数列题型与解题方法归纳总结

知识框架掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公

数列

数列

的概念

两个基

本数列

数列的分类

数列的通项公式-函数角度理解

数列的递推关系

f =

『等差数列的定义a n

I等差数列的通项公式

等差数列

等差数列的求和公式

等差数列的性质a n

A

等比数列的定义

等比数列

-a n」=d(n 亠2)

=a i (n - 1)d

a n

S n

■ am

=2佝a n) = na i 豊“儿

=ap a q(m n = p q)

引=q(n_2) a n A

等比数列的通项公式a n

=a i q n°

a i - a n q

等比数列的求和公式S n

等比数列的性质

i —q

n a i(q =i)

a n a m = a p a q (m ? n = p - q)

a i(1 -q n) =-rq-(q")

式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用

就有可能在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法

i、求通项公式

(i)观察法。(2)由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等

差数列或等比数列问题。

'公式法

分组求和错位相减

求和

裂项求和

倒序相加求和

累加累积

?归纳猜想证明

分期付款

数列的应用一八

I其他

数列

求和

(i)递推式为a n+i =a n+d 及a n+i =qa n(d，q 为常数) 例

i、已知｛a n｝满足a n+i =a n+2 ，而且a i=i。求a n。

例i、解???a n+i-a n=2为常数「｛a n｝是首项为i，公差为2的等差数列

? Gn=i+2 ( n-i ) 即a n=2n-i

i

例2、已知｛a n｝满足a n i a n，而a i=2，求a“ = ?

命 1 2

解是常数

亚2

是以2为首项，公比为+的等卜嗷列

sLi

2

a n+i =a n +f (n )以n=1 , 2,???,( n-1 )代入，可得n-1个等式累加而求 a n 。

⑶递推式为a n+1 =pa n +q (p , q 为常数)

例 4、｛a *｝中，a 1 = 1 ,对于 n > 1 (n € N )有a n 二 3a n_< 2,求a *.

--a n+1 -a n =4 3

n-1

-a n+1 =3a n +2 - - 3a n +2-a n =4 ?3

(n-1 ),代入得(n-1 )个等式累加，即(a 2-a 1) +

(a 3-a 2)+ ??+ (a n -a n-1)

★ 说明 只要和f ( 1) +f (2) + ??卄(n-1 )是可求的，就可以由

解法 由已知递推式得 a n+1 =3a n +2 , a n =3a n-1 +2。两式相减： a n+1 -a n =3

(2)递推式为 a n+i =a n +f (n ) (a n -a n-1 )

1 已知｛a n ｝

中a 「i , =可* 4 2彳， 4n -1 求a n .

因此数列｛a n+1 -a n ｝是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1 = (3X 1+2 )

解：由已知可知a n 1 -a n

1

(2n 1)(2n _1)

1 2n 1

-1=4

a n =2 3n-1 -1

解法

上法得｛a n+1 -a n ｝是公比为 3的等比数列，于是有：

a 2-a 1

=4 ,

=-[Cl--)

2L K 37

1 _____ 1

2u-3~2^-\

a 3-a 2=4 3, a 4-a 3=4 32，…，a n -a n-1 =4 3n 2,

二

a

1

丄)=忙^

2n 「1

4n -2

n-1

a n -ai =4 (1 + 3 +罗 + …+字7)

等 式 累 加

「?an=2 3n-1-1

⑷递推式为a n+i =p a n+q n (p , q为常数)

【例5】己知｛aj中，知二了弘+i = 〒纭+ (-)叫求耳略解在砧二扫+(扌厂啲两边乘以严得

则S+i=W?+l,于是可得

(CL + P = p

:P解得Q, ?a * P = -q 想

于是｛a n+1- aa n｝是公比为B的等比数列，就转化为前面的类型

2 1

【例6】已知数列｛脸沖，日］二1, a2 =2,知二〒％+1 +乔,

a n

2 2

b n ! -b n (6 -b n/) 由上题的解法，得：5=3-2(—)" /?

3 3

_ b n 3(1 ) n 2( 1)n

a

n 二厂

％)_2(3)

★说明对于递推式a莎pRn+『，可两边除以(严，得量=

4* +二引辅助数列叽，(心L得也斗⑴后用

q q q q a q q 分析

=p

=-q

2 i

解在仏=j a n+l +勺兀两边减去W 得

(5)递推式为a n pa n i qa n

1思路：设a n pa n i ' qa n ,可以变形为

S n 1 - S n = (a n - a

n 1 )

( j_2 _ )

2 2

二 a n .1 = a n _ a n .1

nJ

2

_ 1 + 1 a n 1

- ？a

n 歹

(6)递推式为S n 与a n 的关系式

】 (n = l)

厂 S“ (n>2)

【例门 匚--

1：

丄丁-关

系；(2)试用n 表示a *。

数列求和的常用方法：

1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组 列求和。

上式两边同乘以 2n+1 得 2n+1 a n+1 =2n a n +2 则｛2%｝是公差为

??2n a n = 2+ ( n-1 ) -2=2n

的等差数列。

(a n+1 - mJ 是公比为-g ,百项为幻-列二啲等比数列

此类型可利用益

，转化为特殊数

2、错项相减法：适用于差比数列(如果订」等差，阮等比，那么

^nb n /叫做差比数列)

