第4章 电磁场数值模拟-有限差分法
C
E dl
B ds t S
Yee 网格及电磁场空间配置 .
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
E y
1 H x H z Ey z 1 Iy t z x H xn1 2 (i, k ) 1 n 1 2 1 1 2 n 1 2 H x (i, k ) H x (i, k ) z z 2 2 H zn1 2 (i, k ) 1 n 1 2 1 1 n 1 2 H ( i , k ) H ( i , k ) z z x x 2 2 k
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
边界反射
L=10
L=2
波场的等时间剖面（snap shot）
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
以无吸收介质的电磁波传播为例说明 PML 吸收边界。
H x H z t z x E y H x E y H z ， t z t x
n 1 2 x
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
1 1 n1 2 n 1 2 E (i, k ) A1 E (i, k ) A2 H x (i, k ) H x (i, k ) 2 2 1 1 n1 2 n 1 2 n 1 A3 H z (i , k ) H z (i , k ) A4 I y i, k 2 2 1 1 n 1 2 n 1 2 n n H x (i, k ) H x (i, k ) A5 E ( i , k 1) E y y (i , k ) 2 2 1 1 n 1 2 n 1 2 n n H z (i , k ) H z (i , k ) A6 E ( i 1, k ) E y y (i , k ) 2 2 求解步骤： （1）用磁场的更新式求 (n 1 2)t 时刻的磁场； （2） 用电场的更新式求 ( n 1) t 时刻的电场。 如此循环直至最大时刻。
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
L 为 PML 的层数，N 为横向剖分的网格数，M 为一常数，一般取 为 3。 max 为 PML 最外侧的电导率，它由边界的反射系数的大小 决定。L 一般取 8-10 左右，当然，L 越大吸收效果越好，但计算 效率就越低。
E y
（1） （2）
将 E y 分解为 x 方向传播的部分和 z 方向传播的部分，即
Ey Eyx E yz
在边界中，电导率和磁导率分别记为 , 。
*
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界 （1）式写为
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
z
* x 0, x 0 * * * z 0, z 0, x x 0 z 0, z 0
PML x
* z * x
E y t
z 0 E E yz x 0 H x z* H x yx
E yx E yz H z * x Hz t x
* x 0, x 0 * z 0, z 0
z 0, 0, , 0 * x x 0
D E B H J E
在用时间域有限差分法（FDTD—finite-difference time-domain method）求解麦克斯韦方程时，只求解两个旋度方程，而两个散 度方程自然得到满足。
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
* z * x
E yx t
E yz t
t
H x H z z x
E y H z t x
x E yx
z E yz
H z x
H x z
z
z 0 x 0
H x E y t z
内部区域
, 0 , * 0
H z x Eyx t x E yz H x z E yz t z
（2）式写为
E yx
E yx Eyz H x * z Hx t z E yx Eyz H z * xHz t x
0
x
x, z x, z
z
二维介质
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
x 1 z 1 2 2 i I
微分形式
k K Ey Hx Hz
积分形式
D t B E= t H d l D ds J ds C t S S H=J +
计算地球物理
第四章 电磁场数值模拟—有限差分法
地球物理与信息工程学院 物探系 周 辉 2014年
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
D t B E= t D 0 H =J + B 0
E 电场强度 H 磁场强度 D 电感应强度 B 磁感应强度 J 电流密度 q 自由电荷=0
* z
* x 0, x 0 * z 0, z 0
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
根据阻抗匹配条件，可以得到如下关系
* * x x ， y y
n 1 2 Ey (i, k )
x 1
2
i
I
t
1 n 1 n E ( i , k ) E y y (i , k ) t
K Ey Hx Hz
Yee 网格及电磁场空间配置 .
