数列题型与解题方法归纳总结
高中数学的归纳数列与排列组合的重要性质及解题方法总结
高中数学的归纳数列与排列组合的重要性质及解题方法总结在高中数学的学习中，归纳数列与排列组合是一类非常重要的概念和方法。
它们不仅在解决实际问题中起着重要作用，还在数学推理和证明中发挥着重要的作用。
本文将介绍归纳数列与排列组合的重要性质以及解题方法，并总结它们在高中数学中的应用。
一、归纳数列的重要性质及解题方法1. 等差数列和等差数列的通项公式等差数列是指数列中任意两项之差都相等的数列。
在解决等差数列问题时，可利用等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。
2. 等比数列和等比数列的通项公式等比数列是指数列中任意两项之比都相等的数列。
在解决等比数列问题时，可利用等比数列的通项公式：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的首项，r表示等比数列的公比。
3. 斐波那契数列及其性质斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前两项之和。
斐波那契数列在自然界中有着广泛的应用，如植物的叶子排列、螺旋形状等。
求解斐波那契数列问题时，可以利用递推关系式：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，Fn表示斐波那契数列的第n项，Fn-1表示斐波那契数列的第n-1项，Fn-2表示斐波那契数列的第n-2项。
二、排列组合的重要性质及解题方法1. 排列的计算方法排列是指从一组元素中选取一部分进行排列的方法。
在排列问题中，需要关注选取的元素个数、元素的排列顺序和元素是否可重复选取等因素。
排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n-m)!其中，A(n,m)表示从n个元素中选取m个元素进行排列的方法数，n!表示n的阶乘。
2. 组合的计算方法组合是指从一组元素中选取一部分进行组合的方法。
与排列不同，组合不考虑元素的排列顺序。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)其中，C(n,m)表示从n个元素中选取m个元素进行组合的方法数。
数学数列题型归纳解题方法
数列等差数列与等比数列1.根本量的思想：常设首项、〔公差〕比为根本量，借助于消元思想与解方程组思想等。
转化为“根本量〞是解决问题的根本方法。
2.等差数列与等比数列的联系1〕假设数列{}na是等差数列，那么数列}{n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}na的公差。
〔a>0且a≠1〕；2〕假设数列{}na是等比数列，且na>，那么数列{}loga na是等差数列，公差为loga q，其中a是常数且0,1a a>≠，q是{}n a的公比。
3〕假设{}na既是等差数列又是等比数列,那么{}na是非零常数数列。
3.等差与等比数列的比拟【题型1】等差数列与等比数列的联系例1 〔2010文16〕{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.〔Ⅰ〕求数列{an}的通项;〔Ⅱ〕求数列{2an}的前n项和Sn.解：〔Ⅰ〕由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d+＝1812dd++，解得d＝1，d＝0〔舍去〕，故{an}的通项an＝1+〔n－1〕×1＝n. (Ⅱ)由〔Ⅰ〕知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+…+2n=2(12)12n--=2n+1-2.小结与拓展：数列{}na是等差数列，那么数列}{n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}na的公差。
〔a>0且a≠1〕.【题型2】与“前n项和Sn与通项an〞、常用求通项公式的结合例2数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应一样，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列．求数列{an}与{bn}的通项公式。
解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n(n∈N*)①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8(n－1)(n∈N*)②①－②得2n－1an＝8，求得an＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，∴an＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2，∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，法一〔迭代法〕bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8) ＝n2－7n＋14(n∈N*)．法二〔累加法〕即bn －bn －1＝2n －8， bn －1－bn －2＝2n －10， …b3－b2＝－2， b2－b1＝－4， b1＝8，相加得bn ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8) ＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n2－7n ＋14(n ∈N*)．小结与拓展：1〕在数列{an}中，前n 项和Sn 与通项an 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n .是重要考点；2〕韦达定理应引起重视；3〕迭代法、累加法与累乘法是求数列通项公式的常用方法。
数列知识点总结及例题讲解
人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，….3.数列的一般形式：aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。
是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。
与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是； 1.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第召项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
