协方差传播律当σxy=时表示这两个观测值的误差之间互不影响
第三章 协方差传播率及权
xy E( x y )
• 式中 x E( X ) X 和 真误差。
y E(Y ) Y
分别是 X和Y的
• 协方差则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理 论平均值，即 lim [ x y ] lim 1 ( xy x n n
n n
ˆ xy [ x y ] n
12 0 2 0 2 Dxx 0 0 0 0 2 n
4.互协方差阵
设有观测值向量 Y。 为 和 r ,1
X n ,1
X
n ,1
和
Y
r ,1
，它们的数学期望分别
D XY DYY
令：
X Z Y
在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角 度、方向和三角高程测量求得的高差等，都认为 是独立观测值。 一般来说，独立观测值的各个函数之间是不独立 的，或者说是相关的，因而它们是相关观测值。 例如，当一个测站上的水平方向观测值是独立观 测值时，由这些方向值所算得的相邻角度就是相 关观测值；又如，三角网或导线网中根据观测角 度和边长求得的各点的坐标也是相关观测值。
2 r
D XY
X 1Y1 X Y 21 X nY1
XY X Y
1 2
2 2
X Y
n 2
X 1Yr X 2Yr X nYr
T DYX DXY
若有 X 的
t 个线性函数：
Z 1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k 2 n X n k 20 Z t k t1 X 1 k t 2 X 2 k tn X n k t 0
平差知识点总结
平差知识点总结(总10页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanY One 1-CAL-本页仅作为文档封面，使甬请直接删除测量平差知识点观测误差包括：粗差、系统误差、偶然误差。
粗差：即粗大误差，或者说是一种大量级的误观测差，是由观测过程中的差错造成的。
发现粗差的方法：进行必要的重复测量或多余观测，采用必要而又严格的检核、验算等，发现后舍弃或重测。
系统误差：在相同条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号表现出一致性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为一常数，这种误差称为系统误差。
消除或削弱的方法:采取合理的操作程序（正、倒镜,中间法，对向观测等）；用公式改正，即加改正裁（如钢尺量距时的尺长误差等）。
偶然误差：在相同条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出偶然性，即就单个误差而言，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差，或者随机误差。
采臥措施：处理带仔偶然误差的观测值，就是木课程的内容，也叫做测量平差。
偶然谋差又称随机误差，有以I、•四个特性：1）一定观测条件下，误差绝对值有一泄限值（有限性）；2）绝对•值较小的课差比绝对值较人的课差出现概率人（渐降性）：3）绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）；4）偶然谋差的数学期望为零（抵偿性）。
衡量精度的指标有五个，分别眉中矗、平均矗、或然i灵差、极限i灵差以及相对中谋差。
其中中矗和极限误差以及相对中保差是工程測量中常用的指标。
5、相对谋差颠差、屮促差、极限促差等指标，对于菜些观测结果，有时还•侮全表达观测结果的好坏，例如，分别丈1000m及500⑴的两段距离，它们的中课差均为±2cn】，虽然两者■的中误差相同，但就M位长度而言，两者精度并彳、相同。
显然询耆的郴对蒂度比后者耍高。
一般:而言，一些与长度有关的观测俺或其函数值，单纯用中误苣还不能区分出蒂度的高低，所以常用相对课差。
第2章协方差传播律
2、等精度独立观测三角形三内角，若已知观测值的方差m， 则由三个平差值构成的向量的精度如何？
ˆ L （L L L 1800） L 1 1 1 2 3 ˆ L 2 ˆ L 3 1 3 1 L2 （L1 L2 L3 1800） 3 1 L3 （L1 L2 L3 1800） 3
若有函数：
ˆ L 1（L L L 1800） L 1 1 2 3 3 1 ˆ L 1（L L L 1800） L 2 2 2 3 3 1 ˆ L 1（L L L 1800） L 3 3 2 3 3 1
T ˆ L ˆ L ˆ L ˆ ，试求 D LL 并记 L ˆˆ 1 2 3
0
求其函数的协因数阵以及互协因数阵，即
QYY ? QZZ ? QYZ ?
