初中数学 微习题 北师大版八年级下册2.1不等关系
2014新版 北师大版八年级数学下册2.1不等关系
2.1 不等关系
看一看
你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的工 作原理吗？其实，翘翘板就是靠不断改变两 端的重量对比来工作的．
不相等 处处可见
由此可见，“不相等”处处可见。 从今天起，我们开始学习一类新的数学知识： 不等式．
学习目标：
1、感受生活中存在着大量的不等关系，了解 不等式的意义，初步体会不等式是研究量与量 之间关系的重要模型之一。
做一做：
铁路部门对旅客随身携带的行李有如下 规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得 超过160cm。设行李的长、宽、高分别为 a cm、b cm、c cm， 请你列出行李的长、宽、 高满足的关系式 。
做一做：
通过测量一棵树的树围（树干的周长）可 以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面 1.5m的地方作为测量部位。某树栽种时的树围 为6cm，以后树围每年增加约3cm。这棵树至少 生长多少年其树围才能超过30cm？
2、经历由具体实例建立不等式模型的过程， 进一步发展符号感与数学化的能力。
想一想
如下图，用两根长度均为lcm的绳子，分别围成一 个正方形和圆。
1、如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长 应满足怎样的关系式？
2、如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳长 l应满足怎样的关系式？ 3、当l = 8时，正方形和圆的面积哪个大？ l = 12 呢？改变l的值再试一试，由此你能得到什么猜想？
试举出生活中用不等式表示的例子
课堂小结：
这节课-----我发现了生活中…… 我学会了…... 使我感到最困难的是…… 我想进一步研究的问题是……
课后作业
习题2.1 1、 2、 3、 4
随堂小考
1．a是非负数的表达式是（ ） A ．a＞0 B ． a≥0 C．a≤0 D ．a ≤0 2．a、b两数在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A．a＞0，b＜0 B ．a＜0，b＞0 C．ab＞0 D．以上均不对 3．下列不等关系一定正确的是（ ） A． a＞0 B．－x2＜0 C．（x+1）2≥0 D．a2 ＞0 4．用不等式表示下列关系： （l）a的2倍比a与3的和小； (2)y的一半与5的差是非负数； （3）x的3倍与1的和小于x的2倍与5的差． （4）y的3倍与x的4倍的和是负数 （5）一个数的平方是非负数； （6）某天的气温不高于 25℃．
2.1《不等关系》习题含解析北师大八年级下
《不等关系》习题一、选择题1．下面给出了5个式子：①3＞0，②4x+3y＞O，③x=3，④x﹣1，⑤x+2≤3，其中不等式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．若m是非负数，则用不等式表示正确的是（）A．m＜0B．m＞0C．m≤0 D．m≥03．某市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）A．18＜t＜27B．18≤t＜27 C．18＜t≤27 D．18≤t≤274．无论x取什么数，下列不等式总成立的是（）A．x+5＞0B．x+5＜0 C．x2＜0 D．x2≥05．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”，它的含义是指（）A．每100克内含钙150毫克B．每100克内含钙不低于150毫克C．每100克内含钙高于150毫克D．每100克内含钙不超过150毫克6．在下列式子中，不是不等式的是（）A．2x＜1B．x≠﹣2C．4x+5＞0D．a=37．“a＜b”的反面是（）A．a≠b B．a＞b C．a≥b D．a=b二、填空题8．用不等号“＞、＜、≥、≤”填空：a2+10．11．k的值大于﹣1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．）三、解答题12．在生活中不等关系的应用随处可见．如图表示机动车驶入前方道路的最低时速限制．此标志设在高速公路或其他道路限速路段的起点，你会表示这些不等关系吗？13．一种药品的说明书上写着：“每日用量120～180mg，分3～4次服完．”一次服用这种药的剂量在什么范围？14．在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴．（1）写出a所满足的不等式；（2）数﹣3，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？15．用适当的符号表示下列关系：（1）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（2）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（3）明天下雨的可能性不小于70%；参考答案一、选择题1．答案：B解析：【解答】根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以①②⑤为不等式，共有3个．