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知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）2434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结数列是数学中一个重要的概念，也是数学中常见的题型之一。
数列题目通常会给出一定的条件和规律，要求我们找出数列的通项公式、前n项和等相关内容。
下面对数列题型及解题方法进行归纳总结。
一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一列数，用通项公式a_n表示。
2. 首项和公差：对于等差数列，首项是指数列的第一个数，公差是指相邻两项之间的差值。
通常用a1表示首项，d表示公差。
3. 首项和公比：对于等比数列，首项是指数列的第一个数，公比是指相邻两项之间的比值。
通常用a1表示首项，r表示公比。
二、等差数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公差，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 + (n-1)d。
（2）已知相邻两项的值，求公差。
根据 a_(n+1) - a_n = d，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公差。
根据 a_n = a1 + (n-1)d，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公差和项数，求前n项和。
使用公式S_n= (n/2)(a1 + a_n)。
（2）已知首项、末项和项数，求公差。
由于S_n =(n/2)(a1 + a_n)，可以列方程求解。
（3）已知首项、公差和前n项和，求项数。
可以列方程并解出项数。
3. 找满足条件的项数：（1）已知首项、公差和条件，求满足条件的项数。
可以列方程，并解出项数。
三、等比数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公比，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 * r^(n-1)。
（2）已知相邻两项的值，求公比。
根据 a_n / a_(n-1) = r，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公比。
根据 a_n = a1 * r^(n-1)，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公比和项数，求前n项和。
使用公式S_n = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
高中数学数列方法及技巧
高中数学数列方法及技巧1高中数学数列方法和技巧一.公式法如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式.注意等比数列公示q的取值要分q=1和q≠1.二.倒序相加法如果一个数列的首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.三.错位相减法如果一个数列的各项和是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.四.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.用裂项相消法求和时应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也可能前面剩两项,后面也剩两项,前后剩余项是对称出现的.五.分组求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和然后相加减.2高中数学数列问题的答题技巧高中数列，有规律可循的类型无非就是两者，等差数列和等比数列，这两者的题目还是比较简单的，要把公式牢记住，求和，求项也都是比较简单的，公式的运用要熟悉。
题目常常不会如此简单容易，稍微加难一点的题目就是等差和等比数列的一些组合题，这里要采用的一些方法有错位相消法。
题目变化多端，往往出现的压轴题都是一些从来没有接触过的一些通项，有些甚至连通项也不给。
针对这两类，我认为应该积累以下的一些方法。
对于求和一类的题目，可以用柯西不等式，转化为等比数列再求和，分母的放缩，数学归纳法，转化为函数等方法等方法对于求通项一类的题目，可以采用先代入求值找规律，再数学归纳法验证，或是用累加法，累乘法都可以。
总之，每次碰到一道陌生的数列题，要进行总结，得出该类的解题方法，或者从中学会一种放缩方法，这对于以后很有帮助。
3高考数学解题方法解题过程要规范高考数学计算题要保证既对且全，全而规范。
应为高考数学计算题表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学试卷非智力因素失分的一大方面。
高中数学数列求解方法 (完整版)
高中数学数列解题方法总结类型一：)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）−−−−→解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。
解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： 211n a a n -=- 2n a n ∴=类型二：1()n n a f n a +=⋅ （()f n 可以求积）−−−−→解决方法累积法 例2、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。
解析：1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅123211143n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅+-21n =+ 又1a 也满足上式；21n a n ∴=+ *()n N ∈类型三：1(n n a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）−−−−→解决方法待定常数法 可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1Bt A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。
例3 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。
解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。
