分式的加法与减法
初等代数中的分式运算
初等代数中的分式运算分数是初等代数中常见的数学表达形式，它由一个分子和一个分母组成。
在代数运算中，分数的加减乘除运算是非常重要的。
本文将重点介绍初等代数中的分式运算。
一、分式的加法和减法运算分式的加法和减法运算与整数的加法和减法类似，需要满足分母相同的条件。
例如，对于分数a/b和c/d，若分母相同，则可进行加法和减法运算。
假设a/b和c/d的分母相同，可以用以下公式进行计算：a/b + c/d = (a + c) / ba/b - c/d = (a - c) / b这里需要注意的是，分子的运算保持不变，只需对分子进行加减操作，分母保持不变。
二、分式的乘法运算分式的乘法运算可以通过以下公式进行计算：a/b × c/d = (a × c) / (b × d)在分数的乘法中，将两个分子相乘得到新的分子，同时将两个分母相乘得到新的分母，得到的分数即为乘法的结果。
三、分式的除法运算分式的除法运算可以通过以下公式进行计算：a/b ÷ c/d = (a × d) / (b × c)在分数的除法中，将被除数的分子乘以除数的分母得到新的分子，同时将被除数的分母乘以除数的分子得到新的分母，得到的分数即为除法的结果。
四、分式的化简在进行分式运算时，有时需要将分式化简到最简形式。
一个分式被称为最简形式，当且仅当分子和分母的最大公约数为1时。
要将一个分式化简到最简形式，可以通过求分子和分母的最大公约数，并将分子和分母同时除以最大公约数，得到最简形式的分数。
五、分式方程的解分式方程是含有分式的方程，解分式方程的方法与解代数方程类似。
首先，需要将分式方程转化为含有整数的方程，然后通过等式性质和代数的基本操作求解。
六、应用举例1. 分数的加法和减法运算：例如：1/2 + 1/3 = 5/63/4 - 1/5 = 11/202. 分数的乘法和除法运算：例如：2/3 × 4/5 = 8/153/4 ÷ 2/5 = 15/83. 分式方程的解：例如：(2/x) + 1 = 1/2解得 x = 4以上是初等代数中关于分式运算的基本知识和方法。
分式的加法和减法
分式的加法与减法【要点梳理】要点一：同分母分式的加减★同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：. 要点诠释： （1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【例1】计算：（1）； （2）； （3）； （4）【变式1.1】化简：2221122a a a a a a --+--【变式1.2】化简m 2m−3−9m−3的结果是（ ）A ．m +3B ．m ﹣3C ．m−3m+3D ．m+3m−3【变式1.3】化简x 2x−1+x 1−x的结果是（ ）A ．x +1B ．x ﹣1C ．﹣xD ．x要点二：异分母分式的加减★异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化a b a b c c c±±=22222333a b a b a b a b a b a b +--+-222422x x x x x +-+--2111x x x -+--222222222a ab b a b b a a b ++---a c ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±=成最简分式. 【例2】计算：（1）；（2）；（3）． 【变式2.1】计算： （1）；（2）. 【变式2.2】化简4x x 2−4−xx−2的结果是（ ）A ．﹣x 2+2xB ．﹣x 2+6xC ．−xx+2D ．xx−2【变式2.3】计算：aa+2−4a 2+2a= ．要点三：分式的混合运算★分式的混和运算顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 要点诠释：（1）进行分式的混合运算，可以根据需要合理地运动运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. （2）分式的混合运算的结果要化成最简分式或整式.典型例题题型一：分式的加减法 【练习1.1】化简x 2x−1+11−x的结果是（ ）A ．x +1B ．1x+1C ．x ﹣1D ．xx−1【练习1.2】如图，若x 为正整数，则表示(x+2)2x 2+4x+4−1x+1的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④【练习1.3】化简a 2a−1−1−2a 1−a的结果为（ ）A ．a+1a−1B ．a ﹣1C ．aD ．1【练习1.4】计算a 2a−1−a ﹣1的正确结果是（ ） A ．−1a−1B ．1a−1C ．−2a−1a−1D ．