下面由协方差传播律来导出协因数传播律
若：Y FX F 0 ,且QXX已知。
则：DYY FDXX F T
2 又因：DXX 0 Q XX 2 DYY 0 QYY
2 2 故： 0 QYY FDXX F T F 0 QXX F T
F12 F22 Fr 2
F1n F10 F F2 n , 0 20 F r 1 Frn Fr 0
则X的t个线性函数式可写为:
r 1
Y F X F0
r n n 1
r 1
同样,根据协方差阵的定义可得Y的协方差阵为:
E (CX ) CE ( X )
3、设有随机变量X和Y，则 E( X Y ) E( X ) E(Y ) 推广之，则有 E( X X X ) E( X ) E( X ) E( X ) 4、若随机变量X、Y相互独立，则有
测量不确定度试题
测量不确定度基本知识培训测验题李正东编姓名一．填空题成绩1．在一定的条件下事物的因果关系是确定的事件被称为事件，而在一定的条件下结果不可预知的事件被称为事件，也称事件。
2．随机变量具有的二个特点是性和性。
3．随机变量的特征值包括、、和等。
4．表示随机变量本身大小的取值中心，也称。
其估计值为一系列测量结果的。
5．测量误差是和之差，测量误差也称之为误差。
6．相对误差是除以所得之商。
7．误差通常按其性质和产生的原因，可分为误差、误差和误差三类。
8．在同一量的多次测量过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量，被称之为误差。
9．在同一量的多次测量过程中，以不可预知的方式变化的测量误差分量，被称之为误差。
10．给定条件下，误差明显超出了预期值，被称之为误差，或称误差。
11．为消除或减小测量结果的系统误差，应将值与未修正的测量结果用法相加。
12．在相同的测量条件下，增加测量次数，取其平均值可以减小测量结果的误差，但不能消除误差。
13．测量不确定度是表征合理地赋予被测量之值的，与测量结果相关联的。
14．标准不确定度是以表示的测量不确定度，数学符号为。
15．评定标准不确定度的方法有两类：A类评定是用对一列观测值进行的方法来评定标准不确定度；B类评定是用的方法来评定标准不确定度。
任何一个不确定度分量既可以用A类评定法评定，也可以用B类评定法评定。
16．引起测量不确定度的因素可分为影响和影响两类。
但不要因此把用A类方法评定的不确定度错误地称为不确定度，亦不要把用B类方法评定不确定度错误地称为不确定度。
17．当测量结果是由若干个其它量的值求得时，按其它各量的和算得的标准不确定度，被称之为不确定度，它是测量结果的估计值，数学符号为。
18．计算合成标准不确定度应按定律计算，当各输入量彼此不相关时，协方差u ，式中的被称为灵敏度系数。
项等于，其数学表达式为c该数值的大小反映了对合成标准不确定度的影响程度。
19．为使测量结果以更高的置信概率落在某量值区间内，将合成标准不确定度乘以2~3的数字因子，该因子称之为因子，乘以该因子后的不确定度称之为不确定度，数学符号为。
4第三章 协方差传播律_第二部分
S
sin( 0 )] [
2
S
2 cos( 0 )]2 }
S
2 2
2
点位误差另一个计算公式：
2 c 2 s
S
2 2
2
§3 非线性函数的广义传播律
求函数协方差的步骤小结
38
§4 广义传播律在测量中的应用
① ② ③ ④
水准测量的精度 一个量独立等精度观测算术中数的中误差 三角高程测量的精度 距离丈量的精度
广义传播律
26
§3 非线性函数的广义传播律
设有观测值为
n×1
X
的非线性函数为
Y F ( X ) F ( X1 , X 2 , X 3 )
且已知 X 的协方差阵 DXX 求 Y 的方差阵 DYY
解此类问题的关键
？
27
将非线性方程线性化，转化成与线性问题
§3 非线性函数的广义传播律 如何线性化？
2 3
§4 广义传播律在测量中的应用
① ② ③ ④
水准测量的精度 一个量独立等精度观测算术中数的中误差 三角高程测量的精度 距离丈量的精度
49 49
§4 广义传播律在测量中的应用
二、一个量独立等精度观测算术中数的中误差
算数中数在测量中有着十分广
泛的应用
50 50
§4 广义传播律在测量中的应用
二、一个量独立等精度观测算术中数的中误差
L1 402912
L2 402910
A
L3 402911 L4 402913
套方差传播公式得：
我们需要的值：
用协方差传播定律推导
3-协方差传播律及权
Xn
§3-2 协方差传播律
1. 误差的传递
（2）非线性函数误差的传递
%
f ( x1 , x2 ,L
, xn
)
f x1
x1
f x2
x2
L
f xn
xn
令
f X i
ki ,
i 1,2,L n
则非线性函数误差的传递公式为：
Y
注意：求偏 导后，代入观 测值xi
Y k1 X1 k2 X 2 ... kn Xn
f1
Z1
Z
2
M
Z
t
X 1 f2 X 1 L
ft
X1
f1 X 2 f2 X 2 L
ft X 2
L
L O L
f1
X
n
f2 X n
L
ft
X1
X
2
M
X
n
X n
Z Z X
t1
X n1
tn
Z
Z
t1
X
tn
X n1
例题：测定待定点G，需测量水平角β和边长s
1. 误差的传递
（3）函数向量误差的传递 若有t 个线性函数
Z1 k11 X1 k12 X 2 ... k1n X n k10
Z2
k21 X1
k22 X 2
...
k2n Xn
k20
... ... ... ...
