431期：椭圆中互相垂直的弦过定点问题
椭圆中的直线过定点问题
椭圆中的直线过定点问题
在椭圆中，有时我们需要证明某条直线会经过一个特定的点。
这类问题通常涉及到直线的斜率、截距以及椭圆上的点。
解决这类问题的一般步骤如下：
1. 设定变量和参数：首先，我们需要设定一些变量和参数来表示椭圆上的点和直线的方程。
这通常包括椭圆的参数方程和直线的点斜式方程。
2. 建立恒等式：然后，我们需要利用椭圆的性质和直线的性质来建立一些恒等式。
这些恒等式通常涉及到椭圆的参数方程和直线的斜率、截距等。
3. 求解恒等式：通过求解这些恒等式，我们可以找到满足条件的直线方程，从而确定这条直线会经过的定点。
4. 验证结论：最后，我们需要验证所得的结论是否正确。
这通常涉及到将所得的定点坐标代入直线方程和椭圆方程进行验证。
通过以上步骤，我们可以解决椭圆中的直线过定点问题。
需要注意的是，这类问题通常比较复杂，需要仔细分析并运用椭圆的性质和直线的性质来求解。
椭圆中的定点定值问题
椭圆中的定点定值问题椭圆是一个非常重要的几何概念，在数学和物理学中广泛应用。
它具有许多有趣的性质和特征。
其中之一就是定点定值问题。
在这篇文章中，我将探讨椭圆中的定点定值问题，并介绍一些相关的理论和应用。
首先，我们需要了解什么是椭圆。
一个椭圆可以定义为到两个固定点的距离之和等于定值的所有点的集合。
这两个固定点被称为焦点，而定值则被称为焦距。
椭圆还具有一个重要的性质，即焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数。
在椭圆中的定点定值问题中，我们考虑的是在椭圆上选择一个特定的点，并确定其到椭圆上的其他点的距离之和。
这个距离之和被称为点的性质或特征。
一个经典的例子是在椭圆上选择一个点P，然后求它到椭圆上的两个焦点的距离之和。
这个距离和被称为离心率。
离心率是椭圆的一个重要参数，它描述了椭圆的扁平程度。
当椭圆近似于圆形时，离心率接近于零；当椭圆非常扁平时，离心率接近于一。
除了离心率，我们还可以通过其他的定点定值问题来描述椭圆的性质。
例如，我们可以选择一个点P，并求它到椭圆上的任意一点的距离之和。
这个距离和等于椭圆的周长。
通过计算周长，我们可以比较不同椭圆之间的大小和形状。
在实际应用中，椭圆的定点定值问题具有广泛的应用。
例如，在椭圆曲线密码学中，椭圆上的点被用作密码算法的基础。
通过选择不同的定点定值问题，我们可以生成不同的加密和解密算法，从而实现安全的通信和信息传输。
此外，在计算机图形学和机器视觉中，椭圆的定点定值问题也扮演着重要的角色。
通过选择合适的定点定值问题，我们可以用椭圆来描述和识别不同的图像和对象。
这在图像处理和模式识别中具有重要的应用。
总结起来，椭圆中的定点定值问题是数学和物理学中一个有趣而重要的研究领域。
通过选择不同的点和定值，我们可以揭示椭圆的许多性质和特征。
这些性质和特征在许多领域中都有广泛的应用，包括密码学、计算机图形学和机器视觉等。
因此，研究定点定值问题对于我们深入理解椭圆的本质和应用具有重要意义。
高考数学《椭圆中的定点、定值问题》
高考数学 椭圆中的定点、定值问题
－12k2 所以 x20＋x1－42y1yx22－2＝x20＋1＋4k42k2＝x20－3＝0，解得 x0＝± 3.
1＋4k2 故以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点(± 3，0)．
高考数学 椭圆中的定点、定值问题
【思维变式题组训练】 1. 已知椭圆 E：ax22＋y2＝1(a>1)的上顶点为 M(0,1)，两条过 M 的动弦 MA，MB 满 足 MA⊥MB.对于给定的实数 a(a>1)，动直线 AB 是否经过一定点？如果是，求出 定点坐标(用 a 表示)；反之，请说明理由．
2. 如图所示，已知椭圆：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为12，右准线方程是直线 l：x ＝4，点 P 为直线 l 上的一个动点，过点 P 作椭圆的两条切线 PA，PB，切点分别 为 A，B(点 A 在 x 轴上方，点 B 在 x 轴下方)．
高考数学 椭圆中的定点、定值问题
(1) 求椭圆的标准方程； (2) ① 求证：分别以 PA，PB 为直径的两圆都恒过定点 C； ② 若A→C＝12C→B，求直线 PC 的方程． 解析：(1) x42＋y32＝1. (2) ① 设切点 A(x0，y0)，则可证切线 AP：x40x＋y30y＝1， 所以点 P4，31y－0 x0.
