热点集训电场线(等势面)与运动轨迹综合问题
高中物理必修三专题强化训练—电场线、等势面与电荷运动轨迹问及等分法的应用
高中物理必修三专题强化训练—电场线、等势面与电荷运动轨迹问及等分法的应用一、电场线、等势面与电荷运动轨迹的综合问题如图1所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在静电力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为a M、a N，速度大小分别为v M、v N，电势能分别为E p M、E p N.下列判断正确的是()图1A.v M＜v N，a M＜a NB.v M＜v N，φM＜φNC.φM＜φN，E p M＜E p ND.a M＜a N，E p M＜E p N答案 D解析由粒子的运动轨迹知粒子所受静电力的方向偏向右，因粒子带负电，故电场线方向偏向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，E p M<E p N；N点附近电场线比M点密，故场强E M<E N，由加速度a＝Eqm知a M<a N，粒子若从N点运动到M点，静电力做正功，动能增加，故v M>v N，粒子若从M点运动到N点，静电力做负功，动能减小，故v M>v N.综上所述，选项D正确.带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法(1)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(合外力指向轨迹凹侧)，从而分析电场方向或电荷的正负.(2)结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等.(3)根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况.针对训练1(多选)如图2所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹.设电子在A、B两点的加速度大小分别为a A、a B，电势能分别为E p A、E p B.下列说法正确的是()图2A.电子一定从A向B运动B.若a A＞a B，则Q靠近M端且为正电荷C.无论Q为正电荷还是负电荷一定有E p A＜E p BD.B点电势可能高于A点电势答案BC解析电子仅在静电力作用下可能从A运动到B，也可能从B运动到A，A错误；若a A＞a B，说明电子在A点受到的静电力大于在B点受到的静电力，所以A距离点电荷较近，B距离点电荷较远，又因为电子受到的静电力指向轨迹凹侧，因此Q靠近M端且为正电荷，B正确；无论Q是正电荷还是负电荷，若电子从A运动到B，一定是克服静电力做功，若电子从B运动到A，一定是静电力做正功，即一定有E p A＜E p B，C正确；对于同一个负电荷，电势低处电势能大，B点电势一定低于A点电势，D错误.如图3所示，O是一固定的点电荷，虚线是该点电荷产生的电场中的三条等势线，正点电荷q仅在静电力的作用下沿实线所示的轨迹从a处运动到b处，然后又运动到c处.b点为轨迹上离O点最近的点，由此可知()图3A.O为负点电荷B.在整个过程中q的电势能先变小后变大C.在整个过程中q的速度先变大后变小D.在整个过程中，静电力做功为零答案 D解析由运动轨迹分析可知q受到库仑斥力的作用，O点的电荷应为正点电荷，A错；从a到b的过程q受到逐渐变大的库仑斥力，速度逐渐减小，加速度增大，电势能逐渐增大；而从b到c的过程q受到逐渐变小的库仑斥力，速度逐渐增大，加速度减小，电势能逐渐减小，B、C错；由于a、c两点在同一等势线上，整个过程中，静电力做功为零，D对.二、用等分法确定等势线和电场线1.在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U＝Ed，其中d为两点沿电场方向的距离.由U＝Ed可以得到下面两个结论：结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝φA＋φB2，如图4甲所示.图4结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则U AB＝U CD(或φA－φB＝φC －φD)，同理有U AC＝U BD，如图乙所示.2.确定电场方向的方法先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面.(多选)如图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是()答案BC解析匀强电场中将任一线段等分，则电势差等分.把AB等分为三段，AB间电压为3 V，则每等分电压为1 V，H点电势为4 V，F点电势为3 V，将FC相连，则FC 为等势线，电场线垂直于FC ，从高电势指向低电势，C 正确；AC 上，G 为中点，AC 被等分为两份，AC 间电压为2 V ，则G 点电势为4 V ，GH 为等势线，电场线垂直于GH ，从高电势指向低电势，B 正确.