chapter1-矢量分析(zhang)-part 3

∇⋅F = ?
∇ ⋅ F = ? =0 ∇ × F = ? ≠0
本章小结 • 运算关系
A ⋅ B = Ax B x + Ay B y + Az B z
A⋅ B = B ⋅ A
2 A ⋅ A = A 2 = Ax2 + Ay + Az2
A= A =
A ⋅ B = A B cosθ
A +A +A
2 x 2 y
∇ η A) = A η + η∇A ∇ (
环量
旋度
rotA = lim
Adl ∫
l
∆S →0
∆S
rot A = ∇× A
闭合路径的环量的求法---斯托克斯定理 闭合路径的环量的求法---斯托克斯定理 --1. 根据定义来求解
Γ=
∫ A ⋅ dl
L
2. 根据旋度来求解 旋度的含义：环流面密度的最大值，当方向一致时
∆s → 0
∫ lim
c
v v A ⋅ dl ∆s
v r v v r = rotA • n = rotA cos( rotA, n )
变的磁场 电 流 磁 场 r r ∇ × FS (r ) = J
静的磁场
下列哪种场存在？ 下列哪种场存在？ 1. 无旋有散场 2.有旋无散场 有旋无散场 3.无旋无散场 无旋无散场 4.有旋有散场 有旋有散场
例：判断矢量场的性质
∇⋅F = ?
=0 ∇ × F = ? =0
≠0 ∇ × F = ? =0
无散场通过任何闭合曲面S的通量等于零（无通量源）。
讨论： 由于 即
v ∇ • (∇ × A) ≡ 0
，可引入一个矢量辅助函数表征矢量场
v v F = ∇× A
v A 称为无散场
v v Fc (r ) 的矢量位函数。
3、就矢量场整体而言，无旋场的散度不能处处为零，而无散场的旋度 不能处处为零，一般的矢量场，可能既有散度，又有旋度。
证明： r ∂u r ∂u r ∂u ∇ × (∇ u ) = ∇ × ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z r ex ∂ = ∂x ∂u ∂x r ey ∂ ∂y ∂u ∂y r r ez ex ∂ ∂ = ∂z ∂x ∂u ∂ ∂z ∂x r ey ∂ ∂y ∂ ∂y r ez ∂ u ≡ 0 ∂z ∂ ∂z =
利用Del算子：
∇=
∂ ∂ ∂ ax + a y + az ∂x ∂y ∂z
∂ ∂Az ∂Ay ∂ ∂Ax ∂Az ∂ ∂Ay ∂Ax ∇ •∇× A = ( − )+ ( )+ ( − )=0 − ∂x ∂y ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x
例1-12：证明矢量梯度的旋度恒为零。
rot ( grad u ) = ∇ × (∇u ) ≡ 0
∫
c
v v A ⋅ dl ∆S
m ax
∆S → 0
r = ∇ × A =
r a
x
r a
y
r a
z
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
Ax
Ay
Az
流速场
• 矢量的旋度是矢量，是空间坐标点的函数，面积缩小趋于0 点； • 旋度代表场中任一点处，环流面密度的最大值及取最大值时的方向
是否有类似于高斯公式的定理存在？？ 是否有类似于高斯公式的定理存在？？
• 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数，体积缩小趋近于0 点； • 散度代表场中任一点处，通量对体积的变化率，因此又可称为通量源密度。
高斯散度定理
∫ A ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ AdV
S V
对通量用两种方法来求解 结果必然相等 面积分与体积分之间的关系
内容回顾— 内容回顾—旋度
旋度
v v r o t A = n lim
r r r ∇ × A M = a x + 2a y + a z
n方向的单位矢量
r n=
r r r 2r 6r 3r (2ax + 6a y + 3az ) = ax + a y + az 7 7 7 22 + 62 + 32
1
在点M(1，0，1 2 6 3 17 ⋅n = + ⋅2+ = 7 7 7 7
对同一个物理量用两种方法来求解 结果必然相等
∫
C
r r r r A • dl = ∫ rotA • dS
S
斯托克斯（ 斯托克斯（Stockes）定理 ）
• 矢量对闭合回路的线积分等于该回 路所包围任意表面上对该矢量旋度 的面积分。 证明：由旋度的定义
c
∆S → 0
lim
∫
c
