上海市虹口区2019年高一第一学期期末考试数学试题-名校版

2018-2019学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一、填空题1．（3分）函数()f x =的定义域为 ．2．（3分）函数()21()xf x x R =-∈的值域是 ．3．（3分）函数2()(0)f x x x =≥，则1()f x -＝ ．4．（3分）已知1≤a ≤2，3≤b ≤6，则3a ﹣2b 的取值范围为 ．5．（3分）函数3()2f x x x =+，如果(1)()0f f a +>，则实数a 的范围是 ．6．（3分）已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a ＝ ．7．（3分）函数()12f x x x =++-，则此函数的最小值为 ．8．（3分）直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为 ． 9．（3分）已知函数()log a f x x =（a ＞0且a ≠1），若123()8f x x x =，则222123()()()f x f x f x += ． 10．（3分）若命题“存在x ∈R ，使得220ax x a ++≤”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．11．（3分）（A 组题）已知2,1()1 1.1x x f x x x⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若a ＜b ＜c ，满足()()()f a f b f c ++，则()a b f c ++的取值范围是 ．12．（3分）（A 组题）已知函数1()2x f x e x -=+-，22()22g x x ax a a =-+-+，若存在实数1x ，2x ，使得12()()0f x g x ==，且121x x -≤，则实数a 的取值范围是 ．13．（B 组题）已知2()22f x x x =-+，若a ＜b ＜c ＜d ，满足()()()()f a f b f c f d ===，则a +b +c +d 的值等于 ．14．（B 组题）已知()lg f x x =，则实数(())y f f x =的零点0x 等于 ． 二、选择题15．（3分）已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数16．（3分）对于实数a ，α：101a a ->+，β：关于x 的方程210x ax -+=有实数根，则α是β成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件17．（3分）已知函数()y f x =，记{}(,)|()A x y y f x ==，{}(,)|0,B x y x y R ==∈，则AB 的元素个数（ ）A ．至多一个元素B ．至少一个元素C ．一个元素D ．没有元素18．（3分）（A 组题）已知()(31)12f m m a m =-+-，当m ∈[0，1]时，()1f m ≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0≤a ≤1B ．0＜a ＜1C ．a ≤0或a ≥1D ．a ＜0或a ＞119．（B 组题）函数()(32)1f x a x a =-+-，在[﹣2，3]上的最大值是(2)f -，则实数a 的取值范围是（ ） A ．23a ≥B ．23a >C ．23a ≤D ．23a <三、解答题 20．已知{}2|2220,xx A x x R =--≤∈，{}|lg(1)0,B x x x R =-<∈，求A B ，A B ．21．已知函数()1010x xf x -=-．（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）判断()f x 在R 上的单调性，并说明理由．22．矩形ABCD 的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”． （1）当矩形ABCD 是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围； （2）就矩形ABCD 的一边长x 的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？23．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时有2()4f x x x =-．（1）写出函数()f x 的单调区间（不要证明）； （2）（A 组题）解不等式()3f x ≥；（3）（A 组题）求函数()f x 在[﹣m ，m ]上的最大值和最小值． （2）（B 组题）求函数()f x 的解析式； （3）（B 组题）解不等式()3f x ≥．24．已知()f x 是定义在R 上且满足(2)()f x f x +=的函数． （1）如果0≤x ＜2时，有()f x x =，求(3)f 的值；（2）（A 组题）如果0≤x ≤2时，有2()(1)f x f x =-，若﹣2≤a ≤0，求()f a 的取值范围；（3）（A 组题）如果()()g x x f x =+在[0，2]上的值域为[5，8]，求()g x 在[﹣2，4]的值域．（2）（B 组题）如果0≤x ≤2时，有2()(1)f x f x =-，若﹣2≤a ≤0且()0f a =，求a的值；（3）（B 组题）如果0≤x ≤2时，有2()(1)f x f x =-，若﹣2≤a ≤4，求()f a 的取值范围．2018-2019学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解． 【解答】解：由x ﹣2≥0，得x ≥2．∴函数()f x =的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题． 2．