第2章 2.1 第2课时 有理数
2024年人教版七年级上册教学设计第二章 有理数的运算第二章 有理数的运算
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“有理数的运算”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题.“数与代数”是数学知识体系的基础之一,是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石,可以帮助学生从数量的角度清晰准确地认识、理解和表达现实世界.在小学阶段,学生认识了正有理数,掌握了正有理数的四则运算,在初中阶段,学生将认识负数,进一步学习有理数的四则运算.在“数与代数”中,运算是核心内容.“引进一种新的数,就要研究相应的运算;定义一种运算,就要研究相应的运算律”,这是代数的核心思想.在数系、运算法则和运算律(即对任何数都成立的通性)中获得的知识,可以方便地迁移到“以字母表示数”后的学习内容中去.在教学过程中,要关注数学知识与实际的结合,让学生在实际背景中理解数量关系和变化规律,经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程,形成模型观念;要关注基于代数的逻辑推理,能在比较复杂的情境中,提升学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力,以及有逻辑地表达与交流的能力.通过基于符号的运算和推理,建立符号意识,感悟数学结论的一般性,理解运算方法与运算律的关系,提升运算能力.2.本单元教学内容分析人教版教材七年级上册第二章“有理数的运算”,本章包括三个小节:2.1有理数的加法与减法;2.2有理数的乘法与除法;2.3有理数的乘方.本单元主要从加、减、乘、除的运算顺序去研究有理数的相关运算及运算律,主要的探究方法是举例验证、归纳总结.在有理数的运算中,加法与乘法着重在探究符号法则的基础上,进行基本运算,然后结合具体例子引入运算律,并运用运算律简化运算.减法与除法,则是着重介绍如何向加法与乘法转化,从而利用加法与乘法的运算法则、运算律进行运算.乘方是几个相同因数的乘积,因此可以利用乘法运算.这些运算之间相互联系,最后总结如何利用法则及运算律简化有理数的混合运算并解决实际问题.科学记数法与乘方有关,因而可进一步加以介绍.近似数在实际问题中有广泛的应用,在本单元作进一步的认识.利用计算器计算分两次安排,一次在加减乘除运算之后,一次在乘方运算之后.学会了使用计算器进行有理数的运算,较复杂的计算就可以用计算器完成.本单元重点是有理数的运算和运算法则;难点是在理解运算法则的基础上,养成良好的运算习惯.实际上,运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关,这也是在整个“数与代数”领域中需要注意的问题.本单元教学主要是围绕有理数运算这个核心展开的,教学中一定要重视运算技能的训练,包括养成良好的运算习惯等.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学七年级上册第二章有理数的运算.在“数与代数”中,有理数的运算是重要内容之一.学生之前已经学习了加数的运算和有理数的概念(数轴、相反数、绝对值),所以要有意识地把非负有理数的运算与有理数的运算结合起来.在本单元的学习过程中,有理数的运算的关键是符号法则和绝对值运算.通过新旧知识结合,再利用日常生活经验、数轴的几何直观等,将正数与负数的运算归结到非负数之间的运算,进而定义有理数的运算,得出运算法则,并运用有理数的运算法则解决简单的问题.本单元的知识及其思想方法也是后续学习的基础.四、单元学习目标1.经历有理数加、减、乘、除、乘方运算法则的获得过程,理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方以及简单的混合运算,让学生体会转化与分类讨论的数学思想方法,培养学生的运算能力与抽象概括能力.2.理解有理数的运算律,并能用运算律进行简便运算,培养学生的运算能力和推理能力.3.能够运用有理数的运算解决简单的实际问题,培养学生的数学建模能力与应用意识.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难、由浅入深、循序渐进,突出基础知识、基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.生活性原则:本单元的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
第2课时 有理数的加减混合运算
5.计算：
（1） − − + − − .
解：原式= + − −
= −
= −.
（2）
−
解：原式=
=
=
− −
− .
+ −
− −来自− −
+ −
−
+
.
6.用适当的方法计算：
（1）− + − + .
