4.2.2 指数函数应用举例
4.2.2 指数函数的图象和性质
如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx 的图象，则 a，b， c，d 与 1 的大小关系是( B )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
解析：如图，作直线 x＝1，与四个图象分别交于 A，B，C，D 四点， 则 A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知 b<a<1<d<c.
3．关于求解指数不等式的教学 建议教师先讲清楚求解指数不等式的理论依据，即指数函数的单调 性，然后给出一定量的练习题，通过练习掌握解题规律． 4．关于指数函数值域的教学 建议教师在教学中让学生理解指数函数的性质，掌握底数对指数函数 的图象及单调性的影响，能够借助于图象和性质解决与指数函数有关的值 域问题．
D．y3>y1>y2
解析：因为 y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y3＝12－1.5＝21.5， 又函数 y＝2x 在 R 上是增函数，1.8＞1.5＞1.44，所以 21.8＞21.5＞21.44，故 y1＞y3＞y2.
2．当 0<a<1 时，不等式 a2x－1<ax＋1 的解集为 (2，＋∞) ．
解析：当 0＜a＜1 时，指数函数 y＝ax 是单调递减的，所以由不等式 a2x－1＜ax＋1，可得 2x－1＞x＋1，解得 x＞2.
(备选题)已知函数 f(x)＝12，－x，x>x0≤，0， 则满足 f(x＋2)<f(2x)的 x 的取
值范围是 (－∞，0)
．
解析：作出函数 f(x)＝21，－x，x>x0≤0， 的图象，如图所示， 因为 f(x＋2)<f(2x)，
4.2.2指数函数的图象和性质
4.2.2指数函数的图象和性质(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章)一、教学目标1.类比研究幂函数性质的过程和方法，通过指数函数图象得出其性质；2.利用指数函数的图象研究指数函数的性质，并用所得性质进一步理解指数函数的图象；3.通过信息技术手段更好地理解指数函数的图象和性质。
二、教学重难点1.教学重点：指数函数的图象和性质2.教学难点：指数函数性质的理解三、教学过程师生活动：从简单的函数2x y =入手，教师引导学生分析函数的性质，包括定义域，值域，奇偶性，单调性．由概念知定义域为R ，根据指数运算，分析值域为(0,)+∞，进而分析出函数的图象应该都在x 轴上方．通过特殊点的分析，得出函数不具有奇偶性．单调性需要借助图象研究．学生在列表时，分析x 的取值，要兼顾正值和负值，在性质指导下画出函数的图象．问题4：请同学们画出指数函数1()2x y =的图象，观察函数的图象.师生活动：教师布置任务，学生自己选择方法作图，观察图象，探究函数的性质．问题5：你是如何画出函数1()2x y =的图象？描点法还是利用对称性？请讲出选择的理由．师生活动：教师询问学生作图的方法，学生反馈自己用的是描点法还是利用了函数之间的对称性．因为1()22x x y -==，点(x ，y )与点(-x ，y )关于y 轴对称，所以函数2x y =图象上任意一点(,)P x y 关于y 轴的对称点1(,)P x y -都在函数1()2x y =的图象上，反之亦然．根据这种对称性，可以利用函数2x y =的图象，画出1()2xy =的图象．并将此结论推广：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称，所以利用这种对称性，可以由一个函数的图象得到另一个函数的图象．设计意图：根据函数的解析式先初步分析函数的性质，再选择合适的点，利用描点法画出函数的图象，然后由图象概括出函数的性质，这是我们研究具体函数的过程．