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
利用
地质雷达探测时，通常只记录与测线方向垂直的水平电场分 量，并假设地下介质为二维的，故考虑仅有一个电场分量的麦克 斯韦方程组。 二维非均匀介质中的麦克斯韦方程组为 E y 1 H x H z Ey Iy , t z x
H x 1 E y , t z H z 1 E y . t x
E
得
n 1 2 y
1 n1 n (i, k ) E ( i , k ) E y y (i , k ) 2
E
n 1 y
1 1 n1 2 n 1 2 (i, k ) A1 E (i, k ) A2 H x (i, k ) H x (i, k ) 2 2 1 1 n1 2 n 1 2 n 1 A3 H z (i , k ) H z (i , k ) A4 I y i, k 2 2
n y
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
H x 1 E y , t z
H z 1 E y t x
在 (n 1 2)t 时刻磁场分量的差分格式
1 1 n 1 2 n n H (i, k ) H x (i, k ) A5 E ( i , k 1) E y y (i , k ) 2 2 1 1 n 1 2 n 1 2 n n H z (i , k ) H z (i , k ) A6 E ( i 1, k ) E y y (i , k ) 2 2
边界内的电导率是可变的。以左右边界为例， x 的分布为
M L x x max , Lx x 0, M x N L 1 x , max Lx
x Lx Lx x N L 1 x x N L 1 x
n 1 y n y
电磁响应的交错网格有限差分（时间域 有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
设计 PML 的原理是：当内部介质和边界介质的波阻抗一样，即 波阻抗匹配时，电磁波入射到边界时，电磁波只沿原方向传播而不 被反射回来。当然，必须要求电磁波在边界中快速衰减，当电磁波 传播到最外侧的边界时，电磁波的能量衰减到 60 分贝以下，这时 即使有边界反射，能量也极其微弱，对需要计算波场的影响可以忽 略。 PML 吸收效果最好。PML 已经在声波、弹性波模拟中得到广泛 应用。
电磁场数值模拟方法研究与应用
电磁场数值模拟方法研究与应用随着计算机技术和数值模拟方法的不断发展，电磁场数值模拟也越来越成为现代电磁学研究和应用领域中不可或缺的手段。
电磁场数值模拟是通过数学方法和计算机计算，模拟电磁场在空间中的分布、演变和作用规律，从而为电磁场的分析、设计、控制和优化提供基础和依据。
一、电磁场数值模拟方法1. 有限元法有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种广泛应用于电磁学领域的数值模拟方法。
该方法将电磁问题离散化为一系列局部问题，在每个局部问题中，通过解决一个代表导体和介质的区域内所能发生的任何电磁过程的方程，来确定局部场分布。
最后，通过组合这些局部场，来得到整个电磁场分布。
有限元法是一种适应性强的方法，能够处理任意复杂的几何形状和材料特性，广泛应用于电动机、变压器、电力电子器件等领域的设计和分析。
2. 有限差分法有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是一种将区域划分为网格，通过对每个网格内的方程进行差分，建立离散的求解方程组来模拟整个电磁场分布的方法。
该方法简单易行，特别适用于规则区域的情况，如平面波导、电磁谐振腔等的分析和设计。
3. 时域有限差分法时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是一种基于时域求解Maxwell方程的数值模拟方法。
该方法将Maxwell方程组离散化、网格化后，采用差分法对时间和空间进行离散，通过迭代求解来计算电磁场在时域的分布变化。
FDTD方法具有模拟宽带高频信号、自然分析非线性、高精度等优点，在雷达、无线通信等领域有广泛应用。
二、电磁场数值模拟应用1. 电子设备设计电磁场数值模拟可用于电子设备的设计和优化。
例如，可以使用有限元法和时域有限差分法来对电子器件进行仿真模拟，分析其电磁场分布、电场强度等参数，以优化电路传输、EMC抗干扰等性能。
2. 电磁兼容性分析电磁兼容性（Electromagnetic Compatibility，EMC）是评估电子设备互相之间及其周围电子环境中的电磁干扰程度的一种能力。
有限差分法