2a−1a−1【练习1.5】下列运算正确的是（ ）21132a ab +2312224x x x x +-+--211a a a ---212293m m ---112323x y x y++-A ．（2a 2）3＝6a 6B ．﹣a 2b 2•3ab 3＝﹣3a 2b 5C ．b a−b+a b−a=−1D ．a 2−1a•1a+1=−1【练习1.6】已知：1a−1b =13，则ab b−a的值是（ ）A ．13B ．−13C ．3D ．﹣3【练习1.7】化简1x+1−x +1，得（ ）A ．−x 2x+1B ．−x 2+2x x+1C ．2﹣x 2D ．2−x 2x+1【练习1.8】化简：xx−y−y x+y，结果正确的是（ ）A ．1B ．x 2+y 2x 2−y 2C ．x−y x+yD ．x 2+y 2【练习1.9】化简：a 2+1a+1−2a+1=（ ）A ．a ﹣1B ．a +1C ．a−1a+1D ．1a+1【练习1.10】计算2aa+1+2a+1的结果是（ ）A ．2B ．2a +2C ．1D ．4aa+1【练习1.11】计算x 2+2x+1x 2−1−x x−1的结果为（ ）A ．1B ．−1x−1C ．x x−1D ．1x−1【练习1.12】计算a 2a−1−a +1的正确结果是（ ） A ．2a−1a−1B ．−2a−1a−1C ．1a−1D ．−1a−1【练习1.13】已知1m−1n=1，则代数式2m−mn−2n m+2mn−n的值为（ ）A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣3【练习1.14】已知m 2﹣n 2＝mn ，则n m−m n的值等于（ ）A ．1B ．0C ．﹣1D ．−14【练习1.15】如果记y =x 21+x 2=f （x ），并且f （1）表示当x ＝1时y 的值，即f （1）=121+12=12；f （12）表示当x =12时y 的值，即f （12）=(12)21+(12)2=15，那么f （1）+f （2）+f （12）+f （3）+f （13）+…+f （n ）+f （1n）＝ ．（结果用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【练习1.16】已知a −1a =3，那么a 2+1a 2= ． 【练习1.17】已知1a +1b=3，求5a+7ab+5b a−6ab+b= ．【练习1.18】若m +n ＝1，mn ＝2，则1m+1n的值为 ．【练习1.19】计算：x 2x+1−1x+1= ．【练习1.20】已知1x −1y=3，则代数式2x−14xy−2y x−2xy−y的值为 ．【练习1.21】化简：x 2+4x+4x 2−4−x x−2= ．【练习1.22】计算m m 2−1−11−m 2的结果是 ． 【练习1.23】计算：6a 2−9−1a−3= ．【练习1.24】已知实数a 、b 、c 满足a +b ＝ab ＝c ，有下列结论： ①若c ≠0，则1a +1b=1；②若a ＝3，则b +c ＝9；③若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a +b +c ＝8．其中正确的是 ． （把所有正确结论的序号都填上） 【练习1.25】化简：x+1x−1x = ． 【练习1.26】计算2m−2+m2−m 的结果是 ． 【练习1.27】计算：2a a−2+42−a = ． 【练习1.28】计算：x x−1+11−x= ．【练习1.29】已知1a−1b =3，则分式2a+3ab−2b a−ab−b = ．【练习1.30】已知2x+1(x−1)(x+2)=A x−1+B x+2，求A 、B 的值．【练习1.31】计算： （1）x+2x+1−x−1x+1；（2）2a+1a 2−1•a 2−2a+1a 2−a−1a+1．【练习1.32】分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式4x+2，3x 2x 3−4x是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式x+1x−1，x 2x+1是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如：x+1x−1=(x−1)+2x−1=1+2x−1（1）将假分式4x−32x+1化为一个整数与一个真分式的和；（2）利用上述方法解决问题：若x 是整数，且分式x 2x−3的值为正整数，求x 的值．【练习1.33】已知分式A ＝（a +1−3a−1）÷a 2−4a+4a−1． （1）化简这个分式；（2）当a ＞2时，把分式A 化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B ，问：分式B 的值较原来分式A 的值是变大了还是变小了？