让学生观察两个具体的指数函数的图象，对指数函数的图象和性质有一个初步的认知．学生在作图的过程中得出结论：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称．根据这种对称性，我们将指数函数x y a =的图象按底数a 的取值，分作1a >和01a <<两种类型进行研究．让学生学会用联系的观点看待问题．问题6：我们将指数函数x y a =的图象按底数a 的取值，分作1a >和01a <<两种类型进行研究．为了得到指数函数x y a =的性质，我们还需要画出更多的具体的指数函数的图象进行观察．问题7：画出指数函数3x y =和4x y =的图象，分析它们的性质．画出指数函数1()3x y =和1()4xy =的图象，分析它们的性质．师生活动：学生动手操作，观察分析，师生共同评价．教师指导学生先研究底数1a >的情况，可追问学生在1a >的范围内是否还需要进一步分类，为什么？引导学生还是要从具体的指数函数进行研究．学生画出指数函数3x y =和4x y =的图象，教师借助几何画板呈现多个函数的图象．观察图象，师生共同总结出图象的直观性质；当1a >时，底数越大越靠近y 轴，而当01a <<，底数越小越靠近y 轴，故底数互为倒数的两个指数函数图象关于y 轴对称。
4.2.2指数函数应用举例
指数函数应用举例明确目标指数函数在自然科学和经济生活中有着广泛的应用，要了解指数函数的实际应用举例，能够应用指数函数的性质解决简单的实际问题。
合作交流例1 某市2008年国内生产总值为20亿元，计划在未来10年内，平均每年按8％的增长率增长，分别预测该市2013年与2018年的国内生产总值（精确到0.01亿元）例2 设磷-32经过一天的衰变，其残留量为原来的95.27％.现有10g磷-32，设每天的衰变速度不变，经过14天衰变还剩下多少克（精确到0.01g）？探究展示由上面两例题中的函数解析式都可以写成y=ca x的形式，其中c>0为常数，底a>0且a1≠.函数模型y=ca x叫做指数模型.当a>1时,叫做指数增长模型;当0<a<1时, 叫做指数衰减模型.例3 服用某种感冒药,每次服用的药物含量为,随着时间的变化，体内的药物含量为其中以小时为单位。
问服药4小时后，体内药物的含量为多少？8小时后，体内药物的含量为多少？拓展训练1我国工农业总平均值计划从2000年到2020年翻两番，设平均增长率为ｘ则（）A ()191x+=4 B ()201x+=3 C ()201x+=2 D ()201x+=42一种产品的年产量原来是ａ，计划使年产量平均每年比上一年增加ｐ，则年产量ｙ随着年数ｘ变化的关系为3某市2004年有常住人口54万，如果人口按每年1.2％的增长率增长，那么2010年该市常住人口约为多少万人（精确到0.01万）？4某放射性物质，每经过一年残留量是原来的89.64％，每年的衰变速度不变，问100g这样的物质，经过8年衰变还剩下多少克（精确到0.01g）？5某种细菌在培养过程中，每一小时分裂一次(一个分裂成两个)，经过5小时后，这种细菌可由一个繁殖成多少个?。
指数函数模型的生活中的例子
指数函数模型的生活中的例子指数函数模型是数学中的一种常见模型，可以用来描述某些现象或者过程的增长或衰减规律。
在我们的生活中，有许多例子都可以通过指数函数模型来解释和描述。
本文将介绍几个生活中常见的例子，并通过这些例子来理解指数函数模型的应用。
1. 人口增长模型人口增长是一个长期以来备受关注的问题。
指数函数模型可以用来描述人口增长的规律。
在指数函数模型中，人口数量随着时间的增加而指数级增长。
例如，某城市人口在初始时期为100万，年增长率为3%。
使用指数函数模型，我们可以得出人口数随时间增长的表达式为P(t) = 100万 * (1 + 0.03)^t，其中t为时间（年）。
