大学数学排列组合

1.两个基本原理(l)从甲地到乙地，可乘火车、汽车、轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？分析：因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．一般地，有如下原理：加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1十m 2十…十m n 种不同的方法．(2) 由A 村去B 村的道路有3条，由B 村去C 村的道路有2条．从A 村经B 村去C 村，共有多少种不同的走法？分析：从A 村到B 村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B 村后，再从B 村到C 村又有2种不同的走法．因此，从A 村经B 村去C 村共有 3×2=6种不同的走法． 一般地，有如下原理：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．1）从中任取一本，有多少种不同的取法？2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6+5=11．（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 6530N =⨯=．例2 (1)由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？(2)由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？(3)由数字0，l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是555125N =⨯⨯=．练习：1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O 张分别标有数1、2、…、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、…、9、1O 的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？3．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法2.排列(1)【基本概念】1. 什么叫排列？从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．2. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.3. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.【例题与练习】1. 由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？2.已知a 、b 、c 、d 四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有排列.【排列数】1. 定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示.排列数公式：)1()2)(1(+---=m n n n n A m n 或)!(!m n n A m n -=，规定 0!=1 2. 2n A = ；3n A = ；4n A = ； 计算：25A = ； 45A = ；215A =3. 写出：a) 从五个元素a 、b 、c 、d 、e 中任意取出两个、三个元素的所有排列；b) 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.c) 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.3.排列(2)例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列——77A ＝5040⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——66A =720⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有22A 种；第二步 余下的5名同学进行全排列有55A 种，则共有22A 55A =240种排列方法 ⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A 种方法 所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法． 解法二：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有66A 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A －662A ＋55A =2400种．小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑．例2 ： 7位同学站成一排．⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有66A 22A ＝1440种．⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有55A 33A ＝720种． ⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有25A 44A 22A ＝960种方法． 小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．例3： 7位同学站成一排．⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）3600226677=⋅-A A A 解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A 种方法，所以一共有36002655=A A 种方法． ⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有44A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法，所以一共有44A 35A ＝1440种． 小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．4.组合(1)1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：元素相同 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；（组合）⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示．例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有323=C 种组合．又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 一共6种组合，即：624=C3．组合数公式从4个不同元素a ，b ，c ，d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？分析： 由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，考察34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dcacda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cbabca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以：333434A A C =． ⑵ 推广： 一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分布计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅ ⑶ 组合数的公式：!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m n m n +---==或 )!(!!m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且 例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？略解：90222426=⋅⋅C C C例2． 4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，所以一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）10036310=-C C练习：计算：① 310C 和710C ； ② 2637C C -与36C ；③ 511411C C + 答案：① 120，120 ② 20，20 ③ 7925.组合(2)1．组合数的 性质1：m n n m n C C -=．理解： 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n ? m 个元素．因 为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n ? m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n ? m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C m n -=∴m n n m n C C -= 注：1? 我们规定 10=n C2? 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．3? 此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够使运算简化． 例如：20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002． 例1. 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：⑴ 5638=C ⑵ 2127=C ⑶ 3537=C引导学生发现：=38C +27C 37C ．为什么呢？例2．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．⑴ 都不是次品的取法有多少种？⑵ 至少有1件次品的取法有多少种？⑶ 不都是次品的取法有多少种？解：⑴ 2555190490=C ；⑵ 13660354101903102902103901104904100=+++=-C C C C C C C C C ；⑶ 39210154901103902102903101904104100=+++=-C C C C C C C C C ．例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：⑴ 分给甲、乙、丙三人，每人两本；⑵ 分为三份，每份两本；⑶ 分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；⑷ 分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；⑸ 分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．解：⑴ 根据分步计数原理得到：90222426=C C C 种．⑵ 分给甲、乙、丙三人，每人两本有222426C C C 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有33A 种方法．根据分步计数原理可得：33222426xC C C C =，所以1533222426==A C C C x ．因此分为三份，每份两本一共有15种方法． 注：本题是分组中的“均匀分组．．．．”问题． ⑶ 这是“不均匀分组”问题，一共有60332516=C C C 种方法．⑷ 在⑶的基础上在进行全排列，所以一共有36033332516=A C C C 种方法．⑸ 可以分为三类情况：①“2、2、2型”即⑴中的分配情况，有90222426=C C C 种方法；②“1、2、3型”即⑷中的分配情况，有36033332516=A C C C 种方法；③“1、1、4型”，有903346=A C 种方法．所以一共有90+360+90＝540种方法．例4．⑴ 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？⑵ 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解：⑴ 根据分步计数原理：一共有25644=种方法．⑵（捆绑法）第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有24C 种方法，第二步从四个不同的盒取其中的三个将球放入有34A 种方法．所以一共有24C 34A ＝144种方法．例5．九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有)(217171228C C C A +种方法；②若不取6，则有2717A C 种方法．根据分类计数原理，一共有)(217171228C C C A ++2717A C ＝602种方法．6.概率初步补充（一）相互独立事件1．中国福利彩票，是由01、02、03、…、30、31这31个数字组成的，买彩票时可以在这31个数字中任意选择其中的7个，如果与计算机随机摇出的7个数字都一样（不考虑顺序），则获一等奖。