高中数学常见的知识类比

专题高中数学常见的知识类比一、⑴类比的定义：由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．⑵类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；⑶一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。

如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；⑷在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。

⑶类比推理的特点：①类比是人们已经掌握了事物的属性，推测正在研究的事物的属性，它以已有认识作基础，类比出新的结果；②类比是从一种事物的特殊属性推测出另一种事物的特殊属性；③类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．二、常见的几种类比：代数方面：加→乘，减→除，乘→乘方，除→开方，实数与向量.数与式（分数对分式、整数对整式、有理数对有理式）.等式→不等式，等差数列→等比数列等等。

几何方面：平面（二维）→立体（三维），线段→面，面积→体积，平面角→二面角.解析几何方面：圆→椭圆，椭圆→双曲线(1) a=b?a+c=b+c;(1) a＞b?a+c＞b+c;(2) a=b? ac=bc; (2) a＞b? ac＞bc;(3) a=b?a2=b2;等等。

(3) a＞b?a2＞b2;等等【3】实数系与向量系的类比：实数系向量系实数0、单位1数a的相反数－a实数a的绝对值| a | 零向量0→、单位向量e→向量a→的相反向量－a→向量a→的模|a→|运算规律：①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，(ab)c＝a(bc)③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac④消去律：若ab＝ac，a≠0，则b＝c⑤若ab＝0，则a＝0，或b＝0⑥公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2(a±b)2＝a2±2ab＋b2⑦| a·b |＝| a |·| b | 运算规律：①交换律：a→＋b→＝b→＋a→②结合律：(a→＋b→)＋c→＝a→＋(b→＋c→)(a→·b→)c→≠a→(b→·c→)（乘法不满足）③分配律：a→·(b→＋c→)＝a→·b→＋a→·c→④不满足消去律：若a→·b→＝a→·c→，那么b→与c→不一定相等.⑤若a→·b→＝0，那么不一定a→＝0→或b→＝0→.⑥公式：(a→＋b→)·(a→－b→)＝a→2－b→2(a→±b→)2＝a→2±2a→·b→＋b→2⑦|a→·b→|≤|a→|·|b→||| a |－| b ||≤| a±b |≤| a |＋| b | ||a→|－|b→||≤|a→±b→|≤|a→|＋|b→| 【4】利用平面向量的性质类比空间向量的性质【5】平面几何与立体几何的类比：【6】试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积引申：试通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R ”，猜测关于球的相应命题为_______________________ 【7】三角形与四面体的性质类比：【8】直角三角形与直角四面体的类比：【9】等差数列与等比数列的类比：【10】椭圆与双曲线的类比：点弦P 1P 2的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1. P 1P 2的直线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1. 椭圆的焦点△PF 1F 2的旁切圆圆心M 的轨迹是过长轴的端点且垂直于长轴的直线.双曲线的焦点△PF 1F 2的内切圆圆心M 的轨迹是过实轴的端点且垂直于实轴的直线.AB 是椭圆的长轴，O 是椭圆的中心，F 1，F 2是椭圆的的焦点，直线AC ，BD 是椭圆过A 、B 的切线，P 是椭圆上任意一点，CD 是过P 的切线，则有PF 1·PF 2＝PC ·PDC AF 1F 2BPDAB 是双曲线的实轴，O 是双曲线的中心，F 1，F 2是双曲线的的焦点，直线AC ，BD 是双曲线过A 、B 的切线，P 是双曲线上任意一点，CD 是过P 的切线，则有PF 1·PF 2＝PC ·PD三、类比练习题： （一）选择题：1.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是 ·························································································· （ ） ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.A. ①B. ①②C. ①②③D. ③试题类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是①②③①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等解答：解：在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质； 由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质； 由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质； 或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，PFF 2PF 1F 2M故类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，推断：①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．都是恰当的 故答案为：①②③2.三角形面积公式为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积公式为 ································································· （ ） ＝13abcB. V ＝13ShD. V ＝13(ab ＋bc ＋ca )h （h 为四面体的高）3.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形的面积公式为S 扇＝·································································································· （ ）A. r 22B. l 22D. 不可类比（二）填空题：4.由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是 .解析:等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比.答案：各侧面与底面所成二面角相等,各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等5.在平面几何中，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A －BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ”；斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面． 解答：解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：S BCD 2=S ABC 2+S ACD 2+S ADB 2．6.从装有n ＋1个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球（0＜m ≤n ，m 、n ∈N *），共有C m n ＋1种取法，在这C m n ＋1种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，一类是取出的m 个球中有一个1黑球，所以共有C 01C m n ＋C 11C m －1n ＝C m n ＋1种，即有等式：C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1成立. 试根据上述思想化简下列式子：C m n ＋C 1k C m －1n ＋C 2k C m －2n ＋…＋C k k C m －k n＝ .7.在圆中有结论:如图,“AB 是圆O 的直径,直线AC ,BD 是圆O 过A、B 的切线，P 是圆O 上任意一点,CD 是过P 的切线，则有2PO PC PD =⋅”. 类比到椭圆：“AB 是椭圆的长轴，O 是椭圆的中心，F 1，F 2是椭圆的的焦点，直线AC ，BD 是椭圆过A 、B 的切线，P 是椭圆上任意一点，CD 是过P的切线，则有 .”8.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24，类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ；【a 38】（三）解答题：9.△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2EF ·EF cos ∠DFE ，拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，.S △A1C1C 2=S △BB1A12+S 四边形BCC1B12-2S △BB1A1?S 四边形BCC1B1?cosθ10.在Rt △ABC 中，若∠C ＝90?，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.四、历年高考的类比题目：1.（04广东）由图⑴有面积关系：S △P A ?B ?S △P AB ＝P A ?·PB ?P A ·PB ，则由⑵有体积关系: V △P A ?B ?V △P AB ＝ .图(2)C ＇A ＇PABC图(1)Ｂ＇A ＇PAB2.（02上海）如下图⑴，若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2，与点N 1、N 2，则S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2；若从O 点所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR ，分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，如图⑵，则类比的结论为 .3.（2000上海，第12题）在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n （n ＜19，n ∈N )成立.类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式成立.4、在平面上,设h a ,h b ,h c 是三角形ABC 三条边上的高.P 为三角形内任一点,P 到相应三边的距离分别为p a ,p b ,p c ,我们可以得到结论: 试通过类比,写出在空间中的类似结论.1a b c da b c dp p p p h h h h +++=5、(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-1=++ccb b a a h p h p h p OMNN 1N 2 M 2M 1PQRP 1P 2 Q 2 R 2 Q 1R 1O图⑴图⑵。