如图5所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O 处的电势为0，点A 处的电势为6 V ，点B 处的电势为3 V ，则电场强度的大小为( )图5A.200 V/mB.200 3 V/mC.100 V/mD.100 3 V/m 答案 A解析 在匀强电场中，沿某一方向电势均匀降低或升高，故OA 的中点C 的电势φC ＝3 V(如图所示)，因此B 、C 在同一等势面上.O 点到BC 的距离d ＝OC sin α，而sin α＝OBOB 2＋OC 2＝12，所以d ＝12OC ＝1.5×10－2 m.匀强电场的电场强度E ＝U d ＝31.5×10－2V/m ＝200 V/m ，故选项A 正确.针对训练2如图6△ABC中，∠B为直角，∠A＝60°，AB＝4 cm，空间中存在一匀强电场，其方向平行于△ABC所在的平面，A、B、C三点的电势分别为0、2 V、8 V，则该电场的电场强度大小为()图6A.50 V/mB.50 3 V/mC.100 V/mD.10033V/m答案 C解析如图所示，过B点作AC的垂线，则垂足D为AC的四等分点，因A、C两点的电势分别为0、8 V，可知D点的电势为2 V，则BD为等势面；根据E＝U d可得电场强度：E＝U DADA＝20.04×cos 60°V/m＝100 V/m，故选C.考点一电场线、等势面与电荷运动轨迹的综合问题1.若带正电荷的小球在电场中运动，只受静电力作用，它在任意一段时间内()A.一定沿电场线由高电势处向低电势处运动B.一定沿电场线由低电势处向高电势处运动C.不一定沿电场线运动，但一定由高电势处向低电势处运动D.不一定沿电场线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动答案 D解析小球的运动情况取决于合力和初速度的关系，小球只受到静电力的作用，是否沿电场线运动，还要看电场线是直线还是曲线，小球有没有初速度及初速度方向与电场线的关系；只有当电场线是直线且小球的运动方向沿着电场线时，小球才沿电场线运动，小球不一定由高电势处向低电势处运动，故A、B、C错误，D正确.2.(多选)一带电粒子从电场中的A点运动到B点，轨迹如图1中虚线所示.不计粒子所受重力，则()图1A.粒子带正电荷B.粒子加速度逐渐减小C.粒子在A点的速度大于在B点的速度D.粒子的初速度不为零答案BCD解析带电粒子所受合外力(即静电力)指向轨迹凹侧，结合题图可知带电粒子所受静电力方向偏向左，故粒子带负电荷，A项错误；根据电场线疏密表示场强大小知E A>E B，由a＝qEm知，B项正确；粒子从A到B受到的静电力为阻力，粒子速度减小，C项正确；由于电场线为直线，粒子轨迹为曲线，故粒子在A点速度不为零，D项正确.3.一带电粒子沿图2中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则()图2A.粒子一定带正电B.粒子的运动是匀变速运动C.粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大D.粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大答案 B解析由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据粒子运动轨迹可知该粒子所受静电力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子做匀变速曲线运动，静电力做正功，粒子的动能增大，电势能减小，故选B.4.(多选)如图3所示，平行线代表电场线，但未标明方向，一个带正电、电荷量为10－6 C的微粒在电场中仅受静电力作用，当它从A点运动到B点时动能减少了10－5 J，则以下判断正确的是()图3A.微粒的运动轨迹如图中的虚线1所示B.微粒的运动轨迹如图中的虚线2所示C.B点电势高于A点电势D.B点电势低于A点电势答案AC解析由题知，带正电的微粒仅受静电力的作用，从A点运动到B点时动能减少了10－5J，说明静电力做负功，则知静电力方向水平向左，根据曲线运动的合力指向轨迹的内侧，故微粒的运动轨迹如题图中虚线1所示，故A正确，B错误；由于微粒带正电，所受静电力水平向左，则电场强度方向水平向左，沿着电场线方向电势逐渐降低，则B点电势高于A点电势，故C正确，D错误.5.(2020·陕西十校联考)两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图4中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只受静电力作用，则下列判断正确的是()图4A.粒子带正电B.b点和d点的电场强度相同C.粒子的动能先减小后增大D.