的所有垂足都在另一条直线上，那么它们是垂直的。
3. 通过判断一条直线的方向向量是否与一个平面的法向量垂直。
如果一条直线的方向向量与一个平面的法向量垂直，那么它们是垂直的。
三、平行和垂直的应用平行和垂直在空间几何中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 平行线的应用：平行线可用于构建平行四边形、矩形等各种图形。
空间向量的垂直和平行关系
空间向量的垂直和平行关系空间向量是三维空间中具有大小和方向的量，它们之间存在着不同的关系。
其中最常见的关系是垂直和平行关系。
本文将深入探讨空间向量的垂直和平行关系，并分析其特点和性质。
一、垂直关系当两个向量的数量积等于零时，它们被称为垂直向量。
具体地说，对于空间中的向量A和A来说:A⋅A=AAA cos A=0其中，A⋅A表示向量A和A的数量积，AAA表示向量A和A的叉积，A表示两个向量之间的夹角。
当A为90度时，cos A=0，表明向量A和A 垂直。
垂直向量的特点和性质如下：1. 垂直向量的数量积为零，即两个向量之间的夹角为90度。
2. 向量的数量积等于零并不意味着它们一定是垂直的，还需考虑向量的长度和方向。
3. 若两个向量垂直，则它们的叉积为非零向量。
4. 若两个向量平行，则它们的数量积为非零常数。
5. 若一个向量与另一个非零向量垂直，则它与另一个向量平行。
二、平行关系当两个向量的叉积为零时，它们被称为平行向量。
具体地说，对于空间中的向量A和A来说:AAA=AAA sin A=0其中，AAA表示向量A和A的代数长度，sin A表示两个向量之间的夹角的正弦值。
当sin A等于零时，表明向量A和A平行。
平行向量的特点和性质如下：1. 平行向量的叉积为零，即两个向量之间的夹角的正弦值为零。
2. 平行向量之间的数量积可能为非零常数，也可能为零。
3. 若两个向量平行，则它们的数量积为非零常数。
4. 若两个向量垂直，则它们的叉积为非零向量。
5. 若一个向量与另一个非零向量平行，则它与另一个向量垂直。
通过对空间向量的垂直和平行关系进行分析，我们可以得出以下结论：1. 垂直和平行是空间向量最基本的关系，它们之间存在着一定的对应性。
2. 垂直和平行关系可以通过向量的数量积和叉积进行判断。
3. 垂直和平行向量在解决实际问题中具有重要的应用价值，如物理力学中的受力分析和几何学中的平面垂直关系。
在实际问题中，我们常常需要确定向量之间的关系，特别是垂直和平行关系。
空间几何中的平行与垂直
空间几何中的平行与垂直空间几何是研究三维空间中的几何关系的学科，其中平行和垂直是两个重要的概念。
平行和垂直关系是我们日常生活和工作中常常接触到的概念，它们在建筑设计、物体摆放和路线规划等方面都有着广泛的应用。
本文将围绕空间几何中的平行和垂直展开讨论。
一、平行概念与性质在空间几何中，平行是指两个直线或两个平面始终保持相互平行的关系。
如图所示，直线l和m平行，用符号表示为l∥m。
平行关系具有以下性质：1. 平行关系是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性指一条直线自己与自己平行，对称性是指如果直线l与直线m平行，则直线m与直线l也平行，传递性是指如果直线l与直线m平行，直线m与直线n平行，则直线l与直线n平行。
2. 如果一条直线与一个平面平行，那么该直线上的任意一点与该平面上的任意一点的连线垂直于该平面。
3. 平行关系与直线的切比雪夫性质密切相关。
切比雪夫性质是指在点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，在A与B的所有可能位置之间都保持不变。
二、垂直概念与性质在空间几何中，垂直是指两个直线或两个平面相交成直角的关系。
垂直关系也称为垂直关系或直角关系。
如图所示，直线l和m垂直，用符号表示为l⊥m。
垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系也是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性指一条直线与自己垂直，对称性是指如果直线l与直线m垂直，则直线m与直线l也垂直，传递性是指如果直线l与直线m垂直，直线m与直线n垂直，则直线l与直线n垂直。
2. 如果两个平面相交成直角，那么这两个平面互相垂直。
3. 垂直关系与直线的切比雪夫性质也存在关联。
在垂直关系中，点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，与A与B的位置无关。
三、平行和垂直的判断方法在实际问题中，判断两条直线或两个平面是否平行或垂直是非常重要的。
以下是常见的判断方法：1. 对于直线而言，可以通过观察其斜率来判断平行关系。
空间向量的平行与垂直定理
空间向量的平行与垂直定理空间向量的平行与垂直定理是空间向量运算中的一条重要定理，它描述了空间中两个向量的平行和垂直关系。
在研究物理、几何和力学等领域时，我们经常需要判断两个向量之间的关系，这个定理就为我们提供了一个有力的工具。
