复变函数与积分变换———拉普拉斯变换ppt
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复变函数与积分变换———拉普拉斯变换ppt
对并返回结果 F ( s )。
(2) f = ilaplace (F ) 对函数 F ( s ) 进行 Laplace 逆变换， 对并返回结果 f ( t )。
22
3t 例 求函数 f ( t ) t e sin 2t
的 Laplace 变换。
解 Matlab 程序
clear; syms t; f = t*exp(3*t)*sin(2*t); F = laplace(f)；
若L[f(t)]=F(s), 则有
F (s) L t f (t ) (2.6)
一般地有
F ( n ) (s) L [(t )n f (t )] (2.7)
利用(2.6) 式
【例2.3】求L[tsinkt]
2ks (答案: 2 2 2 ) (s k )
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2 a 2 s 【例3.5】求 L s( s2 a2 )2 t cos at
1
1 【例3.6】求 L1 ( s1)( s2)( s 3)
1 1 1 1 t 1 2t 1 3t 1 6 15 10 L s 1 s 2 s 3 e e e 6 15 10
注:书上对例4,例5,例6的计算是用“查表”的方法作 的.
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* 三、利用 Matlab 实现 Laplace 变换
在数学软件 Matlab 的符号演算工具箱中，提供了专用函数 来进行 Laplace 变换与 Laplace 逆变换。 (1) F = laplace (f ) 对函数 f ( t ) 进行 Laplace 变换，
输出 F=atan(1/s)
其中， atan 为反正切函数。
复变函数与积分变换课件
傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
《拉普拉斯变换 》课件
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
拉普拉斯变换的运算技 巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普 拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将 时间变量乘以常数，此时可以利用积 分性质简化拉普拉斯变换的运算。
REPORT
《拉普拉斯变换》 PPT课件
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
目录
CONTENTS
• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
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总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
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拉普拉斯变换的运算技 巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普 拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将 时间变量乘以常数，此时可以利用积 分性质简化拉普拉斯变换的运算。
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CONTENTS
• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
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SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。
电路原理-拉普拉斯变换PPT课件
收敛域为s平面的右半平面
[ (t)] 1
s
7
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0
0
(t
)e
st
dt
(t)estdt
0
0
est t0 1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1
[sint (t)] s2 2
10
2. 微分定理 (differentiation theorem)
d dt
f (t)
s
f (t) f (0 )
*证明：
d
dt
f (t)
e st d f (t )dt
0
dt
e stdf (t )
f (t)
0
f ()
f (0 )
lim sF(s)
s0
f
(0 )
lim f (t) limsF(s)
t
s0
利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数
F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数f(t)的初值
和终值。
21
例8 设 f (t) (1 et ) (t) 验证初值定理和终值定理。
2!
t (t)
1 s3
t (n
n1
1)!
(
t
)
1 sn
1
1 sn
t n1 (n 1)!
(t )
16
4. 时域位移定理 (time-shift theorem)
第3章 拉普拉斯变换 128页 6.1M ppt版
6.3 拉氏变换的性质：
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 ROC
1、 线性。
ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
ROC:包括 R1 R2
若 R1 与R2 无公共部分，则表明ax1(t) bx2 (t) 的拉氏变换不存在。
当 aX1(s) bX 2 (s) 中有零极点抵消时，ROC 可能会扩大。
第三章 拉普拉斯变换
本章要点 拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉 氏变换 拉氏变换与傅氏变换的关系 拉氏变换的性质，收敛域 卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应
1
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号est 是 LTI 系统的特征函数 s j ，并对
s j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s j ）
7
例三: x(t) ea t eatu(t) eatu(t)
j
X (s) 0 eatestdt eatestdt
0
1 1 sa sa
( a, a)
-a
a
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
a a
此时
X (s)
1 sa
1 sa
2a s2 a2
存在
当 a<0 时这两个 ROC 无公共区域 x(s)不存在。
立叶变换地推广。
3
如果Xx(s) 在 s j 收敛，则 即 s 可以取j
X ( j) Xx(t))eejjtdt tdt
是x(t) 的拉付氏里变叶换变换
X ( j) X (s) 表明傅立叶变换氏是拉氏变换在j 轴上的特例 s j
由傅立叶反变换得到拉斯反变换
拉普拉斯积分变换 PPT课件
记为 F(s) L f (t)
F(s)称为 f (t)的拉氏变换（或称为象函数）。
2
若F(s)是f (t) 的拉氏变换，则称 f (t) 为F(s)的拉 氏逆变换（或称为象原函数），记为
f (t) L1F(s)
可以看出，f (t) (t 0)的拉氏变换，实际上就是 f (t)u(t)e t 的傅氏变换。
解 Lsin kt sin ktestdt 0
e st s2 k2
(s sin
kt
k
cos kt)
0
s2
k
k2
(Re(s) 0)
同样可得余弦函数的拉氏变换：
Lcoskt
s2
s
k2
(Re(s) 0)
9
例6 求单位脉冲函数 (t) 的拉氏变换。
解
利用性质： f (t) (t)dt f (0) ，有
即
L
t 0
f
(t )dt
1 s
L
f
(t)
1 s
F (s)
这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏 变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s。
20
重复应用积分性质可得：
L
t
dt
t
dt
0
0
n次
t 0
f
(t)dt
1 sn
F (s)
此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数 的积分性质：
L
7
则 f (t) 的拉氏变换
F (s) f (t) est dt 0
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 Re(s) c 的半平面内，F(s)为解析函数。
拉普拉斯变换ppt
机电工程学院
第二章 拉普拉斯变换
二、延时定理（Time-Shift Theorem）
若有 L[ f (t )] F ( s ) ，对任意实数 a ,则
控
L[ f (t a)] e asF (s)
制
工
程
基
础
page21
机电工程学院
第二章 拉普拉斯变换
三、周期函数的拉氏变换
若函数 f 是(t)以T 为周期的周期函数,即
则有
f (t T ) f ，(t )
L f t f t estdt
控
0
制
工 程 基
T f t e stdt 2T f t e stdt n1T f t e stdt
0
T
nT
础
n1T f t e stdt
nT
n0
page22
机电工程学院
第二章 拉普拉斯变换
若 L[ f (t)] F (s)则
L[ d f (t)] sF (s) f (0) dt
f (0)为时间函数 f (t)在t =0处的初始值。注意，本书假设
f (0-) = f (0+) = f (0) 。
控
制 工
推论 若
L[ f (t)]， F则(s)
2j 0
s2 2
page14
机电工程学院
第二章 拉普拉斯变换
（七）余弦函数 余弦函数（Cosine Function）的数学表达式为
r (t ) co s t (t≥0)
控 制
其拉氏变换为
工 程 基
L[cos t] cos testdt 0
础
1 (e jt e jt )e st d t 20
复变函数与积分变换-第八章-Laplace变换
3)、Laplace变换与Fourier变换的关系
F (s) L [ f (t)] f (t)estdt 0 f (t )u(t )e te jwtdt F
[ f (t )u(t )e t ]
例1：求下述函数的 Laplace变换
（1）f
(t)
则 1）f (t)的 Laplace 变换 F (s) f (t ) estdt 在半平 0
面 Re s c上存在，右端积分在 Re s c1 c上绝对收敛 且一致收敛。
2）F(s)在 Re s c解析且
F (s) (t) f (t)estdt L [(t) f (t)] 0
0
证明： L [ f (t )] f (t )e stdt (k1)T f (t )e stdt
0
kT
k0
tkT
T f (kT )e s(kT )d
0
k0
k0
e
sTk
T f ( )es d
认定为包含在积分限内，因此，对于 (t)
L [ (t)]
பைடு நூலகம்
(t )e st dt