利用有限差分法分析电磁场边界问题在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要的。
例如，在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是，就要保证电场强度低于绝缘介质的击穿强度。
在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来驱动开关。
在发射系统中进行天线的有效设计时，关于天线周围介质中电磁场分布的知识显然有实质性的意义。
为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学公式入手。
依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频）运行条件下的情况。
但是，在高频应用中，则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场，在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因此，计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。
对电磁场理论而言，计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法，手段和计算结果；而电磁场理论则为计算电磁场问题提供了电磁规律，数学方程，进而验证计算结果。
常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类，其每一类又包含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法。
对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规则的（如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析解（精确解），但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解。
在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解。
有限差分法，微分方程和积分微分方程数值解的方法。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网络来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
电磁场的数值模拟方法
电磁场的数值模拟方法引言电磁场的数值模拟方法是一种在工程和科学领域中广泛应用的技术。
通过数学模型和计算方法，可以模拟和分析电磁场的行为和特性。
本文将介绍电磁场数值模拟的基本原理和常用方法。
电磁场模拟的重要性电磁场在许多领域中起着重要作用，包括电子设备设计、电力系统分析、天线设计等。
通过模拟电磁场，我们可以更好地理解和优化系统的性能。
同时，由于电磁场的方程通常是非线性的，无法得到解析解，因此数值模拟方法是求解电磁场问题的主要手段之一。
电磁场的基本方程电磁场可以用麦克斯韦方程组描述，包括麦克斯韦方程和洛伦兹力方程。
对于静电场和静磁场问题，可以根据静态麦克斯韦方程进行求解。
而对于时变场问题，需要考虑到电磁波的传播，可以利用时域或频域的电磁波方程进行求解。
有限差分法有限差分法是求解偏微分方程的常用离散化方法之一。
对于电磁场的数值模拟，可以将空间离散化为一系列网格点，并用差分方式求解电磁场的方程。
常见的有限差分法包括有限差分时间域法(FDTD)和有限差分频域法(FDFD)等。
有限差分时间域法 (FDTD)有限差分时间域法是一种广泛应用于求解时变电磁场问题的数值方法。
它将空间和时间离散化，并通过迭代的方式求解电磁场的时变行为。
在FDTD方法中，电场和磁场分别通过麦克斯韦方程的差分形式进行更新。
由于FDTD方法是一种显式的时间离散方法，因此对时间步长有一定的限制，需要满足稳定性条件。
有限差分频域法 (FDFD)有限差分频域法是一种用于求解频域电磁场问题的数值方法。
它通过将时间域的麦克斯韦方程转化为频域来进行求解。
在FDFD方法中，电场和磁场的空间表达式被离散为一系列频域的谐波，通过求解谐波的耦合方程组来得到电磁场的分布。
相比于FDTD方法，FDFD方法需要耦合求解大规模的线性方程组，计算量较大，但对于频域分析更为适用。
有限元法有限元法是一种用于求解偏微分方程的数值方法，广泛应用于结构力学、电磁场、流体力学等领域。
电磁场 计算机辅助分析 有限差分.