利用这个模型，我们可以预测城市未来的人口数量，并制定合理的发展规划。
2. 财务投资模型财务投资是许多人关注的领域之一。
指数函数模型可以用来描述投资的增长规律。
例如，某投资项目的初始投资金额为1000万元，年化收益率为5%。
通过指数函数模型，我们可以计算出投资金额随时间的增长情况。
投资金额的表达式为A(t) = 1000万 * (1 + 0.05)^t，其中t为时间（年）。
利用这个模型，我们可以评估投资的回报率，并决定是否进行相应的投资。
3. 病毒传播模型疫情爆发时，病毒传播模型成为重要的研究方向。
指数函数模型可以用来描述病毒的传播速度和规模。
例如，某病毒的传染系数为1.1，即每个感染者平均会感染1.1个人。
通过指数函数模型，我们可以预测疫情的发展趋势。
疫情的增长可以用指数函数P(t) = P(0) * (1 + 1.1)^t 来描述，其中P(t)为时间t时刻的感染人数。
利用这个模型，可以对疫情的传播速度和规模进行评估，并采取相应的防控措施。
4. 化学反应速率模型化学反应速率也可以用指数函数模型来描述。
在某些反应中，反应物的浓度随着时间的推移呈指数级减少。
例如，一个化学反应的初始浓度为C0，反应速率常数为k。
反应物的浓度随时间的变化可以用指数函数模型C(t) = C0 * e^(-kt)来描述。
中职数学-指数函数应用举例
启发、合作探究
教学环节
项目与任务
教师活动
学生活动
设计意图
兴趣导入
播发“新冠肺炎数据分析”短视频
思考1：这么严重的疫情我们为什么现在能够安然学习？
（因为我们背后有强大的祖国和医护人员及消防战士为我们负重）
思考2：中国对疫情防控采取的重要手段是什么？
（武汉封城，全民居家隔离）
引入：如果不隔离会怎样呢？我们来看这样一个实际问题。
学科
中职数学
课题
4.2.2指数函数应用举例
课型
新授课
授课班级
授课人
教学目标
知识与技能
通过实例了解指数模型在生活中的广泛应用
结合实例理解指数模型增长和指数衰减型的意义
过Байду номын сангаас与方法
通过对现实生活中学生感兴趣的问题探讨，研究分析，建立指数模型，培养学生提出、分析与解决问题的能力，以及建模思想.
情感态度价值观
指数增长模型，
提出问题
引导学生建立数学模型
了解题意
分析讨论
建模计算
逐步引导培养学生建模思维，数据对比让学生感受指数爆炸，为后面知识做铺垫
归纳新知
1.函数解析式可以写成 的形式，其中 为常数，底a>0且a≠1．函数模型 叫做指数模型．当a>1时，叫做指数增长模型；当0<a<1时，叫做指数衰减模型．
讲解
回忆
领会
通过例题引入概念让知识成“立体化”
典例巩固
例2.服用某种感冒药，每次服用的药物含量为 ，随着时间 的变化，体内的药物含量为 （其中 以小时为单位）．问服药4小时后，体内药物的含量为多少？8小时后，体内药物的含量为多少？
初中数学中如何运用指数函数解决实际问题
初中数学中如何运用指数函数解决实际问题在初中数学的学习中，指数函数是一个重要的数学概念，它不仅在理论上具有深刻的意义，更在解决实际问题中发挥着关键作用。
通过对指数函数的理解和运用，我们能够更好地描述和解决许多与现实生活密切相关的问题。
首先，让我们来明确一下什么是指数函数。
一般地，函数$y ＝a^x$（＄a ＞ 0$，且$a ≠ 1$）叫做指数函数，其中$x$是自变量。
指数函数的特点是底数$a$为常数，指数$x$为变量。
当$a ＞ 1$时，函数单调递增；当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数单调递减。
那么，在实际生活中，指数函数究竟能帮助我们解决哪些问题呢？一个常见的应用是人口增长问题。
假设某个地区的初始人口为$P_0$，年增长率为$r$，经过$t$年后的人口数量$P(t)＄可以用指数函数$P(t) ＝ P_0(1 ＋ r)＾t$来表示。