粒子在a点的电势能小于在e点的电势能答案 C解析根据两个固定的等量异种点电荷所形成的电场的等势面的特点可得，题图中正电荷在上方，负电荷在下方，因粒子运动轨迹向上弯曲，可知带电粒子受到了向上的力的作用，所以粒子带负电，A错误；在电场中等势面与电场线是垂直的，由题图可知，b、d两点弯曲的方向不同，则过b、d两点，与－5 V的等势面垂直的电场线的方向是不同的，所以b、d两点电场强度是不同的，B错误；粒子从a到c的过程中，静电力做负功，从c到e的过程中，静电力做正功，粒子在静电场中静电力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，动能先减小后增大，C正确；a、e两点电势相等，故粒子在a、e两点电势能相等，D错误.考点二等分法的应用6.如图5所示，ABCD是匀强电场中平行于电场线的矩形的四个顶点，A、B、C 三点电势分别为φA＝8 V，φB＝2 V，φC＝3 V，则D点的电势为()图5A.7 VB.6 VC.10 VD.9 V答案 D解析因为U AB＝U DC，即8 V－2 V＝φD－3 V，故φD＝9 V，选项D正确.7.(2021·湖南岳阳市岳阳一中高二期末)如图6所示，A、B、C、D是匀强电场中一个以坐标原点为圆心、半径为1 m的圆与两坐标轴的交点，已知A、B、D三点的电势分别为φA＝3 V、φB＝－2 V、φD＝8 V，由此可知场强的大小为()图6A.4 V/mB.5 V/mC.6 V/mD.7 V/m答案 B解析在匀强电场中，由U＝Ed可知沿着同一方向(非等势面上)，每前进相同的距离，电势的降低相等；根据几何知识可知AB＝CD，且AB∥CD，说明AB间的电势差等于CD间的电势差.故φA－φB＝φD－φC，代入数据，解得φC＝3 V，即C 点的电势为3 V，可知AC为等势面，场强方向与等势面垂直，从高电势到低电势，即由D指向B，根据U＝Ed，可得场强大小为E＝U DB2r＝8－()－22×1V/m＝5 V/m，故选B.8.如图7，在匀强电场中有一长方形区域ABCD，边长AB＝0.3 m、BC＝0.4 m，匀强电场方向与ABCD所在平面平行，A、B、C三点的电势φA＝55 V，φB＝19 V，φC＝－45 V，则匀强电场的电场强度大小和方向为()图7A.120 V/m，沿AB方向B.200 V/m，沿AC方向C.160 V/m，沿AD方向D.300 V/m，沿BD方向答案 B解析连接AC，过B点作BB′⊥AC交AC于B′，由几何关系知，AB′＝0.18 m，B′C＝0.32 m，据题知U AC＝100 V，U AB＝36 V，U BC＝64 V，所以B′与B等电势，则BB′为等势线；利用等势线与电场线垂直确定场强方向，可知匀强电场的电场强度方向沿AC方向，匀强电场的电场强度大小E＝U ABd＝360.18V/m＝200 N/m，故A 、C 、D 错误，B 正确.9.(多选)(2021·河南驻马店市高二期末)如图8所示，在xOy 坐标系中有一底角为60°的等腰梯形，空间有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中原点O 的电势为9 V ，A 点电势为4.5 V ，B 点电势为0，则由此可以判定( )图8A.电场的电场强度大小为150 3 V/mB.电场的电场强度大小为100 3 V/mC.电场的方向与x 轴正方向成30°角向上D.电场的方向沿x 轴正方向 答案 AC解析 因原点O 的电势为9 V , B 点电势为0，可知OB 连线中点(设为D )的电势为φD ＝φO ＋φB2＝4.5 V ，因A 点电势为4.5 V ，可知AD 为等势面，则由几何关系可知，场强方向沿OB 方向，与x 轴正方向成30°角向上，大小为E ＝U OBd OB＝92×2×32V/cm ＝150 3 V/m ，故选A 、C.10.(多选)(2020·天津一中期中)如图9所示，一带正电的点电荷固定于O 点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点.不计重力.下列说法正确的是()图9A.M带负电荷，N带正电荷B.M在b点的动能小于它在a点的动能C.N在d点的电势能等于它在e点的电势能D.N在从c点运动到d点的过程中克服静电力做功答案ABC解析如题图所示，M粒子的轨迹向左弯曲，可知M粒子受到了引力作用，故M 粒子带负电荷，而N粒子的轨迹向下弯曲，说明N粒子受到斥力作用，故N粒子带正电荷，选项A正确；由于虚线是等势面，故M从a到b静电力对其做负功，电势能增加，动能减小，选项B正确；对于N粒子，由于d和e在同一等势面上，从e到d静电力做功为零，电势能不变，选项C正确；由于N粒子带正电荷，故从c点运动到d点的过程中，静电力做正功，选项D错误.11.(多选)如图10，在匀强电场中，A、B、C、D、E、F位于边长为L＝2 cm的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面.已知A、B、D、E 的电势分别为－2 V、0、6 V、4 V.则下列说法正确的是()A.C点的电势φC＝2 VB.A、F间的电势差U AF＝2 VC.C、F间的电势差U CF＝4 VD.