5. 二维场域的有限差分法
数值计算的两种重要方法
有限差分法(Finite Difference Method, FDM)
以差分原理为基础的一种数值方法；
首先，将求解场域剖分为很多网格和节点， 并用差商代替微商； 然后，将场域中的偏微分方程转化成以各节 点的电位或磁矢为未知量的差分方程组； 最后，解该方程组可得到各离散点待求的电 位或磁矢的数值解。
计算电磁场问题的重要性
计算电磁场
相互联系 相互依赖
电磁场工程 电磁场理论
计算电磁场为电磁场理论提供研究提供复杂 的数值及解析运算的方法、手段和计算结果； 电磁场理论为计算电磁场问题提供了电磁规 律、数学方程，进而验证其计算结果。
计算电磁场问题的重要性
计算电磁场
计算工具 革命性的变化
主要内容
f ( x) 1 f ( x h) f ( x) 2 x h h h
1. 计算电磁场问题的重要性 2. 电磁场计算方法分类 3. 数值计算的两种重要方法 4. 分布型问题的数值积分法
5. 二维场域的有限差分法
电磁场计算方法分类
镜像法 解析法 分离变量法 保角映射法 …… 有限差分法
数值法
有限元法 ……
电磁场计算方法分类
解析法优缺点
优点：可将解答表示为已知函数的显式，从 而计算出精确的数值结果；可以作为近似解和 数值解的检验标准；在解析过程中和在解的显 示中可以观察到问题的内在联系和各个参数对 数值结果所起的作用； 缺点：仅能解决很少量的问题，如简单边界 条件和规则几何形状问题。
dE
dq dy dE 2 40 r 40 (a 2 y 2 ) dEx
l
O
有限差分法不同边界条件下的数值模拟
有限差分法不同边界条件下的数值模拟文章介绍了地震数据处理中所使用的数值模拟法，对采用有限差分法所使用不同边界条件处理方式进行了数值模拟，通过波场快照直观的得出了不同的边界吸收条件的吸收效果，对结果进行了对比，分析总结了各种方法的优缺点。
标签：数值模拟；有限差分；边界条件随着近年来国家宏观经济调控，经济增长的速度逐步减缓，能源行业受此影响最为严重，许多煤矿是在亏损的情况下生产，直接导致了地质行业投入的减少。
物探行业压力也越来越大，物探行业应该抓紧发展先进技术，提高能源勘探的效率。
在物探行业中，地震勘探作为一个重要的手段，发挥着巨大的作用。
数据处理作为地震勘探的一大重要环节，所采用的各种方法和技术手段也一直在更新和进步。
在地震勘探处理方法研究中，地震数值模拟技术可以在室内完成地震数据模型的建立，并对其地震数据进行各种方法的处理，查看处理方法的效果和数据的好坏，另一方面，地震数值模拟进行正演获得的数据也可以作为反演的基础进行比对。
在地震数据处理的过程中，如何模拟地震波的传播便是需要解决的问题。
在二十世纪70年代开始采用显示差分格式来模拟地震波的传播。
由于有限差分法适用条件广，计算速度比较快，占用计算机内存少，编程比较容易实现，模拟精度相对较高而得到广泛应用。
但是有限差分法模拟地震波场时，由于计算机运算核心的限制，有限差分方法只能得到有限的数据点，地震波动方程只能是在有限差分方程中求得近似解，这时就考虑到人工边界问题，如果不对边界进行处理，波在通过边界时会产生反射，因此我们希望对添加的边界进行处理来消除这些反射。
在20世纪70年代，地球物理学界陆续采用了不同的边界条件来实现削弱地震波在通过边界时的反射，比如reynold边界、clayton边界、cerjan边界，以及后来提出的PML层边界条件，每种边界条件都在不同程度上实现了地震波通过边界时的衰减。
为了验证以上边界条件在数值模型的效果，在文章中，我们设计了一些简单的数值模型，给出了不同的边界条件，通过波形在通过不同边界条件时反射进行比较，观察每种方法衰减反射的效果。
计算电磁学-第4章-有限差分法
同样对微分方程的解y(x)在点(xn,yn)进行泰勒展开
yn1 yn hf ( xn , yn )
1 ' 2 1 '' 3 y ( xn 1 ) y ( xn ) f n h f n h f n h 2! 3!