试说明理由．（3）若A 的值是整数，且a 也为整数，求出符合条件的所有a 值的和． 【练习1.34】计算：（1）（m ﹣2）（m +1）﹣（m +2）2． （2）4a 2−4a+1a 2−1+(2+1a−1)．【练习1.35】计算： （1）x 2x−2−4x−4x−2；（2）x 2x+1−x +1．【练习1.36】化简下列各式： （1）（2a ﹣1）2﹣4（a +1）（a ﹣1） （2）(x +1−4x−5x−1)÷(1x −1x 2−x ) 【练习1.37】阅读下列资料，解决问题：定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：4x+1，x+1x 2，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：x+2x−1，x 2−12x+1这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：x+2x−1=(x−1)+3x−1=1+3x−1．（1）分式x 22x是 （填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式3x+1x−1、x 2+3x+2分别化为带分式；（3）如果分式2x 2+3x−6x+3的值为整数，求所有符合条件的整数x 的值．【练习1.38】计算： （1）8x 2y 3÷（−4x 3y3） （2）2m 2−1−1m−1题型二：分式的混合运算【练习2.1】下列等式成立的是（ ） A ．1a +2b=3a+b B ．22a+b =1a+bC ．abab−b 2=aa−bD ．a−a+b=−a a+b【练习2.2】化简（1a+1b）÷(1a 2−1b 2)•ab ，其结果是（ ） A ．a 2b 2a−bB ．a 2b 2b−aC ．1a−bD ．1b−a【练习2.3】下列代数式变形正确的是（ ） A ．x−y x 2−y 2=1x−y B ．−x+y2=−x+y2C ．1xy÷（1x+1y）=1y +1x D ．x−y x+y=x 2−y 2(x+y)2【练习2.4】若分式x 2x−1□xx−1运算结果为x ，则在“□”中添加的运算符号为（ ）A ．+B ．﹣C ．+或×D ．﹣或÷【练习2.5】老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：则被遮住的部分是（ ） A ．x−12x+1B ．2x−1x−1 C ．x−12x−1D ．2x+1x−1【练习2.6】化简(a −1b )÷(b −1a )的结果是（ ） A ．1B ．baC ．abD ．−a b【练习2.7】小明的练习本上有如下四道题目，其中只有一道题他做对了，这道题目是（ ）A ．(2y 3x )2=4y 23x 2B ．1x−y −1y−x=2x−yC ．(−x 2y )3=−x 6x3D ．13x+13y=x+y 3y【练习2.8】下列计算正确的是（ ） A ．3b x+b x=2b xB ．aa−b−a b−a=0C ．bc a 2⋅2ab 2c=2abD ．(a 2−a)÷aa−1=a 2【练习2.9】如图，图①，图②中阴影部分的面积为S 1，S 2，a ＞b ＞0，设k =S 1S 2，则有（ ）A ．0＜k ＜12B ．12＜k ＜1C ．1＜k ＜2D ．k ＞2【练习2.10】如图，“优选1号”水稻的实验田是边长为am （a ＞1）的正方形去掉一个边长为1m 的正方形水池后余下的部分；“优选2号”水稻的实验田是边长为（a ﹣1）m 的正方形，若两块试验田的水稻都收了600kg ．则对于这两种水稻的单位面积产量说法正确的是（ ）A ．优选1号单位面积产量高B ．优选2号单位面积产量高C ．两种水稻单位面积产量相等D ．优选1号单位面积产量不大于优选2号单位面积产量 【练习2.11】下列计算正确的是（ ） A ．b •（a 4b ）3＝a 7b 4B ．x ﹣2y ﹣（2x +y ）＝﹣x ﹣yC ．（a ﹣5）2＝a 2﹣25D ．(1−2x+1)÷1x 2−1=(x −1)2 【练习2.12】下列计算正确的是（ ） A ．1+1a =2a B ．1a−b−1b−a=0C ．a ÷b •1b =aD ．−a−b a+b=−1【练习2.13】下列运算结果为a ﹣1的是（ ） A ．a 2−1a ⋅a a+1B ．1−1a C ．a+1a÷a a−1D ．a 2+2a+1a+1【练习2.14】计算(1+1x−1)÷(1+1x 2−1)的结果为（ ） A ．1B ．x +1C ．x+1xD ．1x−1【练习2.15】下列计算正确的是（ ）A ．（y2x）2=y 22x 2B ．b a−b+a b−a=−1C ．