用 二次函数与一元二次方程 不等式的关系课件
根据 yx2 2x3 图象回答下列问题．
• 当 x 取何值时，y＜0？
y
• 当 x 取何值时，y＞0？
• 能否用含有x的不等式来 描述两个问题？
x y＝x2－2x－3
例题精讲
3.已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图；
(1)方程-x2+3x+4=0的解
y
是_x_=-1,x_=_4_
4
(2)不等式-x2+3x+4>0的解集 3 2
交点，则a的范围是
。
6、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为 （-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
三、拓展应用
练习1. 已知二次函数y=（k﹣3）x2+2x+1 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 （D ）
A、k＜4
B、k≤4
C、k＜4且k≠3 D、k≤4且k≠3
练习2.关于x的二次函数 y=(k-1)x2-3x-1 的图像全部位于x轴的下方，则k的取值范围 是k＜-5/4 ； 知识小结：
解：△= 3628k
∵ 3628k＞0
∴k的取值为 kf 9 7
解：
x 1 2 x 2 2 (x 1 x 2 )2 2 x 1 x 2 5 0 ,
(6)2 2(7)50,
k
k
解之得：k1 1
k的取值为 k
f
9 7
18 k2 25
∴
k1 1
k2
18 25
要点小结
一般地，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值， 也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。
答案: 方程x2 6x90的解是x1 x2 3. 方程x2 x30无实数根.
二、基础训练
1、已知抛物线y=2x2+bx+8的顶点在x轴上，
则b=
±8。
2、若二次函数y=（m-8）x2+2x+m2-64的图
象过原点，则m= -8
。
3、根据下列表格的对应值：
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a、b、c为常数）一个
6
o2 x
方法与规律： 一次函数y＝kx＋b的图象与
x轴的交点的横坐标就是一元一次方程
kx＋b＝0的根
探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。
y 解：∵A、B在轴上，
∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0
x1 OA
x2 B
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
是__-1<x<4__
1
-2
(3)不等式-x2+3x+4<0的解集
-1
o -1
-2
1
2 34
5
x
-3
是_ X<-1或x>_4_
-4
-5
九、如何求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
y
x1
x2 x
0
y
O
x1
x2 x
当x=x1或x=x2时,y=0 当x<x1或x>x2时,y<0 当x1<x<x2时,y>0
当x=x1或x=x2时,y=0 当x1<x<x2时,y<0 当x<x1或x>x2时,y>0
1、如图求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
y
O
-2
1x
2、、若x为任意实数，则二次函数 y=x2+2x+3的函数值y的取值范围
是 y≥2。
⊿>0
y
⊿＝0
y
⊿＜ y0
X1 0 X2 x
O X1= X2 x O
解的范围是 （ C ）
Ａ、3＜x＜3.23
Ｂ、3.23＜x＜3.24
Ｃ、3.24＜x＜3.25
Ｄ、3.25＜x＜3.26
二、基础训练
4、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则
a
；若抛物线与x轴有两个交点，则
a
；若抛物线与坐标轴有两个公共点，
则a
；
5、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴至少有一个
§21.3 二次函数与一元 二次方程、不等式的关系
用数学视觉观察世界 用数学思维思考世界
温故知新
？
（1）、一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交 点为（2，0）；与 y 轴的交点为 （0，6） 。 （2）、一元一次方程－3x＋6＝0的根为__X__=_2___
y
你能说说 （1）与 （2）之间 的联系吗？
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x23x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物 线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是
x1、x2， 则抛物线y=ax2+，0），
B（x2，0）
x1 x2 OA B
四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、 x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次函数 y=ax2+bx+c之间的互相转化的关系。体现了数 形结合的思想。
探究三：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
(1)抛物线 y=ax2+bx+c 全部在x轴上方的 条件：a_＞_0,b2-4ac_＜_0 ；
(2)全部在x轴下方的条件：
a_＜_0,b2-4ac＜__0
能力提升
.已知二次函数 ykx26x7的图像与X轴有
两个不同的交点. （1） 求k的取值范围 （2） 当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等 于50.
可由一元二次方程的根的判别式来判定二次函数图象与x 轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题。
在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函 数图象解方程。
三、课后习题
已知二次函数y=x2-kx+k-2.