例如，某城市的初始人口为 10 万人，年增长率为 2%，那么 5 年后的人口数量就可以通过计算$P(5) ＝ 10×（1 ＋ 002)＾5$得出。
再比如，细菌繁殖问题也可以用指数函数来描述。
假设某种细菌每小时繁殖的倍数为$k$，初始数量为$N_0$，经过$t$小时后的细菌数量$N(t) ＝ N_0×k^t$。
如果知道了初始细菌数量和繁殖倍数，就能够预测在一定时间后细菌的数量，这对于疾病防控和卫生管理具有重要意义。
在金融领域，指数函数也有广泛的应用。
例如，复利计算就是一个典型的例子。
如果一笔本金$P$以年利率$r$进行复利计算，投资$t$年后的本利和$A$可以表示为$A ＝ P(1 ＋ r)＾t$。
通过这个公式，我们可以计算出在不同的利率和投资时间下，资金的增长情况，从而帮助我们做出合理的投资决策。
另外，放射性物质的衰变也遵循指数函数的规律。
假设某种放射性物质的初始质量为$m_0$，半衰期为$T$，经过时间$t$后剩余的质量$m(t) ＝ m_0×（＼frac{1}｛2}）＾｛＼frac{t}｛T}｝＄。
指数函数在实际生活中的应用有哪些？
指数函数在实际生活中的应用有哪些？
指数函数是一种常见的数学函数，其在实际生活中有许多应用。
以下是一些指数函数在实际生活中的应用示例：
1. 财务规划：指数函数可用于计算复利。
在投资中，复利是通
过将利息再投资于本金来实现的。
指数函数可以帮助确定投资增长
速度和最终价值。
这对个人的财务规划非常有用。
2. 科学研究：指数函数在科学研究中经常用于描述指数衰减和
指数增长的现象。
例如，在物理学中，指数函数可以描述放射性元
素的衰变速度。
在生物学领域，它可以描述细菌或病毒的增长速度。
3. 人口增长：指数函数可以用于描述人口增长的模型。
许多国
家和地区使用指数函数来预测人口的增长趋势和规模。
这对规划城
市和制定政策非常重要。
4. 市场营销：指数函数在市场营销中也发挥着重要的作用。
例如，市场份额的增长通常符合指数函数的规律。
通过分析指数函数，市场营销人员可以了解产品或服务的市场表现，并制定相应的策略。
5. 电子技术：指数函数在电子技术中有广泛的应用。
例如，在
电路设计中，指数函数可以用来描述电流或电压的变化。
它也用于
描述集成电路中的传输特性和放大效果。
这只是指数函数在实际生活中应用的一小部分示例。
指数函数
在各个领域都有广泛的用途，对于解决问题和做出决策非常有帮助。
指数函数的增长和衰减模型
指数函数的增长和衰减模型指数函数是一种常见的数学函数，它在很多领域中被广泛应用，如生物学、经济学、物理学等。
在这篇文章中，我们将讨论指数函数的增长和衰减模型，以及它们在实际问题中的应用。
1. 指数函数的定义指数函数是以常数e为底的幂函数，通常表示为f(x) = a * e^(kx)，其中a和k为常数，e是一个数学常数，约等于2.71828。
指数函数有两种基本类型：增长和衰减。
2. 指数函数的增长模型指数函数在x逐渐增大的情况下以指数速度增长。
即使初始值很小，随着x的增大，函数值也会迅速增加。
这种增长模型在多个领域中得到广泛应用，如人口增长、细菌繁殖等。
3. 指数函数的衰减模型相反，指数函数在x逐渐增大的情况下以指数速度衰减。
即使初始值很大，随着x的增大，函数值也会迅速减小。
这种衰减模型在自然衰变、物质衰变等问题中经常出现。
4. 指数函数的应用举例4.1 经济学中的应用指数函数常用于描述经济增长和指数增长模型。
例如，GDP的增长率可以用指数函数来描述，初始值通常表示为某个年份的GDP，随着时间的推移，GDP会以指数速度增长。
4.2 生物学中的应用许多生物过程也可以被指数函数所描述。
例如，细菌繁殖可以用指数函数来建模。
假设我们有一种细菌，每个小时繁殖的数量是当前细菌数量的两倍，那么用指数函数可以表示为f(x) = a * 2^x，其中x表示时间，a表示初始的细菌数量。
