2018-2019学年浙江省金华市十校高二(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在空间直角坐标系中，点（1，2，3）与点（﹣1，2，3）（）A．关于xOy平面对称B．关于xOz平面对称C．关于yOz平面对称D．关于x轴对称2．（5分）圆x2+y2＝2与圆x2+y2+2x﹣2y＝0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．相离3．（5分）“x＞a“是“x＞|a|“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）给定①②两个命题：①为“若a＝b，则a2＝b2”的逆否命题；②为“若x＝﹣3，则x2+x﹣6＝0”的否命题．则以下判断正确的是（）A．①为真命题，②为真命题B．①为假命题，②为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题5．（5分）设l，m是两条异面直线，下列命题中正确的是（）A．存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面B．存在与l，m都垂直的直线，不存在与l，m都平行的平面C．不存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面D．不存在与l，m都垂直的直线，不存在与l，m都平行的平面6．（5分）已知f（x）＝，则f′（）＝（）A．﹣2﹣ln2B．﹣2+ln2C．2﹣ln2D．2+ln27．（5分）如图，在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝90°，∠ABC＝45°，BC＝BD＝1，AB＝，则异面直线AB与CD所成角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．（5分）经过坐标原点O的直线l与曲线y＝|sin x|相切于点P（x0，y0）．若x0∈（π，2π），则（）A．x0+cos x0＝0B．x0﹣cos x0＝0C．x0+tan x0＝0D．x0﹣tan x0＝0 9．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点是F，O为坐标原点若椭圆上存在一点P，使△POF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能是（）A．B．C．D．10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为线段A1D1、BC上的动点，设直线EF与平面AC、平面BC1所成角分别是θ、φ，则（）A．θ＞φ，（tanθ）min＝B．θ＝φ，θmax＝45°C．θ＜φ，θmax＝45°D．θ＝φ，θmin＝45°二、填空题（每题4分，满分40分，将答案填在答题纸上）11．（6分）已知直线l：m2x+my﹣5＝0，若l的倾斜角为45°，则实数m＝；若直线l与直线x﹣2y﹣1＝0垂直，则实数m＝．12．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣3x，则f（x）在x＝0处的切线方程为；单调递减区间是．13．（6分）某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为2的正方形，侧视图是等腰直角三角形．则该几何体的最长的棱的长度为；该几何体的体积为．14．（6分）如图，已知抛物线C：y2＝8x，则其准线方程为；过抛物线C焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝．15．（6分）若函数f（x）＝e﹣x（x2+ax﹣a）在R上单调递减，则实数a的值为．16．（6分）过曲线C1：的左焦点F1作曲线C2：x2+y2＝a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2＝2px（p＞0）于点N，其中C1、C3有一个共同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线C1的离心率为．17．（4分）已知矩形ABCD，AB＝，AD＝1，现将△ACD沿对角线AC向上翻折，若翻折过程中BD的长度在|，|范围内变化，则点D的运动轨迹的长度是．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．（12分）已知平面上有两点A（﹣1，0），B（1，0）．（Ⅰ）求过点B（1，0）的圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的切线方程；（Ⅱ）若P在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上，求AP2+BP2的最小值，及此时点P的坐标．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．20．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB垂直于平面BCD，BC⊥CD，BC＝CD，AB ＝BD，点E，G分别为AD，BD的中点，点F为AC上一点，AF＝λAC，直线CG∥平面BEF．（Ⅰ）求λ的值；（Ⅱ）求直线FG和平面BEF所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），右焦点F2（2，0），点（，1）在椭图上（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0＞0）为椭圆C上一点，过焦点F1，F2的弦分别为P A，PB，设＝λ1，＝λ2，若λ1＝2，求λ2的值22．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣2x|x﹣a|，其中x∈[﹣2，2]．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）当＜a＜2时，证明：f（x）在[﹣2，2]上有且仅有一个极大值点和一个极小值点（分别记为x1，x2），且为定值．2018-2019学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：在空间直角坐标系中，点（1，2，3）与点（﹣1，2，3）关于yOz平面对称．故选：C．2．【解答】解：圆心分别为（0，0），（﹣1，1），半径分别为，，圆心距为：，两圆半径之和为2所以两圆相交．故选：A．3．【解答】解：若a≥0，由x＞|a|得x＞a，若a＜0，则由x＞|a|得x＞﹣a，此时x＞﹣a＞a成立，即必要性成立，当a＜0时，不妨设a＝﹣1，则由x＞﹣1，不一定推出x＞|﹣1|，即充分性不成立，则“x＞a“是“x＞|a|“的必要不充分条件，故选：B．4．【解答】解：若a＝b，则a2＝b2为真命题，可得其逆否命题也为真命题，故①为真命题；“若x＝﹣3，则x2+x﹣6＝0”的否命题为“若x≠﹣3，则x2+x﹣6≠0”，取x＝2，可得x2+x﹣6＝0，故②为假命题．故选：C．5．【解答】解：在正方体ABCD﹣中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，AB和CC1是异面直线，BC⊥AB且BC⊥CC1；AB∥平面MNPQ，CC1∥平面MNPQ．∴由l，m是两条异面直线，知：存在与l，m都垂直的直线，存在与l，m都平行的平面．故选：A．6．【解答】解：f（x）＝（），则函数的导数为f′（x）＝•＝（﹣），则f′（）＝•（﹣）＝（2+ln2）＝2+ln2，故选：D．7．【解答】解：如图，在平面BCD内过B作BG∥CD，且BG＝CD，则∠ABG为异面直线AB与CD所成角，连接AC，AG，CG，在△BCD中，由∠CBD＝90°，BC＝BD＝1，可得CD＝，∴BG＝．在△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝1，AB＝，由余弦定理可得．由∠ABD＝∠CBD＝90°，可得BD⊥平面ABC，则CG⊥平面ABC，可得∠ACG＝90°．在Rt△ACG中，可得AG＝，又AB＝，∴△ABG为等边三角形，即∠ABG＝60°．∴异面直线AB与CD所成角的大小是60°．故选：B．8．【解答】解：经过坐标原点O的直线l与曲线y＝|sin x|相切于点P（x0，y0），若x0∈（π，2π），可得直线与y＝﹣sin x相切于P，由y＝﹣sin x的导数y′＝﹣cos x，可得﹣cos x0＝，即有x0＝＝tan x0，即为x0﹣tan x0＝0，故选：D．9．【解答】解：如图，当∠OFB＝90°时，则，即b2＝a2﹣c2＝ac，∴e2+e﹣1＝0，解得e＝（舍），或e＝；当∠POF＝90°时，b＝c，则b2＝a2﹣c2＝c2，得e＝；当∠OPF＝90°时，以OF为直径的圆的方程为，联立，得c2x2﹣a2cx+a2b2＝0．由△＝a4c2﹣4a2b2c2≥0，得a2﹣4b2＝a2﹣4（a2﹣c2）≥0，即，可得，∵∉[，1），∈[，1）．∴椭圆的离心率不可能是．故选：C．10．【解答】解：过E作EM⊥平面AC，交AD于M，过E作EN⊥平面BC1，交B1C1于N，连结MF，NF，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为a，则EM＝EN＝a，MF≥a，NF≥a，∠EFM＝θ，∠EFN＝φ，∴tanθ＝≤1，∴θmax＝45°，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EM⊥平面AC，EN⊥平面BC1，∴四边形EMFN的四个内角都是90°，∴θ＜φ，θmax＝45°，故选：C．二、填空题（每题4分，满分40分，将答案填在答题纸上）11．【解答】解：直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率k＝tan45°＝1，即直线斜率存在，则m≠0，则直线的斜截式方程为y＝﹣mx+，即﹣m＝1，得m＝﹣1，直线x﹣2y﹣1＝0的斜截式方程为y＝x﹣，直线斜率为，直线l的斜截式方程为y＝﹣mx+，直线斜率k＝﹣m，若直线l与直线x﹣2x﹣1＝0垂直，则﹣m＝﹣1，即m＝2，故答案为：﹣1，2．12．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣3x的导数为f′（x）＝3x2﹣3，可得f（x）在x＝0处的切线斜率为﹣3，切点为（0，0），则切线的方程为y＝﹣3x；由3x2﹣3＜0，可得﹣1＜x＜1，可得减区间为（﹣1，1）．故答案为：y＝﹣3x，（﹣1，1）．13．【解答】解：根据几何体的三视图，复原为几何体是：下底为边长为2的长方形，高为的四棱锥体，所以：最长的棱长为l＝＝几何体的体积为：V＝，故答案为：．14．【解答】解：由抛物线C：y2＝8x，得p＝4，．∴抛物线的准线方程为x＝﹣2；设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义知：|AF|＝，|BF|＝，且|AF|+|BF|＝|AB|，∴x1+x2＝|AB|﹣p，又，∴＝＝＝＝．由抛物线的性质可得：＝，又|AF|＝3，∴|BF|＝6．故答案为：x＝﹣2；6．15．【解答】解：f′（x）＝，若f（x）在R递减，则﹣x2+（2﹣a）x+2a≤0在R恒成立，即x2+（a﹣2）x﹣2a≥0在R恒成立，故△＝（a﹣2）2+8a≤0恒成立，故（a+2）2≤0恒成立，故a＝﹣2，故答案为：﹣2．16．【解答】解：设双曲线C1的右焦点F2，作NA⊥抛物线C2的准线于点A，则易得：丨NF1丨＝2丨MF1丨＝2b，丨NF2丨＝2丨MO丨＝2a＝丨AN丨，由Rt△F1MO～Rt△NAF1，则＝，∴，∴b2＝ac，则c2﹣a2﹣ac＝0，由e＝，则e2﹣e﹣1＝0，e＞1∴．曲线C1的离心率．故答案为：．17．【解答】解：过D作DE⊥AC，垂足为E，连接BE，D′E．∵矩形ABCD中，AB＝，AD＝1，∴DE＝，BE2＝AB2+AE2﹣2AB•AE cos30°＝3+﹣2×××＝，则BE＝．∴D点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧．∠D′ED为二面角D﹣AC﹣D′的平面角．以E为原点，以EA，ED，ED′为坐标轴建立空间直角坐标系E﹣xyz，设∠D′ED＝θ，则D（0，cosθ，sinθ），B（﹣1，﹣，0）∴BD＝＝，∴≤≤解得﹣≤cosθ≤，∴≤θ≤，∴D点轨迹的圆心角为，∴D点轨迹的长度为×＝π．故答案为：π．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的圆心为（3，4），半径r＝2，分2种情况讨论：①，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，与圆相切，符合题意，②，当直线的斜率存在时，设切线的方程为y＝k（x﹣1），则有＝2，解可得k＝，此时切线的方程为y＝（x﹣1），即3x﹣4y﹣3＝0，综合可得：切线的方程为x＝1或3x﹣4y﹣3＝0；（Ⅱ）根据题意，设P（m，n），则AP2+BP2＝（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2＝2（m2+n2）+2，又由OP＝，则当OP最小时，AP2+BP2取得最小值，又由P在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4上，则OP min＝5﹣2＝3，即（m2+n2）的最小值为9，此时AP2+BP2取得最小值，且其最小值为2×9+2＝20；此时m＝3×＝，n＝3×＝，即P的坐标为（，）．19．【解答】解：（1）因三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，故B1C⊥BC1．…2分又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，故B1C⊥平面ABC1．…5分因B1C⊂平面BCC1B1，故平面ABC1⊥平面BCC1B1．…7分（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．因DF⊄平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，故DF∥面ABC1．…10分同理，EF∥面ABC1．因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF∥面ABC1．…12分因DE⊂平面DEF，故DE∥面ABC1．…14分．20．【解答】解：（Ⅰ）连结AG，交BE于P，连结PF，∵CG∥平面BEF，CG⊂平面ACG，平面ACG∩平面BEF＝PF，∴CG∥PF，在△ACG中，＝，在△ACG中，点E，G分别为AD，BD的中点，∴＝＝，∴＝．（Ⅱ）如图，以B为原点，BD，BA所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则B（0，0，0），E（0，1，1），F（，），G（0，1，0），＝（0，1，1），＝（，），G（0，1，0），设平面BEF的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，﹣1），设直线FG和平面BEF所成角为θ，∵＝（﹣），∴sinθ＝＝＝．∴直线FG和平面BEF所成角的正弦值为．21．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c＝2，即a2﹣b2＝4，又+＝1，解得a＝，b＝，则椭圆方程为+＝1；（Ⅱ）设直线AP：x＝my﹣2，BP：x＝ny+2，A（x1，y1），B（x2，y2），＝2，可得y0＝﹣2y1，＝λ2，可得y0＝﹣λ2y2，（λ2＞1），联立x＝my﹣2和x2+3y2＝6，可得（3+m2）y2﹣4my﹣2＝0，y0+y1＝，y0y1＝﹣，同理可得y0+y2＝﹣，y0y2＝﹣，①由y0＝﹣2y1，可得﹣y1＝，﹣2y12＝﹣，消去y1，可得m2＝，由y0＞0，可得m＝，可得P（﹣，），由y0＝﹣λ2y2，代入①可得（1﹣λ2）y2＝﹣，﹣λ2y22＝﹣，可得＝，又n＝＝＝﹣，即有8λ22﹣65λ2+8＝0，解得λ2＝8或（舍去），所以λ2＝8．22．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x3﹣2x|x|，考虑x＞0时，f（x）＝x3﹣2x2，f′（x）＝3x（x﹣），当x＞时，f′（x）＞0，当0＜x＜时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）递减，在（，2）递增，又根据奇函数的对称性知：f（x）在（﹣，）递减，在（﹣2，﹣），（，2）递增，而f（﹣2）＝f（2）＝0，f（﹣）＝，f（）＝﹣，故f（x）的最大值是f（﹣）＝，最小值是f（）＝﹣；（Ⅱ）①当＜a＜2时，f（x）＝，当a＜x≤2时，f′（x）＝3x2﹣4x+2a＝3+2a﹣＞0，故f（x）在（a，2）递增，没有极值点，当﹣2≤x≤a时，f′（x）＝3x2+4x﹣2a，f′（﹣2）＝4﹣2a＞0，f′（0）＝﹣2a＜0，f′（a）＝3a2+2a＞0，故f′（x）在（﹣2，a）有2个根x1，x2，其中x1∈（﹣2，0），x2∈（0，a），则f（x）在（﹣2，x1）和（x2，a）递增，在（x1，x2）递减，又f（x）在（a，2）递增，故f（x）在（﹣2，x1）递增，在（x1，x2）递减，在（x2，2）递增，故f（x）在（﹣2，2）上有且只有一个极大值点x1和一个极小值点x2，②∵x1，x2是方程f′（x）＝3x2+4x﹣2a＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣，f（x1）﹣f（x2）＝（+2﹣2ax1）﹣（+2﹣2ax2）＝（x1﹣x2）[（+x1•x2+）+2（x1+x2）﹣2a]＝（x1﹣x2）（+﹣﹣2a）＝（x1﹣x2）（﹣﹣），又＝﹣4x1x2＝+，∴＝﹣为定值．。
2018-2019学年浙江省金华市十校高二上学期期末调研考试数学试卷及解析