【分析】根据指数函数2xy =的值域减一可得．【解答】解：因为2x y =的值域为（0，+∞），∴21xy =-的值域为（﹣1，+∞）故答案为：（﹣1，+∞）．【点评】本题考察了函数的值域，属基础题． 3．【分析】令2()y f x x ==，由x ≥0，得出y ≥0，并在2y x =中解出x ，即可得出函数()y f x =的反函数的表达式．【解答】解：令2()y f x x ==，由于x ≥0，则y ≥0，所以x =因此，1()0)f x x -=≥，0)x ≥．【点评】本题考查反函数解析式的求解，解决本题的关键在于灵活利用反函数的定义，属于基础题．4．【分析】法1，根据不等式的运算性质进行判断求解即可．法2利用线性规划的知识进行求解．【解答】解：方法一、∵1≤a ≤2，3≤b ≤6， ∴3≤3a ≤6，﹣12≤﹣2b ≤﹣6， 则﹣9≤3a ﹣2b ≤0，即3a ﹣2b 的取值范围为[﹣9，0] 方法2：设z ＝3a ﹣2b ，则322z b a =-， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则平移直线322zb a =-，由图象知当直线经过点C （1，6）时， 直线的截距最大，此时z 最小， 最小z ＝3﹣2×6＝3﹣12＝﹣9，当直线经过点A （2，3）时，直线的截距最小，此时z 最大， 最小z ＝3×2﹣2×3＝6﹣6＝0， 即3a ﹣2b 的取值范围为[﹣9，0]． 故答案为：[﹣9，0]【点评】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．比较基础． 5．【分析】根据题意，分析可得()f x 为奇函数且在R 上为增函数，则原不等式可以转化为a ＞﹣1，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数3()2f x x x =+， 有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，则函数()f x 为奇函数，2()320f x x '=+>，则函数()f x 在R 上为增函数； 如果(1)()0f f a +>， 则()(1)(1)f a f f >-=-， 故a ＞﹣1， 故答案为：a ＞﹣1．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意分析函数f （x ）的奇偶性与单调性，属于基础题． 6．【分析】当a ＞0时，21log 2a =；当a ≤0时，122a=．由此能求出a 的值． 【解答】解：当a ＞0时，21log 2a =当a ≤0时，121log 22a -==， ∴a ＝﹣1．∴a ＝﹣1故答案为：﹣1【点评】本题考查孙数值的求法，解题时要认真审题，注意分段函数的函数值的求法． 7．【分析】根据x a -的几何意义，得到()12f x x x =++-的几何意义，再求出函数的最小值．【解答】解：∵x a -几何意义表示数轴上坐标为x 与坐标为a 的点的距离， ∴()12f x x x =++-表示轴上的点到点﹣1，2的距离和， ∴最小值为此两点线段上的点， 即当﹣1≤x ≤2时，()f x 最小值为3， 故答案为：3．【点评】本题考查了绝对值式子的几何意义的应用，属于基础题．8．【分析】设直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，因为L a b c =++，c 两次运用均值不等式即可求解．【解答】解：直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，面积为s ，周长L ＝2，由于a b L +=≥a ＝b 时取等号）≤∴21122S ab =≤221(22)[32L -===-故答案为：3-．【点评】利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键． 9．【分析】表示出123()8f x x x =，再表示出122123()()()f x f x f x +，根据对数运算法则化简即可【解答】解：∵()log a f x x =且123()8f x x x = ∴123log ()8a x x x =又222222123123()()()log ()log ()log ()a a a f x f x f x x x x +=++1231231232[log ()log ()log ()]2[log ()]2log ()2816a a a a a x x x x x x x x x =++===⨯=故答案为：16【点评】本题考查对数运算，要求能熟练应用对数运算法则．属简单题10．【分析】命题“0x R ∃∈，使得220x x a ++≤”是假命题，则命题“x R ∀∈，使得220x x a ++>”是真命题，可得：△＜0，解出a 的范围．【解答】解：命题“0x R ∃∈，使得220x x a ++≤”是假命题， 则命题“x R ∀∈，使得220x x a ++>”是真命题， ∴440a ∆=-<，解得a ＞1． 实数a 的取值范围是：（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．【分析】画出函数()f x 的图象，如图所示，结合图象，即可求出． 【解答】解：画出函数()f x 的图象，如图所示， 若a ＜b ＜c ，满足()()()f a f b f c ++， ∴0a b += ，1()2f c <<， ∴()a b f c ++的范围为（1，2）， 故答案为：（1，2）【点评】本题考查了分段函数的图象和性质，考查了函数的值域，属于中档题． 12．【分析】求出1()10x f x e -'=+>，()f x 在R 上递增，由(1)0f =，得1x ＝1，从而2()0g x =且211x -≤，进而22220x ax a a -+-+=在0≤x ≤2有解，由此能求出a 的范围．