比较上面两式，只要它们前面项的系数尽可能多的相等，就 保证了截断精度。
1、差分与差商
用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。 这一点由微分原理保证的，当自变量的差分趋于 零时，差分变成微分
f ( x) f ( x h) f ( x)， h x
df f ( x) f ( x) lim dx x 0 x
'
f ( x) f ( x h) f ( x) f ( x) x h
龙格-库塔法
选取α、β、ω系数，使两式项的系数相等
1 fn , 2 f , 3 f , 4 f ,
' n '' n ''' n
如果该关系式能够一直维持到第m阶仍能成立， 但m＋1阶不再成立，就称为m阶龙格-库塔法
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
CST粒子仿真
Pierce Gun
ＭＡＧＩＣ
cem@
dy f ( x, y ) dx y x x 0 y0
y( x) y0 f (t , y(t )dt
x0
x
欧拉近似法在函数图上用阶梯的折线代替曲线
f(x) y(x)
yn+1 yn y(x n+1)1) f(n+
电磁场数值计算
电磁场数值计算引言：电磁场是电荷和电流产生的物理现象，它在现代科技和工程中起着至关重要的作用。
对电磁场的数值计算是研究和应用电磁学的基础。
本文将介绍电磁场数值计算的原理和方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、电磁场的数值计算方法：电磁场的数值计算可以通过求解麦克斯韦方程组来实现，这是描述电磁场的基本方程。
麦克斯韦方程组包括四个方程，分别是电场的高斯定律、磁场的高斯定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
通过数值方法求解这些方程，可以得到电磁场在空间中的分布情况。
1. 有限差分法：有限差分法是一种常用的数值计算方法，通过将空间离散化为有限个点，时间离散化为有限个步骤，将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
在电磁场计算中，可以将空间划分为网格，通过有限差分法计算电场和磁场在网格节点上的数值。
2. 有限元法：有限元法是一种广泛应用于工程领域的数值计算方法，它通过将计算域划分为许多小的有限元，将偏微分方程转化为代数方程组进行求解。
在电磁场计算中，可以将计算域划分为三角形或四边形网格，通过有限元法计算电场和磁场在每个有限元上的数值。
3. 边界元法：边界元法是一种适用于边界值问题的数值计算方法，它将偏微分方程转化为积分方程进行求解。
在电磁场计算中，可以通过边界元法计算电场和磁场在边界上的数值，然后利用边界条件求解整个计算域内的电磁场分布。
二、电磁场数值计算的应用：电磁场数值计算在科学研究和工程应用中具有广泛的应用价值，以下是一些常见的应用领域：1. 电磁场仿真：电磁场数值计算可以用于电磁场仿真，模拟和预测电磁场在不同结构和材料中的分布情况。
例如，可以通过数值计算预测电磁波在天线中的传播情况，从而优化天线设计和布局。
2. 电磁场辐射：电磁场数值计算可以用于估计电磁场辐射对人体和环境的影响。
例如，可以通过数值计算评估电磁辐射对人体健康的潜在风险，从而制定相应的防护措施。
3. 电磁场感应：电磁场数值计算可以用于分析电磁感应现象，研究电磁场对电路和设备的影响。
电磁场渗透方程有限差分法研究
电磁场渗透方程有限差分法研究电磁场渗透方程（MaxwellEquations）是物理学中最重要的方程之一，它描述了电磁场的分布和运动，是研究电磁学问题的主要方法。
有限差分法（Finite Differences Method）可以很容易地将电磁场渗透方程转变成一系列非线性方程，并使用数值计算方法来求解。
本文将讨论电磁场渗透方程的有限差分法及其在研究电磁渗透的应用。
有限差分方法是一种数值计算方法，它可以将一组非线性方程转换为一组简单的数学问题，从而可以用数值计算的方法来求解。
有限差分方法的基本原理是，根据电磁场的渐近变化规律，将电磁场渗透方程区域分成一个个小的格点，从而将渗透方程简化成一系列非线性差分方程，并应用数值计算方法进行求解。
电磁场渗透技术是一个广泛应用的技术，它可以用来研究电磁场的分布特性、辐射物理等方面。
有限差分方法用于研究电磁渗透问题时，可以比较容易地将电磁场渗透方程转变成一组差分方程，并使用数值计算的方法来求解。
有限差分方法的算法求解效率比同类方法更高，使用有限差分方法进行数值计算，能够较快解决复杂的电磁学问题，为研究电磁渗透提供了一种高效的计算工具。