该匀强电场的场强大小E＝200 V/m答案CD解析连接AD、BF、CE，由图可知AD与BF、CE都垂直，沿DA方向分析可知O′的电势为4 V，与E的电势相等，故电场强度方向由D指向A，由正六边形对称性可知F与B的电势相等，C与E的电势相等，故F点的电势为0，C点的电势为4 V，则A、F间的电势差为U AF＝φA－φF＝－2 V－0＝－2 V，C、F间的电势差为U CF＝φC－φF＝4 V－0＝4 V，由几何关系得：d OA＝L sin 30°，而U OA＝U F A＝－U AF＝2 V，则电场强度的大小为E＝U OAd OA＝22×10－2×12V/m＝200 V/m，故A、B错误，C、D正确.12.如图11所示，在匀强电场中，将带电荷量q＝－6×10－6 C的电荷从电场中的A 点移到B点，克服静电力做了2.4×10－5 J的功，再从B点移到C点，静电力做了1.2×10－5 J的功.(1)求A 、B 两点间的电势差U AB 和B 、C 两点间的电势差U BC ； (2)如果规定B 点的电势为零，则A 点和C 点的电势分别为多少？ (3)作出过B 点的一条电场线. 答案 见解析解析 (1)U AB ＝W AB q ＝－2.4×10－5－6×10－6V ＝4 VU BC ＝W BC q ＝1.2×10－5－6×10－6 V ＝－2 V(2)U AB ＝φA －φB ，U BC ＝φB －φC 又φB ＝0故φA ＝4 V ，φC ＝2 V(3)取AB 的中点D ，则D 点的电势为2 V ，连接CD ，CD 为等势线，电场线与等势线垂直，由高电势指向低电势，如图.。
电场中电场线、等势面及运动轨迹问题专题精练附答案
电场线、等势面及运动轨迹问题专题精练1．两点电荷形成电场的电场线分布如图所示，A、B是电场线上的两点，下列判断正确的是(C)A．A、B两点的电场强度大小不等，方向相同B．A、B两点的电场强度大小相等，方向不同C．左边电荷带负电，右边电荷带正电D．两电荷所带电荷量相等2．(多选)如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹．设电子在A、B两点的加速度大小分别为a A、a B，电势能分别为E p A、E p B.下列说法正确的是(BC)A．电子一定从A向B运动B．若a A>a B，则Q靠近M端且为正电荷C．无论Q为正电荷还是负电荷一定有E p A<E p BD．B点电势可能高于A点电势3．某静电场中的电场线方向不确定，分布如图所示，带电粒子在电场中仅受静电力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是(C)A．粒子必定带正电荷B．该静电场一定是孤立正电荷产生的C．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度D．粒子在M点的速度大于它在N点的速度4.如图所示，a、b为真空中的电场的一条竖直方向的电场线上相距为h的两点，一质量为m电量为+q的带电液滴在a点由静止释放，带电液滴沿电场线运动到b点时速度为零，取重力加速度取g、a点的电势为零，关于粒子由a到b运动过程，下列说法中正确的是(D)A.由a到b,电场强度先增大后减小B.液滴的机械能先增加后减小mgC.b点的电场强度为qmghD.b点的电势为-q5.(多选)某静电场的电场线分布如图所示，P、Q为该电场中的两点，下列说法正确的是（AD ）A.P点场强大于Q点场强B.P点电势低于Q点电势C.将电子从P点移动到Q点，电场力做正功D.将电子从P点移动到Q点，其电势能增大6．如图所示，直线MN是某电场中的一条电场线(方向未画出)．虚线是一带电的粒子只在电场力的作用下，由a到b的运动轨迹，轨迹为一抛物线．下列判断正确的是(C)A．电场线MN的方向一定是由N指向MB．带电粒子由a运动到b的过程中动能一定逐渐减小C．带电粒子在a点的电势能一定大于在b点的电势能D．带电粒子在a点的加速度一定大于在b点的加速度7．(2018·天津卷)如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为a M、a N，速度大小分别为v M、v N，电势能分别为E p M、E p N.下列判断正确的是(D)A．v M<v N，a M<a NB．B．v M<v N，φM<φNC．φM<φN，E p M<E p ND．D．a M<a N，E p M<E p N8．(2019·广东四校联考)(多选)如图所示，在两等量异种点电荷连线上有c、O、f三点，虚线所在的曲线M、L、K分别表示过c、O、f三点的等势面，一不计重力的带负电粒子，从a点射入电场，只在电场力作用下沿abcde运动，其轨迹关于两点电荷连线对称，如图中实线所示：a、b、c、d、e为轨迹与各等势面的交点，则下列说法中正确的有(ACD)A．各等势线的电势大小关系为φK>φL>φMB．a点与b点的电场强度相同C．粒子在a点与e点的加速度大小相等D．粒子在c点的电势能大于在e点的电势能9.一粒子从A点射入电场，从B点射出，电场的等势面和粒子的运动轨迹如图所示，图中左侧前三个等势面彼此平行，不计粒子的重力．下列说法正确的有(AB) A．粒子带负电荷B．粒子的加速度先不变，后变小C．粒子的速度不断增大D．粒子的电势能先减小，后增大。
带电粒子在电场中运动轨迹与电场线、等势面类问题.