【解答】解：函数1()2x f x e x -=+-的导数为1()10x f x e -'=+>，()f x 在R 上递增，由(1)0f =，可得1()0f x =，解得1x ＝1，存在实数1x ，2x ，使得12()()0f x g x ==．且121x x -≤， 即为2()0g x =且211x -≤，即22220x ax a a -+-+=在0≤x ≤2有解， 即22220x ax a a -+-+=在0≤x ≤2有解，∴2244(2)0a a a ∆=--+≥，解得a ≥2．故a 的范围为[2，+∞）． 故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，进而分析可得直线y ＝m 与函数()f x 最多只有4个交点；据此分析可得a +d ＝b +c ＝0，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，2()22f x x x =-+，则2()22()f x x x f x -=-+=，即函数()f x 为偶函数，22222,0()2222,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+=⎨++<⎪⎩，则直线y ＝m 与函数()f x 最多只有4个交点；若a ＜b ＜c ＜d ，满足()()()()f a f b f c f d ===，则有a +d ＝b +c ＝0， 故a +b +c +d ＝0； 故答案为：0【点评】本题考查函数的奇偶性的判定以及应用，注意分析f （x ）的奇偶性． 14．（B 组题）已知()lg f x x =，则实数(())y f f x =的零点0x 等于 10 ．【分析】根据题意，由函数的解析式可得(())lg(lg )f f x x =，令00(())lg(lg )0f f x x ==，解可得0x 的值，由零点的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，()lg f x x =，则(())lg(lg )f f x x =， 若00(())lg(lg )0f f x x ==，即lgx 0＝1，解可得0x ＝10， 即函数(())y f f x =的零点0x 等于10； 故答案为：10．【点评】本题考查函数零点的计算，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题． 二、选择题 15．【分析】由幂函数ay x = 的图象经过点（9，3），求出12a =，由此能求出此函数是12y x = ，是非奇非偶函数．【解答】解：∵幂函数y ＝x a 的图象经过点（9，3）， ∴93a = ， 解得12a =， ∴此函数是12y x =，是非奇非偶函数． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．【分析】求出α，β的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：α：101a a ->+得a ＞1或a ＜﹣1， β：关于x 的方程210x ax -+=有实数根， 则判别式240a ∆=-≥，得a ≥2或a ≤﹣2， ∵{}{}|22|11a a a a a a ≥≤-><-或或Ö， ∴α是β成立的必要不充分条件， 故选：B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题的等价条件是解决本题的关键． 17．【分析】根据函数的定义，在定义域内有且只有一个函数值与它对应，()y f x =定义域是F ，当F 包括x ＝0，则x ＝0时候，有且只有一个函数值，所以函数图象与x ＝0只有一个交点，也就是两个集合的交集元素个数只有1个，则答案可求． 【解答】解：设函数()y f x =定义域是F ， 当0F ∈，A B 中所含元素的个数为1．∴AB 中所含元素的个数是1．故选：A ．【点评】本题考查交集及其运算，解答此题的关键是对题意的理解，是基础题． 18．【分析】利用一次函数的最值求解即可．【解答】解：()(31)12(32)1f m m a m a m a =-+-=--+ ①3a ﹣2＝0，即23a =时，1()13f m =<，符合题意； ②3a ﹣2＞0，即23a >时，max ()(1)21f m f a ==- ∵2a ﹣1≤1，∴a ≤1，∴213a <≤； ③3a ﹣2＜0，即23a <时，max ()(0)1f m f a ==-+ ∵﹣a +1≤1，∴a ≥0，∴203a ≤<； 综上可知：实数a 的取值范围是[0，1]； 故选：A ．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论思想的应用，一次函数闭区间的最值以及单调性的应用．19．【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a 的范围【解答】解：函数()(32)1f x a x a =-+-，在[﹣2，3]上的最大值是(2)f -， 则函数f （x ）在[﹣2，3]上为减函数， 则3a ﹣2＜0，解得23a <， 故选：D ．【点评】本题考查了函数的单调性和最值得关系，考查了转化与化归思想，属于基础题 三、解答题20．【分析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出A B ，A B ．【解答】解：{}{}2|2220,|1xx A x x R x x =--≤∈=≤，{}{}|lg(1)0,|2112B x x x R x x x =-<∈=-<<-<<或，∴{}|21AB x x =-<<-，{}|2A B x x =<．【点评】本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 21．【分析】（1）容易求出()()f x f x -=-，从而判断出()f x 是奇函数；（2）可以看出函数10x y =和10xy -=-在R 上都是增函数，从而得出()f x 在R 上的单调性．