A. − + − −
B. + − −
C. − − − +
D. − − +
3.下列式子与“负1、负3、正6、负8的和”不相等的是( B
)
A. − − + −
B. − + − + − − −
C. − − + + + + −
（1）若每箱马铃薯以 为标准质量，超过 的千克数记为正
数，不足 的千克数记为负数，则这10箱马铃薯的质量
. ，−. ，−. ，−. ，0，
（单位：）用正、负数表示依次为____________________________
.
，. ，0，. ，−.
=______.
（2）计算：| −
+
− −
解：原式=
− + −
−
七年级数学上册第2章有理数的运算2.1有理数的加法第2课时有理数加法运算律说课稿(新版浙教版)
七年级数学上册第2章有理数的运算2.1有理数的加法第2课时有理数加法运算律说课稿（新版浙教版）一. 教材分析《七年级数学上册》第2章主要介绍有理数的运算，其中2.1节讲述了有理数的加法。
本节内容是学生学习有理数运算的基础，对于学生掌握有理数的基本运算规则具有重要意义。
通过本节的学习，学生能够理解有理数加法的运算律，并能够运用这些运算律进行有理数的加法运算。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整数的加减法运算，对于负数的加减法也有一定的了解。
但是，对于有理数的加法运算律，学生可能还没有完全理解和掌握。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际例子出发，通过观察和分析，总结出有理数加法运算律。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解有理数加法的运算律，并能够运用这些运算律进行有理数的加法运算。
2.过程与方法目标：学生通过观察和分析实际例子，总结出有理数加法运算律，培养学生的观察能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：学生通过对有理数加法运算律的学习，培养对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解有理数加法的运算律，并能够运用这些运算律进行有理数的加法运算。
2.教学难点：学生对于有理数加法运算律的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际例子出发，通过观察和分析，总结出有理数加法运算律。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示实际例子，引导学生进行观察和分析。
同时，利用黑板和粉笔，进行板书设计，帮助学生理解和记忆。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际例子，引导学生思考有理数加法的运算规则。
例如，展示一幅图，图中有两个数轴，一个正数轴和一个负数轴，让学生观察和分析，两个有理数相加的结果应该如何表示。
2.探究：引导学生从实际例子出发，观察和分析有理数加法的运算规律。
可以让学生分组讨论，每组找出几个例子，总结出有理数加法的运算律。
3.总结：根据学生的探究结果，引导学生总结出有理数加法的运算律。
2.1.1 有理数的加法 第2课时课件 (共16张PPT) 数学人教版七年级上册
使用运算律通常有下列情形：(1)互为相反数的两个数可先相加；(2)几个数相加得整数时,可先相加；(3)同分母的分数可以先相加；(4)符号相同的数可以先相加。
归纳总结
例2 小明遥控一辆玩具赛车，让它从A地出发，先向东行驶15m，再向西行驶25m，然后又向东行驶20m，再向西行驶35m，问玩具赛车最后停在何处？一共行驶了多少米？
﹥
﹤
﹥
﹤
拓展探究
一、加法的运算律1、加法交换律：a+b=b+a两个数相加，交换加数的位置，和不变.2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.(a+b)+c=a+(b+c)二、使用运算律通常有下列情形：(1)互为相反数的两个数可先相加；(2)几个数相加得整数时,可先相加；(3)同分母的分数可以先相加；(4)符号相同的数可以先相加。
（1）[8+(－5)]+(－4)（2）8+[(－5)+(－4)]（3）[(－7)+(－10)]+(－11)（4）(－7)+[(－10)+(－11)]（5）[(－22)+(－27)]+(+27)（6）(－22)+[(－27)+(+27)]
= -1
= -1
= -28
= -28
= -22
= -22
计算并观察下列各式
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
(a+b)+c=a+(b+c)
一般地，任意若干个数相加，无论各数相加的先后次序如何，其和都不变。
例1 计算（1）15+（-13）+18（2）(-2.48)+4.33+(-7.52)+(－4.33)
人教七年级数学上册第二章 大单元整体设计
课题
课时目标
达成目标