带电粒子在电场中运动轨迹与电场线、等势面类问题总结：（带电粒子只受电场力）1）判断电势：顺着电场方向看电势一直降低。
2）判断电场强度、电场力、加速度大小：E、F、a大小只跟电场线的疏密程度有关，而且三者同时增大或者同时减小。
判断电场强度、电场力、加速度方向：F和a方向相同，而F的方向指向运动轨迹的内侧。
E方向跟F和带电粒子的电性相关。
粒子带正电：E和F方向相同。
若带负电：E和F方向相反。
3）判断速度、动能、电势能：速度、动能的大小同时变化而电势能反向变化。
速度、动能的大小同时变化主要取决电场力做功，而电场力做功跟电场力和速度方向的夹角相关。
电场力与速度方向夹角为锐角，电场力做正功，速度增大，动能增大，电势能减小。
电场力与速度方向夹角为钝角，电场力做负功，速度减小，动能减小，电势能增大。
根据粒子的运动轨迹、电场线(等势面)进行相关问题的判定1．电势高低常用的两种判断方法:(1)依据电场线的方向―→沿电场线方向电势逐渐降低(2)依据U AB＝W AB/q→U AB>0，φA>φB；U AB<0，φA<φB.2．电势能增、减的判断方法 :(1) 做功判断法→电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加.(2) 公式法→由E p＝qφp，将q、φp的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大电势能越大，Ep的负值越小，电势能越大.(3) 能量守恒法→在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，电势能增加 .(4) 电荷电势法→正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大.“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(在初始位置电场线的切线方向，指向轨迹的凹侧)从二者的夹角情况来分析电荷做曲线运动的情况．“三不知时要假设”——电荷的正负、场强的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向，是题目中相互制约的三个方面.若已知其中的任一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知(三不知)，则要用“假设法”分别讨论各种情况．有时各种情景的讨论结果是归一的。
5.电场线,等势面与带点粒子运动轨迹
判断加速度的 和
W合 EK
5.根据 W Fl cos 速度的变化
判断
6.电场力做正功，电势能减小，电场力做负 功，电势能增加 7.正电荷在电势越高处电势能越大， 负电荷在电势越高处电势能越小 8.只有电场力做功，电势能和动能之 和保持不变
课堂互动探究
课堂互动探究
课时达标训练
解析
kq1q2 由库仑定律 F＝ 2 可知，粒子在 a、b、c 三点受到的 r
F 电场力的大小关系为 Fb>Fc>Fa，由 a＝m，可知 ab>ac>aa。根 据粒子的轨迹可知，粒子 Q 与场源电荷 P 的电性相同，二者 之间存在斥力，由 c→b→a 运动过程中，电场力先做负功后做 正功，且 Wba>|Wcb|，结合动能定理可知，va>vc>vb，故选项 D 正确。
二定律可得qE＝ma，又根据电场线的疏密程度可以得出Q、R两
点处的电场强度的大小关系为ER>EQ，则带电粒子在R、Q两点处 的加速度的大小关系为aR>aQ，故D项错误。 答案 A
课堂互动探究 课时达标训练
(1)已知等势面的形状分布，根据电场线和等势面相互垂直可
以绘制电场线。
(2)由电场线和等差等势面的疏密，可以比较不同点的场强大 小，电场线或等势面密集处，场强较大。 (3)根据电荷的运动轨迹可以判断电荷受力方向和做功的正负， 从而判断电势能的变化情况，注意电场力与电场线相切，且
在P点时的大
D.带电粒子在R点时的加速度大小小于在Q点时的加速度大小
课堂互动探究 课时达标训练
解析
根据物体做曲线运动的轨迹与速度、合外力的关系可知，
带电粒子在R处所受电场力的方向为沿电场线向右。假设粒子从Q 向P运动，则电场力做正功，所以电势能减小，动能增大，速度
高一物理 电学专题提升 专题07 电场线或等势面与粒子的运动轨迹的判定问题
专题07 电场线或等势面与粒子的运动轨迹的判定问题一：专题概述1. 带电粒子在电场中的运动轨迹是由带电粒子受到的合外力的情况以及初速度的情况共同决定的.运动轨迹上各点的切线方向表示粒子在该点的速度方向.电场线只能够描述电场的方向和定性地描述电场的强弱,它决定了带电粒子在电场中各点所受电场力的方向和加速度的方向.2.等势线总是和电场线垂直.已知电场线可以画出等势线,已知等势线也可以画出电场线.3.在利用电场线、等势面和带电粒子的运动轨迹解决带电粒子的运动问题时,基本方法是:(1) 根据带电粒子的运动轨迹确定带电粒子受到的电场力的方向,带电粒子所受的合力(往往只受电场力)指向运动轨迹曲线的凹侧,再结合电场线确定带电粒子的带电种类或电场线的方向.(2) 根据带电粒子在不同的等势面之间移动,结合题意确定电场力做正功还是做负功,电势能的变化情况或是等势面的电势高低.二：典例精讲1．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法典例1：如图所示,一带正电的点电荷固定于O点,两虚线圆均以O为圆心,两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹,a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点.不计重力.下列说法中正确的是()A. M带负电荷,N带正电荷B. M在b点的动能小于它在a点的动能C. N在d点的电势能等于它在e点的电势能D. N在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功【答案】 ABC2．等势线(面)及带电粒子的运动轨迹问题典例2：如图所示,虚线是某静电场的一簇等势线,边上标有电势的值.一带电粒子只在电场力作用下恰能沿图中的实线从A经过B运动到C.下列说法中正确的是()A. 粒子一定带负电B. A处场强大于C处场强C. 粒子在A处电势能大于在C处电势能D. 粒子从A到B电场力所做的功大于从B到C电场力所做的功【答案】 B3．带电油滴的运动轨迹分析典例3：(多选)如图，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面(纸面)内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。