1231n n a -∴=⋅-类型四：()110n n n Aa Ba Ca +-++=⋅⋅≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0可将其转化为()()()112n n n n A a a a a n αβα+-+=+≥-----（*）的形式，列出方程组A B C αββα⋅-=⎧⎨-⋅=⎩,解出,;αβ还原到（*）式，则数列{}1n na a α++是以21a a α+为首项， A β为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出n a 。
数列题型及解题方法归纳总结
数列题型及解题方法归纳总结一、等差数列等差数列是指数列中的相邻项之差都相等的数列。
下面对等差数列的题型及解题方法进行归纳总结。
1. 求第n项的值设等差数列的首项为a，公差为d，第n项的值为an，则有公式：an = a + (n-1)d2. 求前n项和设等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，则有公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)3. 求公差已知等差数列的首项为a，第m项与第n项的和为s，则公差d的值可以通过以下公式计算得出：d = (sm - sn)/(m - n)4. 求项数已知等差数列的首项为a，公差为d，第n项的值为an，可以通过以下公式求解项数n：n = (an - a)/d + 15. 应用题解题思路在解等差数列应用题时，关键是要找到规律。
可以通过观察数列的特点，列出方程，再解方程求解。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻项之比都相等的数列。
下面对等比数列的题型及解题方法进行归纳总结。
1. 求第n项的值设等比数列的首项为a，公比为q，第n项的值为an，则有公式：an = a * q^(n-1)2. 求前n项和（当公比q不等于1时）设等比数列的首项为a，公比为q，前n项和为Sn，则有公式：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)3. 求前n项和（当公比q等于1时）当公比q等于1时，等比数列的前n项和为n * a。
4. 求公比已知等比数列的首项为a，第m项与第n项的比为r，则公比q的值可以通过以下公式计算得出：q = (an / am)^(1/(n-m))5. 求项数已知等比数列的首项为a，公比为q，第n项的值为an，可以通过以下公式求解项数n：n = log(an/a) / log(q)6. 应用题解题思路在解等比数列应用题时，关键是要找到规律。
可以通过观察数列的特点，列出方程，再解方程求解。
三、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第一、第二项为1，后续项为前两项之和的数列。
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知识框架掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公数列数列的概念两个基本数列数列的分类数列的通项公式-函数角度理解数列的递推关系f =『等差数列的定义a nI等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质a nA等比数列的定义等比数列-a n」=d(n 亠2)=a i (n - 1)da nS n■ am=2佝a n) = na i 豊“儿=ap a q(m n = p q)引=q(n_2) a n A等比数列的通项公式a n=a i q n°a i - a n q等比数列的求和公式S n等比数列的性质i —qn a i(q =i)a n a m = a p a q (m • n = p - q)a i(1 -q n) =-rq-(q")式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法i、求通项公式(i)观察法。
(2)由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
'公式法分组求和错位相减求和裂项求和倒序相加求和累加累积•归纳猜想证明分期付款数列的应用一八I其他数列求和(i)递推式为a n+i =a n+d 及a n+i =qa n(d，q 为常数) 例i、已知｛a n｝满足a n+i =a n+2 ，而且a i=i。
求a n。
例i、解•••a n+i-a n=2为常数「｛a n｝是首项为i，公差为2的等差数列• Gn=i+2 ( n-i ) 即a n=2n-ii例2、已知｛a n｝满足a n i a n，而a i=2，求a“ = ?命 1 2解是常数亚2是以2为首项，公比为+的等卜嗷列sLi2a n+i =a n +f (n )以n=1 , 2,•••,( n-1 )代入，可得n-1个等式累加而求 a n 。
⑶递推式为a n+1 =pa n +q (p , q 为常数)例 4、｛a *｝中，a 1 = 1 ,对于 n > 1 (n € N )有a n 二 3a n_< 2,求a *.--a n+1 -a n =4 3n-1-a n+1 =3a n +2 - - 3a n +2-a n =4 ・3(n-1 ),代入得(n-1 )个等式累加，即(a 2-a 1) +(a 3-a 2)+ ••+ (a n -a n-1)★ 说明 只要和f ( 1) +f (2) + ••卄(n-1 )是可求的，就可以由解法 由已知递推式得 a n+1 =3a n +2 , a n =3a n-1 +2。
两式相减： a n+1 -a n =3(2)递推式为 a n+i =a n +f (n ) (a n -a n-1 )1 已知｛a n ｝中a 「i , =可* 4 2彳， 4n -1 求a n .因此数列｛a n+1 -a n ｝是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1 = (3X 1+2 )解：由已知可知a n 1 -a n1(2n 1)(2n _1)1 2n 1-1=4a n =2 3n-1 -1解法上法得｛a n+1 -a n ｝是公比为 3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4 ,=-[Cl--)2L K 371 _____ 12u-3~2^-\a 3-a 2=4 3, a 4-a 3=4 32，…，a n -a n-1 =4 3n 2,二a1丄)=忙^2n 「14n -2n-1a n -ai =4 (1 + 3 +罗 + …+字7)等 式 累 加「•an=2 3n-1-1⑷递推式为a n+i =p a n+q n (p , q为常数)【例5】己知｛aj中，知二了弘+i = 〒纭+ (-)叫求耳略解在砧二扫+(扌厂啲两边乘以严得则S+i=W»+l,于是可得(CL + P = p:P解得Q, »a * P = -q 想于是｛a n+1- aa n｝是公比为B的等比数列，就转化为前面的类型2 1【例6】已知数列｛脸沖，日］二1, a2 =2,知二〒％+1 +乔,a n2 2b n ! -b n (6 -b n/) 由上题的解法，得：5=3-2(—)" /•3 3_ b n 3(1 ) n 2( 1)nan 二厂％)_2(3)★说明对于递推式a莎pRn+『，可两边除以(严，得量=4* +二引辅助数列叽，(心L得也斗⑴后用q q q q a q q 分析=p=-q2 i解在仏=j a n+l +勺兀两边减去W 得(5)递推式为a n pa n i qa n1思路：设a n pa n i ' qa n ,可以变形为S n 1 - S n = (a n - an 1 )( j_2 _ )2 2二 a n .1 = a n _ a n .1nJ2_ 1 + 1 a n 1- ？an 歹(6)递推式为S n 与a n 的关系式】 (n = l)厂 S“ (n>2)【例门 匚--1：丄丁-关系；(2)试用n 表示a *。