【解答】解：（1）()1010(1010)()x x x xf x f x ---=---=-；∴()f x 为奇函数；（2）∵10x y =和10xy -=-x 在R 上都是增函数；∴()1010x xf x -=-在R 上是增函数．【点评】考查奇函数的定义及判断，指数函数的单调性，以及增函数的定义． 22．【分析】（1）根据基本不等式和定义即可得出周长的范围； （2）令周长不大于10，列不等式求出x 的范围，得出结论． 【解答】解：（1）设AB ＝x ，则4BC x=，故而矩形ABCD 的周长为442()2()228AB BC x x x x+=+≥=， 当且仅当4x x=即x ＝2时取等号． 又矩形ABCD 是“美观矩形”，故而矩形的周长不大于10．∴当矩形ABCD 是“美观矩形”时，矩形周长的取值范围是[8，10]．（2）设矩形ABCD 的周长为f （x ），则4()2()(0)f x x x x==>， 令f （x ）≤10得2540x x -+≤，解得：1≤x ≤4，∴当x ∈[1，4]时，矩形是“美观矩形”，当x ∈（0，1）∪（4，+∞）时，矩形不是“美观矩形”．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．23．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式结合函数的奇偶性可得()f x 的单调区间；（2）（A 组题），根据题意，由函数的奇偶性可得函数()f x 的解析式，则有243()30x x f x x ⎧-≥≥⇒⎨≥⎩或2430x x x ⎧--≥⎨<⎩，解可得不等式的解集，即可得答案；（3）（A 组题）由函数的解析式可得在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；对m 的值进行分情况讨论，求出函数的最值，即可得答案；（2）（B 组题）设x ＜0，则﹣x ＞0，由函数的解析式可得()f x -的表达式，由函数的奇偶性可得()f x 在x ＜0时的解析式，综合即可得答案；（3）（B 组题）根据题意，由函数的奇偶性可得函数()f x 的解析式，则有243()30x x f x x ⎧-≥≥⇒⎨≥⎩或2430x x x ⎧--≥⎨<⎩，解可得不等式的解集，即可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时有2()4f x x x =-；则()f x 的单调递增区间为（﹣∞，﹣2]或[2，+∞），递减区间为[﹣2，2]；（2）（A 组题）()f x 是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时有2()4f x x x =-，设x ＜0，则﹣x ＞0，则22()()4()4f x x x x x -=---=+，则2()()4f x f x x x =--=--，综合可得：224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩， 若243()30x x f x x ⎧-≥≥⇒⎨≥⎩或2430x x x ⎧--≥⎨<⎩，解可得：﹣3≤x ≤﹣1或2x ≥则不等式()3f x ≥的解集为[﹣3，﹣1]∪[2x ≥+（3）（A 组题）由（2）的结论，224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；对于区间[﹣m ，m ]，必有m ＞﹣m ，解可得m ＞0；故当0＜m ≤2时，2max ()4f x m m =-+，2min ()4f x m m =-，当2＜m ≤4时，max ()4f x =，min ()4f x =-，当m ＞4时，2max ()4f x m m =-，2min ()4f x m m =-+，（2）（B 组题）()f x 是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时有2()4f x x x =-，设x ＜0，则﹣x ＞0，则22()()4()4f x x x x x -=---=+，则2()()4f x f x x x =--=--，综合可得：224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩， （3）（B 组题）由（2）的结论，224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩， 若243()30x x f x x ⎧-≥≥⇒⎨≥⎩或2430x x x ⎧--≥⎨<⎩，解可得：﹣3≤x ≤﹣1或x ≥2则不等式()3f x ≥的解集为[﹣3，﹣1]∪[2【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题． 24．【分析】根据(2)()f x f x +=的函数．可知函数()f x 是周期2的函数；依次求解各式即可．【解答】解：（1）(3)(12)(1)1f f f =+==；（2）（A 组题）若﹣2≤a ≤0，则0≤a +2≤2，∴22()(2)(21)(1)[0,1]f a f a a a =+=+-=+∈；（3）（A 组题）因为()()g x x f x =+在[0，2]上的值域为[5，8]，所以()f x 在[0，2]上的值域为[3，6]，所以()g x 在[﹣2，4]上的值域为[1，10]；（2）（B 组题）根据（2）（A 组题）可得2()(1)0f a f a =+=，可得a ＝﹣1；（3）（B 组题）由题意，当0≤a ≤2时，2()(1)0[0,1]f a f a =-=∈；当﹣2≤a ≤0时，则0≤a +2≤2，可得2()(1)0[0,1]f a f a =+=∈，当2≤a ≤4时，则0≤a ﹣2≤2，可得2()(3)[0,1]f a f a =-∈，故得当﹣2≤a ≤4，()f a 的取值范围是[0，1]．【点评】本题考查抽象函数的问题，值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是理解题意，是中档题．。