（−14）﹣2+（﹣1000）0＝1016D ．（y6x2）2÷（−y 24x ）2=4x 29y 2【练习2.16】已知x −1x=3，则4﹣x 2+3x 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【练习2.17】下列计算正确的是（ ） A ．m 2−2m 4−m 2=m 2+mB ．（−yx2）﹣3=−x 6y 3C ．a 2a−1+11−a =a ﹣1D ．3x 2y +x 32y =32x 5【练习2.18】x +1x=3，则x 2+1x 2= ． 【练习2.19】计算：（1−1x−1）÷x−2x 2−1= ． 【练习2.20】化简：2x−6x−2÷（5x−2−x −2）＝ ．【练习2.21】计算（1−1x+1）（x +1）的结果是 ．【练习2.22】（a +9−4a a−2）÷a 2−9a−2= ．【练习2.23】化简（1x−1y）⋅xyx 2−y 2的结果是．【练习2.24】化简：（3x−1+1x+1）•（x 2﹣1）＝ ． 【练习2.25】化简xx 2+2x+1÷（1−1x+1）的结果为 ．【练习2.26】已知：a 2﹣3a +1＝0，则a +1a−2的值为 ． 【练习2.27】计算：（1−1a ）•a a 2−1=【练习2.28】化简x 2+xx 2−2x+1÷（2x−1−1x）的结果是 ．【练习2.29】计算：x x+3−69−x 2÷2x−3= ．【练习2.30】计算：(3a−1−a −1)÷a 2−4a+4a−1= ．【练习 2.31】已知m ＞n ＞0，分式n m的分子分母都加上1得到分式n+1m+1，则分式n+1m+1n m．（填“＜、＞或＝”）【练习2.32】已知2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，…10+a b =102×ab（a ，b 为正整数），则b ﹣a ＝ ．【练习2.33】已知x +x ﹣1＝3，则x 2+x ﹣2＝ ；x 4+x ﹣4＝【练习2.34】计算： ①(−3n2m )2= ； ②b a−b−a a−b= ．【练习2.35】已知x ，y ，z ，a ，b 均为非零实数，且满足xy x+y=1a 3−b3，yz y+z=1a3，xz x+z=1a 3+b3，xyz xy+yz+zx=281，则a 的值为 ．【练习2.36】计算：（x+8x 2−4−2x−2）÷x−4x 2−4x+4．【练习2.37】对x ，y 定义一种新运算T ，规定：T （x ，y ）=ax+by2x+y （其中a 、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T （0，1）=a×0+b×12×0+1=b ．（1）已知T （1，﹣1）＝﹣2，T （4，2）＝1． ①求a ，b 的值；②若关于m 的不等式组{T(2m ，5−4m)≤4T(m ，3−2m)＞p 恰好有3个整数解，求实数p 的取值范围；（2）若T （x ，y ）＝T （y ，x ）对任意实数x ，y 都成立（这里T （x ，y ）和T （y ，x ）均有意义），则a ，b 应满足怎样的关系式？ 【练习2.38】计算：（a +2−5a−2）•2a−43−a． 【练习2.39】化简：(2x−1x+1−x +1)÷x−2x 2+2x+1．【练习2.40】化简：（x 2x−1−x +1）÷4x 2−4x+11−x． 【练习2.41】化简（3a+2+a ﹣2）÷a 2−2a+1a+2．【练习2.42】计算：（x+2x 2−2x−x−1x 2−4x+4）÷x−4x ．【练习2.43】化简：1a−1−1a 2+a ÷a 2−1a 2+2a+1【练习2.44】计算：ba 2−b 2÷（aa−b−1）．题型三：分式的化简求值【练习3.1】已知：a ，b ，c 三个数满足ab a+b=13，bc b+c=14，ca c+a=15，则abcab+bc+ca的值为（ ） A ．16B ．112C ．215D ．120【练习3.2】如果a 、b 、c 是非零实数，且a +b +c ＝0，那么a |a|+b |b|+c |c|+abc|abc|的所有可能的值为（ ） A ．0B ．1或﹣1C ．2或﹣2D ．0或﹣2【练习3.3】如果a +b ＝2，那么代数（a −b2a ）•a a−b的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．12D ．−12【练习3.4】如果a ﹣3b ＝0，那么代数式（a −2ab−b 2a ）÷a 2−b2a的值是（ ）A ．12B ．−12C ．14D ．1【练习3.5】若a +2b ＝0，则分式（2a+ba 2−ab+1a）÷a a 2−b2的值为（） A ．32B ．92C ．−3b 2D ．