找规律 数形结合
数论题的解题诀窍
数论题的解题诀窍数论题是数学中的一个分支，研究整数之间的性质和关系。
解题的诀窍包括找规律、分类讨论、数形结合等方法。
下面将详细介绍这些解题的技巧，并以实例加以说明。
一、找规律是解决数论题的常用方法之一。
数论题通常需要找到或证明一种性质或关系。
这时我们可以从一些特殊情况入手，观察数列或方程中数值的变化规律，尝试找到规律并进行归纳。
举例说明：求证任意一个整数的平方必为偶数。
我们考察一些数字的平方和奇偶性：1^2=1，是奇数；2^2=4，是偶数；3^2=9，是奇数；4^2=16，是偶数；...我们发现，无论正整数n取多大，n^2的结果都是偶数。
所以可以得出结论：任意一个整数的平方都是偶数。
二、分类讨论是解决数论题的常用方法之一。
当数论题目中的数字或问题具有多种情况时，我们可以按照特定的规则进行分类讨论，从而找到问题的解决之道。
举例说明：有一袋中有100个球，其中有红球、蓝球和绿球，红球与蓝球的数量相等，绿球的数量是红球和蓝球的数量之和的一半。
问红球、蓝球和绿球分别的数量是多少？解析：设红球的数量为x，蓝球的数量为y，则绿球的数量为(x+y)/2。
根据题目条件可以列出方程组：x + y + (x + y)/2 = 100。
化简得到：3x + 3y = 200，即x+y = 200/3。
由于x和y都是整数，所以200/3必须是整数。
假设x和y都小于200/3，那么它们的和不可能等于200/3，所以x和y必然大于等于200/3。
但是，200/3在整数范围内最近的整数是67，所以x和y的和必然小于等于最大为67，因此只有一种情况。
分类讨论可用于解决类似的数论题目，当题目中数字或情况有多种组合时，我们可以采用这种方法。
三、数形结合是解决数论题的另一种方法。
有些数论问题可以通过数学模型的图形推理或与几何问题的联系相结合来解决。
举例说明：在一个等边三角形的顶点上依次标上1,2,…,100这一百个整数，要求将顶点上的整数分别用两个颜色红和蓝进行染色，使得对于每一个等边三角形的三个顶点，如果存在一个定的整数n，且其三个顶点的整数之和为n的话，则这三个顶点必须用同样的颜色染色。
数形结合找规律——一节思维训练课的教学设计
（ 计 意 图 ： 上 这道 题 ， 助 “ 设 以 借 一题 多 解 ” “ 或 一 题 多 变 ” 形 式 ， 引发 学 生 提 出 新 的 思 想 、 的 方 的 来 新 法 、 的 问题 ， 展 思 维 的 广 阔性 和 灵 活 性 ， 励 学 新 发 激
生 的好 奇 心 和 求 知 欲 ．不 断提 高 学 生探 索发 现 规 律
师 出示 ：１ １ ３ ５ … ・＋ ９ （ ） ＋ ＋ ＋ ・ ９ ・
（ ） ＋ ＋ ＋ …＋ ９ ２ ２ ４６ … ９８
分 ， 用算式表示。 并 然后分小组讨论你们的发现。
４ 反馈 。 ． 得出结论 ： ２起连续偶数的和 等于偶 从
数个数 的平方加偶数个数 ， ｎ ｎ）或等于偶数个 即（ ２ ， ＋ 数乘 比偶数个数大 １的数 ， ｎ （＋ ） 即 Ｘ ｎ １。
数的平方。
２ ４＋６ ＋
师： 要求连续奇数的和只要知道什 么？ 下列式子
你 会 求 吗？
（ ）＋＋ ＋＋＋ （ ）＋ ＋＋＋ ＋ １＋ ５ １ １ １３５７９ １ ２ １３５７ ９ １＋ ３ １＋７ １ １
（ ） ＋ ＋ ＋ ＋ １ １＋ ５ １ ＋ ９ ３ ３ ５ ７ ９ １ ＋ ３ １＋ ７ １
思维能 力、 发散思维能 力和创造性思维能力。
假设 ， 并作 出试 探 性 的 结论 ． 练 学 生 的数 学 直 觉 思 训
维 能 力 。 ）
蠢 ３ 一 学 刊 学 ０． 学 ２ 教 月 小 版２２教 １ ３
师： 如果下列式子也是表示每幅图圆点的总数 ，
图 ５中画一 画、 分一分 ， 使每幅 图的圆点总数分 别能
（ 计 意 图 ： 师 通 过 这 道 探 索 性 的题 目 ， 学 设 教 让 生去 研 究 、 讨 、 现 ． 行 一 系 列探 索性 思 维 活动 ， 探 发 进
一年级数学下册《找规律》教案(通用12篇)
一年级数学下册《找规律》教案（通用12篇）一年级数学下册《找规律》教案篇1教学目标知识与能力：通过物品的有序排列，使学生初步认识简单的排列规律，会根据规律指出下一个物体;过程与方法：通过涂色，摆学具的活动，培养学生的动手能力，激发创新意识;情感态度与价值观:使学生在教学活动中认识到数学的价值，感受规律之美，增强学习数学的兴趣。
教学重难点重点:发现事物(图形)的排列规律，掌握发现规律的方法。
难点：引导学生从颜色，形状两方面发现规律，并能用自己的语言表述找到的规律。
教学工具课件教学过程一、创设情景，激趣导入1.同学们，六一节到了。