故选B．【分析】主要依据不等式的定义用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．2．答案：D解析：【解答】非负数即正数或0，即＞或等于0的数，则m≥0．故选D．【分析】根据非负数的定义．3．答案：D解析：【解答】∵贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，某一天的气温为t℃，∴27≤t≤18．故选D．【分析】用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式是解答此题的关键．4．答案：D解析：【解答】A、当x≤﹣5时，不等式不成立，故此选项错误；B、当x≥﹣5时，不等式不成立，故此选项错误；C、当x=0时，不等式不成立，故此选项错误；D、无论x为何值，不等式总成立，故此选项正确；故选：D．【分析】根据题意，找出能使不等式成立的条件即可．5．答案：B解析：【解答】根据≥的含义，“每100克内含钙≥150毫克”，就是“每100克内含钙不低于150毫克”，故选：B．【分析】“≥”就是不小于，在本题中也就是“不低于”的意思．6．答案：D解析：【解答】A、B、C是不等式，D是等式，故选：D．【分析】根据不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式可得答案．7．答案：C解析：【解答】a＜b的反面是a=b或a＞b，即a≥b．故选C．【分析】a与b有三种关系：a=b，a＞b，a＜b，所以a＜b的反面是a=b或a＞b，明确“a＜b”的反面的意义是解题的关键．二、填空题8．答案：＞解析：【解答】根据a2≥0，∴a2+1＞0，故答案为：＞．【分析】根据非负数的性质可得a2≥0，进而得到a2+1＞0．9．答案：﹣4．解析：【解答】因为x≥2的最小值是a，a=2；x≤﹣6的最大值是b，则b=﹣6；则a+b=2﹣6=﹣4，所以a+b=﹣4．故答案为：﹣4．【分析】解答此题要明确，x≥2时，x可以等于2；x≤﹣6时，x可以等于﹣6．10．答案：x2﹣a2≤0．解析：【解答】由题意得：x2﹣a2≤0．故答案是：x2﹣a2≤0．【分析】解决本题的关键是理解“不是正数”用数学符号应表示为：“≤0”．11．答案：﹣1＜k≤3．解析：【解答】根据题意，得﹣1＜k≤3．故填﹣1＜k≤3．【分析】此题考查了不等式的定义，解题时要读懂题意，抓住关键词语，弄清不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式，不大于意思是小于或等于以及大于的意思．三、解答题12．答案：见解答过程．解析：【解答】①设时速为a千米/时，则a≥50；②设车高为bm，则b≤3.5；③设车宽为xm，则x≤3；④设车重为yt，则y≤10．【分析】先要了解图标的含义，然后根据含义列出不等式即可．图①表示最低时速限制；图②表示车辆过桥洞时限制车高的标志；图③表示车辆过桥时限制车宽的标志；图④车辆过桥时限制车重的标志．13．答案：30≤x≤60．解析：【解答】∵120÷3=40，120÷4=30，180÷3=60，180÷4=45，∴一次服用这种药的剂量在30mg～60mg之间，即30≤x≤60．【分析】用120÷3，120÷4得到每天服用100mg时3次或4次每次的剂量；180÷3，180÷4即可得到每天服用180mg时3次或4次每次的剂量，找到最少的剂量和最多的剂量即可．14．答案：（1）﹣2＜a＜4，（2）0所对应的点到B点的距离小于3．解析：【解答】（1）根据题意得：|a﹣1|＜3，得出﹣2＜a＜4，（2）由（1）得：到点B的距离小于3的数在﹣2和4之间，∴在﹣3，0，4三个数中，只有0所对应的点到B点的距离小于3．【分析】根据数轴上两点之间的距离为这两个数差的绝对值，列出不等式并解出结果．15．答案：（1）有r≥300；（2）3a+4b≤268；（3）P≥70%．解析：【解答】（1）设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300；（2）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤268；（3）用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%；【分析】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠．（1）、（3）不小于就是大于等于，用“≥”来表示；（2）不高于就是等于或低于，用“≤”表示．。
北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教案
北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教案一. 教材分析《不等关系》是北师大版数学八年级下册第2.1节的内容，主要介绍不等式的概念和基本性质。
这一节内容是学生学习不等式的重要基础，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了有理数、方程等基础知识，对于数学符号和运算有一定的了解。
但他们对不等式的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.了解不等式的概念和基本性质。
2.学会用不等式表示实际问题中的不等关系。