2.2.2第1 理解有理数的除法法则，
课时有理 体会除法与乘法的转化
数的除法 关系，能利用有理数的
法则
除法解决实际问题
能利用有理数的除 法法则完成除法计
算，化简分数
评价任务
1.引入有理数的除 法.2.引导学生列 出算式，观察得 出法则.3.应用法
则解决问题
2.2.2第2 课时有理 数的加减 乘除混合
2.3.3近似 的意义，能按照精确度 表示的数还原，能
数 的要求，用四舍五入法 根据题目要求写出
求出近似数
近似数
1.学生自学概念.2. 教师引导学生完 成练习.3.总结经 验
实际问题
1.引入有理数的加 法.2.借助数轴探 究加法法则.3.运 用法则完成简单 的有理数加法运
算
2.1.1第2课时 有理数加法 的运算律
理解有理数加法 的运算律，并能 熟练运用运算律
简化运算
理数能解范运加围用法内加运推 法 运算广运算律的算在合律有理简理性化，1观算总.通算察律结过.3、.如2.特完.总通何殊成结过简的练出练化计习运习运算
乘方的概 理数的乘方运算，能利
念和计算 用有理数的乘方运算解
决实际问题
2.3.1第2课 时有理数 的混合运பைடு நூலகம்
算
掌握有理数的混合运算 顺序，并能熟练、正确 地进行计算，在有理数 混合运算中合理使用运
算律
达成目标
能识别出底数、指 数，理解乘方的意 义，能进行有关乘
方的运算
理解有理数的混合 运算顺序，正确、 熟练进行有理数的 混合运算，养成检
用法则完成相应的计算，解决简单的实际问题． 2．理解加法和乘法的运算律，针对式子的特点选择合适的运
高中数学必修1_ 第二章 2.1 第2课时 指数幂及其运算
＝[(0.4)3]
－
1 3
－
1
＋
(－
2)－4
＋
2－
3＋[(0.1)2]12
＝
0.4－1
－1＋
1 16
＋18＋
0.1＝18403.
(2)原式＝a13×92·a13×－32÷a12×－73·a12
×133＝a96－36＋76－163＝a0＝1.
指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做 指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒 数．底数是负数，先确定符号，底数是 小数，先要化成分数，底数是带分数， 先要化成假分数，然后要尽可能用幂的 形式表示，便于用指数幂的运算性质．
[课前反思] (1)分数指数幂的意义是什么？
； (2)有理指数幂的运算性质有哪些？
.
观察下式，完成下列思考．
amn ＝n
am，a－mn ＝a1mn ＝n
1 (a>0，n，m∈N*，n>1)． am
[思考 1] 怎样理解分数指数幂？
名师指津：“三角度”理解分指数幂 (1)角度一：与根式的关系． 分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分 数指数幂可以相互转化． (2)角度二：底数的取值范围． 由分数指数幂的定义知 a≤0，amn 可能会有意 义．当 amn 有意义时可借助定义将底数化为正数， 再进行运算．
③0 的分数指数幂的意义：
0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无
意义．
(2)有理指数幂的运算性质： ①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(a·b)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． (3)无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a＞0，α 是无理数)是一个 确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理 数指数幂同样适用．
北师版七年级数学上册 2.1 认识有理数(第二章 有理数及其运算 学习、上课课件)
0m
准水位应记作 __________.
解：比标准水位高的水位用正数表示，那么比标准
水位低就用负数表示，恰好在标准水位就用 0 m表
示，故填－0.5 m； 0 m.
感悟新知
知1－练
特别提醒
用正、负数表示具有相反意义的量的“三步法”：
题考查有理数的识别，整数和分数统称 知2－练
有理数，熟练掌握其定义是解题的关键 .
22
解： 因为 － 2，0 是整数，所以是有理数；因为 0.4，
，
7
1.3是分数，所以是有理数；因为 π ，3.212 112 111 2…(相
止一个 .
感悟新知
知1－讲
具有相反意义
示
例
具有相
反意义
的量
增加10千克与减少2千克是具有相反意义的量
具有数量
具有相反意义
上升与下降不是具有相反意义的量
缺少数量
感悟新知
特别解读
知1－讲
1. 符号“+”“-”的含义:①加减号，表示运算符号；
②正负号，是数的性质符号,如+8 读作“正 8”，
－27读作“负 27” .
分数 ൞
1
5
负分数：如：－ ，－3.5，－ ， …
5
6
感悟新知
特别解读
知2－讲
1. 有限小数和无限循环小数也是分数 .