我们来研究两个向量的平行性。
如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是平行的。
也就是说，如果向量A和向量B的方向相同或相反，我们可以写成A∥B。
这种平行关系可以用向量的数量积来判断。
具体来说，如果两个向量A和B的数量积等于它们的模长的乘积，即A·B=|A||B|，那么向量A和向量B是平行的。
接下来，我们来研究两个向量的垂直性。
如果两个向量的数量积等于0，那么它们是垂直的。
也就是说，如果向量A和向量B的数量积为0，我们可以写成A⊥B。
这种垂直关系可以用向量的数量积来判断。
具体来说，如果两个向量A和B的数量积等于0，即A·B=0，那么向量A和向量B是垂直的。
空间向量的平行与垂直定理在几何和物理问题中有广泛的应用。
例如，在平面几何中，我们经常需要判断两条线段的平行性或垂直性。
根据空间向量的平行与垂直定理，我们可以通过计算两个向量的数量积来判断它们之间的关系。
这样，我们就可以得到准确的结论，避免了繁琐的几何证明过程。
在物理学中，空间向量的平行与垂直定理也具有重要的应用价值。
例如，在力学中，我们经常需要计算物体受力的情况。
如果两个力的方向相同或相反，那么它们是平行的；如果两个力的数量积为0，那么它们是垂直的。
根据空间向量的平行与垂直定理，我们可以通过计算向量的数量积来判断力的方向和性质，从而进行精确的力学分析。
除了在几何和物理中的应用，空间向量的平行与垂直定理还可以应用于其他领域。
例如，在计算机图形学中，我们经常需要计算向量的平行和垂直关系，以确定图形的方向和位置。
在工程学中，空间向量的平行与垂直定理可以应用于结构分析和力学设计等方面。
空间向量的平行与垂直定理是空间向量运算中的一条重要定理，它描述了空间中两个向量的平行和垂直关系。
利用空间向量证明平行、垂直问题PPT精品课件
②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－
3 5
v，
∴u∥v，∴α∥β.
③∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
∴u与v不共线，也不垂直，
∴α与β相交但不垂直．
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝－6＋8－2＝0，
∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－
贝 多 芬
你知道托尔斯泰哪些 文学代表作？
它们在俄国历史上起 过什么作用？
托尔斯泰晚年为什么 选择“平民化”的道
“我要扼住命运的咽喉，它决不能使我 完全屈服”
——贝多芬
1.当时贝多芬遇到了怎样的厄 运？
2.他是怎样“扼住命运的咽 喉”？
《吃土豆的人》
哪一首乐曲标志着贝多芬在艺术 上和思想上的成熟？
b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，
∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，
∴a与b不共线，也不垂直，∴l1与l2相交或异面．
(2)①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12 ，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
A．(2,3,1)
B．(1，－1,2)
C．(1,2,1)
D．(1,0,3)
解析：A→D＝xA→B＋yA→C＝(x＋y，x＋2y，x－y)， 对四个选项逐个检验，只有当(x＋y，x＋2y，x－y)＝
(1,0,3)时有解xy＝ ＝2－1 . 答案：D
1．注意用向量中的有关公式及变形，借助建立直角坐 标系将复杂的几何问题化为简单的代数问题．
空间向量的应用-证明平行与垂直
∴MN⊥n， 又∵MN⊄平面 A1BD，∴MN∥平面 A1BD.
→
1 → 1 → 方法二：∵MN＝C1N－C1M＝2C1B1－2C1C
→ → → → 1 → 1 → ＝2(D1A1－D1D)＝2DA1，
∴MN∥DA1，又∵MN⊄平面 A1BD. ∴MN∥平面 A1BD.
[点评与警示] 证明线面平行可以用几何法，也可以用向 量法．用向量法的关键在于构造向量并用共线向量定理或共面
→ → → → →
∴DM⊥PB，即DM⊥PB. 又∵PA∩PB＝P，∴DM⊥平面PAB， ∵DM⊂ 平面PAD.∴平面PAD⊥平面PAB.
→
[点评与警示] 用向量的方法解决垂直问题即几何问题代
数化，这种方法降低了思维的抽象性，使很多思维量较大的证
明与计算简单化，突出了向量方法的优点．
1．用向量解决立体几何问题时，首先要选择恰当的基 向量，然后将立体几何中的平行、垂直、距离等问题转化为 向量的运算， ①证明线线平行就利用 a∥b(b≠0)⇔a＝λb； ② 证明线线垂直，就利用 a⊥b⇔a· b＝0；③在求立体几何中线 段的长度时，就利用|a|2＝a2 来求；④求角度时就用 cosθ＝ a· b . |a||b|
所以D1F⊥面AED.