e st
1
0
t0
常见的基本Laplace变换对
(1)u(t )
L
1 s
, u(t )t m
L
m! sm1
(2)u( t )t
L
( 1)
s 1
(3)ekt L 1 sk
2）、位移性质
L [eat f (t)] F (s a)
( Re(s a) c)
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sint t ≥ 0 f (t) = t <0 0
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§1 拉普拉斯变换的概念 1. 定义 定义1.1: 设函数 当t≥0时有定义,而且积分 设函数f(t)当 ≥0时有定义, ≥0时有定义
+∞
∫
0
是一个复参量） f (t) e−st dt ( s 是一个复参量）
属于复平面内某一区域时收敛, 在s属于复平面内某一区域时收敛,则由此积分 属于复平面内某一区域时收敛 确定函数 F(s) = ∫ f (t)e−st dt (2.1)
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3. 积分性质: 积分性质 性质: 若L[f(t)]=F(s), 则有
t 1 L∫ f (t)dt = F(s) 0 s (2.8)
一般地有: 一般地有
L [ ∫ dt∫ dtL∫ 0 0 14 40 4 2 4 3
n次 t t t
1 f (t) dt ]= n F (s) s
(2.9)
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4. 位移性质: 位移性质 性质: 若L[f(t)]=F(s), 则有
L[eat f (t)] = F(s −a) (2.12)
利用(2.12) 式 利用
Γ(m+1 ) 【例2.5】(P64例5) 求 L[e t ] = 】 m+1 (s −a)
Байду номын сангаасat m
【例2.6】(P64例6) 求 L[e 】
利用(2.13) 式 利用
1 −sτ 【例2.7】(P65例7) 求 L[u(t −τ )] = e Lu( t ) = e 】 s
结束
【例1.6】求单位脉冲函数 】求单位脉冲函数δ(t)的拉氏换变 (P54例6) 的拉氏换变 广义函数δ(t) 是用“分布”的概念定义的 具体说来 是用“分布”的概念定义的. 注: 广义函数 , δ(t) 满足条件：对任意连续函数 满足条件：对任意连续函数f(t) , 成立着
当 ∉[a,b] 0 0 ∫ f (t)δ(t)dt = f (0) 当0∈[a,b] a
−at
k sin kt] = (s −a)2 + k2
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5. 延迟性质: 延迟性质 性质: 若L[f(t)]=F(s), τ>0 则有
L[ f (t −τ )] = e−sτ F(s) (2.13)
(证明中要注意f ( t-τ)在τ时刻之前为零函数) 证明中要注意 在 时刻之前为零函数)
L[ a f1(t) +b f2(t)] = aL[ f1(t)] +bL[ f2(t)]
= aF (s) +bF (s) 1 2 对逆变换也有线性性质: 对逆变换也有线性性质
(2.2)
− − 若 L 1 [ F (s)] = f1(t), L 1 [ F (s)] = f2(t) 则有 1 2 − − − L 1 [ aF (s) +bF (s)] = aL 1 [ F (s)] +bL 1 [ F (s)] 1 2 1 2
f (t) ≤ Mect , 0 ≤ t <+∞
则: f(z) 的拉氏变换在半平面 Re(s) >C 上一定 存在, 且象函数F(s)在半平面 Re(s) >C 内为 存在 且象函数 在半平面 解析函数. 解析函数
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注意：上面定理只给出了集合A中的部分元素 中的部分元素, 注意：上面定理只给出了集合 中的部分元素 而并没有给出集合A 的全部元素. 而并没有给出集合 的全部元素 例如: 中给出了“ 例如 在P56例6中给出了“单位脉冲函数”δ(t) 的 中给出了 单位脉冲函数” 拉氏变换, 但δ(t) 并不满足上面定理的条件 并不满足上面定理的条件. 拉氏变换
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的拉氏变换(P 【例1.3】求f(t)=sinkt的拉氏变换 50 例3) 】 的拉氏变换
k 记住结果 L[sin kt] = 2 2 (Re(s) > 0) s +k
计算过程与高等数学算法一致,应用两次分部积分 注:计算过程与高等数学算法一致 应用两次分部积分 计算过程与高等数学算法一致 法即可.在学习了拉氏变换的微分性质以后 我们 法即可 在学习了拉氏变换的微分性质以后,我们 在学习了拉氏变换的微分性质以后 还将给出本题的其它证明方法. 还将给出本题的其它证明方法
1 −st F(s) = L[ u(t)] = ∫ e dt =− e s 0
+∞
0
1 = s
的拉氏变换(k为实数 为实数) 【例1.2】求f(t)=e kt 的拉氏变换 为实数 (P48 例2) 】 解: 当Re(s)>k时,有 时有
1 −(s−k)t kt −(s−k)t kt −st L e = e e dt = ∫ e e dt =− ∫ s −k 0 0 1 = s −k
0 +∞
式为f(z)的拉普拉斯变换 称(2.1)式为 的拉普拉斯变换(简称拉氏变换), 式为 的拉普拉斯变换(简称拉氏变换), 记为: F(s) = L[ f (t)] 记为: F(s)称为 的拉氏变换(或称为象函数). 称为f(t)的拉氏变换 或称为象函数). 称为 f(t)称为 称为F(s)的拉氏逆变换(或称为象原函数). 称为 的拉氏逆变换 或称为象原函数).
