新1第十一章曲线积分与曲面积分习题答案
11曲线积分与曲面积分6答案
14
33
09
4、计算 xyz d s , 其中 r 是空间曲线 x=t, y 2t 2t , z 1 t 2 在点 t=0 和 t=1 间的一段。
3
2
答案： 解 :
xyzds 1(t 2t
2t 1 t 2) 1 ( 2t )2 t 2dt
2
1
t
9
2(1
t)dt
16
2
r
03
2
30
三、问答（2 小题）
1、已知 P(x,y)=x2+y2，问 Q(x,y)满足什么条件时，才能使 Pdx Qdy 与积分路径无关。 L
解：由 P y
Q x
,
知 Q x
2 y,Q(x,
y)
2xy
c( y), 式中C( y) 为任意连续函数.
2、设∑是八面体|x|+|y|+|z|≤a 的表面，a 为正数。若 (2x z)2 dS 3 a2 则 a 为何值。
11 曲线积分与曲面积分练习题 6 答案
一、选择（10 小题）
1-5、答案：BACCC 6-10、答案：BBA DA 二、填空（5 小题）
1、答案： x2 f (x)dx 2、答案：0 3、答案： A f (x, y)ds.
x1
L
4、答案：
yd x xd y L x 2 y 2
ò 5、答案： L 2p yds.
1 e x3y d s 1
5L
由驻点方程 fx fy 得 x y
3x 2y x3 , 又 34
x=0 y=3
或
x 3
y
3 4
f (x, y) x3y在条件3x 4 y 12 0下的
3x+4y-12=0
第11章 曲线积分与曲面积分习题解答(开放课程)
d
L
02
2
1 a2
cos
d
2
cos
d
2 0 2
2
1 2
a
2
2
sin
2
0
2sin 2
2
2a 2
3．计算 x2 y 2 ds ，其中 L 为曲线 x acos t t sin t ，y asin t t cos t， L
解：
xydx
1
y2 y
y2
dy
2
1 y 4dy 21 y 5 1
4.
L
1
1
5 1 5
8. 计算 x3dx 3zy 2dy x 2 ydz ，其中 L 是从点 A3,2,1 到点 B0,0,0的直线 L
段 AB 。
解：直线段 AB 的方程为 x y z ，化成参数方程为 x 3t ， y 2t ， z t ， 321
1x 0
1
x
2dx
2。
2．计算 x 2 y 2 ds ，其中 L 为圆周 x 2 y 2 ax 。 L
解：
L
的参数方程为
x
y
1 2 1 2
a cos a sin
1 2
a
， 0
2
则 x 2 y 2 1 a cos 1 a2 1 a sin 1 | a | 21 cos
0
ex
|0a
e
曲线曲面积分练习答案
第十一章 曲线曲面积分一、填空1、L 为下半圆21y x =--，则22()L x y ds +=⎰___π_______。
2、L 为222x y R +=，则3(2)L x y ds +=⎰____0____。
3、L 为圆22(2)(2)2x y -+-=的逆时针一周，则L ydx xdy +⎰=_0_。
4、设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，L 所围的平面闭区域D 的面积为A ，(2)(43)8L x dx x y dy -++=-⎰，则A=___2_______。
5、分片光滑闭曲面Σ所围成的空间区域Ω的体积为V ，则沿曲面Σ外侧的积分()()()z y dxdy y x dxdz x z dzdy ∑-+-+-⎰⎰= 3V 。
二、选择题1、设是一光滑曲线，为了使曲线积分(,)(,)L yF x y dx xF x y dy +⎰与积分路径无关，则可微函数 应满足条件（ A ）。
A 、B 、C 、D 、2、OM 是从(0,0)(1,1)O M 到的直线段，则22x y OM e ds +⎰不等于（D ）。
A 、1202x e dx ⎰B 、1202y e dy ⎰C 、20r e dr ⎰D 、102r e dr ⎰ 3、∑：2221x y z ++=外侧，1∑：上半面上侧，则正确的是（B ）。
A 、12zds zds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ B 、12zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰ C 、1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰ D 、zdxdy ∑⎰⎰=0 4、∑：222(),0z x y z =-+≥，则ds ∑⎰⎰等于（ C ）。
A 、220014r d r rdr πθ+⋅⎰⎰ B 、2220014d r rdr πθ+⋅⎰⎰ C 、2220014d r rdr πθ+⋅⎰⎰ D 、2 5、∑：222,12x y R z +=≤≤外侧，则下列不正确的是等于（B ）。
新1第十一章曲线积分与曲面积分习题答案