例 4 已知圆 M 的圆心在直线 2x－y－6＝0 上，且过点(1,2)，(4，－1)． (1) 求圆 M 的方程； (2) 设 P 为圆 M 上任一点，过点 P 向圆 O：x2＋y2＝1 引切线，切点为 Q.试探究： 平面内是否存在一定点 R，使得PPQR为定值．若存在，求出点 R 的坐标；若不存在， 请说明理由．
高考数学 椭圆中的定点、定值问题
当且仅当 m>－1 时，Δ>0，欲使 l：y＝－m＋2 1x＋m，即 y＋1＝－m＋2 1(x－2)， 所以 l 过定点(2，－1)． 点评：椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这 一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化， 找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之 前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联 立方程组，求判别式、根与系数关系，根据题设关系进行化简．
椭圆中互相垂直的弦过定点问题 - (原创)
椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b+。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m-代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x a b=+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
过椭圆焦点互相垂直的直线
过椭圆焦点互相垂直的直线
过椭圆的焦点互相垂直的直线是一个经典的几何问题。
让我们
从几何性质和数学原理两个方面来全面回答这个问题。
首先，我们知道椭圆的焦点是椭圆的长轴上的两个特殊点，它
们与椭圆的几何性质密切相关。
根据椭圆的定义，椭圆是到两个焦
点的距离之和为常数的点的轨迹。
这意味着椭圆的焦点和椭圆上的
任意一点构成的两条线段之和是一个常数。
这个性质对于我们寻找
过椭圆焦点互相垂直的直线提供了一些线索。
其次，根据数学原理，我们知道椭圆的焦点与椭圆的长轴和短
轴之间存在特定的关系。
具体而言，焦点与椭圆的长轴的交点称为
顶点，而焦点与椭圆的短轴的交点称为辅助顶点。
根据这些定义，
我们可以推导出椭圆焦点互相垂直的直线的几何特性。
综合以上几何性质和数学原理，我们可以得出结论，过椭圆的
焦点互相垂直的直线是椭圆的长轴和短轴的两条互相垂直的直线。
这是因为椭圆的焦点与长轴和短轴之间的特定关系，使得它们构成
的直线互相垂直。
这个结论可以通过几何推导和数学证明得到验证。
总之，通过深入理解椭圆的几何性质和数学原理，我们可以得出过椭圆焦点互相垂直的直线的全面而完整的回答。
希望这个回答能够满足你的需求。
34解析几何解法技巧：辕门射戟-定点问题
34解析几何解法技巧：辕门射戟-定点问题34：辕门射戟 - 定点问题在圆锥曲线问题中,经常考查过圆锥曲线C上的一点,引出两条直线,分别是两直线与C的交点,当时,直线恒过定点,这样的问题我们称之为直角弦过定点问题.根据圆锥曲线C的不同椭圆,双曲线和抛物线,有三种不同类型的过定点:(1)椭圆的直角弦:在椭圆上任取一点,过作两条互相垂直的弦,则直线恒过定点(2)双曲线的直角弦:在双曲线上任取一点,过作两条互相垂直的弦,则直线恒过定点(3)抛物线的直角弦:在抛物线上任取一点,过作两条互相垂直的弦,则直线恒过定点既然证明直线过定点,所以我们的目标是求出直线的方程——两种思路:一是直接设出方程利用关系找与的关系,二是利用两点的坐标求出的方程。
思路一:设的方程为,与椭圆联立,设,利用韦达定理可得,从而得到:,根据,即,整理得:代入上式,从而能够得到找与的关系,进而得到直线的过定点;思路二:设的方程为,联立椭圆方程,根据韦达定理可得到,从而求出点的坐标;同理求出点的坐标,求出,写出直线的方程,最后得定点。
(此方法运算量大,处理起来很难)在解题时，我们可以根据这些定点坐标公式来检验我们计算的结果是否正确。
(2020·山东·22)已知椭圆C:的离心率为,且过点A(2,1).(1)求C的方程:(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.【答案】见解析【解析】(1)由题意可得:,解得:,故椭圆方程为:.(2)设点.因为AM⊥AN,∴,即,①当直线MN的斜率存在时,设方程为,如图1.代入椭圆方程消去并整理得:,②,根据,代入①整理可得:将②代入,,整理化简得,∵不在直线上,∴,∴,于是MN的方程为, 所以直线过定点.当直线MN的斜率不存在时,可得,如图2.代入得,结合,解得,,此时直线MN过点,由于AE为定值,且△ADE为直角三角形,AE为斜边,所以AE中点Q满足为定值(AE长度的一半).由于,故由中点坐标公式可得.故存在点,使得|DQ|为定值.1.过上一点,作两条射线交抛物线于两点,且,证明:直线恒过一定点并求出该定点坐标。
与椭圆焦点弦相关的过定点问题结论推导
与椭圆焦点弦相关的过定点问题结论推导下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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椭圆中的垂径定理
椭圆中的垂径定理椭圆的定义椭圆是一个几何图形，它由一个平面上的点集构成，这些点到两个定点的距离之和保持不变。
其中，这两个定点称为焦点，而这个距离之和称为焦距。
通过运用垂径定理，可以探讨椭圆的性质和特点。
垂径定理垂径定理是指，椭圆上的任何一条线段与圆心到该线段中点的连线垂直。