﹣3b【练习3.6】已知1a−1b=12，则aba−b的值是（ ）A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2 【练习3.7】若非零实数m ，n 满足m （m ﹣4n ）＝0，则分式m 2+1m 2−2mn−12mn的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．13【练习3.8】若a +b ＝5，则代数式（b 2a−a ）÷（a−b a）的值为（ ）A ．5B ．﹣5C ．−15D ．15【练习3.9】如果m 2+2m ﹣2＝0，那么代数式（m +4m+4m ）•m2m+2的值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．3【练习3.10】已知x −1x =2，则x 2+1x 2的值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【练习3.11】如果a 2+3a ﹣2＝0，那么代数式（3a 2−9+1a+3）⋅a−3a 2的值为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．14【练习3.12】已知1a −1b=4，则a−2ab−b2a−2b+7ab= ．【练习3.13】已知aba−b=13，则代数式2a+3ab−2b a−2ab−b的值是 ．【练习3.14】若a ＝2b ≠0，则a 2−b 2a 2−ab的值为 ．【练习3.15】已知1a +12b=3，则代数式2a−5ab+4b 4ab−3a−6b的值为 ．【练习3.16】若a +b ﹣3ab ＝0，则1a+1b = ．【练习3.17】已知x 为整数，且2x+3+23−x+2x+18x 2−9为整数，则所有符合条件的x 值的和为 ．【练习3.18】若a +b ＝5，ab ＝3，则a b+ba的值是 ．【练习3.19】已知x 2﹣5x +1＝0，那么x 2+1x 2= ． 【练习3.20】如果x +y ＝5，那么代数式(1+yx−y )÷xx 2−y 2的值是 ．【练习3.21】已知x 2−1x=3，那么x 2+1x 2−2的值为 ． 【练习3.22】已知x 2+y 2＝3，xy =12，则（1x −1y）÷x 2−y 2xy 的值为 ．【练习3.23】如果x 2+x ﹣5＝0，那么代数式（1+2x ）÷x+2x 3+x 2的值是 ． 【练习3.24】已知x 2﹣4x +1＝0，则x 2+1x 2= ． 【练习3.25】化简分式3a−3b (a−b)2的结果是 ．【练习3.26】已知1a +1b=1a+b，则ba+ab的值等于 ．【练习3.27】如果a 2﹣a ﹣1＝0，那么代数式（1−2a−1a 2）÷a−1a 3的值是 ． 【练习3.28】如果2a 2+4a ﹣1＝0，那么代数式(a −4a )÷2−aa 2的值是 ． 【练习3.29】先化简，再求值：（x 2−2x+4x−1+2﹣x ）÷x 2+4x+41−x，其中x 满足x 2﹣4x +3＝0．【练习3.30】先化简：(3a+1−a +1)÷a 2−4a+4a+1，并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．【练习3.31】先化简，再求值：（x ﹣2+8x x−2）÷x+22x−4，其中x =−12． 【练习3.32】先化简：（3a+1−a +1）÷a 2−4a+4a+1，并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．。
分式运算公式
分式运算公式分式是数学中常见的一种表示形式，由分子和分母组成的比值。
在运算中，我们常常需要对分式进行加减乘除等操作。
下面将介绍分式运算的公式以及具体的计算方法。
1. 分式加法公式：a/b + c/d = (ad + bc) / bd这个公式表示了两个分式相加后的结果。
要进行分式的加法，首先将两个分式的分母进行通分，然后将分子相加，最后将得到的结果的分子和分母写在一个新的分式中即可。
2. 分式减法公式：a/b - c/d = (ad - bc) / bd与分式加法公式类似，分式的减法也需要先通分，然后将分子相减，最后得到的结果写在一个新的分式中。
3. 分式乘法公式：(a/b) * (c/d) = ac / bd分式的乘法只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘，然后将结果写在一个新的分式中。
4. 分式除法公式：(a/b) / (c/d) = ad / bc分式的除法可以转化为乘法，即将除法转化为被除数乘以倒数的形式，然后按照分式乘法的计算方法进行运算。
在进行分式运算时，我们还需要注意以下几点：1. 通分：在分式加法和减法中，通分是必要的。