(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数
y=x2-kx+k-2与x轴有两个不同的交点。 (2)如果二次函数y=x2-kx+k-2与轴两个交点为 A、B，设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6 时,求S△ABC .
y
只有一个交点 方程有两个相等 b2-4ac = 0
的实数根
o
x
y
没有交点 方程没有实数根 b2-4ac < 0
o
x
简单运用
观 察 下 列 图 象 ， 分 别 说 出 一 元 二 次 方 程 x 2 6 x 9 0 ,
x 2 x 3 0 的 根 的 情 况 。
y=x2 6x9
y=x2 x3
__-_2_<_X_<_4__;
(-2,2)
2
-1 O
(4,2)
3
x
联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判 别式解决，那么二次函数与一次函数的交 点个数又该怎么解决呢？
例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝ x＋2有交点吗？有几个？
分析：两个函数的交点是这两个函数的公共 解，先列出方程组，消去y后，再利用判别 式判断即可.
x
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？
Y b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
O
X
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
有两个交点 方程有两个不相等 b2-4ac > 0
的实数根
y .o . x
<3>①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; ③-x2+x-2<0.
y
y
O2
x
0
X
拓广：
• 函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么
1）方程ax2+bx+c=2的根是 _X_1_=_-_2_; _X_2_=_4;
2）不等式ax2+bx+c>2的解集是
_X_<_-_2_;_X_>_4_;
y
3）不等式ax2+bx+c<2的解集是
x x
x1 ＝ x2
x1 =x2 没有实数根 ＝－b/2a
x<x1或x>x2
x≠ x1的一切 实数
所有实数
x1<x<x2
无解
无解
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: y
<1>①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0.
-1
0
2
X
y= -x2+x+2
<2>①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0.
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二次函数与一元二次方程不等式一元二次函数方程和不等式课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
{x|10≤x≤30} [设矩形高为y，
锐角三角形空地中，欲 建一个面积不小于
由三角形相似得：4x0＝404－0 y，且
300m2 的内接矩形花园(阴影部分)， x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，
则其边长 x(单位：m)的取值范围是 整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入
________．
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37
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为 一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因 为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然， 这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：
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34
法三：由 x2＋2x＋a2－3>0，得 a2>－x2－2x＋3， 即 a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在 R 上恒成立，必须使 a2 大于－ (x＋1)2＋4 的最大值，即 a2>4，故 a>2 或 a<－2.
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35
1．不等式 ax2＋bx＋c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a ＝0 时，b＝0，c>0；
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8
思考 2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？ 提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模 型，选择其中起关键作用的未知量为 x，用 x 来表示其他未知量，根据题 意，列出不等关系再求解．
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9
1．若集合 A＝{x|－1≤2x＋
B [∵A＝{ x|－1≤x≤1} ，B＝ { x|0< x≤2} ，∴A∩B＝{ x|0< x≤
沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程 课件(共24张PPT)
第21章 二次函数与反比例函数
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
二次函数与一元二次方程、不等式_课件
对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次 不等式或一元一.次不等式组求解，但要注意分母不 为零.
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为 零，然后再用上述方法求解.
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
∴原不等式的解集 为
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
(3){x|x≠2}
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于 0? （1）y=3x²-6x+2;（2）y=25-x²; （3）y=x²＋6x+10;（4）y=-3x²＋12x-12.
(2) 令25-x²=0，则z=±5，又由y=25-x²图象的开口方向朝下，故z=±5 时 ，函数的值等于0，当-5 (3)令x²＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x²＋6x＋10 图象的开口方向上， 故无论x须何值，函数值均大于0; (4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于 0.
∴原不等式的解集 为
知识拓展
简单高次不等式的解 法
知识拓展 [解析]原不等式等价于x(x+2)(x3)<0. 结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习 变式训练3：解不等式：x(x-1)²(x+1)³(x-2)>0.
∴原不等式的解集 为
1.求下列不等式的解集∶ (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x²-7x≤10; (3)-x²+4x-4<0;(4)x²-x+<0; (5)-2x²+x≤-3;(6)x²-3x+4>0; 答案（1）{x|x<-2,或x>3} (4)不等式的解集为
程
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为 零，然后再用上述方法求解.