带电粒子在电场中运动的“三线”问题
带电粒子在电场中运动的“三线”问题作者：陈伟平来源：《求学·新高考版》2021年第11期静电场中带电粒子运动的“三线”（电场线、等势线和运动轨迹）问题，是每年高考的热点内容，主要以比较带电粒子在电场中运动的加速度、速度、动能、电势能、电势、机械能变化的题目呈现，此类问题涉及电场、牛顿运动定律、动能定理、功能关系和能量守恒等知识的综合应用。
一、方法与思路1. 判断运动方向：可以根据物体运动轨迹上某一点的切线方向确定物体在该点的运动方向。
要注意的是，在力相同时，所有运动都是可逆的。
2. 判断电场力方向：仅受电场力作用下的带电粒子，所受的电场力指向带电粒子运动轨迹的凹侧。
3. 判断场强方向：正电荷所受电场力方向与场强方向相同;负电荷所受电场力方向与场强方向相反。
4. 判断电场力做功的正负及电势能的增减：在初始位置画出速度方向与电场力方向，根据它们的夹角分析。
若运动方向与电场力方向成锐角，则电场力做正功，电势能减小;若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
5. 判断电势高低：沿电场线方向电势逐渐降低，电势降低最快的方向为场强方向。
6. 判断电势能大小：根据公式Ep=qφ（代入正负号）判断电势能大小。
7. 判断加速度大小：根据电场线或等差等势面疏密判断加速度大小，电场线越密集，场强越大，加速度越大。
8. 在匀强电场中，可定性地列出轨迹方程分析有关物理量。
9. 带电粒子的运动轨迹与电场线（等势面）关系图：二、试题精练【例1】（2021 ·广东高考题）如图1 是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸极接在高压电源两端，两极间产生强电场，虚线为等势面，在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极，a、b 是其路径上的两点，不计液滴重力，下列说法正确的是（）A. a 点的电势比b 点的低B. a 点的电场强度比b 点的小C. 液滴在a 点的加速度比在b 点的小D. 液滴在a 点的电势能比在b 点的大【解题思路】根据高压电源与两极的连接情况，可知电场线由a 指向b，而沿着电场线电势逐渐降低，可知a 点的电势比b 点的高，即φa>φb，故选项A 错误;由图1 中等势面的分布得电场线的分布情况如图2 所示，可知a 点电场线密集，场强大，即Ea>Eb，故选项B 错误;液滴的重力不计，根据牛顿第二定律可知，液滴的加速度为a= ，因Ea>Eb，可得加速度aa>ab，故选项C 错误;电场力向右对液滴做正功，液滴电势能减小，故液滴在a点的电势能比在b点的电势能大，即Epa>Epb，故选项D 正确。
带电粒子在电场中运动轨迹与电场线、等势面类问题
由粒子的轨迹为曲线， 合力（只受电场力） 指向轨迹凹的一侧， 又要沿电场线切线方向， 可知粒子所受电场力的方向偏向右，因粒子带负电，故 电场线方向偏向左，由沿电场线方向电势降低，可知 φN <φM，E pM <E pN 。
N 点电场线比 M 点密，故场强 E M <E N ， 由加速度 a ＝ qE/m 可知 a M <a N 。
粒子若从 N 点运动到 M 点，电场力做正功，动能增加，故v M >v N ，电势能减小E pM <E pN ，综上所述，选项 D 正确。
例 2. 如图所示，虚线 a 、b 、c 代表某一电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差 相等，实线为一带正电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P 、 R 、Q 是 这条轨迹上的三点， 其中 R 在等势面 b 上。
下列判断正确的是 （A. 三个等势面中， c 的电势最低 静电场专题｜带电粒子在电场中运动轨迹与电场线、等势面类问题1. 曲线运动合力的方向指向轨迹凹的一侧， 正电荷受电场力方向与场强方向相同， 负电荷 受电场力方向与场强方向相反（电场线的切线方向，与等势面垂直）。
直线运动的合力 方向与运动方向在同一直线上。
2. 同一电荷在电场线（或等势面）密集处场强大，受到的电场力大，产生的加速度大， 反之亦然。
3. 假设带电粒子从一点到另一点， 看电场力的方向与速度方向的夹角， 判断电场力做功情 况，电场力做正功，电势能减少，动能增加 ;电场力做负功，电势能增加，动能减少。
4. 沿电场线的方向，电势降低。
例 1. （2018·天津卷 ·3）如图所示，实线表示某电场的电场线 （ 方向未标出 ），虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹， 设 M 点和 N 点的电势分别为 φM 、φN ，粒子在 M和 N 时加速度大小分别为 列判断正确的是（ ）a M 、a N ，速度大小分别为 A.v M <v N ， a M <a NB. v M < v N ， φM <φNC.φM < φN ， E p M < E pND.a M <a N ， E pM < E pN ）B. 带电粒子在P 点的电势能比在Q 点的大C. 带电粒子在P 点的动能与电势能之和比在Q 点的小D. 带电粒子在R 点的加速度方向垂直于等势面b由粒子的轨迹为曲线，合力（只受电场力）指向轨迹凹的一侧，又要垂直于等势面，可知粒子所受电场力的方向偏向下，因粒子带正电，电场线垂直于等势面，故加速度垂直于等势面电场线方向从上到下，由沿电场线方向电势降低， c 的电势最低， a 的电势最高。
热点集训 电场线(等势面)与运动轨迹综合问题
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高三大一轮复习学案