数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组 列求和。
上式两边同乘以 2n+1 得 2n+1 a n+1 =2n a n +2 则｛2%｝是公差为••2n a n = 2+ ( n-1 ) -2=2n的等差数列。
(a n+1 - mJ 是公比为-g ,百项为幻-列二啲等比数列此类型可利用益，转化为特殊数2、错项相减法：适用于差比数列(如果订」等差，阮等比，那么^nb n /叫做差比数列)即把每一项都乘以的公比q ,向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几一 2 q 一(ii)若已知S n=pn qn ,则当n取最靠近的非零自然数时S.最2p大；2、若等差数列订,的首项a^：：0 ,公差d 0 ,贝愉n项和S n有最小值a n岂0(i)若已知通项a n ,则S n最小二2亠0_ 2(ii)若已知S n = p n qn ,q则当n取最靠近的非零自然数时2p数列通项的求法：适用于数列1(其中＜：a/等小;可裂项为1a n an 1丄)an 1⑴公式法：①等差数列通项公式；⑵已知S n (即a1 a2 HIa「0( n=1)a n- Sn -S n_1,(n 一2)②等比数列通项公式。
a n = f(n))求a n ,用作差等差数列前n项和的最值问题：1'若等差数列'a n*的首项a1 0 ,公差d ： 0 ,则前n项和S n有最大值。
[a^0(i)若已知通项a n ,则S n最大；耳十兰0f(1),( n = 1).f(n-1)八)⑶已知条件中既有S n还有a n ,有时先求S n ,再求a* ；有时也可直接求⑷ 若a n* - a n = f(n) 求a n 用累加法a n = (a n - a n J • (a nd - a nd) ■ (a2 - aja1 (n _ 2)。
已知aiLa2_”“_an 二f(n)求a*,用作商法：a nan。
项，可求和。
S n最差)⑸已知 an -^ = f （n ）求 a n ,用累乘法：a n 亚 an ^ ^1| ―2 ai （n _ 2）。
a nan Jan _2ai⑹已知递推关系求—n ,用构造法（构造等差、等比数列）。
特别地，（1）形如a^ka ni b 、a n =ka n j ，b n （ k,b 为常数）的 递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求a n；形如a n =kam k n 的递推数列都可以除以 k n 得到一个等差数列后，再求a n 。
（2） 形如a na的递推数列都可以用倒数法求通项。
ka nJL+bk（3） 形如a n 1二a n 的递推数列都可以用对数法求通项。
（7）（理科）数学归纳法。
也是等差数列前（4）错位相减法 的通项相乘构成 导方法）.n 和公式的推导方法）.:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列 ，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 n 和公式的推 （5）裂项相消法 后相关联，那么常选用裂项相消法求和11 一丄•乡—1__ :如果数列的通项可 k k 1 (k 1)k1, ②n 1' n(n k) 111. . 2 2 ( )k 2 k-1 2 k-1 k 11 1 1 1k 2 (k-1)k k-1 k1 r 1 1 [-分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂 .常用裂项形式有：十 J ） • k'n n k 八1 1 n(n 1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n2)1 1(8)当遇到a n 1-a nj =小或a 口 =q 时， a n4分奇数项偶数项讨论 ，结果可能是分段形式数列求和的常用方法： （1） 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。
（2） 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将和式”中同类项” 先合并在一起，再运用公式法求和。
（3） 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项 与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法 ，发挥其共性的作用求和 （这------ = --- — -------(n 1)! n! (n 1)!'⑥ 2(, n 1「詁n)二 2:: 1 ：：22(、、n 「』n— 1)Vn+V^1 V n V n + 7^1、解题方法:求数列通项公式的常用方法：1、 公式法2、 由S n 求a n（n = 1 时，a^S 1， n_2时，a^ S^ S^1）3、求差（商）法如：，a n'满足1 a j •」^a2 -2 221〒a「2n 5 :::1解：n =1 时，1 a^2 1 5,二a j =14 21 1n _2时，一a1 2a2 -2 22-::2 得：丄a2na n」=2n -1 5 :::2：：1=2•- a n =2n 1••a n14 (n = 1) 一2n 1(n _2)［练习］数列d ［满足S n ■ Sn i ai =4，求a n（注意到a n・1二S n 1 —S n代入得:S n又S^4 ,二S堤等比数列,n -2 时，a n 二S n -S nj -3 •4n"4、叠乘法例如：数列4/中，a1=3, n +，求a n解.01• 01……电=」• 2……n- 1 ...去=」a1 a2 a n_1 2 3 n a1 n 又a1= 3，二a n= -3n5、等差型递推公式由a n-a n d=f (n)，a1=a0，求a n，用迭加法n _ 2时，a2-a1= f(2)…2 =f(3)两边相加，得：an - a n_1 = f( n)Jan 一务二f(2) f(3)……f (n)• a. = a。