2018-2019学年浙江省金华市十校高二上学期期末调研考试数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点与点（）A. 关于平面对称B. 关于平面对称C. 关于平面对称D. 关于轴对称【答案】C【解析】【分析】利用“关于哪个对称，哪个坐标就相同”，得出正确选项.【详解】两个点和，两个坐标相同，坐标相反，故关于平面对称，故选C.2.圆与圆的位置关系是（）A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【答案】A【解析】【分析】计算两个圆的圆心距以及，比较大小后得出正确选项.【详解】两个圆的圆心分别为，圆心距，两个圆半径均为，故，所以两个圆相交.故选A.3.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项.【详解】当“”时，如，，故不能推出“”.当“”时，必然有“”.故“”是“”的必要不充分条件.4.给定①②两个命题：①为“若，则”的逆否命题；②为“若，则”的否命题，则以下判断正确的是（）A. ①为真命题，②为真命题B. ①为假命题，②为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】C【解析】【分析】判断①原命题的真假性，得出其逆否命题的真假性.写出②的否命题，并判断真假性.由此得出正确选项.【详解】对于①原命题显然为真命题，故其逆否命题也为真命题.对②其否命题是“若，则”，由于时，，故否命题是假命题.所以①为真命题，②为假命题，故选C.5.设是两条异面直线，下列命题中正确的是（）A. 存在与都垂直的直线，存在与都平行的平面B. 存在与都垂直的直线，不存在与都平行的平面C. 不存在与都垂直的直线，存在与都平行的平面D. 不存在与都垂直的直线，不存在与都平行的平面【答案】A【解析】【分析】画出一个正方体，根据正方体的结构特征，结合线、面平行和垂直的定理，判断出正确选项.【详解】画出一个正方体如下图所示，分别是的中点.由图可知，，平面，平面.由此判断A选项正确，本题选A.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得函数的导数，然后令求出正确选项.【详解】依题意有，故，所以选D.7.如图，在空间四边形中，，，，，则异面直线与所成角的大小是（）A. B. C. D.【解析】【分析】通过计算出的数量积，然后利用夹角公式计算出与所成角的余弦值，进而得出所成角的大小.【详解】依题意可知,.设直线与所成角为，则，故.所以本小题选B.8.经过坐标原点的直线与曲线相切于点.若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得函数在上的表达式，利用导数求得切线的斜率，写出切线方程，利用切线方程过原点求出切点的坐标满足的等式，由此得出正确选项.【详解】当时，故，.所以切点为，切线的斜率为，由点斜式得，将原点坐标代入得，即，故选D.【点睛】本小题主要考查经过某点的曲线切线方程的求解方法，考查含有绝对值的函数的解析式，考查利用导数求曲线的切线方程，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.本题的关键点有两个：一个是函数在上的表达式，另一个是设出切点，求出切线方程后，将原点坐标代入化简.9.已知椭圆的右焦点是，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能．．．为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】分别根据为直角时，椭圆的离心率，由此得出正确的选项.【详解】当时，代入椭圆方程并化简得，解得.当时，，，故.当时，，即，，，解得.综上所述，C选项不可能，故选C.10.在正方体中，分别为线段、上的动点，设直线与平面、平面所成角分别是，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】在图中分别作出直线与平面、平面所成的角，根据边长判断出，求出的表达式，并根据表达式求得的最小值，也即是的最大值.【详解】设正方体边长为.过作，而，故平面，故.同理过作，得到.由于，故，所以，即.而，当取得最小值时，取得最小值为，即取得最大值为.故选B.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知直线：，若的倾斜角为，则实数_______；若直线与直线垂直，则实数_______．【答案】 (1). (2). 2【解析】【分析】根据倾斜角求得斜率，由此列方程求得的值.根据两直线垂直的条件列方程，由此解出的值.【详解】当倾斜角为时，斜率为，故.由于直线和直线垂直，所以，解得（时不是直线方程，舍去）.【点睛】本小题主要考查直线倾斜角与斜率的关系，考查两直线垂直的条件，属于基础题.12.已知函数，则在处的切线方程为_________；单调递减区间是_______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】先求得的导数，由此求得切线的斜率，并求得切线方程，根据导数求得函数的单调区间.【详解】依题意.，故切线方程为.由，解得，即函数的单调递减区间为.【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数求函数的单调区间，属于中档题.13.某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为2的正方形，侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的最长的棱的长度为_______；该几何体的体积为______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】画出三视图对应的原图的直观图，根据直观图判断出最长的棱，利用椎体体积公式求得几何体的体积.【详解】由三视图可知，原图为四棱锥，画出图像如下图所示.由图可知，为最长的棱长.由三视图可知，故，且四棱锥的体积为.小题主要考查由三视图还原为原图，考查几何体边长的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.解题的关键在于根据俯视图为正方形，计算出侧视图的宽，并求得几何体的高.根据的要点是：长对正、高平齐，宽相等.也即俯视图的宽和侧视图的宽是相等的.14.如图，已知抛物线：，则其准线方程为_______；过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，若，则_______.【答案】 (1). (2). 6【分析】根据抛物线的方程求得的值，由此求得准线方程.利用抛物线的定义求得点坐标，进而求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程求得点的坐标，进而求得.【详解】依题意抛物线的方程为，故，所以准线方程为.由于，根据抛物线的定义，，，代入抛物线方程，求得.所以直线的斜率为，方程为.代入抛物线方程并化简得，解得，根据抛物线的定义可知.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的几何性质，考查过抛物线焦点的直线所得弦长问题，属于中档题.抛物线的焦点坐标和准线方程，与的值有关，过抛物线焦点的直线，常用的是利用抛物线的定义来解题.直线和抛物线联立，解方程组可求得交点的坐标.15.若函数在上单调递减，则实数的值为_______.【答案】【解析】【分析】由于函数在上递减，利用导函数恒小于或等于零，由此求得实数的值.【详解】依题意，在上恒成立，则需恒成立，有两个相等的实数根，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查除法的导数，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.16.过双曲线：的左焦点作圆的切线，设切点为，延长交抛物线：于点，其中有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率为_______.【答案】【分析】根据圆心到切线的距离等于半径求得，根据中位线求得且，利用等面积法求得点的纵坐标，代入切线方程求得横坐标.求出抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线方程，化简后求得的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】由于直线和圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，而，故.所以直线的斜率为，故直线的方程为.由于是的中点，故是三角形的中位线，故且，由等面积法得，解得，代入直线的方程，求得，故.由于抛物线和双曲线焦点相同，故，所以抛物线方程为，将点坐标代入抛物线方程并化简得，即，解得，故双曲线的离心率为.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查双曲线的离心率，属于中档题.17.已知矩形，，，现将沿对角线向上翻折，若翻折过程中的长度在范围内变化，则点的运动轨迹的长度是_______.【答案】【解析】【分析】过作直线，交于，交与，过作，交于.计算出的长，计算折叠后的长，计算出翻折过程中经过的角度，利用弧长公式计算出的运动轨迹的长度.【详解】过作直线，交于，交与，过作，交于.由于，故.在翻折过程中，，所以平面，所以.当时，，即三角形为等边三角形，.当时，，，.所以翻折过程中点运动的圆弧对应的圆心角为，故弧长为.【点睛】本小题主要考查翻折问题，考查空间想象能力和动态分析能力，属于中档题.三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18.已知平面上有两点，.（1）求过点的圆的切线方程；（2）若在圆上，求的最小值，及此时点的坐标.【答案】（1）和；（2）见解析【解析】【分析】（1）当直线斜率不存在时，与圆相切，符合题意.当直线斜率存在是，设出直线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得直线的斜率，由此求得切线方程.（2）用余弦定理求得的表达式，将问题转化为到原点距离的最小值来求解.【详解】（1）①斜率不存在时：满足条件；②斜率存在时，设直线：，，即∴切线方程为和.（2）在中，由余弦定理可知：，则当最小时，取最小值所以，，，.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查余弦定理解三角形，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19.如图，在三棱柱中，，侧面为菱形.（1）求证：平面平面；（2）如果点分别为，的中点，求证：平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先征得，由此证得平面，进而证得平面平面.（2）取的中点，连，通过证明平面,平面，证得平面平面，进而证得平面.【详解】（1）证明：∵三棱柱的侧面为菱形，故，又，且为平面内的两条相交直线，故平面，因平面，故平面平面.（2）如图，取的中点，连又为的中点，故，因平面，平面，故平面，同理，平面.因为平面内的两条相交直线，故平面平面因平面故平面.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，属于中档题.20.如图，在三棱锥中，垂直于平面，，，，点分别为的中点，点为上一点，，直线平面.（1）求的值；（2）求直线和平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）连结交于点，连结，利用线面平行的性质定理得到，利用相似比求得的值.（2）以为原点建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量，求得直线和平面所成角的正弦值.【详解】（1）连结交于点，连结，因为平面，又因为平面，平面平面所以那么在中，在中，点分别为的中点，所以，所以（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系不妨设则，，，，，设平面的法向量，则即取，得平面的一个法向量又，所以.【点睛】本小题主要考查线面平行的性质定理，考查利用空间向量计算线面角的正弦值，属于中档题.21.已知椭圆：，右焦点，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过焦点的弦分别为，设，，若，求的值.【答案】（1）；（2）8【解析】【分析】（1）根据焦点和椭圆上一点的坐标，列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，设出的坐标，根据共线向量的坐标运算求得点坐标的表达式.联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出韦达定理，同理联立直线的方程和椭圆方程，化简后写出韦达定理，由此计算得点的坐标，并求得的值.【详解】（1）由已知条件得，解得所以椭圆的方程为（2）设直线：，直线：，，，由，得，由，得联立得所以同理由，得消去得由，得，代入可得，又得（*）又，代入（*）式可得，解得或（舍去），所以.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量共线的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.要求椭圆的标准方程，需要通过已知条件，转化为有关的方程组，解方程组求出的值，由此求得椭圆的标准方程，要注意椭圆焦点在哪个坐标轴上.22.已知函数，其中．（1）当时，求的最大值和最小值；（2）当时，证明：在上有且仅有一个极大值点和一个极小值点（分别记为），且为定值．【答案】（1）的最大值为，最小值为.（2）见解析【解析】【分析】（1）当时，根据函数为奇函数，利用导数研究当时函数的单调性，由此求得函数在上的单调性，进而求得最大值和最小值.（2）①将写成分段函数的形式，当利用导数求得函数有一个极大值点和一个极小值点，当时，函数单调递增，没有极值点.由此证得结论成立. ②根据①的结论，写出关于极值点的韦达定理，计算出为定值.【详解】（1）当时，是奇函数，考虑，，求导得，当时，，当时，所以在单调递减，单调递增，又根据奇函数的对称性，可知在单调递减，和单调递增，，所以的最大值为，最小值为.（2）①当时，当时，，，，所以在有2个根，，其中，，则在和单调递增，在又在单调递增，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增所以在上有且仅有一个极大值点和一个极小值点②因为是方程的两个根，所以，又，所以为定值.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最大值和最小值，考查函数的奇偶性，考查含有绝对值函数的解题策略，考查利用导数研究函数的极值点，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.研究含有绝对值的函数，一般采用写成分段函数的方法，再对每段函数进行研究.。
浙江省金华十校2018-2019学年高二第一学期数学期末调研试卷(扫描版详细解析)
金华十校2018-2019学年第一学期调研考试高二数学卷全解一、选择题(4×10=40分)1．C【解析】因为两点的y坐标和z坐标相等，x坐标相反，所以两点关于yOz平面对称，选C．2．A【解析】两圆的圆心分别是()-，圆心距0,0和()1,1是2，半径都是2，所以两圆相交，选A．3．B【解析】因为|a|≥a，所以x>|a|⇒ x>a，但x>a⇏x>|a|，所以选B．4. C【解析】若a=b，则a2=b2是真命题，所以逆否命题为真，①为真命题，“若x=-3，则x2+x-6=0”的否命题是“若x≠－3，则x2＋x－6≠0”是假命题，所以②为假命题，选C5．A【解析】l，m是两条异面直线，设n为与l平行且与m 相交的直线，则存在与n ，m 都垂直的直线，也存在与与n ，m 都平行的平面，从而也存在与l ，m 都垂直的直线，存在与l ，m 都平行的平面，选A ． 6．D 【解析】()()1211222ln 22x x xxf x x--⨯'=，所以112ln 2ln 222f ⎛⎫'=-=+ ⎪⎝⎭，选D ．7． B 【解析】补成正方形，如图，异面直线AB 与CD所成角为60º，所以选B ．8． D 【解析】x ∈(π,2π)时，y =|sin x |=-sin x ，∴ y ′ =-cos x ，∴00cos =-y x x ，tan x 0= x 0故选D ．9．C 【解析】（1）若OP =OF ，则e =2.2（2）若PF =OF ，则记F 1为左焦点，则15PF c =，1512=52a PF PF c c e -+=-⇒=；（3）若PF =OP ，则记F 1为左焦点，则1102,22PF c PF c ==，11021022=222a PF PF c c e -+=+⇒=．选C ．10．B 【解析】EF 在平面A 1C 上运动，而平面A 1C 平分90º二面角A 1D 1-BC -B 1C 1，∴θ=ϕ 且θ max =45º，故选B.二、填空题（9-12题每题6分，13-15题每题4分，共36分）11．-1，2．【解析】若直线l 的倾斜角为45°，则斜率为1，由已知l 的斜率为－m ，所以m ＝-1；若直线l 与直线x －2y －1＝0垂直，则实数－m·12=-1，得m ＝2．12．y =-3x ，(-1,1)．【解析】f '(x )＝3x 2－3，f ' (0)＝－3，所以f (x )在x =0处的切线方程为y =－3x ；令f ' (x )＝3x 2－3<0，得-1<x <1，所以f (x )单调递减区间是(-1,1)． 13．10，423．【解析】描述的几何体是一个直四棱锥，底面正方形边长2，棱锥高为10，最长的棱长为()()22222+=10；V =13Sh =21223⨯⨯=423．14．x =-2，6．【解析】易得准线方程为x =-2；设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，AF= x 1+2=3，得x 1=1，又因为x 1·x 2=24p =4，得x 2=4，所以BF = x 2+2=6．15．-2【解析】f (x )＝2e ()x x ax a -+-在R 上单调递减，则f ' (x )≤0在R 上恒成立，又f ' (x )=2(2)2xx a x ae -+-+，令f ' (x )≤0得2(2)2x a x a +--≥0，△=(a +2)2≤0，得a =-2． 16．512+．【解析】如图所示，由题意可知，OM ⊥F 1N ，且M 为线段F 1N 的中点，所以|AN |＝|F 2N |＝2a ，F 2N ⊥F 1N ，在Rt △F 1F 2N 中，cos ∠NF 1F 2＝b c，在Rt △F 1AN 中，cos ∠F 1NA ＝a b，又因为∠NF 1F 2＝∠F 1NA ，所以b c＝a b，即c 2－a 2＝b 2＝ac ，解得e ＝512+或e ＝152-(舍去)．17．36π．【解析】如图，已知D 在以DO （DO AC ⊥，32DO =）为半径的半圆上运动，所在面与AO 垂直，过B 作BE DO ⊥于E ，则DE 即上述圆的直径，190BED ∠=o ，290BED ∠=o （设1D ，2D 为D 两个位置点12137,22BD BD ==），因1BE =，则 1233,22ED ED ==，则1260D OD ∠=o ，所以运动的路程圆弧长为36π三. 解答题(74分)18. 解：(Ⅰ)①斜率不存在时：1x = 满足条件；……………………………………… 2分②斜率存在时，设直线:(1)l y k x =-，2343241k k k k--=⇒=+，即3430x y --=.∴切线方程为： 1x =和3430x y --=.…………………………………………6分(Ⅱ)在△ABP中，由余弦定理可知：()2222142AP BP OP AB +=+，………… 8分 EBAEBA则当OP最小时，22AP BP +取最小值. ………………………………………… 11分所以OP min =5-2=3，394129123,3,,555555x y P P P ⎛⎫=⨯==⨯= ⎪⎝⎭.…………………14分 19. 解：(Ⅰ)∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形，故B 1C⊥BC 1． ………………………………………………………………………2分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线， 故B 1C ⊥平面ABC 1． (5)分因B 1C ⊂平面BCC 1B 1， 故平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1． ……………………………………………………… 7分(Ⅱ)如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ． 