又因为D1F⊂面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.
[点评与警示 ] 用空间坐标运算证明 “ 面面垂直 ” ，一般
先求出其中一个平面的一个法向量，然后证明它垂直于另一个
平面的法向量．因为本例有(1)、(2)作铺垫，所以直接利用其结 果便可．
在正方形 ABCD － A1B1C1D1 中， E 、 F 分别是 BB1 、 CD 的中
连接EO.
因为底面ABCD是正方形，所以点O是AC的中点．
空间向量的垂直与平行解析几何的几何关系
空间向量的垂直与平行解析几何的几何关系空间向量在解析几何中具有广泛的应用，它们可以描述物体在空间中的位置、方向和运动等属性。
在学习空间向量时，了解其垂直与平行的几何关系是非常重要的。
本文将通过几何解析的方式，深入探讨空间向量垂直与平行的性质及其应用。
一、垂直向量在空间中，当两个向量的数量积为零时，我们称这两个向量是垂直的。
数学上可以表达为：两个向量的数量积等于零，则它们垂直。
设有两个向量a和b，它们的坐标分别表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则向量a与向量b垂直的条件可以表示为：a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3 = 0这个条件求解出的结果就是两个向量垂直的充要条件。
垂直向量在几何上有许多重要的应用。
例如在平面几何中，两条直线互相垂直，则它们的方向向量必然垂直；在立体几何中，两个平面互相垂直，其法向量也必然垂直。
因此，熟练掌握垂直向量的性质对于解析几何的应用非常重要。
二、平行向量在空间中，当两个向量之间存在倍数关系时，我们称这两个向量是平行的。
数学上可以表达为：两个向量之间存在倍数关系，则它们平行。
设有两个向量a和b，它们的坐标表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则向量a与向量b平行的条件可以表示为：a1/b1 = a2/b2 = a3/b3 = k (k为常数)其中k为两个向量平行的倍数关系。
平行向量的性质可以应用于线段、直线和平面的平行关系的判断。
例如，在平面几何中，两个直线互相平行，则它们的方向向量之间必然存在倍数关系；在立体几何中，平面与直线平行，则平面的法向量与直线的方向向量必然平行。
三、垂直与平行向量的应用举例1. 垂直向量的应用考虑一个示例问题：已知一条直线L的向量方程为(r - r1) · n = 0，其中r1为已知点，n为已知向量。
求直线L上与已知点A垂直的点B 的坐标。
解析：根据向量方程可以得知，L上的任意点P满足向量n与r - r1垂直的关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第32页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
思考题2 (2017·济南质检)如图，在三棱锥P－ABC中， AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD 上．
第33页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥ 平面BMC.
∴n⊥M→P，在选项 A 中，M→P＝(1，4，1)，∴n·M→P＝0.
第10页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
5．已知A→B＝(2，2，1)，A→C＝(4，5，3)，则平面ABC的单
位法向量为( )
A．(13，－23，23)
B．(－13，23，－23)
C．±(13，－23，23)
D．(23，13，－23)
第11页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
答案 C 解析 设平面 ABC 的法向量 n＝(x，y，z)， 则AA→→BC··n＝n＝0，0，即24xx＋＋25yy＋＋z3＝z＝0，0. 令 z＝1，得xy＝＝－12，1.∴n＝(12，－1，1)． ∴平面 ABC 的单位法向量为±|nn|＝±(13，－23，23)．
第25页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
∴P→M·Q→N＝14[c－(a－b)][c＋(a－b)] ＝14[c2－(a－b)2]＝14(|O→C|2－|B→A|2)． ∵|A→B|＝|O→C|，∴P→M·Q→N＝0，即P→M⊥Q→N. ∴PM⊥QN.
第26页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：BD1⊥平面ACB1. 【证明】 以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1分别为 x，y，z 轴建 立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 B(1，1，0)，D1(0，0， 1)，A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)．
第6页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
1．已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，
2)，则下列结论正确的是( )
A．a∥c，b∥c
B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b
D．以上都不对
答案 C
第7页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
2．若两不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1＝(1，0，－
A→P＝(0，3，4)，B→C＝(－8，0，0)，由此可得A→P·B→C＝0， 所以A→P⊥B→C，即 AP⊥BC.
第36页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(2)由(1)知|AP|＝5， 又|AM|＝3，且点 M 在线段 AP 上， ∴A→M＝35A→P＝(0，95，152)， 又B→A＝(－4，－5，0)， ∴B→M＝B→A＋A→M＝(－4，－156，152)， ∴A→P·B→M＝(0，3，4)·(－4，－156，152)＝0.