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
∴原不等式的解集 为
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
(3){x|x≠2}
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于 0? （1）y=3x²-6x+2;（2）y=25-x²; （3）y=x²＋6x+10;（4）y=-3x²＋12x-12.
(2) 令25-x²=0，则z=±5，又由y=25-x²图象的开口方向朝下，故z=±5 时 ，函数的值等于0，当-5 (3)令x²＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x²＋6x＋10 图象的开口方向上， 故无论x须何值，函数值均大于0; (4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于 0.
∴原不等式的解集 为
知识拓展
简单高次不等式的解 法
知识拓展 [解析]原不等式等价于x(x+2)(x3)<0. 结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习 变式训练3：解不等式：x(x-1)²(x+1)³(x-2)>0.
∴原不等式的解集 为
1.求下列不等式的解集∶ (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x²-7x≤10; (3)-x²+4x-4<0;(4)x²-x+<0; (5)-2x²+x≤-3;(6)x²-3x+4>0; 答案（1）{x|x<-2,或x>3} (4)不等式的解集为
程
《二次函数与一元二次方程、不等式》PPT课件高中数学人教版
恒成立问题：
• (1)若y在定义域内存在最大值m，则y<a(或y≤a)恒成立⇔a>m(或a≥m)；
• (2)若y在定义域内存在最小值m，则y>a(或y≥a)恒成立⇔a<m(或 a≤m)．
• 【对点练习】❶ 若关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立，求实数 a的取值范围．
[解析] 若 a＝0 时，原不等式为－2x－2≤0 不恒成立，所以 a≠0. 当 a≠0 时，则应有aΔ<≤0，0， 即aa<－0，22－4a－2≤0， 整理得aa<＋0，22≤0， 解得 a＝－2. 所以实数 a 的值为－2.
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
误区警示
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
[解析] 设桶的容积为 x 升，显然 x>8. 依题意，得(x－8)－4x－x 8≤28%·x. 由于 x>8，因而原不等式化简为 9x2－150x＋400≤0， 即(3x－10)(3x－40)≤0. 因此130≤x≤430，从而 8<x≤430. 故桶的容积最大为430升．
当 m≠0 时，由二次函数的图象可知有mΔ＝<04，－4mm－2<0， 解得 m<1－ 2.
综上可知，m 的取值范围是{m|m<1－ 2}．
[归纳提升] 求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法
• (1)若y在定义域内存在最大值m，则y<a(或y≤a)恒成立⇔a>m(或a≥m)；
• (2)若y在定义域内存在最小值m，则y>a(或y≥a)恒成立⇔a<m(或 a≤m)．
• 【对点练习】❶ 若关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立，求实数 a的取值范围．
[解析] 若 a＝0 时，原不等式为－2x－2≤0 不恒成立，所以 a≠0. 当 a≠0 时，则应有aΔ<≤0，0， 即aa<－0，22－4a－2≤0， 整理得aa<＋0，22≤0， 解得 a＝－2. 所以实数 a 的值为－2.
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
误区警示
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
[解析] 设桶的容积为 x 升，显然 x>8. 依题意，得(x－8)－4x－x 8≤28%·x. 由于 x>8，因而原不等式化简为 9x2－150x＋400≤0， 即(3x－10)(3x－40)≤0. 因此130≤x≤430，从而 8<x≤430. 故桶的容积最大为430升．
当 m≠0 时，由二次函数的图象可知有mΔ＝<04，－4mm－2<0， 解得 m<1－ 2.
综上可知，m 的取值范围是{m|m<1－ 2}．
[归纳提升] 求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法
二次函数与一元二次方程、不等式+课件——2025届高三数学一轮复习
（2）解关于x的不等式:ax 2 − 2x + a < 0 a ∈ .
【解析】若a = 0，则原不等式为−2x < 0，故解集为{x|x > 0}.
（【明易错】不要忽略对二次项系数为0的讨论）
若a ≠ 0，Δ = 4 − 4a2 .