老师听说学校将有一次联欢会。
每个教室都装扮一新。
看这些孩子们在他们盛装打扮的教室里跳舞。
放课件党的动画。
仔细观察，你看到了什么?有彩旗，灯笼和花朵。
有很多小朋友在跳舞。
请同学们再来看一看这些彩旗、花朵和灯笼是不是乱摆乱放的?不是，是有顺序的。
是的，它们的摆放都是有规律的，都按照一定的顺序摆放，想不想找一下他们的规律呀?(想!)那今天我们就来学习找规律。
(板书课题)领着学生认读二、引导探索、认识规律1、课件出示彩旗图我们先来找找彩旗排列的规律，猜一猜，这面旗会是什么颜色?都猜的是红旗，来看看对不对。
猜的真准!你们是怎么想的呢?因为小旗是按照黄色，红色这样的顺序一直摆下去的，所以黄旗的后面是红旗。
小旗的规律是按1面黄旗、1面红旗为一组重复排列。
(让学生明白1面黄旗1面红旗为一组，这样的一组重复出现。
)2、课件出示小花排列图教室里还有小花，它的排列是怎样的，你发现了什么?是否也有规律? 我们发现小花是按照1朵红，1朵紫这样的规律来排列的。
3、课件出示灯笼图和小朋友的队列图彩旗，小花的规律我们已经找到了，那么灯笼摆放和小朋友队列又有什么规律呢? 是的!它们都是重复排列的。
像彩旗、小花、灯笼、小朋友这样，几个为一组重复出现的规律叫做重复排列的规律。
(板书)领着学生读一读。
说的真好!那我们一起来看看每一个后面都应该摆什么颜色吧?出示刚才的联欢会动画。
《找规律》教学设计
《找规律》教学设计《找规律》教学设计1学习内容：简单的图形与数字的排列规律学习目标：1．通过观察、实验、猜测、推理等活动能找出图形的变化规律，会根据规律指出下一个物体。
2．培养初步观察、推理等能力，提高学生合作交流与创新意识。
3．通过学习感受数学与生活的联系。
学习重点：理解“规律”含义，掌握找规律的方法。
学习难点：能够表述发现的规律，并会用规律解决一些简单的问题。
教具准备：课件<主题图> 、幻灯片、图片学习过程：一、创设情景导入、激发学生兴趣教师出示两幅水果图：一幅图是有规律排列的，另一幅图是杂乱无章放置，让学生说一说哪一幅图好记忆，并说明原因。
师总结归纳，肯定生有道理的解答。
强调有规律摆放的图形便于记忆。
有规律摆放的事物不仅便于记忆，还能带给我们美的享受。
生活中处处有规律，这节课我们就来一起学习“找规律”。
（揭示主题）【设计意图：水果图片引发学生的兴趣，猜图片制造冲突，让学生产生质疑，从而引出课题。
】二、自主探究、合作交流（学习例1——图形的简单排列规律）1、自主学习：引导学生观察情景主题图：（1）情景主题图中有什么？他们在干什么？(2)你能发现什么规律？（揭示：图中的人和物都是按规律排列的。
）【设计意图:培养学生认真观察，自主学习的好习惯】2、小组合作交流:用自己的语言描述主题图中的各种规律。
并理解“规律”。
请把你找到的小秘密悄悄告诉小组同学：你是怎么想的？学生交流：发现的规律及方法。
学生展示：图中彩旗的排列规律是：（）图中彩花的排列规律是：（）图中灯笼的排列规律是：（）图中小朋友的排列规律是：（）结合学生的汇报，引导学生用笔圈出彩旗、彩花、彩灯、小朋友重复的部分。
教师用课件闪光灯一组一组圈出进行验证。
3、总结：彩旗、灯笼、彩花的摆放和小朋友的队伍是有规律的，都按照一定的规律排列出现的。
像彩旗、小花、灯笼、小朋友这样，几个为一组重复出现的规律叫做重复排列的规律。
（板书：一组一组重复）【设计意图：通过提高对“一组”的认识，引出“重复出现”，对“重复出现”进行理解，也是找规律中的第二个要素。
数形结合找规律
数形结合找规律华南实验学校杭雅琴课型：思维训练课教学目标：1．让学生在生动有趣的活动中观察、寻找图形的特点，结合图形从不同的角度观察得出不同的数学规律。
2．应用“数形结合”，训练和培养学生数学直觉思维能力、发散思维能力和创造性思维能力。
3．通过以形助数的直观生动性，体会数形结合，感受数学的趣味性。
教学过程：一、导入：同学们有没有学过这样一首诗（出示: 题西林壁：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中。
）这首诗什么意思？（从不同地角度看庐山，庐山的模样各不相同。
）师：其实在数学学习中也是如此，对待同一个问题，如果从不同地角度去观察、去思考，得出的结论、规律也就会不同。
（设计意图：从学生比较熟悉的古诗导入新课，非常简明；以此迁移到数学学习中也要善于从不同角度观察和思考问题，为后面新知的学习作了伏笔。
）二、新授：1、依次出示图1、图2、图3，分别说说是由几个小圆点组成的。
想像一下图4会是什么样子的？一共有多少个圆点？图图图图图1 图2 图3 图42、你是怎么想到图4会有16个小圆点的？仔细观察这组图，你还有什么发现呢？（学生畅谈自己的发现.）3、同学们不仅能用一个数表示每幅图的圆点数，而且还能用算式来表示这组图的规律，真了不起。
