高考数学题型全归纳数列求和的若干常用方法

数列求和的若干常用方法
数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。

除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。

本文就此总结如下，供参考。

一、分组求和法
所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

例1．数列{an}的前n 项和12-=n n a S ，数列{bn}满
)(,311*
+∈+==N n b a b b n n n . （Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n 项和Tn 。

解析：（Ⅰ）由
12,,1211-=∴∈-=++*
n n n n a S N n a S ， 两式相减得：
,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同，
,
21
=∴
+n
n a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列.
（Ⅱ）
,22,2111
11-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a
,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得：
=.
12222121-+=+--n n n n
已知等差数列
{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求：.
2
42n
a a a +++
解析：首先由
3145291010110=⇒=⨯⨯+
=d d
a S 则：
二、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）
11
1)1(1+-
=+=n n n n a n （2）
)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （3）
]
)2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n 等。

例3. 在数列{an}中，11211++
⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又
12+⋅=n n n a a b ， 求数列{bn}的前n 项的和.
解析： ∵
211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=
∴
)
11
1(82122+-=+⋅=
n n n n b n
∴ 数列{bn}的前n 项和
＝
)
111(8+-
n ＝ 18+n n
例4．设｛an ｝是正数组成的数列，其前n 项和为Sn ，并且对所有自然数n ，an 与2的等差中项等于Sn 与2的等比中项.
(1)写出数列｛an ｝的前三项；(2)求数列｛an ｝的通项公式(写出推证过程)； (3)令bn=2
1
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++1n n n 1n a a a a (n ∈N)，求：b1+b2+…+bn -n.
解析：(1)略；(2) an=4n-2.； (3)令cn=bn-1, 则cn=2
1
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++2a a a a 1n n
n 1n =21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛--+11n 21n 211n 21n 2 =1n 211n 21+-- b1+b2+…+bn -n=c1+c2+…+cn
=1n 2111n 211n 21
5131311+-
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-
评析：一般地，若数列
{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：∑=+n
i i i
a
a 1
1
1
首
先考虑=∑=+n
i i i a a 11
1
∑=+-n
i i i
a a d 11)11(1则∑=+n
i i i a a 111=1111)11(1++=-n n a a n a a d 。

下列求和：∑
=++n
i i i a a 1
1
1 也可用裂项求和法。

错位相减法 设数列
{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前项和n S 求解，均可用错位
相减法。

例 5.已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令
)
(lg N n a a b n n n ∈⋅=， 求数列
{}n b 的前项和n S 。

解析： ①-②得：
a
na a a a S a n n n lg )()1(12+-+++=-
[]
n
n a
na n a a a S )1(1)1(lg 2
-+--=
∴。

例6．已知数列
{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a
（Ⅰ）略；（Ⅱ）令).(3R x a b n
n n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式. 解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）解：由
,323n
n n n n a b ==得 ,323)22(343212n
n n
n n S ⋅+-+⋅+⋅=- ① .323)22(34323132+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ②
将①式减去②式，得
.32)13(332)333(221
12++⋅--=⋅-++-=-n n n n n n n S 所以.
32)
31(31+⋅+-=n n n n S
四、组合化归法 例7.求和：)12)(1(532321++++⋅⋅+⋅⋅=n n n S n 。

解析：
)1(3)2)(1(2)342)(1(+-++=-++=n n n n n n n n a n
而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的求和问题了。

评析：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法。

逆序相加法 例8.设数列{}n a 是公差为d ，且首项为d a =0的等差数列，
求和：
n
n
n n n n C a C a C a S +++=+ 11001
解析：因为
n
n
n n n n C a C a C a S +++=+ 11001
评析：此类问题还可变换为探索题形：
已知数列{}n a 的前项和n S 12)1(+-=n n ，是否存在等差数列{}n b 使得 n
n
n n n n C b C b C b a +++= 2211对一切自然数n 都成立。

递推法
例6. 已知数列{}n a 的前项和n S 与n a 满足：
21
,,-
n n n S S a )2(≥n 成等比数列，且11=a ，
求数列
{}n a 的前项和n S 。

解析：由题意：1
2
),21(--=-=n n n n n n S S a S a S
评析：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列
{}n a 的前项
和
n S 的递推公式，是一种最佳解法。