25第十一章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分1. 选择题：(1) 对弧长的曲线积分的计算公式⎰Lds y x f ),(=⎰'+'βαφϕφϕdt t t t t f )()()](),([22中要求 （C ） .（A ） α>β （B ） α=β （C ） α<β(2) 设光滑曲线L 的弧长为π，则⎰Lds 6= （B ） . （A ） π （ B ） π6 （C ） π122.计算下列对弧长的曲线积分： (1)⎰+Lds y x )(，其中L 为I ） 以)1,1(),0,1()0,0(B A O ，为顶点的三角形的边界； II ）上半圆周222R y x =+；解：I ）111()()()()(1)13222LOAABBOx y ds x y ds x y ds x y dsxdx y dy +=+++++=+++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰II ）22()(cos sin [sin cos ]2Lx y ds R t R t R t t R ππ+=+=-=⎰⎰(2)⎰Lyds ，其中L 为x y 22=上点)2,2(与点)2,1(－之间的一段弧；解：2223/211[(1)]33Lyds y ===+=⎰⎰⎰26*(3) ⎰Γ+ds y x )(22，其中Γ为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos ；)20(π≤≤t解：1/222222222220()(sin cos )2x y ds a a t a t b dta a πππΓ+=++==⎰⎰⎰*(4)⎰+L ds y x 22，其中L 为y y x 222-=+；解：L 的极坐标方程为2sin r θ=-，2πθπ≤≤，则ds θ=。
222224sin 8Lrd d ππππππππθθθθθ====-=⎰⎰⎰⎰第二节 对坐标的曲线积分1．填空题(1) 对坐标的曲线积分的计算公式⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'βαφφϕϕφϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{中，下限α对应于L 的 始 点，上限β对应于L 的 终 点； (2) 第二类曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化为第一类曲线积分是[(,)cos (,)cos ]LP x y dx Q x y ds αβ+⎰ ，其中βα,为有向光滑曲线L 在点),(y x 处的 切向量 的方向角.2．选择题：(1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向 （B ）（A ）无关， （B ）有关；(2) 若),(y x P ，),(y x Q 在有向光滑曲线L 上连续，则 （A ） （A ） ⎰-+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+-L dy y x Q dx y x P ),(),(，（B ）⎰-+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(.273．计算下列对坐标的曲线积分：(1)⎰+Ldx y x )(22，其中L 为从点)0,0(A 经上半圆周1)1(22=+-y x(0)y ≥到点)1,1(B 的一段弧；解：L的方程为221(1)y x =--，:01x →，则112222()[1(1)]21Lx y dx x x xdx +=+--==⎰⎰⎰ (2) ⎰-Lydx xdy ，其中L 为2x y =上从点)1,1(B 到点)1,1(-A 的一段弧；解：112211223Lxdy ydx x xdx x dx x dx ---=-==-⎰⎰⎰。
第十一章 曲线积分与曲面积分(整理解答)
第十一章 曲线积分与曲面积分一、 第一类、第二类曲线积分的计算，格林公式 11.6⎰Lxds =( )，其中L 是连接(1,0)及(0,1)的直线段A.21 B. 22 C. 22 D. 2 解：如图所示，L 所在直线方程参数为 1,,01y x x x x =-=≤≤，1102Lxds x x ===⎰⎰⎰所以，选B 。
11.9ds y xL)(22+⎰=( )，其中L 是圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t y t xA.π4B.2πC.π2D.π解：2222220()(cos sin )2Lx y ds t t dt πππ+=+==⎰⎰⎰所以，选C 。
11.14 下列为第一类曲线积分的是( )； A ．⎰Γs z y x f d ),,(，其中Γ为3R 中的光滑曲线 B ．⎰Γx z y x f d ),,(，其中Γ为3R 中的光滑曲线 C ．⎰Γy z y x f d ),,(，其中Γ为3R中的光滑曲线 D ．⎰Γz z y x f d ),,(，其中Γ为3R中的光滑曲线解：由第一类曲线积分的表示，选A 。
11.18 L 为曲线t y t x sin ,cos ==上0=t 到π=t 的一段弧，则=+⎰Ls y x d )( ( )；A. 1-B. 0C. 1D. 2解：()(cos sin )(cos sin )2Lx y ds t t t t dt ππ+=+=+=⎰⎰⎰所以，选D 。