又D 为A 1C 1的中点，故DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因DF ⊄平面ABC 1，AC 1⊂平面ABC 1， 故DF ∥面ABC 1． ………………………………………………………………12分同理，EF∥面ABC1．因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF∥面ABC1．…………………………………………………………14分因DE⊂平面DEF，故DE∥面ABC1．…………………………………………………………………15分20. 解：(Ⅰ)连结AG交BE于点P，连结PF，因为CG∥平面BEF，又因为CG⊂平面ACG，平面ACG∩平面BEF=PF．所以CG∥PF．………………………………………………………………………4分那么在△ACG中，AFAC =AP AG在△ACG中，点E，G分别为,AD BD的中点，所以PGAP=EGAB=12，所以λ=AFAC =APAG=23．………………………………………………………7分(Ⅱ)如图，以B 为原点，BD ，BA 所在直线分别为 y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．不妨设AB =2． 则B (0,0,0)，E (0,1,1)，F (23,23,23)，G (0,1,0)． …………………10分BE u u u r=(0,1,1)，BE u u u r=(23,23,23)．设平面BEF 的法向量n =(x ,y , z )，则0,0.BE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0,2()0.3y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 取y =1，得平面BEF 的一个法向量n =(0,1,-1)， ……………………………3分又FGu u u r =(-23,13,-23)，所以sin θ=FG ⋅u u u r n n=11332+=22．………………………15分21. 解：(Ⅰ)由已知条件得：22224,311,a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得：226,2,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为：22162x y +=………………………………………………… 6分(Ⅱ)设直线PA ：x =my -2，直线PB ：x =ny +2，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2). 由112PF F A=u u u r u u u r，得y 0=-2 y 1，由222PF F Bλ=u u u u r u u u u r ，得y 0=2λ-y 2．……………………8分联立222,3 6.x my x y =-⎧⎨+=⎩得22(3)420m y my +--=．所以0120124,32.m y y m y y ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=同理0220224,32.n y y n y y -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=由y 0=-2 y 1，得1012210124,322.3m y y y m y y y m ⎧-=+=⎪⎪+⎨-⎪-=⋅=⎪+⎩消去m 得m 2=15．……………………… 11分 由y 0>0，得m =55，代入可得P (32-,52)．又220222220224(1),32.3n y y y n y y y n λλ-⎧-=+=⎪⎪+⎨-⎪-=⋅=⎪+⎩得22222(1)83n n λλ-=+．(*) ……………………14分又21PF n k ==7252-=75-，代入(*)式可得22286580λλ-+=， 解得2λ=8或2λ=18(舍去)，所以2λ=8. …………………………………………… 15分22.解：(Ⅰ)当0a =时，f (x )=x 3-2x |x |是奇函数，考虑x >0时，f ( x )=x 3-2x 2. 求导得()243433f x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，……………………………………………2分当43x >时，()0f x '>，当403x <<时，()0f x '<所以f (x )在40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；又根据奇函数的对称性，可知f (x )在44,33⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，42,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭和4,23⎛⎫⎪⎝⎭单调递增。
浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考数学试题(精品解析)
2018-2019学年浙江省金华市十校高三（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.如果全集，，，则 U =R A ={y|y =x 2+2,x ∈R}B ={y|y =2x,x >0)(∁U A)∩B =()A. B. C. D. [1,2](1,2)(1,2][1,2)【答案】B【解析】解：全集，，U =R A ={y|y =x 2+2,x ∈R}={y|y ≥2}，B ={y|y =2x ,x >0)={y|y >1}，∴∁U A ={y|y <2}．∴(∁U A)∩B ={y|1<y <2}=(1,2)故选：B ．化简集合A 、B ，根据补集和交集的定义写出．(∁U A)∩B 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.已知条件p ：，条件，则p 是q 的 x >1q ：1x ≤1()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】解：p ： ，，，即，或x >1q ：1x ≤11x ‒1≤01‒x x≤ 0x ≥1x <0于是，由p 能推出q ，反之不成立．所以p 是q 充分不必要条件故选：A ．本题考查的判断充要条件的方法，先化简q ，再根据充要条件的定义进行判断．判断充要条件的方法是：若为真命题且为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；①p⇒q q⇒p 若为假命题且为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；②p⇒q q⇒p 若为真命题且为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；③p⇒q q⇒p 若为假命题且为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．④p⇒q q⇒p 判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关⑤系． {x +y ‒2≥03x ‒y ‒6≤0x ‒y ≥0z =3x +y ()A. 6B. 5C. 4D.92【答案】C【解析】解：作出实数x ，y 满足约束条件，表示的平面{x +y ‒2≥03x ‒y ‒6≤0x ‒y ≥0区域如图示：阴影部分()由得，{x +y =2x =y A(1,1)由得，平移，z =3x +y y =‒3x +z y =‒3x 易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以．z min =3×1+1=4故选：C ．首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值首先画出可行域，利用几何意义求值．4.已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为 x 29‒y 2m=1x 2+y 2‒4x ‒5=0()A.B.C.D.y =±34xy =±43xy =±223xy =±324x【答案】B【解析】解：由题意，双曲线的右焦点为在圆上，x 29‒y 2m =1(9+m ,0)x 2+y 2‒4x ‒5=0双曲线方程为∴(9+m )2‒4⋅9+m ‒5=0∴9+m =5∴m =16∴x 2‒y 2=1双曲线的渐近线方程为∴y =±43x 故选：B ．确定双曲线的右焦点为在圆上，求出m 的值，即可求得双曲线的渐近x 29‒y 2m =1(9+m ,0)x 2+y 2‒4x ‒5=0线方程．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5.已知，，则 x ∈(‒π2,π2)sinx =‒35tan2x =()A.B.C.D.724‒724247‒247【答案】D【解析】解：已知，，，，∵x ∈(‒π2,π2)sinx =‒35∴cosx =1‒sin 2x =45tanx =sinx cosx =‒34则，tan2x =2tanx 1‒tan 2x=‒247故选：D ．利用同角三角函数的基本关系，求得的值，可得的值，再利用二倍角公式求得的值．cosx tanx tan2x 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．6.把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则m 的f(x)=2cos(2x ‒π4)m(m >0)g(x)=2sin(2x ‒π3)最小值是 ()A.B.C.D.724π1724π524π1924π【答案】B【解析】解：把函数的图象向左平移个单位，f(x)=2cos(2x ‒π4)m(m >0)得到，f(x)=2cos[2(x +m)‒π4]=2cos(2x +2m ‒π4)，g(x)=2sin(2x ‒π3)=2cos [π2‒(2x ‒π3)]=2cos (5π6‒2x)=2cos(2x ‒5π6)由，得，2m ‒π4=‒5π6+2kπm =‒7π24+kπ，∵m >0当时，m 最小，此时，∴k =1m =π‒7π24=17π24故选：B ．根据三角函数的诱导公式化成同名函数，结合三角函数的图象平移关系进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象平移关系以及三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键．7.已知，则 (x +1)4+(x ‒2)8=a 0+a 1(x ‒1)+a 2(x ‒1)2…+a 8(x ‒1)8a 3=()A. 64B. 48C.D. ‒48‒64【答案】C【解析】解：由，(x +1)4+(x ‒2)8=[(x ‒1)+2]4+[(x ‒1)‒1]8=a 0+a 1(x ‒1)+a 2(x ‒1)2…+a 8(x ‒1)8得，a 3⋅(x ‒1)3=C 14⋅(x ‒1)3⋅2+C 58⋅(x ‒1)3⋅(‒1)5．∴a 3=8‒C 58=‒48故选：C ．把已知等式左边变形，再由二项展开式的通项求解．本题考查二项式定理的应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．8.若关于x 的不等式在上恒成立，则实数a 的取值范围是 x 3‒3x 2‒ax +a +2≤0x ∈(‒∞,1]()A. B. C. D. (‒∞,‒3][‒3,+∞)(‒∞,3][3,+∞)【答案】A【解析】解：关于x 的不等式在上恒成立，x 3‒3x 2‒ax +a +2≤0x ∈(‒∞,1]等价于，a(x ‒1)≥x 3‒3x 2+2=(x ‒1)(x 2‒2x ‒2)当时，成立，x =11‒3‒a +a +2=0≤0当时，，即，x <1x ‒1<0a ≤x 2‒2x ‒2因为恒成立，y =x 2‒2x ‒2=(x ‒1)2‒3≥‒3所以，a ≤‒3故选：A ．关于x 的不等式在上恒成立，等价于x 3‒3x 2‒ax +a +2≤0x ∈(‒∞,1]，分类讨论，根据二次函数的性质即可求出．a(x ‒1)≥x 3‒3x 2+2=(x ‒1)(x 2‒2x ‒2)本题考查了函数恒成立的问题，以及二次函数的性质，属于中档题9.已知向量，满足：，，，且，则的最小值为 ⃗a ⃗b |⃗a |=2<⃗a ⃗b >=60∘⃗c =‒12⃗a +t ⃗b (t ∈R)|⃗c|+|⃗c ‒⃗a |()A. B. 4C. D.1323934【答案】A【解析】解：由题意可知，把看作，⃗a (2,0)，，<⃗a ⃗b>=60∘则可表示为，点B 在直线上，t ⃗b ⃗BO y =3x 设，，C(‒1,0)D(3,0)，，∵⃗c=‒12⃗a +t ⃗b t ∈R ，，∴|⃗c|=BC⃗c‒⃗a=‒32⃗a+t ⃗b ，∴|⃗c‒⃗a|=|BD|则的最小值可转化为在直线|⃗c|+|⃗c‒⃗a|y =3x取一点B ，使得最小，BD +BC 作点C 关于的对称点，y =3x C'则最小值即可求出，BD +BC DC'设，C'(x,y)由，解得，{y x +1=‒13y 2=3⋅x ‒12x =12y =‒32则，C'D =(12+3)2+(‒32‒0)2=13故的最小值为．|⃗c|+|⃗c‒⃗a|13故选：A ．由题意可知，把看作，根据坐标系，和向量的坐标运算，则的最小值可转化为在直线⃗a (2,0)|⃗c|+|⃗c ‒⃗a |取一点B ，使得最小，作点C 关于的对称点，则最小值即可求出．y =3x BD +BC y =3x C'BD +BC DC'本题考查了向量的坐标运算和向量的模的几何意义，考查了转化能力和数形结合的能力，属于难题．10.如图，在底面为正三角形的棱台中，记锐二面角的ABC ‒A 1B 1C 1A 1‒AB ‒C 大小为，锐二面角的大小为，锐二面角的大小为，αB 1‒BC ‒A βC 1‒AC ‒B γ若，则 α>β>γ()A. AA 1>BB 1>CC 1B. AA 1>CC 1>BB 1C. CC 1>BB 1>AA 1D. CC 1>AA 1>BB 1【答案】C【解析】解：在底面为正三角形的棱台中，ABC ‒A 1B 1C 1记锐二面角的大小为，A 1‒AB ‒C α锐二面角的大小为，B 1‒BC ‒A β锐二面角的大小为，C 1‒AC ‒B γ，三条侧棱，，中，最小，最大，∵α>β>γ∴AA 1BB 1CC 1AA 1CC 1．∴CC 1>BB 1>AA 1故选：C ．利用二面角的定义，数形结合能求出结果．本题考查三棱台中三条侧棱长的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知复数z 的共轭复数，则复数z 的虚部是______，______．z =1+i2‒i|z|=【答案】‒35105【解析】解：由，z =1+i 2‒i =(1+i)(2+i)(2‒i)(2+i)=15+35i可得，z =15‒35i复数z 的虚部是，∴‒35．|z|=(15)2+(‒35)2=105故答案为：；．‒35105利用复数代数形式的乘除运算，则复数z 的虚部可求，再由复数模的计算公式求．|z|本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．12.一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同现从中任意取出3个小球，.其中恰有2个小球颜色相同的概率是______；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的数学期望______．E(X)=【答案】 31065【解析】解：一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，基本事件总数，n =C 35=10其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数，m =C 22C 13=3其中恰有2个小球颜色相同的概率是；∴p =m n=310若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的可能取值为0，1，2，，P(X =0)=C 33C 310=110，P(X =1)=C 12C 23C 310=610，P(X =2)=C 22C 13C 310=310数学期望．∴E(X)=0×110+1×610+2×310=65故答案为：，．31065现从中任意取出3个小球，基本事件总数，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数n =C 35=10，由此能求出其中恰有2个小球颜色相同的概率；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则m =C 22C 13=3X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出数学期望．E(X)本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.记等差数列的前n 项和为，若，，则______；当取得最大值时，{a n }S n a 1>0a 2+a 2017=0S 2018=S n ______．n =【答案】0 1009或1008【解析】解：，，∵a 1>0a 2+a 2017=0，∴a 1+a 2018=a 2+a 2017=0，∴S 2018=2018(a 1+a 2018)2=0，，∵a 1>0a 2+a 2017=0，∴2a 1+2016d =0，∴a 1=‒1008d ，∴a 1009=a 1+1008d =0故当取得最大值时，或，S n n =1009n =1008故答案为：0，1009或1008．根据等差数列的性质和求和公式公式可得，再求出与d 的关系，可得，即可S 2018=0a 1a 1009=a 1+1008d =0求出当或1008时，取得最大值n =1009S n 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.一个棱柱的底面是边长为6的正三角形，侧棱与底面垂直，其三视图如图所示，则这个棱柱的体积为()______，此棱柱的外接球的表面积为______．【答案】 36364π【解析】解：由题意可知，该三棱柱是一个直三棱柱，且底面是边长为6的正方形，底面积为S =1×62×sin 60∘=93该三棱柱的高，所以，该三棱柱的体积为．ℎ=4V =Sℎ=93×4=363由正弦定理可知，该正三棱柱底面的外接圆直径为，2r =6sin 60∘=43则其外接球的直径为，则，2R =(2r )2+ℎ2=8R =4因此，此棱柱的外接球的表面积为．4πR 2=4π×42=64π故答案为：；．36364π计算出棱柱的底面积，利用柱体体积公式可得出柱体的体积，利用正弦定理求出底面的外接圆直径2r ，再利用公式可计算出外接球的半径R ，再利用球体表面积公式可得出外接球的表面积．