也就是说，如果我们在椭圆上选择一个点，然后从圆心到该点作一条线段，该线段与椭圆上的切线垂直。
垂径定理的分析证明为了证明垂径定理，我们需要运用一些数学知识和推理。
设想一个椭圆，然后取圆心C和椭圆上的一点D。
我们需要证明线段CD与切线ACB垂直。
设椭圆的焦点为F1和F2，椭圆的半径长度为a和b（a大于b）。
假设椭圆上的点D坐标为(x,y)，圆心C的坐标为(0,0)。
由椭圆的定义可知，焦点F1的坐标为(c,0)，焦点F2的坐标为(-c,0)。
设椭圆的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1。
根据椭圆的定义，我们可以求解出点D的坐标(x,y)。
根据点D处的切线方程可得斜率为k，切线方程为y = kx + b1。
其中，b1为切线的截距。
利用数学知识和推导，我们可以得出椭圆的半焦距为c = sqrt(a^2 - b^2)。
由此可得出切线的斜率为k = -x y/(b^2 sqrt(a^2 - x^2))。
将点D的坐标(x,y)带入切线方程可得y = -x b^2 sqrt(a^2 - x2)/(b2 * sqrt(a^2 - x^2)) = -x。
这表明切线与x轴垂直，证明垂径定理。
椭圆的特性应用垂径定理的实际应用非常广泛。
在数学、物理、工程等领域中，我们经常需要利用椭圆的特性来解决实际问题。
以下是椭圆的一些特性及其应用场景：1.椭圆的离心率：离心率是椭圆的一个重要特性，它描述了椭圆的扁平程度。
离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越扁平。
离心率的计算与垂径定理的应用息息相关，可用于工程测量和轨道设计等领域。
2.椭圆的焦距：焦距是椭圆的另一个重要特性，它描述了一个点到两个焦点的距离之和。
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椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b+。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m-代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x a b=+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222222(,)a s b ta b a b ++。
设AB 的直线为()x s m y t -=-，则CD 的直线方程为1()x s y t m-=--， 222222()0x s m y t b x a y a b -=-⎧⎨+-=⎩，2222222222()2()()0m b a y b ms m t y b s mt a b ++-+--=， 2112222()mb s mt y y m b a --+=+，由中点公式得22222222()()(,)a s mt mb mt s M m b a m b a --++ 直线MN 的方程为：22222222()()()MN b m mt s a s mt y k x b m a b m a ---=-++， 即222222()MN a s b t y k x a b a b -=-++，所以直线MN 恒过定点222222(,)a s b ta b a b++。
重庆巴蜀中学高2018级届月考卷九理科20（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点分别是1F ，2F ，上顶点M ，右顶点为(2,0)N ，12MF F ∆的外接圆半径为2。
（1）求椭圆C 的标准方程；（2）(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过点N ，求ABN ∆面积的最大值。
解：（Ⅰ）∵右顶点为(20)，，∴2a =，122MF MF ==，∵121sin 2MO b bMF F MF a ∠===，2122424sin 2MF R b MF F b ====∠，∴1b =， ∴椭圆的标准方程为2214x y +=．……………………………………………（4分）（Ⅱ）设直线l 的方程为my x b =+，1122()()A x y B x y ，，，， 与椭圆联立得222(4)240m y mby b +-+-=，∴21212222444mb b y y y y m m -+==++，． ……………………………………………（6分） ∵以AB 为直径的圆经过点N ，∴0NA NB =u u u r u u u rg ， ∵1122(2)(2)NA x y NB x y =-=-u u u r u u u r，，，，∴1212122()40x x x x y y -+++=，①……………………………………………（7分）∵121228()24b x x m y y b m -+=+-=+，2222121212244()4b m x x m y y mb y y b m -=-++=+， 代入①式得2516120b b ++=，∴65b =-或2b =-（舍去），故直线l 过定点605⎛⎫⎪⎝⎭，． ……………………………………………………（9分）∴121622||255ABN S y y ⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭△， …………（10分） 令222564()[0)(4)t h t t m t +==∈+∞+，，， 则228()0251281120425h t t t t ⎛⎫'>⇒++<⇒∈-- ⎪⎝⎭，，∴()h t 在[0)t ∈+∞，上单调递减，max ()(0)4h t h ==，∴0m =时，max 1625ABN S =△． …………………………………………………（12分）结论（一）以00(,)x y 为直角定点的椭圆22221x y a b +=内接直角三角形的斜边必过定点2222002222(,)a b b a x y a b b a--⨯⨯++。