4．(多选)如图所示，虚线为某一带电粒子只在电场力作用下 的运动轨迹，M、N为运动轨迹上两点，下列说法中正确的是 ( )
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A．如果实线表示电场线，则该粒子在M点的动能一定小于 在N点的动能 B．如果实线表示等势面，则该粒子在M点的动能一定小于 在N点的动能 C．不论实线表示电场线还是等势面，粒子在M点的加速度 一定小于在N点的加速度 D．不论实线表示电场线还是等势面，都不能确定M、N两 点电势高低关系，但能确定该粒子所带电荷的正负
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8．如图所示，直线MN是某电场中的一条电场线(方向未画 出)．虚线是一带电的粒子只在电场力的作用下，由a到b的运动 轨迹，轨迹为一抛物线．下列判断正确的是( )
A．电场线MN的方向一定是由N指向M B．带电粒子由a运动到b的过程中动能一定逐渐减小 C．带电粒子在a点的电势能一定大于在b点的电势能 D．带电粒子在a点的加速度一定大于在b点的加速度
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解析：选D.由于电场力的方向与电场线的切线方向相同，从 题图中可以看出粒子在a点时速度的方向与电场线的方向之间的 夹角大于90° ，所以在a点的附近，电场力做负功，所以粒子的动 能先减小，选项A错误；在a点的附近，电场力做负功，根据电场 力做功与电势能的关系知粒子的电势能在a点的附近先增大，选 项B错误；从题图中可得，沿电场方向d点离负极板更近一些，所 以a点的电势一定高于d点的电势，正电荷在a点的电势能大于在d 点的电势能，选项C错误；
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解析：选AC.如果实线是电场线，做曲线运动的粒子受到的 合力指向曲线的凹侧，从M到N电场力做正功，动能增加，选项 A正确；如果实线表示等势面，粒子从M到N电场力做负功，动 能减少，选项B错误；无论实线表示电场线还是等势面，N点比 M点的线要密，所以粒子在N点受到的电场力大，加速度也大， 选项C正确；无论实线表示电场线还是等势面，不能确定M、N 两点间电势高低关系，也不能确定该粒子所带电荷的正负，选项 D错误．
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解析：选C.由于带电粒子的电性不确定，所以电场线的方向 不确定，A错误；带电粒子由a运动到b的过程中，只受电场力的 作用，由轨迹的弯曲方向知电场力做正功，电势能减小，动能增 加，故B错误、C正确；由于仅给出一条电场线，电场强度的大 小关系不确定，D错误．
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解析：选CD.物体做曲线运动时，合力方向指向轨迹的凹
侧，说明粒子带正电，A错误；由库仑定律F＝k
q1q2 r2
知离圆心越
远，粒子所受的力越小，B错误；粒子从b点到c点过程中，静电
力做正功，电势能减小，C正确；点电荷的等势面与虚线重合，
依题意得Uab>Ubc又电场力做功W＝qU，则Wab>Wbc，由动能定理 得粒子由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化，D正
C．不论实线表示电场线还是等势面，粒子在M点的加速度 一定小于在N点的加速度
D．不论实线表示电场线还是等势面，都不能确定M、N两 点电势高低关系，但能确定该粒子所带电荷的正负
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解析：选AC.如果实线是电场线，做曲线运动的粒子受到的 合力指向曲线的凹侧，从M到N电场力做正功，动能增加，选项 A正确；如果实线表示等势面，粒子从M到N电场力做负功，动 能减少，选项B错误；无论实线表示电场线还是等势面，N点比 M点的线要密，所以粒子在N点受到的电场力大，加速度也大， 选项C正确；无论实线表示电场线还是等势面，不能确定M、N 两点间电势高低关系，也不能确定该粒子所带电荷的正负，选项 D错误．
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5．(2016·山东潍坊一模)(多选)位于正方形四角上的四个等量 点电荷的电场线分布如图所示，ab、cd分别是正方形两条边的中 垂线，O点为中垂线的交点，P、Q分别为cd、ab上的点．则下列 说法正确的是( )
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A．P、O两点的电势关系为φP＝φ0 B．P、Q两点电场强度的大小关系为EQ<EP C．若在O点放一正点电荷，则该正点电荷受到的电场力不 为零 D．若将某一负电荷由P点沿着图中曲线PQ移到Q点，电场 力做负功
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1．如图所示，实线是匀强电场的电场线，带电粒子q1、q2分 别从A、C两点以初速度v垂直射入电场，其运动轨迹分别是图中 的ABC、CDA.已知q1带正电，不计粒子重力．则下列说法中正确 的是( )
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A．q2也带正电 B．A点的电势低于C点的电势 C．电场力对q1做正功，对q2做负功 D．q1、q2的电势能均减小 解析：选D.电场力指向轨迹的内侧，由q1带正电知：q2带负 电，选项A错；电场强度方向水平向右，A点的电势高于C点的电 势，选项B错；电场力对q1和q2均做正功，电势能均减小，选项D 对，C错．
高三大一轮复习学案 热点集训六 电场线(等势面)与运动轨迹综合问题
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以电场线或等势线与带电粒子的运动相结合的题目是高考 的热点，以选择题为主.解决此类问题的关键是找出带电粒 子在某一位置处所受的电场力的方向、速度的方向以及轨迹 的弯曲方向，然后运用物体做曲线运动的条件及功能关系进 行相关的判断.