2R =(2r )2+ℎ2本题考查球体表面积的计算，考查柱体体积的计算，考查公式的灵活应用，属于中等题．15.某高中高三某班上午安排五门学科语文，数学，英语，化学，生物上课，一门学科一节课，要求语文与()数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是______．【答案】60【解析】解：若第五节排语文或数学中的一门，则第四节排英语，化学，生物中的一门，其余三节把剩下科目任意排，则有种，A 12A 13A 33=36若第五节排英语，化学中的一门，剩下的四节，将语文和数学插入到剩下的2门中，则有种，A 12A 22A 23=24根据分类计数原理共有种，36+24=60故答案为：60．由题意可以分两类，根据分类计数原理可得．本题考查了分类计数原理，关键是分类，以及特殊元素特殊处理，属于中档题．16.已知，则的最小值为______．x 2+2y 2‒3xy =1(x,y ∈R)x 2+y 2【答案】25【解析】解：，x 2+2y 2‒3xy =1(x,y ∈R)则，x 2+y 2=x 2+y 2x 2+2y 2‒3xy 若，则，；y =0x =±1x 2+y 2=1若，可得，y ≠0x 2+y 2=1+(xy )2(x y )2‒3x y+2设，可设，xy=tz =x 2+y 2=1+t 2t 2‒3t +2即为，(z ‒1)t 2‒3zt +2z ‒1=0若，可得，成立；z =1t =2+3若，则，即，z ≠1△≥03z 2‒4(z ‒1)(2z ‒1)≥0解得，2≤z ≤2即有z的最小值为，此时，成立．25t=‒33故答案为：．2由题意可得，讨论，，分子分母同除以y ，转化为关于的式子，令，可得x 2+y 2=x 2+y 2x 2+2y 2‒3xy y =0y ≠0x y xy =t 关于t 的函数，再由二次方程有解的条件：判别式大于等于0，解不等式可得所求最小值．本题考查函数的最值求法，注意运用转化思想和二次方程有解的条件，考查运算能力，属于中档题．17.已知F 为抛物线C ：的焦点，点A 在抛物线上，点B 在抛物线的准线上，且A ，B 两点都y 2=2px(p >0)在x 轴的上方，若，，则直线FA 的斜率为______．FA ⊥FB tan∠FAB =13【答案】34【解析】解：的焦点，准线方程为，y 2=2px(p >0)F(p2,0)x =‒p2如图，设A 在x 轴上的射影为N ，准线与x 轴的交点为M ，由，，FA ⊥FB tan∠FAB =|BF||AF|=13可设，，|AF|=3t |BF|=t 可得，∠AFN =∠FBM ，sin∠AFN =y A3t =sin∠FBM =pt 即有，，y A =3p x A =92p则直线AF 的斜率为．y A x A ‒p=3p 4p =34故答案为：．34求得抛物线的焦点和准线方程，运用解直角三角形的正弦函数和正切函数的定义，求得A 的坐标，由斜率公式计算可得所求值．本题考查抛物线的方程和性质，注意运用解直角三角形，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数．f(x)=23sinxcosx ‒2cos 2x +1Ⅰ求的值；()f(7π12)Ⅱ已知锐角，，，，求边长a ．()△ABC f(A)=1S △ABC =12b +c =22【答案】解：，f(x)=23sinxcosx ‒2cos 2x +1=f(x)=3sin2x ‒cos2x =2sin(2x ‒π6)Ⅰ，()f(7π12)=2sinπ=0Ⅱ由，可得：，()f(A)=2sin(2A ‒π6)=1sin(2A ‒π6)=12由，可得A ∈(0,π)2A ‒π∈(‒π,5π)可得：，可得：，2A ‒π6=π6A =π6由于：，，S △ABC =12bcsinA =14bc =12b +c =22可得：，，bc =2b 2+c 2=4可得：，a 2=b 2+c 2‒2bccosA =4‒2×2×32=4‒23可得：．a =4‒23=3‒1【解析】Ⅰ利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，即可代入求值；()Ⅱ由，可得，由三角形的面积公式，余弦定理可求a 的值．()f(A)=2sin(2A ‒π6)=1A =π6本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.数列的前n 项和为，且满足，{a n }S n a 1=1a n +1=S n +1(n ∈N +).Ⅰ求通项公式；()a n Ⅱ记，求证：．()T n =1S 1+1S 2+…+1Sn 32‒12n≤T n <2【答案】解：Ⅰ，()∵a n +1=S n +1①当时，，∴n ≥2a n =S n ‒1+1②得，∴①‒②a n +1=2a n (n ≥2)又，∵a 2=S 1+1=2，∴a 2=2a 1数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴{a n }；∴a n =2n ‒1证明：Ⅱ，()∵a n +1=2n，∴S n =2n ‒1时，，∵n ≥212n≤1S n≤12n ‒1，∴T n =1S 1+1S 2+…+1S n≥1+14(1‒12n ‒1)1‒12=32‒12n同理：，T n ≤1+1(1‒12)1‒12=2‒12n<23‒1≤T n <2【解析】Ⅰ直接利用递推关系式求出数列的通项公式．()Ⅱ利用等比数列的前n项和公式和放缩法求出数列的和．()本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和公式和放缩法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.在三棱锥中，，H为P点在平面ABC的投影，．P‒ABC PA=AB=AC.∠PAB=∠PAC=120∘AB⊥AC Ⅰ证明：平面PHA；()BC⊥Ⅱ求AC与平面PBC所成角的正弦值．()【答案】证明：Ⅰ取M为BC的中点，连结PM，AM，()，，∵PA=AB=AC∠PAB=∠PAC=120∘，，∴PM⊥BC PB=PC又为P点在平面ABC的投影，，∵H∴HB=HC而，，又，，MB=MC∴HM⊥BC AB=AC∴AM⊥BC、A、M三点共线，∴H从而，结合条件，HA⊥BC PM⊥BC平面PHA．∴BC⊥解：Ⅱ过A作，连结CN，()AN⊥PM=N平面PHM，，，∵BC⊥∴BC⊥AN AN⊥PM平面PBC，∴AN⊥就是直线AC与平面PBC所成角，∴∠ACN设，PA=AB=AC=2由，得，，AB⊥AC BC=22BM=CM=AM=2由，知，∠PAB=120∘PB=22+22‒2×2×2×cos120∘=23，，∴PC=PB=23PM=PC2‒CM2=(23)2‒(2)2=10∴cos∠PAM=PA2+AM2‒PM22⋅PA⋅AM =‒22∴sin∠PAM=22，∴12×PA ×AM ×sin∠PAM =12×PM ×AN，解得，∴2×2×22=10×AN AN =210与平面PBC 所成角的正弦值．∴AC sin∠ACN =ANAC =2102=1010【解析】Ⅰ取M 为BC 的中点，连结PM ，AM ，推导出，()PM ⊥BC ，，，，从而H 、A 、M 三点共线，进而，结合条件，能PB =PC HB =HC HM ⊥BC AM ⊥BC HA ⊥BC PM ⊥BC 证明平面PHA ．BC ⊥Ⅱ过A 作，连结CN ，推导出，，平面PBC ，从而就是直线AC 与()AN ⊥PM =N BC ⊥AN AN ⊥PM AN ⊥∠ACN 平面PBC 所成角，由此能求出AC 与平面PBC 所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.已知椭圆C ：，过点分别作斜率为，的两条直线，，直线交椭圆于A ，Bx 2a 2+y 2=1(a >1)P(1,0)k 1k 2l 1l 2l 1两点，直线交椭圆于C ，D 两点，线段AB 的中点为M ，线段CD 的中点为N ．l 2Ⅰ若，，求椭圆方程；()k =1|AB|=825Ⅱ若，求面积的最大值．()k 1k 2=‒1△PMN【答案】解：Ⅰ由得(){y =x ‒1x 2+a 2y 2‒a 2=0(a 2+1)x 2x 2‒2a 2x =0解得，x 1=0x 2=2a 2a 2+1所以，解得，|AB|=2|x 1‒x 2|=22a 2a 2+1=825a 2=4故椭圆方程为：x 24+y 2=1Ⅱ由得(){y =k 1(x ‒1)x 2+a 2y 2‒a 2=0(a 2k 21+1)x 2‒2a 2k 21x +a 2k 21‒a 2=0，∴x 1+x 2=2a 2k 21a 2k 21+1中点，故，∴M(a 2k 21a 2k 21+1,‒k 1a 2k 21+1)|PM|=1+1k 21||k 1|a 2k 21+1|用代得，‒1k 1k 1|PN|=1+k 21|1k 1a 2k 21+1|所以，S △PMN =12|PN|⋅|PM|=12k 21+1k 21+21|a 2(k 21+1k 21)+a 4+1]令，则，k 21+1k 21+2=t(t ≥2)S =1⋅t a 2t 2+(a 2‒1)2=11a 2t +(a 2‒1)2所以时，；a ≥1+2S max =14a(a 2‒1)当时，．1<a <1+2S max =1(a 2+1)2【解析】Ⅰ设直线方程联立方程，由弦长公式求出，与已知弦长相等，可解得，从而可得椭圆方()|AB|a 2=4程；Ⅱ利用弦长公式求出，，然后用面积公式求出面积，再求出最大值．()|PM||PN|本题考查了直线与椭圆的综合，属难题．22.已知，，其中，为自然对数的底数．f(x)=ax +lnx g(x)=e ‒x a ∈R e =2.718…若函数的切线l 经过点，求l 的方程；(I)g(x)(1,0)Ⅱ若函数在为递减函数，试判断函数零点的个数，并证明你的结论．()f(x)(0,2e )φ(x)=f(x)‒g(x)【答案】解：Ⅰ设l 和的切点是，()g(x)(x 0,e‒x 0)在该点处的导数，它是切线l 的斜率，g(x)g'(x 0)=‒e‒x 0经过，也过切点，∵l (1,0)(x 0,e‒x 0)的斜率又可写为，∴l e ‒x 0x 0‒1故，故，解得：，e ‒x 0x 0‒1=‒e ‒x 0x 0‒1=‒1x 0=0故直线l 的斜率为，g'(x 0)=‒e ‒x 0=‒1故l 的方程是：；y =‒x +1Ⅱ判断：函数的零点个数是0，()下面证明恒成立，f(x)>g(x)，故，f'(x)=x ‒ax 2<0x <a 若在递减，则，f(x)(0,2e )a ≥2e因此，要证明对恒成立，f(x)=a x +lnx >g(x)=e ‒x x >0只需证明对恒成立，2+lnx >e ‒x x >0考虑等价于，2e ⋅x +lnx >e ‒xxlnx >xe ‒x ‒2e记，，u(x)=xlnx v(x)=x ⋅e ‒x ‒2e 先看，，u(x)u'(x)=lnx +1令，解得：，u'(x)>0x >1e 令，解得：，u'(x)<00<x <1e 故在递减，在递增，u(x)(0,1e )(1e ,+∞)，u min (x)=u(1e )=‒1e ，且两个函数的极值点不在同一个x 处，u min (x)=v max (x)故对恒成立，u(x)>v(x)x >0综上，对恒成立，f(x)>g(x)x >0故函数函数零点是0个．φ(x)=f(x)‒g(x)【解析】Ⅰ设出切点坐标，求出切线斜率，求出切线方程即可；()Ⅱ问题等价于，记，，分别求出的最小值和的最大值，()xlnx >xe‒x ‒2e u(x)=xlnx v(x)=x ⋅e ‒x ‒2e u(x)v(x)从而证明结论．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．。
浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省金华市十校高三（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.如果全集U=R，A={y|y=x2+2,x∈R}，B={y|y=2x,x>0)，则(∁U A)∩B=()A. [1,2]B. (1,2)C. (1,2]D. [1,2)【答案】B【解析】解：全集U=R，A={y|y=x2+2,x∈R}={y|y≥2}，B={y|y=2x,x>0)={y|y>1}，∴∁U A={y|y<2}，∴(∁U A)∩B={y|1<y<2}=(1,2)．故选：B．化简集合A、B，根据补集和交集的定义写出(∁U A)∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.已知条件p：x>1，条件q：1x≤1，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】解：p：x>1q：1x ≤1，1x−1≤0，1−xx≤ 0，即x≥1，或x<0于是，由p能推出q，反之不成立．所以p是q充分不必要条件故选：A．本题考查的判断充要条件的方法，先化简q，再根据充要条件的定义进行判断．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3.若实数x，y满足约束条件{x+y−2≥03x−y−6≤0x−y≥0，则z=3x+y的最小值是()A. 6B. 5C. 4D. 92【答案】C【解析】解：作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −2≥03x −y −6≤0x −y ≥0，表示的平面区域(如图示：阴影部分)由{x =y x+y=2得A(1,1)，由z =3x +y 得y =−3x +z ，平移y =−3x ， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以z min =3×1+1=4． 故选：C ．首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值首先画出可行域，利用几何意义求值．4. 已知双曲线x 29−y 2m=1的一个焦点在圆x 2+y 2−4x −5=0上，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±34xB. y =±43xC. y =±2√23x D. y =±3√24x 【答案】B【解析】解：由题意，双曲线x 29−y 2m=1的右焦点为(√9+m,0)在圆x 2+y 2−4x −5=0上，∴(√9+m)2−4⋅√9+m −5=0 ∴√9+m =5 ∴m =16∴双曲线方程为x 29−y 216=1∴双曲线的渐近线方程为y =±43x 故选：B ． 确定双曲线x 29−y 2m =1的右焦点为(√9+m,0)在圆x 2+y 2−4x −5=0上，求出m 的值，即可求得双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5. 已知x ∈(−π2,π2)，sinx =−35，则tan2x =( )A. 724B. −724C. 247D. −247【答案】D【解析】解：∵已知x∈(−π2,π2)，sinx=−35，∴cosx=√1−sin2x=45，tanx=sinxcosx=−34，则tan2x=2tanx1−tan2x =−247，故选：D．利用同角三角函数的基本关系，求得cosx的值，可得tanx的值，再利用二倍角公式求得tan2x的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．6.把函数f(x)=2cos(2x−π4)的图象向左平移m(m>0)个单位，得到函数g(x)=2sin(2x−π3)的图象，则m的最小值是()A. 724π B. 1724π C. 524π D. 1924π【答案】B【解析】解：把函数f(x)=2cos(2x−π4)的图象向左平移m(m>0)个单位，得到f(x)=2cos[2(x+m)−π4]=2cos(2x+2m−π4)，g(x)=2sin(2x−π3)=2cos[π2−(2x−π3)]=2cos(5π6−2x)=2cos(2x−5π6)，由2m−π4=−5π6+2kπ，得m=−7π24+kπ，∵m>0，∴当k=1时，m最小，此时m=π−7π24=17π24，故选：B．根据三角函数的诱导公式化成同名函数，结合三角函数的图象平移关系进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象平移关系以及三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键．7.已知(x+1)4+(x−2)8=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2…+a8(x−1)8，则a3=()A. 64B. 48C. −48D. −64【答案】C【解析】解：由(x+1)4+(x−2)8=[(x−1)+2]4+[(x−1)−1]8=a0+a1(x−1)+ a2(x−1)2…+a8(x−1)8，得a3⋅(x−1)3=C41⋅(x−1)3⋅2+C85⋅(x−1)3⋅(−1)5，∴a3=8−C85=−48．故选：C．把已知等式左边变形，再由二项展开式的通项求解．本题考查二项式定理的应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．8.若关于x的不等式x3−3x2−ax+a+2≤0在x∈(−∞,1]上恒成立，则实数a的取值范围是()A. (−∞,−3]B. [−3,+∞)C. (−∞,3]D. [3,+∞)【答案】A【解析】解：关于x的不等式x3−3x2−ax+a+2≤0在x∈(−∞,1]上恒成立，等价于a(x−1)≥x3−3x2+2=(x−1)(x2−2x−2)，当x=1时，1−3−a+a+2=0≤0成立，当x<1时，x−1<0，即a≤x2−2x−2，因为y=x2−2x−2=(x−1)2−3≥−3恒成立，所以a≤−3，故选：A．关于x的不等式x3−3x2−ax+a+2≤0在x∈(−∞,1]上恒成立，等价于a(x−1)≥x3−3x2+2=(x−1)(x2−2x−2)，分类讨论，根据二次函数的性质即可求出．本题考查了函数恒成立的问题，以及二次函数的性质，属于中档题9.已知向量a⃗，b⃗ 满足：|a⃗|=2，<a⃗，b⃗ >=60∘，且c⃗=−12a⃗+t b⃗ (t∈R)，则|c⃗|+ |c⃗−a⃗|的最小值为()A. √13B. 4C. 2√3D. 9√34【答案】A【解析】解：由题意可知，把a⃗看作(2,0)，<a⃗，b⃗ >=60∘，则t b⃗ 可表示为BO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B在直线y=√3x上，设C(−1,0)，D(3,0)，∵c⃗=−12a⃗+t b⃗ ，t∈R，∴|c⃗|=BC，c⃗−a⃗=−32a⃗+t b⃗ ，∴|c⃗−a⃗|=|BD|，则|c⃗|+|c⃗−a⃗|的最小值可转化为在直线y=√3x取一点B，使得BD+BC最小，作点C关于y=√3x的对称点C′，则BD+BC最小值即可求出DC′，设C′(x,y)，由{yx+1=−1√3y 2=√3⋅x−12，解得x=12，y=−√32，则C′D=√(12+3)2+(−√32−0)2=√13，故|c⃗|+|c⃗−a⃗|的最小值为√13．故选：A．由题意可知，把a⃗看作(2,0)，根据坐标系，和向量的坐标运算，则|c⃗|+|c⃗−a⃗|的最小值可转化为在直线y=√3x取一点B，使得BD+BC最小，作点C关于y=√3x的对称点C′，则BD+BC最小值即可求出DC′．本题考查了向量的坐标运算和向量的模的几何意义，考查了转化能力和数形结合的能力，属于难题．