要通分，需要找到两个分数的最小公倍数作为新分数的分母，并将分子按比例扩大或缩小。
2. 约分：在分式的结果中，如果分子和分母有公因数，可以进行约分化简，将它们的最大公因数约去。
3. 分母为零：在运算时，分母不能为零，否则分式将无意义。
下面通过一些例子来演示分式运算的具体过程：例题1：计算 1/2 + 1/3解：首先将两个分数进行通分，分母取2和3的最小公倍数6，将分子按比例扩大或缩小，得到 3/6 和 2/6。
然后将分子相加，得到 5/6，所以结果为 5/6。
例题2：计算 3/4 * 2/5解：将分子相乘，分母相乘，得到 6/20。
然后可以进行约分，将分子和分母同时除以它们的最大公因数2，得到 3/10，所以结果为 3/10。
通过以上的分式运算公式和例子，我们可以看到，掌握了分式的运算方法，就能够轻松地进行分式的加减乘除等运算。
分式的加法和减法运算
分式的加法和减法运算分式是数学中常见的表示形式，它由两个数的比值构成，其中一个数称为分子，另一个数称为分母。
在分式的运算中，我们需要掌握分式的加法和减法运算规则。
下面将详细介绍分式的加法和减法运算。
一、分式加法运算两个分式的加法运算规则如下：1. 分母相同的情况下，直接将分子相加，分母保持不变。
例如，计算1/3 + 2/3 = 3/3，即分子相加得到3，分母保持不变。
2. 分母不同的情况下，需要进行通分操作，即找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后将分子按照对应关系乘上对应的倍数，最后将新的分子相加得到结果。
例如，计算1/4 + 2/3，首先找到4和3的最小公倍数为12，然后将1/4乘以3/3得到3/12，将2/3乘以4/4得到8/12，最后3/12 + 8/12 = 11/12。
在分式加法运算中，需要注意分子相加，而分母保持不变或找到最小公倍数进行通分操作。
二、分式减法运算两个分式的减法运算规则如下：1. 分母相同的情况下，直接将分子相减，分母保持不变。
例如，计算5/6 - 2/6 = 3/6，即分子相减得到3，分母保持不变。
2. 分母不同的情况下，需要进行通分操作，即找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后将分子按照对应关系乘上对应的倍数，最后将新的分子相减得到结果。
例如，计算3/5 - 1/3，首先找到5和3的最小公倍数为15，然后将3/5乘以3/3得到9/15，将1/3乘以5/5得到5/15，最后9/15 - 5/15 =4/15。
在分式减法运算中，需要注意分子相减，而分母保持不变或找到最小公倍数进行通分操作。
综上所述，分式的加法和减法运算需要根据分母是否相同来进行不同的处理。
如果分母相同，直接将分子相加或相减；如果分母不同，需要进行通分操作，然后将分子相加或相减。
掌握了分式的加法和减法运算规则，我们就可以灵活运用分式进行数学计算，解决实际问题。
通过以上对分式的加法和减法运算规则的解释，相信您已经掌握了相关知识，并能够熟练进行分式的加减运算。
分式加减法运算法则
分式加减法运算法则分式加减法运算法则：1. 分式加法：分式加法是把分子相加或者相减，而分母保持不变，用一个新分式来表示和或差。
一般格式是：（分子1/分母）➕（分子2/分母）=（分子1+分子2/分母）。
2. 分式减法：分式减法也是把分子相减或者相加，而分母保持不变，用一个新分式来表示差。
一般格式是：（分子1/分母）➖（分子2/分母）=（分子1-分子2/分母）。
3. 分式整体乘法：分式整体乘法是将两个分式的分子相乘，而分母相乘。
一般格式是：（分子1/分母1）×（分子2/分母2）=（分子1×分子2/分母1×分母2）。
4. 分式整体除法：分式整体除法是将分式的分母相乘，而分子相乘。
一般格式是：（分子1/分母1）÷（分子2/分母2）=（分子1×分母2/分母1×分子2）。
5. 一般的分式的运算：在分式加减法和分式乘除法之后，还可以进行一般的计算，比如：（分子/分母）+（x/分母）+3=（分子+x+3×分母/分母）。
其中的 +x 和+3 就是一般的计算。
因此，在做分式加减法和乘除法的时候，我们首先要确定每个分式中分子和分母，然后根据其法则做整体或一般计算，得出正确结果。
此外，分母一般不能为0，否则会出现无穷大或者不可定义解答；分子和分母要使用相同的符号，否则会导致结果的正负不正确；如果分子和分母出现了负数，要根据实际情况将负号带到分子或者分母，以便能够得到正确的答案。
此外，分式的运算还有一个重要的技巧，即分数化简，就是用数学技巧找出分数的最简形式。
常用的分数化简诀窍就是先分子分母分别除以最大公约数，然后将分子和分母比较，可以将分母统一为最小值，再算出最终结果。