证明：设00(,)P x y 在椭圆上，即2200221x y a b+=，设00()y y k x x -=-，001()y y x x k-=-- 00222222()y y k x x b x a y a b -=-⎧⎨+-=⎩， 222222220000()2()[()]0b k a x a k y kx x a y kx b ++-+--=，222000000112222222()(2)]a k y kx a x kyb x x x x k a b k a b ----+=⇒=++， 2220002222(2)]a x kyb k x x k b a +-=+212021212111AB k kx x x y y k k k x x x x +----==-- ()211121y y y y x x x x --=-⇒-2222002222()AB b a a b y x k x x a b a b---=-++，所以过定点2222002222(,)a b b a x y a b b a --⨯⨯++。
推论1：以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在y 轴上。
证明：设右顶点(0,)P b ，设y kx b =+，1y x b k=-+ 222222y kx b b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222()20a k b x a bkx ++=⇒， 212222,a bk x a k b -=+，将k 换成1k-得：222222a bk x a b k =+ 由题意，若直线BS 关于y 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于x 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在y 轴上。
设该定点坐标(0,)t ，1212121121212121211()()kx b x x x b t y y y y x x yk t x x x x x x x -+-+---=⇒==----，2222122211()x x k b b a t b k x x b a+-=⨯+=-+，所以过定点2222()(0,)b b a b a -+。
推论2：以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在x 轴上。
证明：设右顶点(,0)P a ，设x my a =+，1y x a m=-+ 222222x my a b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222()20b m a y b amy ++=⇒， 212222b am y b m a -=+，将m 换成1m-得：222222b am y b a m =+ 由题意，若直线BS 关于x 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于y 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在x 轴上。
设该定点坐标(,0)t ，1212121121212121211()()my a y y y a y y y x y y x m t t x x x y y y y -+-+---=⇒==----，2222122211()y y m a a b t a m y y a b+-=⨯+=-+，所以过定点2222()(,0)a a b a b -+。
下面探求ABP ∆面积的最大值：2222()a ab x my a b-=++代入椭圆得： 22442222222222()4()20()a a b a b b m a y b my a b a b --++⨯⨯+=++2422242224[()4]()a b a b m a a b ++∆=+，222242122222222221()2([]2()ABPa ab ab a b S a y y a b a b a b m a b ∆-=⨯-⨯-=⨯=++++242224()a b a b ≥+，当且仅当0m =时等号成立。
结论2：以00(,)x y 为直角定点的抛物线22y px =内接直角三角形的斜边必过定点0(2x p +，0)y -结论3：以00(,)x y 为直角定点的双曲线22221x y a b -=内接直角三角形的斜边必过定点2222002222(,)a b a b x y a b b a++--重庆高2018级文科二诊20（本题满分12分）已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆22143x y +=的左右焦点，B 为椭圆的上顶点。
（2）过点B 作两条互相垂直的直线与椭圆交于S ，T 两点（异于点B ），证明：直线ST过定点，并求该定点的坐标。
（2）解：设1122(,),(,)S x y T x y ，直线:BS y kx =，联立椭圆方程得：22(43)0k x ++=，1243x k -=+，2224343k x k k -==++， 由题意，若直线BS 关于y 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于x 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在y 轴上。