10.如图，在底面为正三角形的棱台ABC−A1B1C1中，记锐二面角A1−AB−C的大小为α，锐二面角B1−BC−A的大小为β，锐二面角C1−AC−B的大小为γ，若α>β>γ，则()A. AA1>BB1>CC1B. AA1>CC1>BB1C. CC1>BB1>AA1D. CC1>AA1>BB1【答案】C【解析】解：在底面为正三角形的棱台ABC−A1B1C1中，记锐二面角A1−AB−C的大小为α，锐二面角B1−BC−A的大小为β，锐二面角C1−AC−B的大小为γ，∵α>β>γ，∴三条侧棱AA1，BB1，CC1中，AA1最小，CC1最大，∴CC1>BB1>AA1．故选：C．利用二面角的定义，数形结合能求出结果．本题考查三棱台中三条侧棱长的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知复数z的共轭复数z=1+i2−i，则复数z的虚部是______，|z|=______．【答案】−35√10 5【解析】解：由z=1+i2−i =(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=15+35i，可得z=15−35i，∴复数z的虚部是−35，|z|=√(15)2+(−35)2=√105． 故答案为：−35；√105．利用复数代数形式的乘除运算，则复数z 的虚部可求，再由复数模的计算公式求|z|． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．12. 一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同.现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是______；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的数学期望E(X)=______． 【答案】310 65【解析】解：一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，基本事件总数n =C 53=10，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数m =C 22C 31=3，∴其中恰有2个小球颜色相同的概率是p =m n=310；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 33C 103=110，P(X =1)=C 21C 32C 103=610， P(X =2)=C 22C 31C 103=310，∴数学期望E(X)=0×110+1×610+2×310=65． 故答案为：310，65．现从中任意取出3个小球，基本事件总数n =C 53=10，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数m =C 22C 31=3，由此能求出其中恰有2个小球颜色相同的概率；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出数学期望E(X)．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1>0，a 2+a 2017=0，则S 2018=______；当S n 取得最大值时，n =______． 【答案】0 1009或1008【解析】解：∵a 1>0，a 2+a 2017=0， ∴a 1+a 2018=a 2+a 2017=0，∴S2018=2018(a1+a2018)=0，2∵a1>0，a2+a2017=0，∴2a1+2016d=0，∴a1=−1008d，∴a1009=a1+1008d=0，故当S n取得最大值时，n=1009或n=1008，故答案为：0，1009或1008．根据等差数列的性质和求和公式公式可得S2018=0，再求出a1与d的关系，可得a1009= a1+1008d=0，即可求出当n=1009或1008时，S n取得最大值本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.一个棱柱的底面是边长为6的正三角形，侧棱与底面垂直，其三视图(如图)所示，则这个棱柱的体积为______，此棱柱的外接球的表面积为______．【答案】36√364π【解析】解：由题意可知，该三棱柱是一个直三棱柱，且底面是边长为6的正方形，底×62×sin60∘=9√3，面积为S=12该三棱柱的高ℎ=4，所以，该三棱柱的体积为V=Sℎ=9√3×4=36√3．=4√3，由正弦定理可知，该正三棱柱底面的外接圆直径为2r=6sin60∘则其外接球的直径为2R=√(2r)2+ℎ2=8，则R=4，因此，此棱柱的外接球的表面积为4πR2=4π×42=64π．故答案为：36√3；64π．计算出棱柱的底面积，利用柱体体积公式可得出柱体的体积，利用正弦定理求出底面的外接圆直径2r，再利用公式2R=√(2r)2+ℎ2可计算出外接球的半径R，再利用球体表面积公式可得出外接球的表面积．本题考查球体表面积的计算，考查柱体体积的计算，考查公式的灵活应用，属于中等题．15. 某高中高三某班上午安排五门学科(语文，数学，英语，化学，生物)上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是______． 【答案】60【解析】解：若第五节排语文或数学中的一门，则第四节排英语，化学，生物中的一门，其余三节把剩下科目任意排，则有A 21A 31A 33=36种，若第五节排英语，化学中的一门，剩下的四节，将语文和数学插入到剩下的2门中，则有A 21A 22A 32=24种，根据分类计数原理共有36+24=60种， 故答案为：60．由题意可以分两类，根据分类计数原理可得．本题考查了分类计数原理，关键是分类，以及特殊元素特殊处理，属于中档题．16. 已知x 2+2y 2−√3xy =1(x,y ∈R)，则x 2+y 2的最小值为______． 【答案】25【解析】解：x 2+2y 2−√3xy =1(x,y ∈R)， 则x 2+y 2=22x 2+2y 2−√3xy，若y =0，则x =±1，x 2+y 2=1； 若y ≠0，可得x 2+y 2=1+(xy)2(x y )−√3x y+2， 设xy =t ，可设z =x 2+y 2=2t 2−√3t+2，即为(z −1)t 2−√3zt +2z −1=0， 若z =1，可得t =2+√3，成立；若z ≠1，则△≥0，即3z 2−4(z −1)(2z −1)≥0， 解得25≤z ≤2，即有z 的最小值为25，此时t =−√33，成立．故答案为：25．由题意可得x 2+y 2=22x 2+2y 2−√3xy，讨论y =0，y ≠0，分子分母同除以y ，转化为关于xy 的式子，令xy=t ，可得关于t 的函数，再由二次方程有解的条件：判别式大于等于0，解不等式可得所求最小值．本题考查函数的最值求法，注意运用转化思想和二次方程有解的条件，考查运算能力，属于中档题．17.已知F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，点A在抛物线上，点B在抛物线的准线上，且A，B两点都在x轴的上方，若FA⊥FB，tan∠FAB=13，则直线FA的斜率为______．【答案】34【解析】解：y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)，准线方程为x=−p2，如图，设A在x轴上的射影为N，准线与x轴的交点为M，由FA⊥FB，tan∠FAB=|BF||AF|=13，可设|AF|=3t，|BF|=t，可得∠AFN=∠FBM，sin∠AFN=y A3t =sin∠FBM=pt，即有y A=3p，x A=92p，则直线AF的斜率为y Ax A−p2=3p4p=34．故答案为：34．求得抛物线的焦点和准线方程，运用解直角三角形的正弦函数和正切函数的定义，求得A的坐标，由斜率公式计算可得所求值．本题考查抛物线的方程和性质，注意运用解直角三角形，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=2√3sinxcosx−2cos2x+1．(Ⅰ)求f(7π12)的值；(Ⅱ)已知锐角△ABC，f(A)=1，S△ABC=12，b+c=2√2，求边长a．【答案】解：f(x)=2√3sinxcosx−2cos2x+1=f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，(Ⅰ)f(7π12)=2sinπ=0，(Ⅱ)由f(A)=2sin(2A−π6)=1，可得：sin(2A−π6)=12，由A∈(0,π2)，可得2A−π6∈(−π6,5π6)可得：2A−π6=π6，可得：A=π6，由于：S△ABC=12bcsinA=14bc=12，b+c=2√2，可得：bc=2，b2+c2=4，可得：a2=b2+c2−2bccosA=4−2×2×√32=4−2√3，可得：a=√4−2√3=√3−1．【解析】(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，即可代入求值；(Ⅱ)由f(A)=2sin(2A−π6)=1，可得A=π6，由三角形的面积公式，余弦定理可求a的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，a n+1=S n+1(n∈N+).(Ⅰ)求通项公式a n；(Ⅱ)记T n=1S1+1S2+⋯+1S n，求证：32−12n≤T n<2．【答案】解：(Ⅰ)∵a n+1=S n+1①，∴当n≥2时，a n=S n−1+1②，∴①−②得a n+1=2a n(n≥2)，又∵a2=S1+1=2，∴a2=2a1，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n=2n−1；证明：(Ⅱ)∵a n+1=2n，∴S n=2n−1，∵n≥2时，12n ≤1S n≤12n−1，∴T n=1S1+1S2+⋯+1S n≥1+14(1−12n−1)1−12=32−12n，同理：T n≤1+12(1−12n−1)1−12=2−12n<2，故：32−12n≤T n<2．【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用等比数列的前n项和公式和放缩法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和公式和放缩法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.在三棱锥P−ABC中，PA=AB=AC，H为P点在平面ABC的投影.∠PAB=∠PAC=120∘，AB⊥AC．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PHA；(Ⅱ)求AC与平面PBC所成角的正弦值．【答案】证明：(Ⅰ)取M为BC的中点，连结PM，AM，∵PA=AB=AC，∠PAB=∠PAC=120∘，∴PM⊥BC，PB=PC，又∵H为P点在平面ABC的投影，∴HB=HC，而MB=MC，∴HM⊥BC，又AB=AC，∴AM⊥BC，∴H、A、M三点共线，从而HA⊥BC，结合条件PM⊥BC，∴BC⊥平面PHA．解：(Ⅱ)过A作AN⊥PM=N，连结CN，∵BC⊥平面PHM，∴BC⊥AN，AN⊥PM，∴AN⊥平面PBC，∴∠ACN就是直线AC与平面PBC所成角，设PA=AB=AC=2，由AB⊥AC，得BC=2√2，BM=CM=AM=√2，由∠PAB=120∘，知PB=√22+22−2×2×2×cos120∘=2√3，∴PC=PB=2√3，PM=√PC2−CM2=√(2√3)2−(√2)2=√10，∴cos∠PAM=PA2+AM2−PM22⋅PA⋅AM =−√22，∴sin∠PAM=√22，∴12×PA×AM×sin∠PAM=12×PM×AN，∴2×√2×√22=√10×AN，解得AN=√210，∴AC与平面PBC所成角的正弦值sin∠ACN=ANAC =2√102=√1010．【解析】(Ⅰ)取M为BC的中点，连结PM，AM，推导出PM⊥BC，PB=PC，HB=HC，HM⊥BC，AM⊥BC，从而H、A、M三点共线，进而HA⊥BC，结合条件PM⊥BC，能证明BC⊥平面PHA．(Ⅱ)过A作AN⊥PM=N，连结CN，推导出BC⊥AN，AN⊥PM，AN⊥平面PBC，从而∠ACN就是直线AC与平面PBC所成角，由此能求出AC与平面PBC所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a >1)，过点P(1,0)分别作斜率为k 1，k 2的两条直线l 1，l 2，直线l 1交椭圆于A ，B 两点，直线l 2交椭圆于C ，D 两点，线段AB 的中点为M ，线段CD 的中点为N ．(Ⅰ)若k =1，|AB|=8√25，求椭圆方程； (Ⅱ)若k 1k 2=−1，求△PMN 面积的最大值．【答案】解：(Ⅰ)由{x 2+a 2y 2−a 2=0y=x−1得(a 2+1)x 2x 2−2a 2x =0解得x 1=0，x 2=2a 2a 2+1所以|AB|=√2|x 1−x 2|=√22a 2a 2+1=8√25，解得a 2=4， 故椭圆方程为：x 24+y 2=1(Ⅱ)由{x 2+a 2y 2−a 2=0y=k 1(x−1)得(a 2k 12+1)x 2−2a 2k 12x +a 2k 12−a 2=0∴x 1+x 2=2a 2k 12a 2k 12+1， ∴中点M(a 2k 12a 2k 12+1,−k 1a 2k 12+1)，故|PM|=√1+1k 12||k 1|a 2k 12+1|， 用−1k 1代k 1得|PN|=√1+k 12|1k 1a 2k 12+1|，所以S △PMN =12|PN|⋅|PM|=12√k 12+1k 12+21|a 2(k 12+1k 12)+a 4+1]， 令√k 12+1k 12+2=t(t ≥2)，则S =12⋅t a 2t 2+(a 2−1)2=121a 2t+(a 2−1)2t ， 所以a ≥1+√2时，S max =14a(a 2−1)；当1<a <1+√2时，S max =1(a 2+1)2．【解析】(Ⅰ)设直线方程联立方程，由弦长公式求出|AB|，与已知弦长相等，可解得a 2=4，从而可得椭圆方程；(Ⅱ)利用弦长公式求出|PM|，|PN|，然后用面积公式求出面积，再求出最大值． 本题考查了直线与椭圆的综合，属难题．22. 已知f(x)=a x +lnx ，g(x)=e −x ，其中a ∈R ，e =2.718…为自然对数的底数．(I)若函数g(x)的切线l 经过(1,0)点，求l 的方程；(Ⅱ)若函数f(x)在(0,2e )为递减函数，试判断φ(x)=f(x)−g(x)函数零点的个数，并证明你的结论．【答案】解：(Ⅰ)设l 和g(x)的切点是(x 0,e −x 0)，g(x)在该点处的导数g′(x 0)=−e −x 0，它是切线l 的斜率，∵l 经过(1,0)，也过切点(x 0,e −x 0)，∴l 的斜率又可写为e −x 0x0−1， 故e −x 0x 0−1=−e −x 0，故x 0−1=−1，解得：x 0=0， 故直线l 的斜率为g′(x 0)=−e −x 0=−1，故l 的方程是：y =−x +1；(Ⅱ)判断：函数的零点个数是0，下面证明f(x)>g(x)恒成立，f′(x)=x−ax 2<0，故x <a ，若f(x)在(0,2e )递减，则a ≥2e ，因此，要证明f(x)=a x +lnx >g(x)=e −x 对x >0恒成立，只需证明2e⋅x +lnx >e −x 对x >0恒成立，考虑2e⋅x +lnx >e −x 等价于xlnx >xe −x −2e ，记u(x)=xlnx ，v(x)=x ⋅e −x −2e ，先看u(x)，u′(x)=lnx +1，令u′(x)>0，解得：x >1e ，令u′(x)<0，解得：0<x <1e ，故u(x)在(0,1e )递减，在(1e ,+∞)递增，u min (x)=u(1e )=−1e ，u min (x)=v max (x)，且两个函数的极值点不在同一个x 处，故u(x)>v(x)对x >0恒成立，综上，f(x)>g(x)对x>0恒成立，故函数φ(x)=f(x)−g(x)函数零点是0个．【解析】(Ⅰ)设出切点坐标，求出切线斜率，求出切线方程即可；(Ⅱ)问题等价于xlnx>xe−x−2e ，记u(x)=xlnx，v(x)=x⋅e−x−2e，分别求出u(x)的最小值和v(x)的最大值，从而证明结论．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．。
2019-2020学年浙江省金华市十校高二(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知向量a →=(−2，4，3)，b →=(1，−2，x)，若a →⊥b →，则x ＝（ ） A ．−32B ．103C ．﹣2D ．22．（3分）已知x ，y ∈R ，则“x 2+y 2＜1”是“（x ﹣1）（y ﹣1）＞0”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．（3分）已知直线a ，b 和平面α．则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α B ．若a ⊥b ，b ∥α，则a ∥α C ．若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥αD ．若a ⊥b ，b ⊥α，则a ⊂α4．（3分）已知m ＜1且m ≠0，则二次曲线x 21−m−y 2m=1与x 24+y 23=1必有（ ）A ．不同的顶点B ．不同的焦距C ．相同的离心率D ．相同的焦点5．（3分）在平面直角坐标系中，坐标原点O 到过点A （cos130，sin130），B （cos70，sin70）的直线距离为（ ） A ．12B ．√22C ．√32D ．16．（3分）若f （x ）＝3（x ﹣1）f '（1）+x 2，则f （2）﹣f '（2）＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．27．（3分）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =2π3，线段AD ，BD 的中点分别E ，F ．现将MBD 沿对角线BD 翻折，当二面角A ﹣BD ﹣C 的余弦值为13时，异面直线BE 与CF 所成角的正弦值是（ ）A ．√356B ．16C ．2√65D ．158．（3分）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，满足f'（x）﹣f（x）＞0，则（）A．G（x）＝e x f（x）是增函数，ef（2020）＞f（2019）B．G（x）＝e x f（x）是减函数，ef（2020）＜f（2019）C．F(x)=f(x)e x是增函数，f（2020）＞ef（2019）D．G(x)=f(x)e x是减函数，f（2020）＜ef（2019）9．（3分）已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左、右焦点F1，F2，两曲线在第﹣一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝8，椭圆和双线线的离心率分别为e1，e2，则2e1+1e2的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（4，7）C．