根据这个规律，想一想第5个图形是怎样的？一共有多少个圆点？第8幅图呢？第100幅图呢？第N幅图呢？4、通过刚才的观察，我们发现每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的积，这些算式还可以用平方数的形式来表示。
那刚才我们是怎样观察的？（横着观察的）（设计意图：数形结合方法之一是借助“形”的生动和直观性认识“数”。
通过观察前3个图，使得学生从整体上对图形的圆点排列特点；然后，想像一下图4会是什么样子的？一共有多少个圆点？进而作出大胆的猜想，合理的假设，并作出试探性的结论，训练了学生数学直觉思维能力。
）5、如果我们换个角度观察，直接出示“”划分的。
要求每幅图的圆点总数又可以列成怎样的算式？6、这些式子也是表示每幅图圆点的总数，和刚才的算式等不等？（板书）1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=427、仔细观察这些等式，左边的式子有什么特征？右边呢？左右联系起来看你又有什么发现？8、汇报，得出：从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方。
初中数学找规律题型总结
初中数学找规律题型总结类型一：数字型规律题需要熟记的规律：正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…熟记常见的规律：① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……(1)2n n+③ 1、3、7、15……2n -1 ④ 1+2+3+4+…n=(1)2n n+⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)⑦ 12+22+32….+n2=16n(n+1)(2n+1) ⑧ 13+23+33….+n3=14n2(n+1）解题方法1——看增幅：（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。
然后再简化代数式a+(n-1)b。
（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此种数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
（三）增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，例1：4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2例2：2、5、10、17……，求第n位数。
分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。
那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：〔3+（2n-1）〕×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1 所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1例3：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. 解题方法2——标号找规律：通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
一年级数学下册《找规律》教学设计
一年级数学下册《找规律》教学设计一年级数学下册《找规律》教学设计1教学目标：1．基本技能：让学生发现、经历、探究图形简单的排列规律，通过比较，从而理解并掌握找规律的方法，培养学生初步的观察、操作、推理能力。
2．数学思考：在教学过程中，发展合理推理能力，并合理、清晰的阐述自己的观点。
3．解决问题：合作中逐步形成评价与反思的意识。
4．情感态度：培养学生发现和欣赏数学美的意识。
教学重点：发现图形的排列规律。
教学难点：体会一组图形重复出现多次就是排列规律。
教具学具准备：课件、两种颜色的圆片。
教学过程：一、情景导入感知规律1.有星期和电话号码让学生感知规律重要板书：重复出现什么在重复出现？我们把这几个数，叫一组，也就是一组一组地。
板书：一组一组地2．教学生读，让人感应什么在重复的方法。
3.板书：找规律小结：你们为什么不能记住我的手机号，是因为我的手机号没有规律，看来规律是非常重要的，今天我们就来发现规律、研究规律、运用规律、并去找生活中的规律。