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.不等式的概念和基本性质。
2.如何用不等式表示实际问题中的不等关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生通过观察、思考、讨论和操作，自主探索不等式的概念和性质，提高学生的参与度和实践能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例和练习题3.小组讨论材料七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些实际问题中的不等关系，如身高、体重、温度等，引导学生思考如何用数学符号表示这些不等关系。
2.呈现（10分钟）介绍不等式的概念和基本性质，通过示例和讲解，让学生理解不等式的含义和运用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，选取一些实际问题，尝试用不等式表示不等关系，并互相交流分享。
4.巩固（10分钟）针对每组的问题，选取几个进行讲解和分析，引导学生正确理解和运用不等式。
5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些不等式相关的应用题，提高学生解决实际问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调不等式的概念和性质，提醒学生注意运用时的细节。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关不等式的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
8.板书（课后整理）总结本节课的主要内容和知识点，方便学生复习和回顾。
教学过程每个环节所用的时间如上所示，供您参考。
(名师整理)最新北师大版数学8年级下册第2章第1节《不等关系》精品课件
生活中的应用
小林到水果摊上称了24橘子，摊主称了几 只橘子说：“你看秤，高高的．”这个 “高高的”，是什么意思？你能用不等 式把它表示出来吗？
补充练习：（用不等式表示）
1、ａ绝对值是非负数。 2、ｙ的一半比-3大，比3小。 3、ｍ的5倍与2的差不大6。 4、ｘ除以2的商加上2，至多为5。 • （要求独立完成）
拓展应用
1、设“●”、“▲”、“■”表示三种 不同的物体，现用天平称了两次，情况 如图所示，那么●、▲、■这三种物体 按质量从大到小的顺序排列应为（ ）
A．■、●、▲ B．■、▲、● C．▲、●、■ D．▲、■、●
拓展应用
2、小明和小华都在看同本长篇小说，到 今天为止，小明看到第28页，小华看到 第83页，如果从现在起，小明每天看16 页，小华每天看10页，问至少几天后小 明看的比小华看的页数多？请你根据题 意列出不等式。
常识２、如果a>b且b>c，那么a>c． 推论：如果a<b且b<c，那么a<c．（传递性
常）识3、比较两数（式）大小的方法： （1）若a-b=0则a_=__b (2) 若a-b>0则a_>__b (3) 若a-b<0则a_<__b
注：比较两数大小可以用作差法.
开动脑筋
1、如图，用一根长度
为l cm 的绳子，围成一
开动脑筋
4、如图，用两根长度均
为12cm 的绳子，分别围
成一个正方形和圆.
问:正方形和圆的面积会 有怎样的关系?
开动脑筋
5、如图，用两根长度均
为l cm 的绳子，分别围
成一个正方形和圆.ຫໍສະໝຸດ 问:正方形和圆的面积会 有怎样的关系?你能得到 什么猜想？
北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》优秀教学案例
3.小组合作：我将学生分成若干小组，鼓励他们在小组讨论中互相学习、互相启发，共同解决问题。这种小组合作的学习方式有助于培养学生的团队协作精神，提高他们的沟通能力和合作能力。
在教学过程中，我以学生的生活经验为切入点，设计了一系列具有针对性和实用性的教学活动。首先，我通过设置一些简单的实际问题，让学生感知不等关系在生活中的应用，激发他们的学习兴趣。然后，我引导学生总结不等关系的定义，并通过举例让学生理解不等关系的本质。接下来，我利用多媒体课件展示了一些具体的不等式，让学生观察、分析并总结不等式的性质，从而加深他们对不等关系概念的理解。
北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景以北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》为依托，旨在探索如何在教学过程中引导学生理解不等关系的本质，培养他们的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。本节课的主要内容包括不等关系的定义、不等式的性质以及如何用不等关系表示实际问题中的数量关系。
1.自我评价：引导学生对自己的学习过程进行反思，总结自己在学习不等关系过程中的优点和不足。
2.同伴评价：让学生互相评价，互相借鉴，共同提高。
3.教师评价：教师对学生的学习过程和结果进行客观、公正的评价，给予鼓励和指导，为学生指出明确的发展方向。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.设计生活实例：我会选择一些与学生生活密切相关的情景，如购物时比较价格、比赛时比较成绩等，让学生感知不等关系在生活中的应用。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用生活实例：在教学导入环节，我会选择一些与学生生活密切相关的实例，如购物时比较价格、比赛时比较成绩等，让学生感知不等关系在生活中的应用，激发他们的学习兴趣。