（2，4）D．（2√2，4）10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E、N分别为边AB，BC的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A1处（A1与A不重合），若M、K分别为线段A1D，A1C 的中点，则在MDE折起过程中，（）A．DE可以与A1C垂直B．不能同时做到MN∥平面A1BE且BK∥平面A1DEC．当MN⊥A1D时，MN⊥平面A1DED．直线A1C、BK与平面BCDE所成角分别为θ1，θ2，θ1，θ2能够同时取得最大值二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）设两直线l1：（3﹣m）x+4y＝1与l2：2x+（5﹣m）y＝1，若l1∥l2，则m＝；若l1⊥l2，则m＝．12．（3分）已知函数f（x）＝xe2x﹣1，则函数f（x）的极小值为，零点有个．13．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为；外接球体积为．14．（3分）已知抛物线y 2＝ax 的准线方程为x ＝﹣1，则a ＝ ，若过点P （4，0）的直线与抛物线相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则|y 1|+4|y 2|的最小值为 ． 15．（3分）已知函数f(x)=12x 2−4x +3lnx 在区向间(t ，t +32)上是单调函数，则实数t 的取值范围 ．16．（3分）如图，菱形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，∠DAB ＝60°，AC 和BD 交于点O ，AB ＝AF ，点P 为线段CE 上任意﹣点，直线OP 与平面FBD 所成角为α，则sin α的取值范围是 ．17．（3分）已知抛物线y =12x 2的焦点为F ，A 是抛物线上两点，且|AF |+|BF |＝n ，若线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为C （0，4），则n ＝ ． 三、解答题（共5小题，满分0分） 18．已知点P （1，2），圆C ：x 2+y 2﹣6y ＝0．（1）若直线l 过点P 且在两坐标轴上截距之和等于0，求直线l 的方程； （2）设A 是圆C 上的动点，求OA →⋅OP →（O 为坐标原点）的取值范围．19．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是菱形，CA ＝CB ，∠BAA 1＝60°． （1）若G 是线段AB 的中点，求证：平面ABB 1A 1⊥平面CGA 1；（2）若M 、N 、Q 分别是线段A 1B 1、CB 1、CB 的中点，求证：直线C 1A 1∥平面MNQ ．20．已知四棱锥P ﹣ABCD ，BC =CD =12DA ，BC ∥AD ，∠ADC ＝90°，点P 在底面ABCD 上的射影是BD 的中点O ，PC =√2． （1）求证：直线BD ⊥平面POC ；（2）若BC ＝1，M 、N 分别为PO 、CD 的中点，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）当四棱锥P ﹣ABCD 的体积最大时，求二面角B ﹣PC ﹣D 的大小． 21．已知函数f （x ）＝2ax ﹣ln （x +1），a ∈R ． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）当a ＜32时，若对任意的x ∈（﹣1，+∞），均有f(x)≥ln 12a ，求实数a 的取值范围． 22．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，点(2√33，√2)在椭圆C 上，且△F 1AF 2的面积为√2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线y ＝kx +1与椭圆C 交于B 、D 两点，O 为坐标原点，y 轴上是否存在点E ，使得∠OEB ＝∠OED ，若存在，求出E 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设P 为椭圆C 上非长轴顶点的任意一点，Q 为线段F 1F 2上一点，若△PQF 1与△PQF 2的内切圆面积相等，求证：线段PQ 的长度为定值．2019-2020学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知向量a →=(−2，4，3)，b →=(1，−2，x)，若a →⊥b →，则x ＝（ ） A ．−32B ．103C ．﹣2D ．2【解答】解：由a →⊥b →，可得a →⋅b →=0，即﹣2﹣8+3x ＝0， 解得x =103． 故选：B ．2．（3分）已知x ，y ∈R ，则“x 2+y 2＜1”是“（x ﹣1）（y ﹣1）＞0”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】解：由x 2+y 2＜1，可得﹣1＜x ＜1，且﹣1＜y ＜1． 则可得到（x ﹣1）（y ﹣1）＞0，故充分性成立；反之若（x ﹣1）（y ﹣1）＞0，可取x ＝y ＝2，显然得到不x 2+y 2＜1，故必要性不成立， ∴“x 2+y 2＜1”是“（x ﹣1）（y ﹣1）＞0”成立的充分不必要条件． 故选：A ．3．（3分）已知直线a ，b 和平面α．则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α B ．若a ⊥b ，b ∥α，则a ∥α C ．若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥αD ．若a ⊥b ，b ⊥α，则a ⊂α【解答】解：A 选项，由线面平行的判定定理知，应该是a ∥α或a ⊂α，即A 错误； B 选项，应该是a ∥α或a ⊥α或a ⊂α，即B 错误； C 选项，由线面垂直的性质定理可知，C 正确； D 选项，应该a ⊂α或a ∥α，即D 错误． 故选：C ．4．（3分）已知m ＜1且m ≠0，则二次曲线x 21−m−y 2m=1与x 24+y 23=1必有（ ）A ．不同的顶点B ．不同的焦距C ．相同的离心率D ．相同的焦点【解答】解析：若m ＜0，则1﹣m ＞﹣m ＞0，则二次曲线x 21−m−y 2m=1表示焦点在x轴上的椭圆，此时c 2＝a 2﹣b 2＝1﹣m ﹣（﹣m ）＝1，故焦点坐标为（±1，0）， 因此与椭圆x 24+y 23=1具有相同的焦点，故选：D ．5．（3分）在平面直角坐标系中，坐标原点O 到过点A （cos130，sin130），B （cos70，sin70）的直线距离为（ ） A ．12B ．√22C ．√32D ．1【解答】解：k AB=sin70−sin130cos70−cos130=cos20−cos40sin20+sin40=cos20−2cos 220+1sin20+2sin20⋅cos20=1−cos20sin20=sin10cos10， 根据诱导公式可知：B （sin20，cos20），所以经过A ，B 两点的直线方程为：y −cos20=sin10cos10(x −sin20) 即sin10x ﹣cos10y +cos10cos20﹣sin10sin20＝0，即sin10x −cos10y +√32=0，所以原点O 到直线的距离为d =√32√sin 10+cos 10=√32，故选：C ．6．（3分）若f （x ）＝3（x ﹣1）f '（1）+x 2，则f （2）﹣f '（2）＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【解答】解：求导f '（x ）＝3f '（1）+2x ，令x ＝1，则f '（1）＝3f '（1）+2．解得f '（1）＝﹣1， 因此f （x ）＝﹣3（x ﹣1）+x 2，f '（x ）＝2x ﹣3， 所以f （2）＝﹣3+4＝1．f '（2）＝1， 故f （2）﹣f '（2）＝0， 故选：B ．7．（3分）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =2π3，线段AD ，BD 的中点分别E ，F ．现将MBD 沿对角线BD 翻折，当二面角A ﹣BD ﹣C 的余弦值为13时，异面直线BE 与CF 所成角的正弦值是（ ）。
2019-2020学年浙江省金华十校高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省金华十校高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知向量()2,4,3a =-，()1,2,b x =-，若a b ⊥，则x =（ ）． A ．32-B ．103C ．2-D ．2【答案】B【解析】根据空间向量垂直的坐标表示得出关于x 的方程，解出即可. 【详解】由a b ⊥，可得0a b ⋅=，即2830x --+=，解得103x =， 故选：B ． 【点睛】本题考查利用空间向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.2．已知x 、y R ∈，则“221x y +<”是“()()110x y -->”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断即可. 【详解】由221x y +<，可得11x -<<，且11y -<<，则可得到()()110x y -->，故充分性成立；反之若()()110x y -->，可取2x y ==，显然得到不等式221x y +<不成立，故必要性不成立. 故选：A ． 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也涉及了不等式基本性质的应用，考查推理能力，属于中等题.3．已知直线a 、b 和平面α，则下列命题正确的是（ ）C ．若//a b ，a α⊥，则b α⊥D ．若a b ⊥，b α⊥，则a α⊂【答案】C【解析】逐一分析各选项的正误，即可得出结论. 【详解】对于A 选项，若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，A 选项错误；对于B 选项，若a b ⊥，//b α，则//a α或a α⊂或a 与α相交，B 选项错误； 对于C 选项，若//a b ，a α⊥，则b α⊥，C 选项正确； 对于D 选项，若a b ⊥，b α⊥，则a α⊂或//a α，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查有关线面位置关系命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.4．已知1m <且0m ≠，则二次曲线2211x y m m -=-与22143x y +=必有（ ）A ．不同的顶点B ．不同的焦距C ．相同的离心率D ．相同的焦点【答案】D【解析】分01m <<和0m <两种情况讨论，确定二次方程2211x y m m-=-所表示的曲线的形状，并求出焦点坐标，从而得出结论. 【详解】若01m <<，则011m <-<，此时，二次方程2211x y m m -=-所表示的曲线为焦点在x轴上的双曲线，焦距为2=，焦点坐标为()1,0±，而椭圆22143x y +=的焦点坐标为()1,0±，此时两曲线的焦点重合；若0m <，则10m m ->->，二次曲线2211x y m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，且焦距为2=，焦点坐标为()1,0±，此时，两曲线的焦点重合.综上所述，二次曲线2211x y m m -=-与22143x y +=必有相同的焦点.【点睛】本题考查根据椭圆、双曲线的标准方程求焦点的坐标，解题时要对参数的取值进行分类讨论，并结合标准方程确定焦点的位置，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 5．在平面直角坐标系中，坐标原点O 到过点()cos130,sin130A ，()cos70,sin 70B 的直线距离为（ ）A ．12B．2CD ．1【答案】C【解析】求出直线AB 的方程，然后利用点到直线的距离公式可计算出原点到直线AB 的距离. 【详解】2sin 70sin130cos 20cos 40cos 202cos 2011cos 20cos 70cos130sin 20sin 40sin 202sin 20cos 20sin 20ABk -===--+--+=+⋅sin10cos10=，根据诱导公式可知：()sin 20,cos 20B ，所以经过A 、B 两点的直线方程为：()sin10cos 20sin 20cos10y x -=-，即sin10cos10cos10cos 20sin10sin 200x y -+-=， 即()sin10cos10cos 10200x y -++=，即3sin10cos1002x y -+=， 所以原点O 到直线的距离为22210cos 10d ==+， 故选：C ． 【点睛】本题考查点到直线距离的计算，涉及二倍角公式和两角和的余弦公式的应用，解题的关键就是求出直线的方程，考查计算能力，属于中等题.6．若()()()2311f x x f x '=-+，则()()22f f '-=（ ）【解析】对函数()()()2311f x x f x '=-+求导，代入1x =，可求出()1f '的值，进而可求出函数()y f x =的解析式，可计算出()2f 和()2f '的值，进而得出()()22f f '-的值.【详解】求导()()312f x f x ''=+，令1x =，则()()1312f f ''=+．解得()11f '=-， 因此()()231f x x x =--+，()23f x x '=-，所以()2341f =-+=．21f，因此，()()220f f '-=， 故选：B ． 【点睛】本题考查导数值的计算，考查运算求解能力，属于基础题.7．如图，在菱形ABCD 中，23ABC π∠=，线段AD 、BD 的中点分别为E 、F ．现将ABD ∆沿对角线BD 翻折，当二面角A BD C --的余弦值为13时，异面直线BE 与CF 所成角的正弦值是（ ）A ．35 B ．16C 26D ．15【答案】A【解析】过E 作EH BD ⊥，交BD 于H 点，设二面角A BD C --的大小为α，设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，由向量数量积的运算律得出CF BE CF HE ⋅=⋅，由题意可得出12HE BE =，利用数量积的定义可求出cos ,CF BE <>的值，即可求出cos θ的值，进而利用同角三角函数的平方关系可求出sin θ的值. 【详解】设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦， 记二面角A BD C --的大小为α，()CF BE CF BH HE CF HE ⋅=⋅+=⋅， 即()cos CF BE CF HE πα⋅=⋅-，即11cos ,23CF BE CF BE CF BE ⎛⎫⋅<>=⋅⋅- ⎪⎝⎭， 1cos ,6CF BE ∴<>=-，所以1cos 6θ=，即35sin 6θ=，故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，同时也考查了二面角的定义，涉及利用空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.8．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，满足()()0f x f x '->，则（ ） A ．()()xG x e f x =是增函数，()()20202019ef f >B ．()()xG x e f x =是减函数，()()20202019ef f <C ．()()xf x F x e=是增函数，()()20202019f ef > D ．()()xf x F x e=是减函数，()()20202019f ef < 【答案】C【解析】利用导数判断函数()y G x =和函数()y F x =的单调性，再利用函数的单调性可判断出各选项中不等式的正误.构造函数()()xG x e f x =，则()()()xG x e f x f x ''=⋅+⎡⎤⎣⎦，()()f x f x '+的符号无法确定，所以，函数()y G x =的单调性不能确定，A 、B 选项错误； 构造函数()()x f x F x e =，则()()()0x f x f x F x e '-'=>，所以()()xf x F x e=单调递增，所以()()20202019F F >，即()()2020201920202019f f e e>，即()()20202019f ef >， 故选：C ． 【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，并利用函数的单调性来判断不等式，根据导数不等式的结构构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左、右焦点1F 、2F ，两曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若18PF =，椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则1221e e +的取值范围是（ ） A ．()4,+∞ B ．()4,7C ．()2,4D．()4【答案】B【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c ，则22PF c =，利用双曲线的定义和三角形三边关系求得24c <<，然后利用 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c ，则22PF c =，由椭圆和双曲线的定义可得12822822c a c a +=⎧⎨-=⎩，解得12440a c a c =+⎧⎨=->⎩，又因为2121PF F F PF +>，即48c >，解得2>c ，即24c <<， 所以()12122218241214,7a a c c e e c c c+++-+===+∈， 故选：B ．本题主要考查椭圆和双曲线离心率倒数和取值范围的计算，根据题意得出半焦距的取值范围是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.10．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 、N 分别为边AB 、BC 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，点A 折至1A 处（1A 与A 不重合），若M 、K 分别为线段1A D 、1A C 的中点，则在ADE ∆折起过程中（ ）A ．DE 可以与1A C 垂直B ．不能同时做到//MN 平面1A BE 且//BK 平面1A DEC ．当1MN AD ⊥时，MN ⊥平面1A DED ．直线1AE 、BK 与平面BCDE 所成角分别为1θ、2θ，1θ、2θ能够同时取得最大值 【答案】D【解析】逐一分析各选项的正误，从而可得出结论. 