11.21 L 为曲线212y x =上0x =到1x =的一段弧，则d Lx s =⎰ ( )； A．11)3 B ．C．21)3 D ．解：31121200011d (1)|1)33Lx s x x x ===+=⎰⎰⎰所以，选A 。
11.25 设L 是圆周222x y a +=在第一象限内的弧段,则Ls =⎰( ).(A)ae π； (B)2a π； (C)2a ae π； (D)2a e π.解：L 的参数方程为：cos ,sin ,02x a t y a t t π==≤≤，所以，202a Ls e ae ππ==⎰⎰所以，选C 。
南华大学第十一章 曲线积分与曲面积答案
的方向角. 二．选择题：
1．对坐标的曲线积分与曲线的方向（2） （1）无关， （2）有关； 2．若 P ( x, y ) ， Q( x, y ) 在有向光滑曲线 L 上连续，则（1） （1） （2）
∫ ∫
L−
P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = − ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy ，
2. 设光滑曲线 L 的弧长为 π ，则 6ds = （2）
L
∫
（1） π ， （2） 6π ， （3） 12π . 二.计算下列对弧长的曲线积分： 1． ( x + y ) ds ，其中 L 为
L
∫
(1) 以 O(0,0)，A(1,0), B(1,1) 为顶点的三角形的边界； (2) 上半圆周 x + y = R ；
L
L−
P ( x, y )dx + Q( x, y )dy =
2
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy .
L
2 2
三．计算下列对坐标的曲线积分： 1． ( x + y )dx ， 其中 L 为从点 A(0,0) 经上半圆周 ( x − 1) + y = 1 ( y > 0) 到点 B(1,1) 的
8 2 (1 − cos t ) 2 + 8 2 sin 2 t = 16 sin
设质心坐标为 ( x, y ) ，则
x=
1 M
∫
π
0
ρ ⋅ 8(t − sin t ) ⋅ 16 sin dt =
t 2
32 1 ，y= 3 M
∫
π
0
ρ ⋅ 8(1 − cos t ) ⋅ 16 sin dt =
曲线积分与曲面积分习题答案.pdf
解： Dxy {( x, y) | x y 1, x 0, y 0} ， z 1 x y ， dS 3dxdy
原式 = (2 x y 2(1 x y)) 3dxdy
D xy
13 3(
x
1 x2)dx
53
02
2
6
1
1x
3 dx (2 y) dy
1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
(1) x 2 y3dx dy zdz ， 为 xOy 面内圆周 x2 y 2 a 2 逆时针方向；
解：取 为平面 z 0的下侧被 围成的部分， D 为 在 xOy 面上的投影
区域。 由 Stokes 公式，得
dydz dzdx dxdy
原式 =
x
y
z
x2 y3 1
x 2 ydx xy2 dy ，其中 L 为 x2 y 2 6x 的上半圆周从点 A(6,0)
L
到点 O (0,0) 及 x 2 y 2 3x 的上半圆周从点 O(0,0) 到点 B(3,0) 连成的弧
AOB；
uuur 解：连直线段 AB，使 L 与 BA 围成的区域为 D，由 Green 公式，得
第十一章 曲线积分与曲面积分
第三节 Green 公式及其应用
1．利用 Green 公式，计算下列曲线积分：
(1) xy 2dy x2 ydx ，其中 L 为正向圆周 x2 y 2 9 ；
L
解：由 Green 公式，得
?xy2dy x2 ydx
L
(x2
y2 )dxdy
2
2d
0
D
3 r 3dr
高数答案第11章
第十一章 曲线积分与曲面积分 (09级下学期用） § 1 对弧长的曲线积分 1设 L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x f ,关于y 是偶函数时，()=⎰Lds y x f ,（ B ）()⎰1,L ds y x f C 。
()⎰-1,2L ds y x f D.ABC 都不对2、设L 是以点()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A 为顶点的正方形边界,则⎰+Lyx ds =（ C ）A 。
24 D 。
223、有物质沿曲线L ：()103,2,32≤≤===t t z t y t x 分布,其线密度为,2y =μ，则它的质量=m ( A )++1421dt t t t B 。
⎰++104221dt t t tC 。