二、引导探究，寻找规律出示熊大熊二为了阻止光头强破坏森林而建造的围墙图。
(一)寻找围墙的排列规律1．找一找：让学生自己观察，去找一找围墙的排列规律。
2．说一说：（1）让学生说出围墙的排列规律，教师注意引导学生用完整的语言来表述：围墙的颜色是有规律的。
（2）教师提问：什么在重复？红黄一组在不断的重复。
3．圈一圈：让学生圈出围墙重复的部分。
4．修一修：你能按照围墙的排列规律再继续把围墙修好吧。
【设计意图：本环节的教学比较详细、具体，先让学生自己去找围墙的排列规律，学会用语言表述规律，同时利用教师的引导，让学生感受到“一组”的规律性排列中的重要性，并通过对圈出、画出重复部分的操作活动，突出规律的“核心”，加深学生对于规律的理解，也为学生下一环节的学习做了充分的铺垫。
】(二)感知方向的排列规律从游戏中感知左右的重复排列，从而引出方向也有规律。
（三）过桥问题1、生找规律。
2、读规律。
数形结合的规律 (2)
数学思考
例1以6个点或8个点为例，让学生在尝试时感受到混乱，从而产生“从简单入手”的自主需要。在增加点的同时，有顺序的连线，并记录线段增加的条数，有利于学生理解其中的原理，逐步提炼出规律。而将不同的点数连成的线段数用算式表示出来，可使得规律进一步显现并清晰，为学生表述规律提供支持。
练习二十二：1-4都是先找规律，然后应用规律进行计算或符号化表达，这些题目，帮助学生进一步发展观察、枚举、归纳能力，提升推理能力。
第4题借助数形结合，启发学生探索规律，并学会用字母表达式表示出正方形个数与小棒根数之间的关系，即n个正方形，小棒根数有1+3n。
例1：找规律，合情推理
例1，要求平面上几个点可以连多少条线段，让学生通过寻找增加的点数和增加的线段数之间的关系，逐步发现规律，推理出两者之间的的关系，这种归纳推理的方法，是一种合情推理。
可从不同的角度让学生寻找规律
教学例1时，可从形引入，先让学生说一说三幅图中分别有多少个正方形，学生很容易得出小正方形个数为1²，2²，3²...的结论，再让学生观察从第一个图到第二个图再到第三个图，每次增加了多少个小正方形，使学生看到三个图中的小正方形数还可以分别表示成1,1+3,1+3+5...也可以从数引入，让学生通过计算，发现1+3=4,1+3+5=9...有的学生可能很快就发现4=2²，9=3²...此时，教师可以引导学生用正方形来表示这些算式，使学生通过数与形的对照，看到这些连续的奇数在图中的什么地方，平方数代表的又是图中的什么，从而对规律形成更直观的认识。教师也可以借机介绍“正方形数”使学生理解这一名字的由来。
模型推理
模型
（2）“做一做”让学生通过操作发现几何图形和数字表示的共同规律，再利用规律确定有规律的数字排列中的下一项。既深化了对规律的认识，又培养了学生的推理能力。
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5.1111 248256 ++++
L
6.
1111111111 1
2481632641282565121024 ----------
1.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个
小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈……按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为______。
……
①②③
2.根据图中的规律，照这样画下去，第10个图形有______个圆圈。
……
3.下列图中有大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅
图中有5个，则第5幅图中有______个，第n幅图中有______个。
……
123n
4.小明按照如图的方式用黑色和白色正方形摆图形。
……（1）当中间摆20个黑色正方形时，四周共需要摆______个白色正方形。
（2）如果中间摆n个黑色正方形，四周共需要摆______个白色正方形。
5.下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第5个图
中所贴剪纸“〇”的个数为______，第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为______。
……
第1个图第2个图第3个图
6.用黑白两色的正六边形按如图所示的规律拼成若干个图案。
……
第1个第2个第3个
（1）拼第4个图案需要______个白色的正六边形。
（2）拼第n个图案需要______个白色的正六边形。