有限差分法在电磁渗透方面的应用比较广，可以用于研究电磁波分布、导电体表面的辐射特性、强磁场的渗透等。
例如，研究电磁波在传播过程中的分布特性时，可以使用有限差分方法求解电磁场渗透方程，并使用计算机模拟进行研究。
另外，有限差分法还可以用于研究导电体表面的辐射特性，可以模拟强磁场渗透，并研究渗透对导电体的影响。
综上所述，电磁场渗透方程有限差分法是一种有效的数值计算方法，它可以将电磁场渗透方程转换为一组非线性差分方程，并应用有限差分方法求解电磁场渗透方程，其在研究电磁渗透方面具有重要的应用价值。
本文讨论了电磁场渗透方程有限差分法的原理和特点，以及在研究电磁渗透方面的应用。
有限差分方法可以容易地将复杂的电磁场渗透方程转换为一组非线性方程，并使用数值计算的方法求解，为研究电磁渗透提供了一种高效的计算工具，具有广泛的应用价值。
工程电磁场数值分析(有限差分法)_2023年学习资料
>实施步骤-设求解二维静电场边值问题：-LI Pl=fs-F-&x2-0y2-V20=F-og-=0-on -Le-器0
有限差分法是最古老、最直观的一种数值方法，直至现-在仍有强大的生命力，在许多学科领域广为应用。在电磁场-领 ，目前最受关注的是时域有限差分法Finite Difference-Time-Domain Method, DTD和有限体积法-Finite Volume-Method.FVM-进一步的参考书：-胡之光.电机电磁场 分析与计算.北京：机械工业出版-社，1989
从有限差分法看数值解的基本思想-离散解（数值解）的概念->方程的离散-化无限维问题为有限维问题-化微分方程 代数方程组，借助计算机求解->解的离散一-离散点上的数值解->数值法的一般步骤->求解区域的离散（前处理代数方程组的求解->离散数据的分析（后处理
各种数值方法的不同之处-在于离散方程所依据的原-理不同，从而导致方程求-8-解技术、求解效率、适用-对象等 不同。
网格划分-2-将场域划分为小的网格。-30-设为正方形网格，边长h。-4-方程离散-将节点上的电位值”作为 Le-求解变量，把微分方程化-为关于p的线性代数方程-≈9-20+p-组。-h2-a对内部节点-≈，-2+ -0,+p2+p,+p-4=-h'
b对边界节点-·第一类边界节点-只考虑节点位于边界上的情况-P:=f;-第一类边界条件-·第二类边界节点考虑齐次边界条件-9,+20+0:-40=F-h2-对所有的节点都建立一个方程，N个-齐次第二类边界条件点有N个未知数，建立N个方程。
福州大学电磁场 第四章 静态场边值问题的解法(1)
4U0 Fn ' = nπsh(nπ)
代入通解
∞
n =1,3,5.....
接地金属槽内 的等位线分布
4U0 1 nπ nπ φ(x, y) = ∑, nsh(nπ) sin( a x)sh( a y) π n=1,3
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例： 一导体槽，槽的宽度在x方向和z方向均为无穷 一导体槽，槽的宽度在x方向和z 槽内有两块T形的导体构成，两块间有一狭缝， 大，槽内有两块T形的导体构成，两块间有一狭缝， 上导体板的电压为U 试求导体槽内的电位。 上导体板的电压为U0 ，试求导体槽内的电位。
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Cn = 0
nπ nπ φ(x, y) = ∑BnDn sin( x)sh y a a n=1
nπ nπ = ∑Fn ' sin( x)sh( y) a a n=1 π 由边界条件（ φ 由边界条件（4） =100 sin x代入通解得 y=a,0<x<a a
∞
∞
πx ∞ nπ 100sin = ∑Fn 'sh(nπ) sin x a n=1 a
把一个包含多个自变量的函数用含单个自变量的函数的 乘积表示， 乘积表示，从而将偏微分方程分离为几个常微分方程分别求 最后利用边界条件确定积分常数，得到级数形式的解。 解，最后利用边界条件确定积分常数，得到级数形式的解。
分离变量法解题的一般步骤： 分离变量法解题的一般步骤： 解题的一般步骤 写出边值问题（微分方程和边界条件）； 写出边值问题（微分方程和边界条件）； 分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程； 分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程； 解常微分方程，并叠加得到通解； 解常微分方程，并叠加得到通解；