北师大版数学八年级下册第二章一元一次不等式与一元一次不等式组第5节一元一次不等式与一次函数课堂练习
第二章一元一次不等式与一元一次不等式组第5节一元一次不等式与一次函数课堂练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分 一、单选题1．一次函数1y ax b 与2y cx d =+ 的图象如图所示，下列说法：①0ab ＜ ；①函数y ax d =+ 不经过第一象限；①不等式ax b cx d ++＞ 的解集是3x ＜ ；①()13a c db -=- ．其中正确的个数有( )A ．4B ．3C ．2D ．12．同一直角坐标系中，一次函数11y k x b =+与正比例函数22y k x =的图象如图所示，则满足12y y ≥的x 取值范围是（ ）A ．2x -≤B ．2x ≥-C ．2x <-D ．2x >-3．如图，一次函数y kx b =+的图象经过A 、B 两点，则不等式0kx b +<的解集是（ ）A．1x>B．01x<<C．1x<D．0x<4．若一次函数y kx b=+(k b、为常数，且0k≠)的图象经过点()01A-，，()11B，，则不等式1kx b+>的解为()A．0x<B．0x>C．1x<D．1x>5．一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＞3时，x的取值范围是()A．x0<B．x0>C．x2<D．x2>．6．如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（）A．x≥4B．x≤4C．x≥1D．x≤17．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；①a＞0；①当x＜3时，y1＜y2；①当y1＞0且y2＞0时，﹣a＜x＜4．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，函数y1＝﹣2x 与y2＝ax+3 的图象相交于点A（m，2），则关于x 的不等式﹣2x＞ax+3 的解集是（）A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ＞﹣1D ．x ＜﹣1评卷人得分 二、填空题 9．如图，已知一次函数y ＝ax+b 和y ＝kx 的图象交于点P(﹣4，﹣2)，则关于x 的不等式ax+b≤kx ＜1的解集为______.10．如图，直线()0y kx b k =+>交x 轴于点()30A -,，交直线y x =于点B ，则根据图象可知，()0x kx b +<不等式的解为_______.11．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则()0kx b x a +-+>的解集是__．12．如图，直线11y k x a =+与22y k x b =+的交点坐标为()1,2，当12k x a k x b +≤+时，则x 的取值范围是__________．13．如图，一次函数y=﹣x ﹣2与y=2x +m 的图象相交于点P （n ，﹣4），则关于x 的不等式组22{20x m x x +----＜＜的解集为_____．14．函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点(),2A m ,则不等式24x ax -≤的解为__________.15．如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴的交点坐标为()2,0-，则下列说法：y ①随x 的增大而减小；0b <②；③关于x 的方程0kx b +=的解为2x =-；④当1x =-时，0.y <其中正确的是______.(请你将正确序号填在横线上)16．一次函数y =kx +b 的图像如图所示，则关于x 的不等式kx -m +b >0的解集是____.评卷人得分三、解答题 17．如图：已知直线y kx b =+经过点()5,0A ，()1,4B ．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线24y x=-与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，直接写出关于x的不等式240x kx b->+>的解集．18．如图，直线1l：1y x=+与直线2l：y mx n=+相交于点()1,P b.（1）求关于x，y的方程组1y xy mx n=+⎧⎨=+⎩的解；（2）已知直线2l经过第一、二、四象限，则当x______时，1x mx n+>+.19．如图，已知一次函数y＝kx+k+1的图象与一次函数y＝﹣x+4的图象交于点A （1，a）．（1）求a、k的值；（2）根据图象，写出不等式﹣x+4＞kx+k+1的解；（3）结合图形，当x＞2时，求一次函数y＝﹣x+4函数值y的取值范围；20．如图，直线1:1l y x=+与直线22 :3l y x a=-+相交于点(1,)p b；（1）求出a,b的值；（2）根据图象直接写出不等式2013x x a<+<-+的解集；（3）求出ABP∆的面积.