Zt kt1 X1 kt 2 X 2 ... ktn X n kt0
db1
S3 a2
da2
S3 b2
db2
S3 a3
da3
S3 b3
db3
S3 cot a1da1 cot b1db1 cot a2da2 cot b2db2 cot a3da3 cot b3db3
习题1-协方差传播律
目录
• 协方差传播律的基本概念 • 协方差传播律的推导过程 • 协方差传播律的实例分析 • 协方差传播律的优化方法 • 协方差传播律的未来研究方向
01
协方差传播律的基本概念
定义与公式
定义
协方差传播律是描述测量误差传递规 律的数学公式，用于评估测量误差对 估计量的影响。
公式
协方差传播律的公式为： cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]，其中X和 Y是随机变量，EX和EY分别是X和Y的 期望值。
4. 对优化后的算法进行测试和验证，确保其正确性和有 效性。
优化效果评估
评估指标
计算精度、计算效率、稳定性。
评估方法
通过对比优化前后的计算结果，分析优化后的算法在 计算精度、计算效率和稳定性方面的表现。
评估结果
经过优化，协方差传播律的计算精度和效率得到显著 提高，稳定性也得到增强。
05
协方差传播律的未来研究方 向
02
协方差传播律的推导过程
推导步骤与公式
推导步骤
协方差传播律的推导过程包括随机变量的定义、期望值的计算、方差的计算、协方差的定义和性质、 协方差与期望值的运算性质等步骤。
公式
协方差传播律的公式为$Delta X_i = E[X_i] cdot Delta Y_i$，其中$X_i$和$Y_i$是随机变量，$Delta X_i$和$Delta Y_i$是$X_i$和$Y_i$的增量，$E[X_i]$是$X_i$的期望值。
总结词
神经网络模型是一种复杂的机器学习模型， 其预测结果也可以通过协方差传播律进行解 释。
详细描述
神经网络模型是一种模拟人类神经系统的机 器学习模型，它由多个神经元组成，通过训 练来学习输入数据和目标输出之间的关系。 在神经网络模型中，协方差传播律可以用来 解释预测结果的方差，并考虑到输入特征和 输出结果之间的相关性。
协方差传播律是研究观测值方差与观测值函数 方差之间的协方
3、协方差与相关 Covariance and Correlation
协方差covariance
协方差是用数学期望来定义的。设有观测值向量X和Y，协方差好用来表示两个观 测量之间误差相关关系的量，它们的协方差定义是：
σ xy = E[( X − E( X ))(Y − E(Y ))] σ xy = E(Δ x Δ y )
X
=
⎢⎢X ⎢#
2
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎥ ⎣Xn ⎦
=
K
1,n
X+
n,1
k0
1,1
对上式两边取数学期望：
E(Z ) = E(KX + k0 ) = KE( X ) + k0 = Kμ X + k0
误差理论与测量平差基础
北京建筑工北程京学建院筑大测学绘测工绘程学系院
对上式两边取数学期望：
E(Z) =
Z的方差为
⎤ ⎥ ⎥
⎢⎣σ 31
σ 23
σ
2 3
⎥⎦
2. 把线性函数写成矩阵形式
⎡ β1 ⎤
L = β1 + β2 + β3 = [1
1
1]
⎢ ⎢
β
2
⎥ ⎥
⎢⎣β3 ⎥⎦
3. 应用方差协方差传播律计算函数的方差
⎡1.42 1 1 ⎤ ⎡1⎤
[ DLL
=
σ
2 L
= KDββ K T
=
1
1
1]
⎢ ⎢
1
1.42
1
⎥ ⎥
D XX
=
⎢⎢⎡σσXX22 X1 1
⎢"
⎢
⎢⎣σ X n X1
σ X1X2 σ2
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t ,1
kt
0
DZZ K DXX KT
t ,1
t,n n,n n,t
2、多个观测值线性函数的协方差阵
设另外还有X的r个线性函数： Y 1 = f11X1 +f12X2 + … + f1nXn + f10 Y 2 = f21X1 + f22X2 + … + f2nXn + f20 ……………………………………… Y r = fr1X1 + fr2X2 + … + frrXn + fr0
1,1
例题1
设X为独立观测变量L1，L2，L3的函数
X
1 7
L1
2 7
L2
4 7
L3
已知L1，L2，L3的中误差1= 3mm， 2 = 2mm，3 = 1mm，
求函数的中误差 X