r r Α ⋅dl ∆S
az ∂ = − (2 + x )a ∂z 0
z
所以： 所以：
∫ (∇ × F) ⋅ dS = −∫ (2 + x)a
S S
z
⋅ (dxdyaz )
0 ≤ x ≤ 9 − y 2 0≤ y≤3
= −∫
3
0 0
∫
9− y 2
[2 + x]dxdy = −9(1 + ) 2
π
由上可得： 由上可得：
矢量分析
矢量的基本运算 三种常用的坐标系 矢量场和标量场 标量函数的梯度 矢量函数的散度 矢量函数的旋度 亥姆霍兹定理
内容回顾--散度与高斯定理 内容回顾--散度与高斯定理 -散度
r d iv A = lim
∆v→ 0
1 ∆v
∫
S
r r r A ⋅ dS = ∇ ⋅ A
∂Ay ∂ Ax ∂ Az = + + ∂x ∂y ∂z
解：用直角坐标系，由于Ｆ在xOy平面上，故dz=0. Ｆ
F ⋅ d l = ( xya
x
− 2 xa
y
) • ( dxa
x
+ dya
y
)
= xydx − 2 xdy
1/4圆周的方程为：x2+y2=9 (0 < x, y<3)
B
0
O B
x
A
∫ F ⋅ dl
C
=
∫ F ⋅ dl + ∫ F ⋅ dl + ∫
q ∂ z ∂ y r ∂ x ∂ z r = 3 − 3 ax + 3 − 3 a y 4πε 0 ∂y r ∂z r ∂z r ∂x r ∂ y ∂ x r + 3 − 3 az ∂x r ∂y r =0
静电场：为无旋场，旋度为0。
例1-11：证明矢量A旋度的散度恒为零。 例1-12：证明矢量梯度的旋度恒为零。
例1-11：证明矢量A旋度的散度恒为零。
证明： 证明：
∂Ay ∂Ax ∂Ax ∂Az ∂Az ∂Ay Q ∇× A = ( − )a x + ( − )a y + ( − )a z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∂Ay ∂Ax ∂Ax ∂Az ∂Az ∂Ay ∴ ∇ • ∇ × A = ∇ • [( − )ax + ( − )a y + ( − )a z ] ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
2 z
0 A⋅ B = A B
A⊥B A // B
A × B = a z A B sin θ
0 A× B = A B
A// B A⊥ B
梯度
∂φ = G ⋅ al ∂l
∂φ ∂φ ∂φ grad φ = ax + ay + az ∂x ∂y ∂z
通量 散度
ψ = ∫ A ⋅ dS
∫ F ⋅ dl = ∫ (∇ × F) ⋅ dS
C S
例1-9 求矢量场A=x(z-y)ax+y(x-z)ay+z(y-x)az在点M(1，0，1)处的 旋度以及沿n=2ax+6ay+3az方向的环量面密度。
提示：利用旋度来求解
∆s →0
∫ lim
c
v v A ⋅ dl ∆s
v r v v r = rotA • n = rotA cos( rotA, n )
亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。 亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。 意义 电荷密度ρ 在电磁场中 场域边界条件 电流密度J （矢量A唯一地确定） 场域边界条件
矢量A的通量源密度 已知 矢量A的旋度源密度
源 电 荷
r r ∇ • Fl (r ) = ρ
场 静 电 场 电 场 变 电 场
v
结论：
无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零（无旋涡源）。 可引入一个矢量辅助函数表征标量场
由于 ∇ × ∇u ≡ 0 2、无散场：
v v vv 若矢量场 F(r ) 在某区域内，处处 ∇• F = 0，但 ∇× F ≠ 0 则称 vv 在该区域内，场 F(r )为无散场。
重要性质： 结论：
∫
s
v r v Fc (r ) • ds = 0
c
A ⋅ dl
∫
S
(∇ × A ) ⋅ dS
斯托克斯定理
∫ l A ⋅ dl = ∫
S
(∇× A) ⋅ dS
斯托克斯（ 斯托克斯（Stockes）定理的意义 ）
A ⋅ dl = ∫ ( ∇ × A ) ⋅ dS ∫
l
S
图 0.4.3 斯托克斯定理
• 矢量函数的线积分与面积分的互换。 • 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系
解： 矢量场A的旋度