⎰++1421dt t t D.⎰++1421dt t t t4．求,⎰Lxds 其中L 为由2,x y x y ==所围区域的整个边界解：,⎰Lxds =()22155121241111+-=++⎰⎰xdx dy yy 5．,ds y L⎰其中L 为双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x解：原积分=()()222sin 4sin 442022'2441-==+=⎰⎰⎰a d ad r r r ds y L χππθθθθθ6．⎰+Lds y x ,22 其中L 为()022>=+a axy x原积分222cos 2a adt t a ==⎰π7．,2⎰Lds x 其中L 为球面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线解：将y x =代入方程2222a z y x =++得2222a z x =+于是L 的参数方程：ta z t a y t a x sin ,sin 2,cos 2===，又adt ds =原积分=⎰=ππ203222cos 2a adt t a 8、求均匀弧()0,sin ,cos ≤<∞-===t e z t e y t e x t t t 的重心坐标33,30===⎰∞-dt e M dt e ds tt，523cos 100==⎰∞-dt e t e Mx t t ，21,5100=-=z y§2 对坐标的曲线积分 一、选择题1。
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第十一章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分1. 选择题：(1) 对弧长的曲线积分的计算公式⎰Lds y x f ),(=⎰'+'βαφϕφϕdt t t t t f )()()](),([22中要求 （C ） .（A ） α>β （B ） α=β （C ） α<β(2) 设光滑曲线L 的弧长为π，则⎰Lds 6= （B ） . （A ） π （ B ） π6 （C ） π122.计算下列对弧长的曲线积分： (1)⎰+Lds y x )(，其中L 为I ） 以)1,1(),0,1()0,0(B A O ，为顶点的三角形的边界； II ）上半圆周222R y x =+；解：I ）111()()()()(1)13222LOAABBOx y ds x y ds x y ds x y dsxdx y dy +=+++++=+++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰II ）22()(cos sin [sin cos ]2Lx y ds R t R t R t t R ππ+=+=-=⎰⎰(2)⎰Lyds ，其中L 为x y 22=上点)2,2(与点)2,1(－之间的一段弧；解：2223/211[(1)]33Lyds y ===+=⎰⎰⎰*(3) ⎰Γ+ds y x )(22，其中Γ为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos ；)20(π≤≤t解：1/222222222220()(sin cos )2x y ds a a t a t b dta a πππΓ+=++==⎰⎰⎰*(4)⎰+L ds y x 22，其中L 为y y x 222-=+；解：L 的极坐标方程为2sin r θ=-，2πθπ≤≤，则ds θ=。
222224sin 8Lrd d ππππππππθθθθθ====-=⎰⎰⎰⎰第二节 对坐标的曲线积分1．填空题(1) 对坐标的曲线积分的计算公式⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'βαφφϕϕφϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{中，下限α对应于L 的 始 点，上限β对应于L 的 终 点； (2) 第二类曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化为第一类曲线积分是[(,)cos (,)cos ]LP x y dx Q x y ds αβ+⎰ ，其中βα,为有向光滑曲线L 在点),(y x 处的 切向量 的方向角.2．选择题：(1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向 （B ）（A ）无关， （B ）有关；(2) 若),(y x P ，),(y x Q 在有向光滑曲线L 上连续，则 （A ） （A ） ⎰-+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+-L dy y x Q dx y x P ),(),(，（B ）⎰-+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(.3．计算下列对坐标的曲线积分：(1)⎰+Ldx y x )(22，其中L 为从点)0,0(A 经上半圆周1)1(22=+-y x(0)y ≥到点)1,1(B 的一段弧；解：L的方程为221(1)y x =--，:01x →，则112222()[1(1)]21Lx y dx x x xdx +=+--==⎰⎰⎰ (2) ⎰-Lydx xdy ，其中L 为2x y =上从点)1,1(B 到点)1,1(-A 的一段弧；解：112211223Lxdy ydx x xdx x dx x dx ---=-==-⎰⎰⎰g 。