2. 整数还可以分为奇数和偶数，如 －4，0，6是 偶
数， －1,7 为 奇数 . 符号不改变数的奇偶性 .
3. 有理数分类中的两点注意：
(1) 特殊值 0： 0 既不是正数，也不是负数，0 是自
2.判断一个数是正数还是负数，不能简单理解为带
新人教版七年级上册数学第二章有理数的运算 2.1有理数的加法与减法 2.1.2有理数的减法 第2课时
1.下列各式可以写成a－b＋c的是( B )
A．a－(＋b)－(＋c) B．a－(＋b)－(－c) C．a＋(－b)＋(－c) D．a＋(－b)－(＋c)
= (-27)+(+8)
有理数加法的交换律和结合律
= -19.
引入相反数后，加减混合运算可以统一 为加法运算：a+b-c=a+b+(-c).
进行有理数的加减混合运算时，可以利用有理数减法法 则将减法转化为加法，将有理数的加减混合运算统一成 加法运算.为简化书写形式，在算式里可以把加号及加数 的括号省略不写.
_负__2_0_加__3__加__5__减__7__.
(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
运算过程也可简单写为：
解： (-20)+(+3)-(-5)-(+7)
= (-20)+(+3)+(+5)+(-7) 减法转化为加法（可省略）
= [(-20)+(-7)]+[(+5)+(+3)] 写成省略加号的和的形式
3.若a= -2，b=3，c= -4 ，则a-(b-c)的值为 －9 . 4.计算：（1）－11－9－7＋6－8＋10； （2）－5.75－（－3） ＋（－5）－3.125；ຫໍສະໝຸດ 11 ( 3) 1 1 1
（3） 4 4
2.
答案：（1）-19； （2）-10.875； （3）2 1 .
2
5.某公路养护小组乘车沿南北方向公路巡视维护，某天从A地出发， 约定向南行驶为正，到收工时的行驶记录如下：（单位：千米）8， －5，7，－4，－6，13，4，12，－11 （1）问收工时，养护小组在A地的哪一边？距离A地多远？ （2）若汽车行驶毎千米耗油0.5升，求从出发到收工共耗油多少升？
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8. 下列选项中，所填的数正确的是( A )
1 A．正数集合： 2 ， 1 ， 5 ， ，… 2
B．非负数集合：{0，－1，－2.5，…}
1 C．分数集合： － 2 . 5 ， 5 ， ，… 3 1 D．整数集合：3 ，－5，… 2
7 5. 在数 2，0，π，－1.5，－ ，－1 中，负分数 2 7 －1.5，－ 2，0，π ；整数 有_________________ ；非负数有____________ 2
2，0，－1 ． 有______________
6. 观察下列依次排列的一列有理数，你能发现有 什么规律吗？请直接写出后面的三个数． 1 1 16 ，______ 32 ， (1) ， ，－ 1 ， 2 ， 4 ，－ 8 ， ______ 4 2
【解析】由图示可知甲部分为负整数集，乙部分 为 0，丙部分为正整数集，故只有 A 选项说法正确．
1 1 2. a 为不超过 1 的正整数，b 为不超过 2 的非负 2 2 a a 整数，而 为最简分数，求 的值． b b
a 解：由题意知，a＝1，b＝0，1，2，又 为最简分 b
数， a 1 所以 b＝2，所以 ＝ . b 2
(4)非负数集合：
1 1. (2017·河南)给出下列各数：4.443，π，－4 ， 8 22 3.1159，－1000 ， ，其中属于非负有理数集合的个 7 数是( B ) A．2 个 C．4 个 B．3 个 D．5 个
2. 最大的负整数是( A ) A．－1 C．1 B．0 D．不存在
3. 下列分类中，错误的是( C )
负有理数 A．有理数 非负有理数 奇数 C．正整数 偶数 正整数 B．整数 非正整数 0 D．自然数 正整数
4. 下列说法正确的是( A ) A．不存在既是正数又是负数的数 B．最小的整数是零 C．一个有理数不是正数就是负数 D．有理数可分为整数、分数和零三类