①若a > 0，
2
当Δ > 0,即0 < a < 1时，方程ax − 2x + a = 0的两根为x1 =
若a > 1，则不等式的解为1 < x < a；
若0 < a < 1，则不等式的解为a < x < 1；
若a = 1，则不等式化为 x − 1
2
< 0，其解集为⌀ .
当a < 0时，原不等式等价于 x − 1 x − a > 0，解得x < a或x > 1.
综上，当a > 1时，不等式的解集为{x|1 < x < a}；
1
2
式的解集为{x|x > − 或x < −3}.
（2）−x 2 + 8x − 3 > 0；
【解析】因为Δ = 82 − 4 × −1 × −3 = 52 > 0，所以方程−x 2 + 8x − 3 = 0有两
个不等实根x1 = 4 − 13，x2 = 4 + 13.又二次函数y = −x 2 + 8x − 3的图象开口向
（【警示】注意换元后新元的范围）
则不等式可化为t 2 + 3t − 10 < 0,解得−5 < t < 2，
又t ≥ 0,∴ 0 ≤ t < 2,即0 ≤ x 2 < 2,∴ − 2 < x < 2．
《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT【精品课件】
(2)形式:
①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不
等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次
不等式的解集.
《二次函数与一元二次方程、不等式 》一元 二次函 数、方 程和不 等式PP TPPT 课件完 美课件p pt优秀 课件ppt下载ppt课件课 件免费 下载pp t精品 课件
零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.
(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.
当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.
上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?
提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);
当0<x<5时,y<0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x<0;
3.借助一元二次函
数的图象,了解一
元二次不等式与相
等式 》一元 二次函 数、方 程和不 等式PP TPPT 课件完 美课件p pt优秀 课件ppt下载ppt课件课 件免费 下载pp t精品 课件
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当x<0或x>5时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.
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①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不
等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次
不等式的解集.
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零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.
(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.
当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.
上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?
提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);
当0<x<5时,y<0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x<0;
3.借助一元二次函
数的图象,了解一
元二次不等式与相
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当x<0或x>5时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.
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(用)二次函数与一元二次方程、不等式的关系课件-新版.ppt
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次函数 y=ax2+bx+c之间的互相转化的关系。体现了数 形结合的思想。
探究三：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
根据 y x2 2x 3 图象回答下列问题．
• 当 x 取何值时，y＜0？
y
• 当 x 取何值时，y＞0？
• 能否用含有x的不等式来 描述两个问题？
§21.3 二次函数与一元 二次方程、不等式的关系
温故知新
？
（1）、一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交 点为（2，0）；与 y 轴的交点为 （0，6） 。 （2）、一元一次方程－3x＋6＝0的根为__X__=_2___
y
你能说说 （1）与 （2）之间 的联系吗？
6
o2 x
方法与规律： 一次函数y＝kx＋b的图象与
-4
-5
九、如何求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
y
x1
x2 x
0
y
O
x1
x2 x
当x=x1或x=x2时,y=0 当x<x1或x>x2时,y<0 当x1<x<x2时,y>0
x轴的交点的横坐标就是一元一次方程
kx＋b＝0的根
探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。
y 解：∵A、B在轴上，
∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0
x1 OA
x2 B
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）
你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
探究三：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
根据 y x2 2x 3 图象回答下列问题．
• 当 x 取何值时，y＜0？
y
• 当 x 取何值时，y＞0？
• 能否用含有x的不等式来 描述两个问题？
§21.3 二次函数与一元 二次方程、不等式的关系
温故知新
？
（1）、一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交 点为（2，0）；与 y 轴的交点为 （0，6） 。 （2）、一元一次方程－3x＋6＝0的根为__X__=_2___
y
你能说说 （1）与 （2）之间 的联系吗？
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o2 x
方法与规律： 一次函数y＝kx＋b的图象与
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九、如何求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
y
x1
x2 x
0
y
O
x1
x2 x
当x=x1或x=x2时,y=0 当x<x1或x>x2时,y<0 当x1<x<x2时,y>0
x轴的交点的横坐标就是一元一次方程
kx＋b＝0的根
探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。
y 解：∵A、B在轴上，
∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0
x1 OA
x2 B
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）
你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？