即把每一项都乘以的公比q ,向后错一项，再对应同次项相减，

转化为等比数列求和。

3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几

一 2 q 一

(ii)若已知S n=pn qn ,则当n取最靠近的非零自然数时S.最

2p

大；

2、若等差数列订,的首项a^：：0 ,公差d 0 ,贝愉n项和S n有最小值

a n岂0

(i)若已知通项a n ,则S n最小二

2亠0

_ 2

(ii)若已知S n = p n qn ,

q

则当n取最靠近的非零自然数时

2p

数列通项的求法：

适用于数列1(其中＜：a/等

小;

可裂项为

1

a n a

n 1

丄)

a

n 1

⑴公式法：①等差数列通项公式；

⑵已知S n (即a1 a2 HI

a「0( n=1)

a n- Sn -S n_1,(n 一2)

②等比数列通项公式。

a n = f(n))求a n ,用作差

等差数列前n项和的最值问题：

1'若等差数列'a n*的首项a1 0 ,公差d ： 0 ,则前n项和S n有最大值。

[a^0

(i)若已知通项a n ,则S n最大；

耳十兰0

f(1),( n = 1)

.f(n-1)八)

⑶已知条件中既有S n还有a n ,有时先求S n ,再求a* ；有时也可直接求

⑷ 若a n* - a n = f(n) 求a n 用累加法

a n = (a n - a n J ? (a nd - a nd) ■ (a2 - aj

a1 (n _ 2)。

已知aiLa2_”“_an 二f(n)求a*,用作商法：a n

a

n。

项，可求和。

S n最差)

⑸已知 an -^ = f （n ）求 a n ,用累乘法：a n 亚 an ^ ^1| ―2 ai （n _ 2）。 a n

a

n J

a

n _2

a

i

⑹已知递推关系求—n ,用构造法（构造等差、等比数列）。

特别地，（1）形如a^ka ni b 、a n =ka n j ，b n （ k,b 为常数）的 递推数列都可以用待定系数法转化为公比为

k 的等比数列后，再求a n

；

形如a n =kam k n 的递推数列都可以除以 k n 得到一个等差数列后，再

求a n 。

（2） 形如a n

a

的递推数列都可以用倒数法求通项

。

ka nJL

+b

k

（3） 形如a n 1二a n 的递推数列都可以用对数法求通项

。

（7）（理科）数学归纳法。

也是等差数列前

（4）错位相减法 的通项相乘构成 导方法）.

n 和公式的推导方法）.

:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列 ，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 n 和公式的推 （5）裂项相消法 后相关联，那么常选用裂项相消法求和

1

1 一丄?乡—1__ :如果数列的通项可 k k 1 (k 1)k

1

, ②

n 1' n(n k) 111. . 2 2 ( )

k 2 k-1 2 k-1 k 1

1 1 1 1

k 2 (k-1)k k-1 k

1 r 1 1 [-

分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂 .常用裂项形式有：

十 J ） ? k'n n k 八

1 1 n(n 1)(n 2)

2 n(n 1) (n 1)(n

2)

1 1

(8)当遇到a n 1

-a n

j =小或a 口 =q 时， a n4

分奇数项偶数项讨论 ，结果

可能是分段形式

数列求和的常用方法： （1） 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。 （2） 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时

，常将和式”中同类项” 先合并在一起，再运用公式法求和。 （3） 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项 与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法 ，发挥其共性的作用求和 （这

------ = --- — -------

(n 1)! n! (n 1)!'

⑥ 2(, n 1「詁n)二 2

:: 1 ：：

2

2(、、n 「』n

— 1)

Vn+V^1 V n V n + 7^1

、解题方法:

求数列通项公式的常用方法：

1、 公式法

2、 由S n 求a n

（n = 1 时，a^S 1， n_2时，a^ S^ S^1）

3、求差（商）法

如：，a n'满足1 a j ?」^a2 -

2 22

1

〒a「2n 5 :::1

解：n =1 时，1 a^2 1 5,二a j =14 2

1 1

n _2时，一a1 2a2 -

2 22

-::2 得：丄a

2n

a n」=2n -1 5 :::2

：

：1

=2

?- a n =2n 1

??a n

14 (n = 1) 一2n 1(n _2)

［练

习］

数列d ［满足S n ■ Sn i a

i =4，求a n

（注意到a n?1二S n 1 —S n代入

得:S n

又S^4 ,二S堤等比数列,

n -2 时，a n 二S n -S nj -3 ?4n"

4、叠乘法

例如：数列4/中，a1=3, n +

，求a n

解.01? 01……电=」? 2……n- 1 ...去=」a1 a2 a n_1 2 3 n a1 n 又a1= 3，二a n= -3

n

5、等差型递推公式

由a n-a n d=f (n)，a1=a0，求a n，用迭加法

n _ 2时，a2-a1= f(2)

…2 =f(3)两边相加，得：

a

n - a n_1 = f( n)J

a

n 一务二f(2) f(3)……f (n)

? a. = a。f(2) f(3) .............. f(n)

［练习］

数列'a n f，a1 = 1, a n = 3n_1? a n_1 n — 2，求a n

(a^ —3n-1 )

2

6、等比型递推公式

a n二can. d c、d 为常数，c^O，c=1，d^O

可转化为等比数列，设■ X = C a nd x