2. 下列说法中，正确的个数是( B ) ①一个有理数不是正数就是负数； ②一个有理数不是整数就是分数； ③一个整数不是正的，就是负的； ④一个分数不是正的，就是负的． A．1 C．3 B．2 D．4
·· 1 3. 在数：6 ， 2.5 ，－ 3 ，－ ，－ 2. 4 1 ， π ，－ 4
2.41325… ， 0. 1 0 5 中 ， 不 是 有 理 数 的 是
A 3 2 B 5 6 0 -5 4 -2 C
1. 如图所示，三个圆圈分别表示负数集、整数集 和正数集， 其中有甲、 乙、 丙三部分， 这三部分为( A )
A．甲、丙两部分有无数个，乙部分只有一个 0 B．甲、乙、丙三部分都有无数个 C．甲、乙、丙三部分都只有一个 D．甲部分只有一个，乙、丙两部分有无数个
(1)正整数集合：
1，＋729， … ；
(2)负分数集合： 5 3 － ，－12% ，－3 ，－1000.01， … ； 3 8 (3)整数集合：
1，＋729，－126，－628，0， … ；
·· 5 0.05，1，72.1，0， ，＋729，3.14， … . 324
第 2章
第2课时
有理数
2．1 有理数
有理数
0 统称整数． 正整数 、________ 负整数 和___ 1. ________
正分数 和________ 负分数 统称分数． 2. ________ 整数 和______ 分数 统称有理数． 3. _____正确的是( A ) A．－0.5 不是分数 B．0 是整数 1 C． 不是整数 2 D．－2 既是负数又是整数
√ √ √ √
整数
√
分数
正数
√
负数
有理数
√ √
√ √
√ √
√ √ √
6. 观察下列几个重叠的圆圈，在对应横线上写出 重叠部分所表示的数．
正整数
负整数
负分数
7. 下列判断中：①零是正数；②零是整数；③零
②④ (填 是最小的有理数；④零是非负数．正确的有______
正确答案的序号)．
知识点
数的集合
π，－2.41325… ． _________________
·
·
知识点
有理数的分类
4. 下列说法错误的是( C ) A．负整数和负分数统称为负有理数 B．正整数、负整数和 0 统称为整数 C．正有理数和负有理数统称为有理数 D．0 是整数，但不是分数
5. 判断表中各数分别是什么数，在相应的空格内 打“√”． 正整数 2013 4 3 －4.9 0 －12
9. 所有的正整数和负整数合在一起构成( D ) A．整数集合 C．自然数集合 B．有理数集合 D．以上说法都不对
10. 把下列各数按要求分别填入相应的集合中． 5 5 0.05，1，－3，－126，72.1，0，－12%，324，
·· 3 ＋729，－628，－3 ，3.14，－1000.01. 8
－64 ________ ，… －9 ， (2)1，－2，－3，4，－5，－6，7，－8，______ －11 ，… 10 ，________ ______
7. 如 果 按 “ 被 3 除 ” 来 分 ， 正 整 数 可 分 为
被 3 整除，被 3 除余 1，被 3 除余 2 ． ____________________________________
解：(1)整数：2，－7，0，5； 1 3 分数：4 ，1.5，－5.3，－ ，－10%. 3 2 1 (2)正有理数：2，4 ，1.5，5； 3 零：0； 3 负有理数：－7，－5.3，－ ，－10%. 2
10. 如图，有 A，B，C 三个数集，每个数集中所 包含的数都写在下面的大括号内，请把这些数填入对 应的三个圈内． A＝ 3，2，0，4 ，B＝ 5，6，－5，0，2 ， C＝ －5，0，4，－2 .
8. 如图，两个椭圆分别表示正数集合和整数集 合． 请在每个椭圆内填入 6 个数，其中有 3 个数既是
A 处 ( 填“A”“B” 或 正数又是整数，这 3 个数应填在 ___
“C”) ，你能说出两个椭圆重叠部分表示什么数的集合 吗？
解：填入的 6 个数略，两个椭圆重叠部分表示正 整数集合．
9. 将下列各有理数按不同的标准分类． 1 3 2，4 ，－7，1.5，0，－5.3，－ ，5，－10%. 3 2 (1)按有理数的定义分； (2)按有理数的性质分．