可推出下面的(2.4)式: 由(2.3)可推出下面的 可推出下面的 式
L[ f (n) (t)] = snF(s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′(0) −L
−s f (n−2) (0) − f (n−1) (0) (Re(s) > 0)
(2.4)
利用(2.4) 式 利用
s (答案 2 2 ) 答案: 答案 【例2.1】求L[coskt] (P61例1) 】 s +k m! m ](m=1,2…) (P 例2) (答案 【例2.2】求L[t 】 答案: 答案 m+1 ) 61 s
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+∞
+∞
+∞
0
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2. 回忆 理解与问题: 回忆,理解与问题 理解与问题 (1) 回忆 含参量积分 回忆:含参量积分
+∞
∫ f (x, y)dx = I (y)
a
b
就是一个含参量的积分. (2.1): F(s) = ∫ f (t)e−st dt 就是一个含参量的积分
0
(2) 拉氏变换实际是实函数f (t)的集合到复函数 的集合到复函数F(s) 拉氏变换实际是实函数 的集合到复函数 的集合的一种对应关系 L: f (t) aF(s)
集合A 集合 f(t) 集合B 集合 F(s)
L
所以记F(s)为L[f(t)],并称 为 并称F(s)为f(t)的象函数. 的象函数. 所以记 并称 为 的象函数
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(3) 由(2)产生了以下问题: 产生了以下问题: 产生了以下问题 集合A中都有什么样的实函数 换句话说, 中都有什么样的实函数? ① 集合 中都有什么样的实函数? 换句话说, 什么实函数有拉氏变换？ 什么实函数有拉氏变换？ A中不同实函数的象函数是否也不同? ② A中不同实函数的象函数是否也不同?若L 中不同实函数的象函数是否也不同 是A到B 的一一对应,则L就有逆映射L-1. 到 的一一对应, 就有逆映射
(1) Γ(m+1) = mΓ(m) (2) Γ(1) =1
Gamma函数的性质的推广 函数的性质的推广: 函数的性质的推广
(1) Γ(m+1) = m ! (m∈N)
m! (2) L[t ] = m+1 (m∈N) (Re(s) > 0) s
m
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Proof :
Γ(m+1 = e−ttmdt ) ∫
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对逆变换也有微分性质： 对逆变换也有微分性质： 若L[f(t)]=F(s), 则有
F′(s) = L [ −t f (t)] (2.6)
一般地有
F (n) (s) = L[(−t)n f (t)] (2.7)
利用(2.6) 式 利用
2ks 答案: 【例2.3】求L[tsinkt] (P62例3) (答案 2 2 2 ) 】 答案 (s + k )
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的拉氏变换(P 【例1.4】求f(t)=t m的拉氏变换 51 例4) 】
Γ(m+1 ) 记住结果 L[t ] = m+1 (Re(s) > 0) s
m
其中Γ(m)是伽玛函数 Γ(m) = ∫ e−ttm−1dt (m>−1) 是伽玛函数: 其中 是伽玛函数
0
+∞
伽玛(Gamma)函数的性质 函数的性质: 伽玛 函数的性质
的拉氏变换(P 的拉氏变换 54 例5) 解:当Re(s)>0时,有 当 时有
L[ f (t)] = ∫
0 +∞
f (t)e dt = ∑
−st
k=0
1) +∞ 2(k+ b
∫
f (t) e−st dt
2kb
1 1−e−bs 1 bs = 2 = 2 th −bs s 1+e s 2
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3. 拉氏变换的存在定理 若函数f(z)满足下列条件: 若函数 满足下列条件: 满足下列条件 (1) 在t≥0的任意有限区间上分段连续 的任意有限区间上分段连续; 的任意有限区间上分段连续 (2) 当t→+∞时,f(z)的增长速度不超过某一指数函数, →+∞时 的增长速度不超过某一指数函数, →+∞ 的增长速度不超过某一指数函数 即存在常数M > 0及C≥0,使得 即存在常数 及 ,
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§1 拉普拉斯变换的概念 1. 定义 定义1.1: 设函数 当t≥0时有定义,而且积分 设函数f(t)当 ≥0时有定义, ≥0时有定义
+∞
∫
0
是一个复参量） f (t) e−st dt ( s 是一个复参量）