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2．如图所示．图中的虚线为某点电荷电场中的一条等势 线，实线为带电粒子的运动轨迹，粒子从A运动到B，若只受电 场力作用，由此可以判断( )
A．粒子带正电 B．粒子的速度增大 C．粒子的电势能增大 D．轨迹上A点电势高于B点电势
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解析：选C.作出运动轨迹与等势线的交点处的电场线，由于电 场线垂直于等势线，电场力的方向平行于电场线的切线方向且指 向运动轨迹凹的一侧，由此可知粒子所受的电场力方向与速度的 方向夹角大于90°，因此电场力对粒子做负 功，粒子的动能减小，速度减小，电势能增 大，电场的方向不能确定，因此粒子的电性 不能确定，因而电势高低不能确定，A、 B、D项错误；C项正确．
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3.(多选)图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一 带正电的点电荷．一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒 子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的 交点．则该粒子( )
A．带负电 B．在c点受力最大 C．在b点的电势能大于在c点的电势能 D．由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化
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6．(2016·四川乐山二模)相距很近的一对带等量异号电荷的 平行金属板，它们之间的电场除边缘外，可看做匀强电场，其电 场线分布如图所示．一个带电粒子沿图中轨迹穿过该电场，则从 a运动到d的过程中( )
A．粒子的速度一直在增大 B．粒子的电势能一直在减小 C．粒子在a点的电势能比在d点低 D．粒子的加速度先增大再不变后变小
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8．如图所示，直线MN是某电场中的一条电场线(方向未画 出)．虚线是一带电的粒子只在电场力的作用下，由a到b的运动 轨迹，轨迹为一抛物线．下列判断正确的是( )
A．电场线MN的方向一定是由N指向M B．带电粒子由a运动到b的过程中动能一定逐渐减小 C．带电粒子在a点的电势能一定大于在b点的电势能 D．带电粒子在a点的加速度一定大于在b点的加速度
A．|Wab|＝|Wbc| B．|Wab|＜|Wbc| C．粒子由a点到b点，动能减少 D．a点的电势较b点的电势低
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解析：选C.由等量异种点电荷的电场线特点可知靠近电荷处 电场强度大，由类比公式U＝Ed知|Uab|＞|Ubc|，而W＝qU，所以 |Wab|＞|Wbc|，则A、B均错误；从带负电粒子的运动轨迹可知该 粒子从a点到c点受到大体向左的作用力，故左侧为正电荷，从左 向右电势降低，则D错误；粒子由a点到b点，电场力做负功，电 势能增加，动能减少，则C正确．
确．
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4．(多选)如图所示，虚线为某一带电粒子只在电场力作用下 的运动轨迹，M、N为运动轨迹上两点，下列说法中正确的是 ()
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A．如果实线表示电场线，则该粒子在M点的动能一定小于 在N点的动能
B．如果实线表示等势面，则该粒子在M点的动能一定小于 在N点的动能
知识回顾 Knowledge Review
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放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
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电场线的疏密表示电场的强弱，从题图中可知，b点附近的电场 线最密，所以b点的场强最大，大于a点和d点的场强，所以粒子 在从a到d的过程中，受到的电场力先增大再不变后减小，根据牛 顿第二定律，粒子的加速度先增大再不变后减小，选项D正确．
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7．如图所示，在两等量异种点电荷连线上有D、E、F三 点，且DE＝EF.K、M、L分别为过D、E、F三点的等势面．一不 计重力的带负电粒子，从a点射入电场，运动轨迹如图中实线所 示，以|Wab|表示该粒子从a点到b点电场力做功的数值，以|Wbc|表 示该粒子从b点到c点电场力做功的数值，则( )
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解析：选AB.根据电场叠加原理，由题图可知ab、cd两中垂 线上各点的电势都为零，所以P、O两点的电势相等，选项A正 确；电场线的疏密表示场强的大小，根据题图知EP>EQ，选项B 正确；四个点电荷在O点产生的电场相互抵消，场强为零，故在 O点放一正点电荷，则该正点电荷受到的电场力为零，选项C错 误；P、Q电势相等，若将某一负电荷由P点沿着题图中曲线PQ 移到Q点，电场力做功为零，选项D错误．