【详解】对于A ，连接EC ，假设1DE A C ⊥，45AED BEC ∠=∠=，90DEC ∠=，DE EC ∴⊥，1AC EC C =，DE ∴⊥平面1A EC ，1A E ⊂平面1A EC ，1DE A E ∴⊥，而145A ED ∠=，∴A 错误；对于B ，取DE 、DC 中点G 、F ，连接GM 、GN 、FK 、FB ，//BE CD ，12BE CD =，则四边形BEDC 为梯形，且BE 、CD 为底，又G 、N 分别为DE 、BC 的中点，//GN BE ∴，GN ⊄平面1A BE ，BE ⊂平面1A BE ，//GN ∴平面1A BE ， MG GN G ⋂=，∴平面//MGN 平面1A BE ，MN ⊂平面MGN ，//MN ∴平面1A BE ，同理可得//BK 平面1A DE ，B 选项错误； 对于C ，连接ME 、EN ，当1MN A D ⊥时，22222224MN DN DM CD CN DM CD =-=+-==， 而2254ME EN ==，222ME EN MN ∴+≠， MN ∴与ME 不垂直，即MN 不垂直平面1A DE ，C 选项错误；对于D ，1A 在以DE 为直径球面上，球心为G ，1A ∴的轨迹为1A AF ∆外接圆（1A 与F 不重合，F 为CD 的中点），连接EC ，取EC 中点T ，连接TK 、TB ，则1//TK A E ，//BT DE ， 且1180KTB A ED ∠+∠=，118018045135KTB A ED ∴∠=-∠=-=， 在KTB ∆中，11122KT A E ==，122BT CE ==， 由余弦定理得22252cos1354BK BT KT BT KT =+-⋅=，5BK ∴=.当直线BK 与平面BCDE 所成角取得最大值时，点K 到平面BCDE 的距离最大， 由于点K 为1A C 的中点，此时，点1A 到平面BCDE 的距离最大，由于11A E =，当1A E 与平面BCDE 所成角最大时，点1A 到平面BCDE 的距离最大. 所以，直线1A E 、BK 与平面BCDE 所成角能同时取到最大值. 故选：D ． 【点睛】本题考查空间翻折几何体的应用，考查线线、线面位置关系的判断，考查线面角的求解，考查推理能力、空间想象能力以及运算求解能力，属于难题.二、填空题11．设两直线()11:34m x l y -+=与()2:251l x m y +-=，若12l l //，则m =______；若12l l ⊥，则m =______． 【答案】7133【解析】根据两直线平行和垂直的等价条件列出关于实数m 的方程，解出即可. 【详解】12//l l ，则()()35832m m m ⎧--=⎨-≠⎩，即28701m m m ⎧-+=⎨≠⎩，解得7m =；13故答案为：7；133. 【点睛】本题考查利用两直线平行与垂直求参数，考查计算能力，属于基础题. 12．已知函数()21xf x xe =-，则函数()f x 的极小值为______，零点有______个．【答案】112e-- 1 【解析】求出函数()y f x =的导数，求出极值点，分析该函数的单调性，可求得该函数的极小值，令()0f x =，可得出21xe x=，作出函数2xy e =与函数1y x =的图象，观察两个函数图象的交点个数，可得出函数()y f x =的零点个数. 【详解】()21x f x xe =-，()()222212x x x f x e xe x e '=+=+，令()0f x '=，可得12x =-，如下表所示：所以，函数()y f x =的极小值为11122f e ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， ()210x f x e x=⇒=，则函数()y f x =的零点个数等于函数2xy e =与函数1y x =的图象的交点个数，如下图所示：两个函数的图象有且只有一个交点，即函数()y f x =只有一个零点. 故答案为：112e--；1． 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，同时也考查了函数零点个数的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为______；外接球的体积为_________.【答案】323+823【解析】把几何体放入长方体中，根据三视图的数据可计算出该三棱锥的表面积，计算出长方体的体对角线长，可得出该三棱锥外接球的半径，利用球体体积公式可求出球的体积. 【详解】把该几何体放入长方体中，如图所示三棱锥A BCD -就是该几何体，其中长方体的长和宽都为2，高为2， 所以该三棱锥的表面积为()2111122222263232222⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++. 又因为该长方体的体对角线长为()2222222+⨯=，故其外接球的半径为2，所以外接球的体积为()3482233ππ⨯=． 故答案为：323++；823π.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的表面积，同时也考查了三棱锥外接球体积的计算，解题的关键就是利用三视图将几何体还原，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 14．已知抛物线2y ax =的准线方程为1x =-，则a =______，若过点()4,0P 的直线与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则124y y +的最小值为______． 【答案】4 16【解析】根据抛物线的标准方程得出准线方程，可求出实数a 的值，设直线AB 的方程为4x my =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用基本不等式可求出124y y +的最小值. 【详解】抛物线2y ax =的准线方程为4a x =-，所以，14a-=-，解得4a =，设直线AB 的方程为4x my =+，代入抛物线方程24y x =可得，24160y my --=，所以1216y y =-，即2116y y =，所以12111164644216y y y y y y +=+≥⋅=， 故当18y =，即18y =±时取到最小值，最小值为16.故答案为：4；16. 【点睛】本题考查由抛物线准线的方程求参数，同时也考查韦达定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 15．已知函数()2143ln 2f x x x x =-+在区间3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上是单调函数，则实数t 的取值范围______． 【答案】[)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【解析】利用导数求出函数()2143ln 2f x x x x =-+的单调增区间为()0,1和()3,+∞，单调递减区间为()1,3，由题意可知，区间3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为这三个区间的子集，从而可列出关于实数t 的不等式组，解出即可. 【详解】函数()2143ln 2f x x x x =-+的定义域为()0,∞+，()23434x x f x x x x-+'=-+=. 令()0f x '>，可得01x <<或3x >；令()0f x '<，可得13x <<.所以，函数()y f x =的单调增区间为()0,1和()3,+∞，单调递减区间为()1,3. 由于函数()y f x =在3,2t t ⎛⎫+⎪⎝⎭上单调，则3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为以上三个区间的子集.①若()3,0,12t t ⎛⎫+⊆ ⎪⎝⎭，可得0312t t t ≥⎧⎪⇒∈∅⎨+≤⎪⎩； ②若()3,1,32t t ⎛⎫+⊆ ⎪⎝⎭，可得1332t t ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得312t ≤≤；③若()3,3,2t t ⎛⎫+⊆+∞ ⎪⎝⎭，则3t ≥.因此，实数t 的取值范围是[)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦.故答案为：[)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，将问题转化为所涉及的区间为单调区间的子集是解题的关键，考查化归与转化思想以及运算求解能力，属于中等题.16．如图，菱形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，60DAB ∠=，AC 和BD 交于点O ，AB AF =，点P 为线段CE 上任意一点，直线OP 与平面FBD 所成角为α，则sin α的取值范围______．【答案】27,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】证明出平面FBD ⊥平面ACEF ，可得出FOP ∠就是OP 与平面FBD 所成角或其补角，然后找到角α取最大值和最小值时对应的点P 的位置，求出相应的sin α值，即可求出sin α的取值范围. 【详解】四边形ABCD 是菱形，可得AC BD ⊥， 又平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD平面ACEF AC =，BD ⊂平面ABCD ，BD ∴⊥平面ACEF ，BD ⊂平面FBD ，∴平面FBD ⊥平面ACEF ，故点P 在平面FBD 上的射影落在FO 上，即FOP ∠就是OP 与平面FBD 所成角或其补角，如图所示，当点P 在点H 位置，所成角为2π，即sin α最大为1； P 向两边移动，线面角变小，故只需比较FOE ∠和FOA ∠的大小就行，23tan 33AFFOA AOAB∠===<3FOA π∴∠<， 故23FOE FOA ππ∠=-∠>，所以，当点P 与点C 重合时，角α最小，且2tan 27sin sin 7tan 1FOA FOA FOA α∠=∠==∠+. 因此，sin α的取值范围是27,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：27,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查线面角正弦值取值范围的计算，解题的关键就是找出点的临界位置，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 17．已知抛物线212y x =的焦点为F ，F 是抛物线上两点，且AF BF n +=，若线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为()0,4C ，则n =______．【答案】7【解析】设点()2112,2A t t 、()2222,2B t t ，求出线段AB 的垂直平分线方程，由该直线过点C ，得出22123t t +=，然后利用抛物线的定义可求出n 的值.【详解】设点()2112,2A t t 、()2222,2B t t ，则12AB k t t =+，线段AB 的中点()221212,M t t t t ++，从而AB 的中垂线方程为()221212121y x t t t t t t =---+++， 该直线过点()0,4，从而221214t t ++=，从而22123t t +=，从而222212121122221231722n AF BF t t t t +=+++=++=+=⨯=. 故答案为：7. 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题18．已知点()1,2P ，圆22:60C x y y +-=．（1）若直线l 过点P 且在两坐标轴上截距之和等于0，求直线l 的方程； （2）设A 是圆C 上的动点，求OA OP ⋅（O 为坐标原点）的取值范围．【答案】（1）20x y -=和10x y -+=；（2）6⎡-+⎣.【解析】（1）分两种情况讨论，①直线l 过原点，可设直线l 的方程为y kx =；②当两截距均不为零时，设直线l 的方程为1x ya a+=-.将点P 的坐标代入上述直线l 的方程，求出参数值，综合可得出直线l 的方程；（2）设点()3cos ,33sin A θθ+，利用平面向量数量积的坐标运算得出OA OP ⋅，结合辅助角公式和正弦型函数的值域可求出OA OP ⋅的取值范围. 【详解】（1）当截距均为0即直线过原点时，设直线l 的方程为y kx =． 代入()1,2P ，解得2k =，直线l 的方程为20x y -=； 当截距均不为0时，设直线l 的方程为1x y a a+=-，代入()1,2P ，解得1a =-， 直线方程为10x y -+=.综上所述，所求直线l 的方程为20x y -=和10x y -+=；（2）将圆C 方程整理为()2239x y +-=，则有3cos 33sin x y θθ=⎧⎨-=⎩，所以可设()3cos ,33sin A θθ+，()()3cos 233sin 6sin 3cos 66OA OP θθθθθϕ⋅=++=++=++，其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=，由于R θ∈，所以6OA OP ⎡⋅∈-+⎣． 【点睛】本题考查直线的截距式方程，同时也考查了平面向量数量积取值范围的计算，将圆上的点的坐标利用圆的参数方程表示是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，CA CB =，160BAA ∠=．（1）若G 是线段AB 的中点，求证：平面11ABB A ⊥平面1CGA ；（2）若M 、N 、Q 分别是线段11A B 、1CB 、CB 的中点，求证：直线11//C A 平面MNQ ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）证明AB ⊥平面1CGA ，然后利用面面垂直的判定定理可证明出平面11ABB A ⊥平面1CGA ；（2）连接1A C ，由中位线的性质可得出1//MN AC ，利用线面平行的判定定理可证明出直线//MN 平面11AAC C ，同理可得出//QN 平面11AAC C ，由面面平行的判定定理得出平面//MNQ 平面11AAC C ，由此可得出直线11//C A 平面MNQ . 【详解】（1）连接1A B ，在ABC ∆中，CA CB =，G 为AB 中点，所以AB CG ⊥，由于侧面11ABB A 是菱形，则1AB AA =，160BAA ∠=，所以，1ABA ∆为等边三角形，G 为AB 的中点，1A G AB ∴⊥，而1CG AG G =，所以AB ⊥平面1CGA ， 而AB平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面1CGA ；（2）如下图所示，连接1A C ，在11A B C ∆中，M 、N 分别为11A B 、1B C 的中点，所以1//MN AC ， 而MN ⊄平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，所以//MN 平面11AAC C ．同理，1//QN BB ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB AA ，1//QN AA ∴， 而QN ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以//QN 平面11AAC C ． 而MNQN N =，MN 、QN ⊂平面MNQ ，所以平面11//AAC C 平面MNQ ．又11C A ⊂平面11AAC C ，所以直线11//C A 平面MNQ ． 【点睛】本题考查平面与平面垂直、直线与平面平行的证明，考查推理论证能力，属于中等题. 20．已知四棱锥P ABCD -，12BC CD DA ==，//BC AD ，90ADC ∠=，点P 在底面ABCD 上的射影是BD 的中点O ，2PC =．（1）求证：直线BD ⊥平面POC ；（2）若1BC =，M 、N 分别为PO 、CD 的中点，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）当四棱锥P ABCD -的体积最大时，求二面角B PC D --的大小．【答案】（1）证明见解析（21053）23π 【解析】（1）连接OC ，由题意可得出PO ⊥平面ABCD ，可得出PO BD ⊥，由等腰三角形三线合一的思想可得出PO BD ⊥，再利用线面垂直的判定定理可得出结论；（2）以点C 为坐标原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系，先由2PC =求出点P 的坐标，然后利用空间向量法可求出直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）设2BC a =，则2OC a =，222PO a =-，利用基本不等式求出三棱锥P ABCD -体积的最大值，求出a 的值，以点C 为坐标原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出二面角B PC D --的大小． 【详解】（1）连接OC ，因为PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PO BD ⊥， 又因为BC CD =，且O 为BD 的中点，故OC BD ⊥． 又POOC O =，所以BD ⊥平面POC ；（2）以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立直角坐标系如图所示， 则()0,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0D ，11,,22P m ⎛⎫⎪⎝⎭，于是211244PC m =++=6=m ．即116,22P ⎛ ⎝⎭． 所以1,0,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，116,22M ⎛ ⎝⎭，160,2NM ⎛= ⎝⎭设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，()1,0,0CD =，116,,222CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则0011660222n CD x x y z n CP x y z ⎧⋅===⎧⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⋅=++=⎩⎪⎩，令1z =-，得()0,6,1n =-， 所以66024105sin cos ,351661416n NM n NM n NMθ+-⋅=<>===⋅+⋅+． 