属于复平面内某一区域时收敛, 在s属于复平面内某一区域时收敛,则由此积分 属于复平面内某一区域时收敛 确定函数 F(s) = ∫ f (t)e−st dt (2.1)
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3. 积分性质: 积分性质 性质: 若L[f(t)]=F(s), 则有
t 1 L∫ f (t)dt = F(s) 0 s (2.8)
一般地有: 一般地有
L [ ∫ dt∫ dtL∫ 0 0 14 40 4 2 4 3
n次 t t t
1 f (t) dt ]= n F (s) s
(2.9)
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4. 位移性质: 位移性质 性质: 若L[f(t)]=F(s), 则有
L[eat f (t)] = F(s −a) (2.12)
利用(2.12) 式 利用
Γ(m+1 ) 【例2.5】(P64例5) 求 L[e t ] = 】 m+1 (s −a)
Байду номын сангаасat m
【例2.6】(P64例6) 求 L[e 】
利用(2.13) 式 利用
1 −sτ 【例2.7】(P65例7) 求 L[u(t −τ )] = e Lu( t ) = e 】 s
结束
【例1.6】求单位脉冲函数 】求单位脉冲函数δ(t)的拉氏换变 (P54例6) 的拉氏换变 广义函数δ(t) 是用“分布”的概念定义的 具体说来 是用“分布”的概念定义的. 注: 广义函数 , δ(t) 满足条件：对任意连续函数 满足条件：对任意连续函数f(t) , 成立着
当 ∉[a,b] 0 0 ∫ f (t)δ(t)dt = f (0) 当0∈[a,b] a
−at
k sin kt] = (s −a)2 + k2
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5. 延迟性质: 延迟性质 性质: 若L[f(t)]=F(s), τ>0 则有
L[ f (t −τ )] = e−sτ F(s) (2.13)
(证明中要注意f ( t-τ)在τ时刻之前为零函数) 证明中要注意 在 时刻之前为零函数)
L[ a f1(t) +b f2(t)] = aL[ f1(t)] +bL[ f2(t)]
= aF (s) +bF (s) 1 2 对逆变换也有线性性质: 对逆变换也有线性性质
(2.2)
− − 若 L 1 [ F (s)] = f1(t), L 1 [ F (s)] = f2(t) 则有 1 2 − − − L 1 [ aF (s) +bF (s)] = aL 1 [ F (s)] +bL 1 [ F (s)] 1 2 1 2
f (t) ≤ Mect , 0 ≤ t <+∞
则: f(z) 的拉氏变换在半平面 Re(s) >C 上一定 存在, 且象函数F(s)在半平面 Re(s) >C 内为 存在 且象函数 在半平面 解析函数. 解析函数
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注意：上面定理只给出了集合A中的部分元素 中的部分元素, 注意：上面定理只给出了集合 中的部分元素 而并没有给出集合A 的全部元素. 而并没有给出集合 的全部元素 例如: 中给出了“ 例如 在P56例6中给出了“单位脉冲函数”δ(t) 的 中给出了 单位脉冲函数” 拉氏变换, 但δ(t) 并不满足上面定理的条件 并不满足上面定理的条件. 拉氏变换
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的拉氏变换(P 【例1.3】求f(t)=sinkt的拉氏变换 50 例3) 】 的拉氏变换
k 记住结果 L[sin kt] = 2 2 (Re(s) > 0) s +k
计算过程与高等数学算法一致,应用两次分部积分 注:计算过程与高等数学算法一致 应用两次分部积分 计算过程与高等数学算法一致 法即可.在学习了拉氏变换的微分性质以后 我们 法即可 在学习了拉氏变换的微分性质以后,我们 在学习了拉氏变换的微分性质以后 还将给出本题的其它证明方法. 还将给出本题的其它证明方法
1 −st F(s) = L[ u(t)] = ∫ e dt =− e s 0
+∞
0
1 = s
的拉氏变换(k为实数 为实数) 【例1.2】求f(t)=e kt 的拉氏变换 为实数 (P48 例2) 】 解: 当Re(s)>k时,有 时有
1 −(s−k)t kt −(s−k)t kt −st L e = e e dt = ∫ e e dt =− ∫ s −k 0 0 1 = s −k
0 +∞
式为f(z)的拉普拉斯变换 称(2.1)式为 的拉普拉斯变换(简称拉氏变换), 式为 的拉普拉斯变换(简称拉氏变换), 记为: F(s) = L[ f (t)] 记为: F(s)称为 的拉氏变换(或称为象函数). 称为f(t)的拉氏变换 或称为象函数). 称为 f(t)称为 称为F(s)的拉氏逆变换(或称为象原函数). 称为 的拉氏逆变换 或称为象原函数).