例如，有分式等式：（4/8）=（2/4），明显可以看出它们的最简形式应该为：（1/2）=（1/2），所以，我们只要在做分数运算的时候注意分数化简，就可以得出正确的答案。
总之，分式加减法和乘除法运算都要掌握其基本原理和规律，熟悉一般计算技巧，注意分数化简，以及分母不能为0，就可以得出正确的结果了。
分式的加减运算
分式的加减运算分式是数学中常见的一种运算形式，它由两个整数之间用横线分隔的表示方式构成。
分式的加减运算是指对两个分式进行相加或相减的操作。
在进行分式的加减运算时，需要注意分母的处理以及通分的方法。
下面将详细介绍分式的加减运算。
1. 分式的加法分式的加法是指在两个分式之间进行加法运算。
当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行相加，分母保持不变。
例如：a/b + c/b = (a + c)/b如果两个分式的分母不相同，需要进行通分处理，将分母转化为相同的值，再进行加法运算。
通分的方法一般是求两个分母的最小公倍数，然后将分子和分母同时乘以相应的倍数，使得两个分数的分母相同。
例如：a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)2. 分式的减法分式的减法是指在两个分式之间进行减法运算。
与加法类似，当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行相减，分母保持不变。
例如：a/b - c/b = (a - c)/b如果两个分式的分母不相同，同样需要进行通分处理，将分母转化为相同的值，再进行减法运算。
例如：a/b - c/d = (ad - bc)/(bd)需要注意的是，通分后得到的分子可能还需要进行化简，即将分式中的分子和分母同时除以它们的最大公约数，使得分子和分母互质。
这一步是为了保证分式的最简形式。
综上所述，分式的加减运算需要根据分母是否相同来分情况进行处理。
如果分母相同，则直接对分子进行加减运算；如果分母不同，则需要进行通分处理后再进行运算。
同时，在运算过程中还需要注意对结果进行化简，使得分式保持最简形式。
通过掌握分式的加减运算规则和通分的方法，我们可以更加灵活地处理分式计算，解决实际问题中的运算需求。
在实际应用中，我们经常会遇到需要对分式进行加减运算的场景，如比例题、分数题等。
因此，熟练掌握分式的加减运算对于数学学习和日常生活都具有重要意义。
（以上为参考内容，具体表达可以根据实际情况进行修改）。
分式的加减
分式的加减1. 什么是分式？在数学中，分式是表示两个数之间的比例关系的一种形式。
它由一个分子和一个分母组成，分子表示被除数，分母表示除数。
分式通常用斜线“/”或横线“-”来表示。
2. 分式的加法运算分式的加法运算是指将两个分式相加得到一个新的分式的过程。
具体的运算规则如下：•分母相同的分式相加：只需将分子相加，分母保持不变。
•分母不同的分式相加：需要通过通分将分母变为相同的数，然后再进行相加运算。
2.1 分母相同的分式相加若要将两个分母相同的分式相加，只需将分子相加，分母保持不变。
例如：2/5 + 3/5 = 5/5 = 12.2 分母不同的分式相加若要将分母不同的分式相加，首先需要找到两个分式的最小公倍数作为新的分母，然后通过乘以适当的倍数使得分母相同，最后再将分子相加。
例如：1/2 + 1/3 = (1×3)/(2×3) + (1×2)/(3×2) = 3/6 + 2/6 = 5/63. 分式的减法运算分式的减法运算是指将两个分式相减得到一个新的分式的过程。
具体的运算规则如下：•分母相同的分式相减：只需将分子相减，分母保持不变。
•分母不同的分式相减：需要通过通分将分母变为相同的数，然后再进行相减运算。
3.1 分母相同的分式相减若要将两个分母相同的分式相减，只需将分子相减，分母保持不变。
例如：5/6 - 2/6 = 3/6 = 1/23.2 分母不同的分式相减若要将分母不同的分式相减，首先需要找到两个分式的最小公倍数作为新的分母，然后通过乘以适当的倍数使得分母相同，最后再将分子相减。
例如：3/4 - 1/5 = (3×5)/(4×5) - (1×4)/(5×4) = 15/20- 4/20 = 11/204. 综合示例下面通过一个综合示例来说明分式的加减运算：2/3 + 1/4 - 1/6 = (2×6)/(3×6) + (1×3)/(4×3) - (1×2)/(6×2) = 12/18 + 3/12 - 2/12= (12+3-2) / 18 = 13/185. 结论分式的加减运算是一种基本的数学运算，通过运用分式的通分和分子的加减，可以得到分式的和差。
分式的加减法与乘除法
分式的加减法与乘除法分式（Fraction）是数学中的一个重要概念，用来表示有理数的形式。
分式由分子和分母组成，分子表示被分割的单位数量，而分母表示整体被分成的份数。