参考答案：1．A【解析】【分析】仔细观察图象：①a 的正负看函数y 1＝ax ＋b 图象从左向右成何趋势，b 的正负看函数y 1＝ax ＋b 图象与y 轴交点即可；①c 的正负看函数y 2＝cx ＋d 从左向右成何趋势，d 的正负看函数y 2＝cx ＋d 与y 轴的交点坐标；①以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；①看两直线都在x 轴上方的自变量的取值范围．【详解】由图象可得：a ＜0，b ＞0，c ＞0，d ＜0，①ab ＜0，故①正确；函数y ＝ax ＋d 的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故①正确，由图象可得当x ＜3时，一次函数y 1＝ax ＋b 图象在y 2＝cx ＋d 的图象上方，①ax ＋b ＞cx ＋d 的解集是x ＜3，故①正确；①一次函数y 1＝ax ＋b 与y 2＝cx ＋d 的图象的交点的横坐标为3，①3a ＋b ＝3c ＋d①3a−3c ＝d−b ，①a−c ＝13（d−b ），故①正确， 故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．2．A【解析】【详解】试题分析：当2x ≤-时，直线11y k x b =+都在直线22y k x =的上方，即12y y ≥．故选A ． 考点：一次函数与一元一次不等式．3．A【解析】由图象可知：B （1，0），且当x ＞1时，y ＜0，即可得到不等式kx+b ＜0的解集是x ＞1，即可得出选项．【详解】解：①一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B 两点，由图象可知：B （1，0），根据图象当x ＞1时，y ＜0，即：不等式kx+b ＜0的解集是x ＞1．故选A ．【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的图象等知识点的理解和掌握，能根据图象进行说理是解此题的关键，用的数学思想是数形结合思想．4．D【解析】【分析】可直接画出图像，利用数形结合直接读出不等式的解 【详解】如下图图象，易得1kx b +>时，1x >故选D【点睛】本题考查一次函数与不等式的关系，本题关键在于利用画出图像，利用数形结合进行解题 5．A【解析】根据题意在函数图像中寻找3y >时函数图像所在的位置，发现此时函数图像对应的x 范围是小于零，从而得出答案【详解】解：①由函数图象可知，当x ＜0时函数图象在3的上方，①当y ＞3时，x ＜0．故选A ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，能利用数形结合求出x 的取值范围是解答此题的关键． 6．D【解析】【详解】根据函数图像可得：当1x ≤时，21y y ≥，即3ax b x +≥+.故选D考点：一次函数与不等式7．B【解析】【分析】仔细观察图象，①k 的正负看函数图象从左向右成何趋势即可；①a 看y 2＝x ＋a 与y 轴的交点坐标；①以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；①看两直线都在x 轴上方的自变量的取值范围．【详解】①①y 1＝kx +b 的图象从左向右呈下降趋势，①k ＜0正确；①①y 2＝x +a ，与y 轴的交点在负半轴上，①a ＜0，故①错误；①当x ＜3时，y 1＞y 2，故①错误；①y 2＝x +a 与x 轴交点的横坐标为x ＝﹣a ，当y 1＞0且y 2＞0时，﹣a ＜x ＜4正确；故正确的判断是①①，正确的个数是2个．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．8．D【解析】【详解】解：①函数12y x =-与23y ax =+的图象相交于点A (m ，2)，把点A 代入12y x =-，得： 1m =-，①点A (－1，2)，①当1x <-时，12y x =-的图象在23y ax =+的图象上方，①关于 x 的不等式﹣2x ＞ax +3 的解集是1x <-．故选：D.9．﹣4≤x ＜2【解析】【分析】先利用待定系数法求出y ＝kx 的表达式，然后求出y ＝1时对应的x 值，再根据函数图象得出结论即可．【详解】解：①已知一次函数y ＝ax+b 和y ＝kx 的图象交于点P(﹣4，﹣2)，①﹣4k ＝﹣2，解得：k ＝12，①解析式为y ＝12x ，当y ＝1时，x ＝2，①由函数图象可知，当x≥﹣4时一次函数y ＝ax+b 在一次函数y ＝kx 图象的下方， ①关于x 的不等式ax+b≤kx ＜1的解集是﹣4≤x ＜2．故答案为：﹣4≤x ＜2．【点睛】本题主要考查两个一次函数的交点问题，能够数形结合是解题的关键．10．-3＜x ＜0【解析】【分析】先把()0x kx b +<化简 00x kx b >⎧⎨+<⎩或00x kx b <⎧⎨+>⎩然后利用函数图像分别解两个不等式组即可. 【详解】解：由题意得：不等式()0x kx b +<化简 00x kx b >⎧⎨+<⎩或00x kx b <⎧⎨+>⎩得00x kx b >⎧⎨+<⎩无解，00x kx b <⎧⎨+>⎩的解集 -3＜x ＜0 故答案为：-3＜x ＜0【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式组的解，正确将一元二次不等式转化为一元一次不等式组是解题的关键.11．