第34页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
【证明】 (1)如图，
以O为原点，以射线OD为y轴的正半轴，以射线OP为z轴的 正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.
第35页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
则 O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)， P(0，0，4)．
第12页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
6．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3，5)，n2＝(－
3，1，－4)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
答案 C
第13页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
授人以渔
第14页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
题型一 证明平行关系
第23页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
题型二 证明垂直关系
(1)已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中 点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN.
第24页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
【思路】 欲证PM⊥QN，只需证明P→M·Q→N＝0. 【证明】 设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c. ∵O→M＝12(O→B＋O→C)＝12(b＋c)， O→N＝12(O→A＋O→C)＝12(a＋c)， ∴P→M＝P→O＋O→M＝－12a＋12(b＋c)＝12(b＋c－a)， Q→N＝Q→O＋O→N＝－12b＋12(a＋c)＝12(a＋c－b)．
第9页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
4．已知平面 α 内有一个点 M(1，－1，2)，平面 α 的一个法
向量是 n＝(6，－3，6)，则下列点 P 在平面 α 内的是( )
A．P(2，3，3)
B．P(－2，0，1)
C．P(－4，4，0)
D．P(3，－3，4)
答案 A
解析 ∵n＝(6，－3，6)是平面 α 的法向量，
直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2 ＝(a2，b2，c2)．
如果l1∥l2，那么u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)． 如果l1⊥l2，那么u1⊥u2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0． 直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝ (a2，b2，c2)．
第28页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(3)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD 的中点，求证：平面DEA⊥平面A1FD1.
【证明】 建立空间直角坐标系D－xyz，令DD1＝2，
第29页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
则有D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A(2，0，0)，A1(2，0， 2)，E(2，2，1)，F(0，1，0)．
1)，v2＝(－2，0，2)，则 l1 与 l2 的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．垂直
D．不确定
答案 A 解析 v2＝－2v1，∴l1∥l2.
第8页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
3．若平面 α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量 的是( )
A．n1＝(1，2，1)，n2＝(－3，1，1) B．n1＝(1，1，2)，n2＝(－2，1，1) C．n1＝(1，1，1)，n2＝(－1，2，1) D．n1＝(1，2，1)，n2＝(0，－2，－2) 答案 A
∴P→A＝2E→O，∴PA∥EO. 又PA⊄平面EBD，且OE⊂平面EBD， ∴PA∥平面EBD.
第21页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(2)在正方体AC1中，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1， B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.
【证明】 如图所示，以D为原点，分别以
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
第 课时 空间向量的应用 一 平行 与垂直
第1页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
课前自助餐
第2页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
直线的方向向量 就是指和这条直线所对应向量平行(或共线)的向量，显然一 条直线的方向向量可以有无数多个．
第3页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
用向量法证平行问题的类型及常用方法
线线 平行
证明两直线的方向向量共线
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直
线面 平行
②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平 行 ③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的
向量表示
面面 ①证明两平面的法向量平行(即为共线向量)
平行 ②转化为线面平行、线线平行问题
第31页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
★状元笔记
利用向量法证垂直问题的类型及常用方法
线线垂直 问题
线面垂直 问题
面面垂直 问题
证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数 量积为零 直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂 直的判定定理转化为证明线线重直 两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理 转化为证明线面垂直
DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标 系，设AD＝1，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，M(1，
1 2
，1)，N(
1 2
，0，1)，B(1，1，0)，F(0，
1 2
，1)，
E(12，1，1)．
第22页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
∴A→M＝(0，12，1)，D→F＝(0，12，1)． ∴A→M＝D→F，∴AM∥DF. 又∵AM⊄平面EFDB，且DF⊂平面EFDB， ∴AM∥平面EFDB.又∵A→N＝B→E＝(－12，0，1)，可证AN∥ 平面EFDB.又AN∩AM＝A， ∴平面AMN∥平面EFDB. 【答案】 (1)略 (2)略
第5页Biblioteka 高考调研 ·高三总复习·数学（理）
若l∥α，则u⊥n⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0； 若l⊥α，则u∥n⇔u＝kn⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)； 平面α1的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面α2 的法向量为u2＝ (a2，b2，c2)． 若α1∥α2，则u1∥u2⇔u1＝ku2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2， c2)． 若α1⊥α2，则u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．
第27页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
∴ B→D1 ＝(－1，－1，1)， A→B1 ＝(0，1，1)， A→C ＝(－1，1， 0)．
又B→D1·A→B1＝(－1)×0＋(－1)×1＋1×1＝0， B→D1·A→C＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0. ∴B→D1⊥A→B1，B→D1⊥A→C，即BD1⊥AB1，BD1⊥AC. 又AB1∩AC＝A，∴BD1⊥平面ACB1.