4.3 物理学中的应用指数函数在物理学中也有广泛的应用。
例如，在放射性衰变中，原子核的衰变速率可以用指数函数来描述。
指数函数的衰减模型可以帮助我们预测放射性物质的衰变过程。
5. 指数函数的性质指数函数具有一些特殊的性质。
例如，指数函数的图像总是经过点(0,1)，并且在x增大时，函数值增长快速。
同时，它的导数也是指数函数本身的常数倍，这使得指数函数在微积分中经常被使用。
6. 结论指数函数是一种重要的数学函数，它可以用来描述增长和衰减模型。
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新知识
上面两道例题中的函数解析式都可以写成
y=cax
的形式，其中c>0为常数，底a>0且a≠1。函数模型 y=cax叫做指数模型。当a>1时，叫做指数增长模 型；当0<a<1时，叫做指数衰减模型. c>0为常数 指数x为自变量 底a>0且a≠1 当a>1时，指数增长模型 当0<a<1时,指数衰减模型
第四章 指数函数与对数函数
4.2指数函数
4.2.2 指数函数应用举例
授课教师：游彦
指数函数应举例
例4 某市2008年国内生产总值为20亿元，计划在未来10年内，平 均每年按8%的增长率增长，分别预测该市2013年与2018年的国 内生产总值(精确到0.01亿元） 分析 国内生产总值每年按8%增长是指后一年的国内生产总 值是前一年的(1+8%)倍 解：设在2008年后的第x年该市国内生产总值为y亿元，则 第1年，y=20×(1+8%)=20×1.08, 第2年，20×1.08×(1+8%)=20×1.082 第3年，y=20×1.082×(1+8%)=20×1.083, …… 由此得到，第x年该市国内生产总值为 y=20×1.08x(x∈N且1≤x≤10) 当x=5时，得到2013年该市国内生产总值为 y=20×1.085≈29.39(亿元) 当x=10时，得到2018年该市国内生产总值为 y=20×1.0810≈43.18(亿元 答：该市2013年和2018年的国内生产总值分别约为29.39亿 元和43.18亿元。
指数模型y=cax
（要点）
巩固知识
例6 服用某种感冒药，每次服用的药物含量 为a，随着时间t的变化，体内的药物含 f(t)=0.57 t a(其中t以小时为单位)。问服药4 小时后，体内药物的含量为多少?8小时后，体 内药物的含量为多少? 分析 该问题为指数衰减模型。分别求t=4与 t=8的函数值。 解：因为f(t)=0.57ta，利用计算器容易算得 f(4)=0.574a≈0.11a f(8)=0.578a≈0.01a 答：服药4小时后，体内药物的含量为0.11a， 服药8小时后，体内药物的含量为0.01a.
巩固练习
1。某企业原来每月消耗某种试剂1000kg，现 进行技术革新，陆续使用价格较低的另一 种材料替代该试剂，使得该试剂的消耗量 以平均每月10%的速度减少，试建立试剂消 耗量y与所经过的月份数x之间的函数关系， 并求出4个月后，该种试剂的月消耗量(精确 到0.1kg)。 2。某省2008年粮食总产量为150亿kg。如果 按每年平均51?%的憎折速度，求该省5年后 的年粗食总产量（精确到0.01亿kg）。
巩固练习 作业：p83/3/4/5
指数函数应用举例
例5 设磷-32经过一天的衰变，其残留量为原来的 95.27%。现有10g磷-32，设每天的衰变速度不变， 经过14天衰变还剩下多少克(精确到0.01g)? 分析 残留量为原来的95.27%的意思是，如 果原来的磷-32为a(g)，经过一天的衰变后，残留 量为a×95.27%(g) 解：设10g磷-32经过x天衰变，残留量为y(g)。 依题意可以得到经过天衰变，残留量为 y=10×0.9527X 故经过14天衰变，残留量为 y=10×0.952714≈5.07(g) 答：经过14天衰变,10g磷-32还剩下约5.07g。