在数学中，我们经常会遇到需要对分式进行加减法和乘除法的运算。
本文将详细介绍分式的加减法和乘除法的运算规则，并提供一些例子来帮助读者更好地理解。
一、分式的加减法1. 加法两个分式的加法规则：分子相乘加分母相乘。
例如：$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$这个规则同样适用于多个分式相加。
例如：$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{adf + bcf + bde}{bdf}$2. 减法两个分式的减法规则：分子相乘减分母相乘。
例如：$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}$同样地，这个规则也适用于多个分式相减。
例如：$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} - \frac{e}{f} = \frac{adf - bcf -bde}{bdf}$二、分式的乘除法1. 乘法两个分式的乘法规则：分子相乘，分母相乘。
例如：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$这个规则同样适用于多个分式相乘。
例如：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f} =\frac{ace}{bdf}$2. 除法两个分式的除法规则：将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数。
例如：$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$同样地，这个规则也适用于多个分式相除。
例如：$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} \div\frac{\frac{e}{f}}{\frac{g}{h}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \div\frac{f}{e} \times \frac{h}{g} = \frac{adh}{bcfge}$三、实例演算让我们通过几个实际运算的例子来更好地理解分式的加减法和乘除法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
PPT学习交流
1
复习导入
【同分母的分式加减法的法则】同分母的分式相加减， 分母不变,分子相加减.
【异分母的分式加减法的法则】
异分母分式相加减 ，先通分,变为同分母的 分式,再加减。
最简公 乘积1、各分母系数的最小公倍数。
分母：
2、所有字母因式的最高次幂。
PPT学习交流
(2)(x2 31x)xx2 33x
●温馨提示： 首先明确运算顺序。
PPT学习交流
8
知识应用：
计算： （1） 2x1xx1x31 （2） (9a216a13a11)3aa 22a
PPT学习交流
9
分式的混合运算应注意哪些问题？
注意问题： 1.分式的混合运算的关键是明确运算顺序。 2.最后的结果，必须化成最简分式或整式。 3.分子或分母的系数是负数时，要把“-”提 到分式的前面。
注意 问题
1.明确运算顺序。
2.最后的结果，必须化成最简
分式或整式。
3.分子或分母的系数是负数时，
要把“-”提到分式的前面。
PPT学习交流
13
布置作业
课本Ｐ93: 习题3.5 6题
PPT学习交流
14
PPT学习交流
10
例6 先化简，再求值：
1a1( a 1 )其 , a 中 2. a a2a22a
PPT学习交流
11
知识应用：
先化简再求值：
( 11)(x21)其 , x 中 1.
x1 x1
2
PPT学习交流
12
系统总结
运算 先算乘方，再乘除，然后算加 顺序： 减，有括号的先算括号里面的。
分式的混 合运算
2.尝试计算：(2x)23y x 3y2 3y 2x y2 2x
3.用类比的方法归纳分式的混合运算的顺序。
PPT学习交流
6
分式的混合运算的顺序: 先算乘方，再乘除，然后算加减，有括号的先 算括号里面的。
●分式的混合运算的关键是明确运算顺序。
PPT学习交流
7例题引领例5源自计算：(1)x xyxy2yx4x 4yy4x2x2y2
2
3.5 分式的加法与减法（3）
PPT学习交流
3
教学目标
掌握分式的混合运算顺序，能熟练地进行分 式的混合运算。
PPT学习交流
4
预习诊断
计算：
(1)
6 ( 4 4 ) x29 x3 x3
(2)
( x2 4 )x2 x2 2x 2x
PPT学习交流
5
合作探究
1.分数的混合运算的顺序: 先算乘除，后算加减，有括号的先算括号 里面的。