解：因为L1，L2，L3是独立的观测变量，按协方差传播律，
2 X
（
1 7
）212
（2 7
1 2
,
D
2 1
21
12 2 2
1.96
1
1 1.96
B
根据协方差传播律，
β1
2 x
1
1 1221
12 2 2
1 1
1.92
A
β2
α
x
x 1.4''
即得 DZZ = K DXX KT 协方差传播
DZZ
2 Z
k1212
k22
2 2
kn2
2 n
2k1k212
2k1k313
2kn1kn n1,n
1,1
当各个观测量之间是相互独立的，那么协方 差为0，因此
DZZ
2 Z
k1212
k22
2 2
kn2
2 n
）2
2 2
（
4 7
）2
2 3
0.84
X 0.9mm
例题2
设在测站A上，已知BAC ，无误差，而观测角1，2的中
误差1
2
1.4 '，协方差12
1秒2，求角x的中误差
。
x
解：x 1 2 1
1
1 2
• 表示这两个观测值的误差之间互不影响，或者
说，它们的误差是不相关的
• 称这些观测值为不相关的观测值 • 也称为独立观测值；
如果σxy ≠0
• 表示它们的误差是相关的 • 称这些观测值为相关观测值 • 也称为不独立观测值。
对于正态分布而言
• “不相关”与“独立”是等价的。
即
• σxy = E [△X△Y]= E（△X）E（△Y）= 0
例如：在一个三角形中，观测了三个角 L1,L2,，L3其 闭合差和经经闭合差分配后所得到的各角平均值为：
L1 ,L2 ,L3
w=180 -(L1+L2 +L3 )
例如：侧方交会
S AC
S0
sin L1 sin L2
Li
=Li
-
1 3
w
C L2
AC 0 (180 -L1-L2 )
• 式中 (X - E（X）)和(Y - E（Y）)分别为X和Y的真误差△X和△Y，
σxy = E [△X△Y] =lim[△X△Y]/n =lim(△X1△Y1 + △X2△Y2 + … + △Xn△Yn)/n
其估值为：
ˆ xy
x y n
3-1协方差传播律
当σxy = 0时
假定有n个不同精度的相关观测值，它们的数 学期望和方差-协方差为：
x1
X
x2
xn
2 x1
DXX
x2 x1
xnx2
x1x2 2
xn
xn x2
1
x
2
E
x
n
x1xn
Z K X K0
t,1 t,n n,1
t ,1
2、多个观测值线性函数的协方差阵
Z K Z1
Z
2
k11 k21
t,1 t,n
k12 k22
Zt
kt1
kt 2
K k11n
k2n
k10
0
k20
ktn
C
2、多个观测值线性函数的协方差阵
若有X的t个线性函数： Z 1 = k11X1 + k12X2 + … + k1nXn + k10 Z 2 = k21X1 + k22X2 + … + k2nXn + k20 ……………………………………… Z t = kt1X1 + kt2X2 + … + ktnXn + kt0
x2xn
E[( X
x )( X
x )T
]
2 xn
DXX称为X的方差-协方差阵，简称为协方差阵
1、观测值线性函数的方差
x1
X
x2
xn
1 E X1
X
2
E
X
2
EX
n
E
X
n
DXX
2121
12
2 2
n1 n2
11n 2n
E[( X
x
)(
X
x
)T
]
2 n
1、观测值线性函数的方差
计算Z的方差DZZ
• Z = K X + k0 • E（Z）=E（KX+k0）= KE（X）+k0
数学期望的传播：
已知随机变量的数学期望求其函数的数学期望。
1、E(C) C,C为一常数 2、E(CX)=CE(X),C为一常数，X为随机变量 3、E(X+Y)=E(X)+E(Y),X,Y,为随机变量 4、E(X,Y)=E(X)E(Y),X,Y相互独立的随机变量
3-1协方差传播律
设有观测值X和Y，则它们的协方差被定义为： σxy = E [(X - E（X）) (Y - E（Y）)]
= K μ0+k0
• DZZ =σ2ZZ
= E（Z）= E [（Z-E（Z））（Z-E（Z））T ]
= E [ (KX-KμX)(KX-KμX)T ] = E [ K(X-μX)(X-μX)TKT ] = K E [ (X-μX)(X-μX)T ]KT = K DXX KT
1、观测值线性函数的方差
xC xA SAC cos AC yC yA SAC sin AC A
α0
L1
B
S0
第三章 误差传播定律及权
主要内容
协方差的传播及应用 权与定权的方法 协因数及协因数传播律 有真误差计算中误差及实际应用
数学期望的传播
数学期望的定义
E(x) xf (x)dx