故直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为10535； （3）设2BC a =，则2OC a =，222PO a =-，所以()24212422222232P ABCD a aV a a a a -+=⨯⨯⨯-=-32222246239a a a ⎛⎫++-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2222a a =-即2633a ==时取等号，此时26BC CD ==33BD =， 以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系如图所示，则()0,0,0C ，263D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，260,3B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，666333P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．设平面PBC 的法向量为()1111,,n x y z =，260,,03CB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，666,333CP ⎛= ⎝⎭， 则)111111112603603n CB y y x z n CP x y z ⎧⋅==⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪⋅=++=⎪⎩，令11z =-，得()11,0,1n =-，同理，可得平面PCD 的一个法向量为的()20,1,1n =-， 所以1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ， 又因为二面角B PC D --为钝二面角，所以二面角B PC D --的大小为23π． 【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了线面角和二面角的计算，建立空间直角坐标系是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 21．已知函数()()2ln 1f x ax x =-+，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）当32a <时，若对任意的()1,x ∈-+∞，均有()1ln 2f x a≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，然后对a 分类讨论，分析导数符号的变化，可得出该函数的单调增区间和减区间； （2）由题意知0a >，由()1ln2f x a≥可得出()min 1ln 2f x a ≥，可得出122ln 20a a -+≥，令()3122ln 202h a a a a ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，利用导数分析函数()y h a =的单调性，结合102h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）函数()()2ln 1f x ax x =-+的定义域为()1,-+∞，且()121f x a x '=-+． ①当0a ≤时，对任意的1x >-，()0f x '<，则函数()y f x =在区间()1,-+∞上单调递减；②当0a >时，令()0f x '<，得1112x a -<<-；令()0f x '>，得112x a>-. 所以，函数()y f x =在区间11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．（2）由于对任意的()1,x ∈-+∞，均有()1ln2f x a≥，则0a >且()min 1ln 2f x a ≥，由（1）可知，当0a >时，函数()y f x =在区间11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，()min 11112ln 2ln ln 222f x f a a a a a ⎛⎫∴=-=-+≥=- ⎪⎝⎭， 即3122ln 2002a a a ⎛⎫-+≥<<⎪⎝⎭． 令()122ln 2h a a a =-+，则()()2122a h a a a-'=-+=， ∴函数()y h a =在区间()0,1上单调递增，在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 且32ln 3202h ⎛⎫=->⎪⎝⎭，1112ln102h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，为使()0h a ≥， 则实数a 的取值范围为13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.22．已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点23,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F AF ∆的面积为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1y kx =+与椭圆C 交于B 、D 两点，O 为坐标原点，y 轴上是否存在点E ，使得OEB OED ∠=∠，若存在，求出E 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设P 为椭圆C 上非长轴顶点的任意一点，Q 为线段12F F 上一点，若1PQF ∆与2PQF ∆的内切圆面积相等，求证：线段PQ 的长度为定值．【答案】（1）22143x y +=（2）存在，()0,3E ，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，根据12F AF ∆的面积计算出1c =，可设椭圆C 的标准方程为222211x y a a +=-，再将点A 的坐标代入椭圆C 的标准方程，求出2a 的值由此可求出椭圆C 的方程；（2）设点()11,B x y ，()22,D x y ，()0,E m ，由OEB OED ∠=∠，可得出0BE DE k k +=，将直线BD 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，代入0BE DE k k +=，求出实数m 的值，即可求出定点E 的坐标；（3）设点()00,P x y ，()()11,0n Q n -<<，PQ t =，由题意得出()()0121111n y n y n PF tn PF t+-=+++-++，化简得出()()22203420t t x ⎡⎤-+-=⎣⎦，可求出正数t 的值，从而得出结论. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，因为12F AF ∆2，所以1A c y c ⋅=⇒=，设椭圆C 的方程为222211x y a a +=-，将A ⎝代入方程得42212242131340431a a a a a +=⇒-+=⇒=-，2213a =，易知1a c >=，所以2a =，因此，椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）存在这样的点E 为()0,3，下面证明：设()11,B x y ，()22,D x y ，()0,E m ，所以要使得OEB OED ∠=∠， 即1212121211000BE DE y m y m kx m kx mk k x x x x --+-+-+=⇒+=⇒+= ()1212210x x k m x x +⇒+-⋅=①； 联立()2222134880143y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 由韦达定理得122834k x x k -+=+，122834x x k -=+， 代入可将①化简为()210k m k +-=，要使得式子关于k 恒成立，即此时3m =， 所以点()0,3E ；（3）设点()00,P x y ，()()11,0n Q n -<<，PQ t =，因为内切圆面积相等，即圆半径相等，而内切圆半径公式为三角形面积的2倍除以周长，所以()()0121111n y n y n PF tn PF t+-=+++-++，化简得1211PF tn n PF t++=-+， 故11nn+=-，因为220334x y =-，代入得0021214222x t x n n x n t t +++=⇒=-+-++．而()222220000033424x x t x n y x t ⎛⎫=-+=-+- ⎪+⎝⎭，()()22203420t t x ⎡⎤-+-=⎣⎦，而()220420t x +-≠，所以t =，即线段PQ【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中存在某点满足条件以及椭圆中的定值问题，考查计算能力，属于难题.。
浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考数学试题(名师解析)
得到������(������) = 2������������������[2(������ + ������) ‒ ���4���] = 2������������������(2������ + 2������ ‒ ���4���)，
������(������)
=
2������������������(2������
=‒
5������ 6
+
2������������，得������
=‒
7������ 24
+
������������，
∵ ������ > 0，
∴
当������
=
1时，m
最小，此时������
=
������
‒
7������ 24
=
17������
24 ，
故选：B．
根据三角函数的诱导公式化成同名函数，结合三角函数的图象平移关系进行求解即可．
故选：B． 化简集合 A、B，根据补集和交集的定义写出(∁������������) ∩ ������．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2. 已知条件 p：������ > 1，条件������：1������ ≤ 1，则 p 是 q 的( )
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既非充分也非必要条件
3������ ‒ ������ ‒ 6 ≤ 0 【解析】解：作出实数 x，y 满足约束条件 ������ ‒ ������ ≥ 0 ，表示的平面 区域(如图示：阴影部分)
{������ + ������ = 2
由 ������ = ������ 得������(1,1)， 由������ = 3������ + ������得������ =‒ 3������ + ������，平移������ =‒ 3������， 易知过点 A 时直线在 y 上截距最小， 所以������������������������ = 3 × 1 + 1 = 4． 故选：C． 首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求 z 的最小值． 本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值首先画出可行域，利用几何意义求值．
浙江省金华十校2018-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试卷(扫描版)
金华十校2（川-2012学年第一学期期末考试高二数学（理科）试题卷I 寿咸廿间力1211 g 试抵势令舟I 鮒处2.仝试&仃•芥貯容一鼠人血吝案苗烦做虚飙尊耐押;um左芥感称询加荟番'的瓷非凭内堆爲牟a 皿竿叭蛙空很却处弍：八栅中4$晁不^畑価U 配h 黑叭删的白 I 伯側休祝iht1冲f 輕小槨凡们吹斛Uh 疋：-悴叫，5 W I*的体唧•:. r-jrf 1“屮執，1A . I 阿他眛槪:儿 』'如低5I 艸务 国倉划憲汴库铃L ・Hi 血配 ''■和W”梢命r 选择啄 本烦冇州小越，梅小遐$分. 是符合蛊目要求的.1.相何;二 + Al 叮的备卜堆43共利你在邯小JK 绘出的四介选頊中，只冇一頊个WK 沟亦i 的止界川皿烛柑帛啪円1，则旳寺的剧卫噬A. SffcnfB. 1益的？G 1血帅’D. JO.tcm* h ^mii^O-ASc ■H J ■ .<■ W OA 1・ ILOW2M ・ X 沟肚叩点.剧丽・A . ia^-oz?+ l fX'B. -OA^-OB-^OC2 3 2 2 13 C.二鬲丿湖」斎D ，2加二丽」.住 3 223 3 24. mdm 士-訐t(#> > 0> ffi 个罠心6 ft 币Ef i 实轴畑 0 科超巧 W 点.ff WPF 电彳.刪w 閘线的紳厂t~A. r- t<J*rIk r - t —、「. r - tv2.<IX r ±—r3+21 kJ-, r ： •行I 讯界tf 上1勺1 - M.4也IC- -D,- 2 -4S 削这刻戲的力用呛A. lr*4rH$叩K-厂-3哑严_?争C. T=-3D. ir^-3 或6. «~3 &门堆fupi-TfT和门緩3汁(~1肝旷？Tijll不亚ft的A.施井II必疏*啊H.临mi定竹条flC,充牧举Fl D, 15110也0；必營策件7.设耐“心眠I；讪川线・m /A应VMM朋恂」-拾岀"用个命那①Tt m L«* H s 川抽丄" ^77 a//A W* ¥、mLm ^:J m '. y［：£'》；％'f g ft a>则j«"n ④苦口丄严B丄尹^la//p梵中iEflttMBftW号是A.①鞘』B.②和③G③和④D* ©fll®N. il^h『」mp s 和ur+也十产C(拎I」"悴吐呼ErR)•它啊听崔示的血线讨龍圧比血阳i阿花只装了水的矗封腿丁, H内沖;】对；底3伴衿为15和匸待为km灼曲亍閱林细成的简附儿何懺冇直化儿狗休划图(2)忒平放丹时* 港面高度为心・咒这吓几何协如图卩冰平^WB<・液曲応度为如,灯進牛简歎几沏林的总简度为 A.丹cm乩3(km10. LlUh战-则磁h 5阜卜A-i^h月M •哽足逹从八汕:公创X丨用"'刈歇反樹“阵绅虫皈林上M：含峯直).则2巒的A, <7*-曲K (0,+flcJC, (h+x) D, «+*>二填空JH：本大IIXT小恵*隔小JH4分，捷搀企IL已3UArirll>*曲2£2h点户症二執上.PWlfW■魁恵P的坐标为一鼻：12,命L「；nF.剛尸0 IIE广的辿山命世匕▲ _：I 吃扁-1-41 -试押Ct 询2 *t f r. 4 «U皿(4^5M4 5h 曲制。
金华市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
金华市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 函数是指数函数，则的值是（ ）2(44)xy a a a =-+A ．4 B ．1或3 C ．3D ．12． 设为虚数单位，则（ ）A ．B ．C ．D ．3． 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数的图象，63sin(2)(π+=x x f 4π)(x g 则的解析式为（ ）)(x g A ． B ．343sin(2)(--=πx x g 3)43sin(2)(++=πx x g C ．D ．3)123sin(2)(+-=πx x g 3)123sin(2)(--=πx x g 【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度.4． 已知x ，y ∈R ，且，则存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立的P （x ，y ）构成的区域面积为（ ）A ．4﹣B ．4﹣C ．D ．+5． “互联网”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶+段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．406． 给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个7． 阅读如下所示的程序框图，若运行相应的程序，则输出的的值是（）S A ．39B ．21C ．81D ．1028． 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．y=|x|（x ∈R ）B ．y=（x ≠0）C ．y=x （x ∈R ）D ．y=﹣x 3（x ∈R ）9． 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为( )A5B4C3D210．以下四个命题中，真命题的是（ ）A ．，(0,)x π∃∈sin tan x x=B ．“对任意的，”的否定是“存在，x R ∈210x x ++>0x R ∈20010x x ++<C ．，函数都不是偶函数R θ∀∈()sin(2)f x x θ=+D ．中，“”是“”的充要条件ABC ∆sin sin cos cos A B A B +=+2C π=【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．11．椭圆=1的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．偶函数f （x ）的定义域为R ，若f （x+2）为奇函数，且f （1）=1，则f （89）+f （90）为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1二、填空题13．已知（1+x+x 2）（x）n （n ∈N +）的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n= ．14．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ． 15．直线l ：（t 为参数）与圆C ：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是 ． 16．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值是 ．17．如图，已知，是异面直线，点，，且；点，，且.若，分m n A B m ∈6AB =C D n ∈4CD =M N别是，的中点，与所成角的余弦值是______________.AC BD MN =m n【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.18．设,则三、解答题19．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】已知函数，()2ln f x ax x =+，，()21145ln 639f x x x x =++()22122f x x ax =+a R ∈（1）求证：函数在点处的切线恒过定点，并求出定点的坐标；()f x ()(),e f e （2）若在区间上恒成立，求的取值范围；()()2f x f x <()1,+∞a （3）当时，求证：在区间上，满足恒成立的函数有无穷多个．（记23a =()0,+∞()()()12f x g x f x <<()g x ）ln5 1.61,6 1.79ln ==20．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4。