可推出下面的(2.4)式: 由(2.3)可推出下面的 可推出下面的 式
L[ f (n) (t)] = snF(s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′(0) −L
−s f (n−2) (0) − f (n−1) (0) (Re(s) > 0)
(2.4)
利用(2.4) 式 利用
s (答案 2 2 ) 答案: 答案 【例2.1】求L[coskt] (P61例1) 】 s +k m! m ](m=1,2…) (P 例2) (答案 【例2.2】求L[t 】 答案: 答案 m+1 ) 61 s
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+∞
+∞
+∞
0
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2. 回忆 理解与问题: 回忆,理解与问题 理解与问题 (1) 回忆 含参量积分 回忆:含参量积分
+∞
∫ f (x, y)dx = I (y)
a
b
就是一个含参量的积分. (2.1): F(s) = ∫ f (t)e−st dt 就是一个含参量的积分
0
(2) 拉氏变换实际是实函数f (t)的集合到复函数 的集合到复函数F(s) 拉氏变换实际是实函数 的集合到复函数 的集合的一种对应关系 L: f (t) aF(s)
集合A 集合 f(t) 集合B 集合 F(s)
L
所以记F(s)为L[f(t)],并称 为 并称F(s)为f(t)的象函数. 的象函数. 所以记 并称 为 的象函数
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(3) 由(2)产生了以下问题: 产生了以下问题: 产生了以下问题 集合A中都有什么样的实函数 换句话说, 中都有什么样的实函数? ① 集合 中都有什么样的实函数? 换句话说, 什么实函数有拉氏变换？ 什么实函数有拉氏变换？ A中不同实函数的象函数是否也不同? ② A中不同实函数的象函数是否也不同?若L 中不同实函数的象函数是否也不同 是A到B 的一一对应,则L就有逆映射L-1. 到 的一一对应, 就有逆映射
(1) Γ(m+1) = mΓ(m) (2) Γ(1) =1
Gamma函数的性质的推广 函数的性质的推广: 函数的性质的推广
(1) Γ(m+1) = m ! (m∈N)
m! (2) L[t ] = m+1 (m∈N) (Re(s) > 0) s
m
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Proof :
Γ(m+1 = e−ttmdt ) ∫
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对逆变换也有微分性质： 对逆变换也有微分性质： 若L[f(t)]=F(s), 则有
F′(s) = L [ −t f (t)] (2.6)
一般地有
F (n) (s) = L[(−t)n f (t)] (2.7)
利用(2.6) 式 利用
2ks 答案: 【例2.3】求L[tsinkt] (P62例3) (答案 2 2 2 ) 】 答案 (s + k )
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的拉氏变换(P 【例1.4】求f(t)=t m的拉氏变换 51 例4) 】
Γ(m+1 ) 记住结果 L[t ] = m+1 (Re(s) > 0) s
m
其中Γ(m)是伽玛函数 Γ(m) = ∫ e−ttm−1dt (m>−1) 是伽玛函数: 其中 是伽玛函数
0
+∞
伽玛(Gamma)函数的性质 函数的性质: 伽玛 函数的性质
的拉氏变换(P 的拉氏变换 54 例5) 解:当Re(s)>0时,有 当 时有
L[ f (t)] = ∫
0 +∞
f (t)e dt = ∑
−st
k=0
1) +∞ 2(k+ b
∫
f (t) e−st dt
2kb
1 1−e−bs 1 bs = 2 = 2 th −bs s 1+e s 2
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3. 拉氏变换的存在定理 若函数f(z)满足下列条件: 若函数 满足下列条件: 满足下列条件 (1) 在t≥0的任意有限区间上分段连续 的任意有限区间上分段连续; 的任意有限区间上分段连续 (2) 当t→+∞时,f(z)的增长速度不超过某一指数函数, →+∞时 的增长速度不超过某一指数函数, →+∞ 的增长速度不超过某一指数函数 即存在常数M > 0及C≥0,使得 即存在常数 及 ,