(3)⎰+Lxdy y ydx x32，其中L 为x y =2与1=x 所围成区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；解：21:,:11L x y y =→-, 2:1,:11L x y =-→, 则1223232311155361114(2)27LL L x ydx y xdy x ydx y xdy x ydx y xdy y y y dy y dy y dy ---+=+++=++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰g Ñ*(4)zxdz xydy dx y ++⎰Γ2，其中Γ为从点)0,0,0(O 到点)111(，，C ，沿着I ）直线段； II ）有向折线OABC ，这里的O 、A 、B 、C 依次为点)0,0,0(、)0,0,1(、)011(，，、)111(，，；解：I ）Γ的参数方程为x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，01t ≤≤，则原式=12220()1t t t dt ++=⎰II ）OA: 0x t y z =⎧⎨==⎩, 01t ≤≤; AB: 1x y t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,01t ≤≤;BC: 11x y z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩.01t ≤≤.原式=112001OAABBCy dx xydy zxdz tdt tdt ++++=++=⎰⎰⎰⎰⎰第五节 对坐标的曲面积分1. 选择题(1) 对坐标的曲面积分与曲面的方向 （B ）（A ）无关 （B ）有关 (2) 已知⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(存在，则⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(+⎰⎰-∑dxdy z y x R ),,(= （A ）（A ）0 （B ）⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(22. 计算下列对坐标的曲面积分： (1)⎰⎰∑+zdxdy y x)(22，其中∑为曲面221y x z --=在第一卦限部分的上侧.解：由2210z x y z ⎧=--⎨=⎩知，∑在xoy 面的投影区域为：{(,)|01}{(,)|01,0}2xy D x y y x r r πθθ=≤≤≤≤=≤≤≤≤，222212220()(1)11(1)()24624xyD x y x y dxdyd r r rdr πππθ+--=-=-=⎰⎰⎰⎰原式=(2)⎰⎰∑++dxdy ydzdx dydz x )1(＋，其中∑为1=++z y x 在第一卦限的部分且取法线的方向与z 轴的夹角为锐角.解：由已知得，平面与x,y 轴的夹角也为锐角，∑在三坐标面上的投影为等腰直角三角形，故 原式=11111104(2)(1)3yxxdy y z dz dx x z dz dx dy -----+--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
*3．把dxdy z x ydzdx xdydz )(+++⎰⎰∑化为对面积的曲面积分，其中∑为平面222=++z y x 第一卦限部分的上侧.解：因∑取上侧，故法向量n r与z 轴正向夹角为锐角，方向余弦为221cos ,cos ,cos ,333αβγ=== 从而21111()(32)33333x y x z dS x y z dS +++=++∑∑⎰⎰⎰⎰原式=第六节 Gauss 公式 *通量与散度1. 利用高斯公式计算下列曲面积分： (1)zdxdy ydzdx x dydz yz x +--⎰⎰∑232)(，其中∑为平面 1,1,1,0,0,0======z y x z y x 围成的立方体Ω的表面外侧；解：由Gauss 公式，得原式=1112224(321)(1)3x x dxdydz dz dy x dx Ω-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
(2)dydz z y x dxdy y x )()(-+-⎰⎰∑，其中∑由1,0,922===+z z y x所围空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧； 解：由Gauss 公式，得231232000()(sin )119(sin )9(sin )242y z dxdydz d rdr r z dzd r r dr d πππθθθθθθπΩ-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式=*(3)zdxdy ydzdx xdydz ++⎰⎰∑，其中∑为上半球面222y x a z --=的上侧；解：设1∑为2220z =≤（x +y a ）的下侧，∑与1∑围成的闭区域为Ω，由Gauss 公式，得1332xdydz ydzdx zdxdy dxdydz a πΩ+++==∑∑⎰⎰⎰⎰⎰Ò，而10xdydz ydzdx zdxdy ++=∑⎰⎰Ò，故原式=32a π。