1x <-【解析】【分析】不等式kx+b-（x+a ）＞0的解集是一次函数y 1=kx+b 在y 2=x+a 的图象上方的部分对应的x 的取值范围，据此即可解答．【详解】解：不等式()0kx b x a +-+>的解集是1x <-．故答案为1x <-．【点睛】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．12．1x ≤【解析】【分析】在图中找到两函数图象的交点，根据一次函数图象的交点坐标与不等式组解集的关系即可作出判断．【详解】解：①直线l 1：y 1=k 1x+a 与直线l 2：y 2=k 2x+b 的交点坐标是（1，2），①当x=1时，y 1=y 2=2.而当y 1≤y 2时，即12k x a k x b +≤+时，x≤1．故答案为：x≤1．【点睛】此题考查了直线交点坐标与一次函数组成的不等式组的解的关系，利用图象即可直接解答，体现了数形结合思想在解题中的应用．13．﹣2＜x ＜2【解析】【分析】先将点P （n ，﹣4）代入y=﹣x ﹣2，求出n 的值，再找出直线y=2x+m 落在y=﹣x﹣2的下方且都在x 轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【详解】①一次函数y=﹣x ﹣2的图象过点P （n ，﹣4），①﹣4=﹣n ﹣2，解得n=2，①P （2，﹣4），又①y=﹣x ﹣2与x 轴的交点是（﹣2，0），①关于x 的不等式组2220x m x x +--⎧⎨--⎩＜＜的解集为22x -<<． 故答案为22x -<<．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出 n 的值，是解答本题的关键．14．1x ≤【解析】【分析】函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点(),2A m ，求出m 的值，然后解不等式即可.【详解】解：①函数y=2x 的图象经过点A （m ，2），①2m=2，解得：m=1，①点A （1，2），当x≤1时，2x≤ax+4，即不等式2x-4≤ax 的解集为x≤1．故答案为x≤1．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．15．③【解析】【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对个小题分析判断即可得解．【详解】由图可知：①y 随x 的增大而增大，错误；①b ＞0，错误；①关于x 的方程kx +b =0的解为x =﹣2，正确；①当x =﹣1时，y ＞0，错误．故答案为①．【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．16．3x <-【解析】【分析】先根据一次函数y=kx+b 的图象经过点（3-，m ）可知，由图像可知，当x 3<-时，kx b m +>，即可得出结论．【详解】解：有图像可知，一次函数y=kx+b 经过点（3-，m ），则当x 3=-时，kx b m +=，由图像可知，当x 3<-时，kx b m +>，①0kx m b -+>的解集是：3x <-；故答案为：3x <-.【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的取值范围是解答此题的关键．17．（1）5y x =-+；（2）点C 的坐标为()32，；（3）35x <<【解析】【分析】 （1）将A 、B 坐标代入解析式中计算解答即可；（2）将两直线方程联立求方程组的解即可；（3）根据图像找出y>0，且直线24y x =-高于直线y kx b =+部分的x 值即可.【详解】解：（1）因为直线y kx b =+经过点()5,0A ，()1,4B所以将其代入解析式中有504x b x b +=⎧⎨+=⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩， 所以直线AB 的解析式为5y x =-+；（2）因为直线24y x =-与直线AB 相交于点C所以有524y x y x =-+⎧⎨=-⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩ 所以点C 的坐标为()32，； （3）根据图像可知两直线交点C 的右侧直线24y x =-高于直线y kx b =+且大于0，此时x的取值范围是大于3并且小于5，所以不等式240x kx b ->+>的解集是35x <<.【点睛】本题考查的是一次函数综合问题，能够充分调动所学知识是解题的关键.18．（1）1x =，2y = （2）1x >【解析】【分析】（1）方程组的解即为两条直线的交点P 的坐标，将x ＝1，代入直线l 1求出P 点坐标即可；（2）不等式x ＋1＞mx ＋n 的解集即直线l 1在直线l 2的上方时x 的取值范围.【详解】解：（1）由题意可得，关于x ，y 的方程组的解即为两条直线的交点P 的坐标， 当x ＝1时，代入直线l 1，求得y ＝2，即P （1，2）即方程组的解为12x y =⎧⎨=⎩； （2）由题意可知，x ＋1＞mx ＋n 时，直线l 1在直线l 2的上方，由函数图象可得，此时x ＞1，故答案为x ＞1.【点睛】本题主要考查一次函数与二元一次方程组及一元一次不等式的关系，熟悉一次函数的图象并熟练应用数形结合的思想是解答本题的关键19．（1）a ＝﹣3，k ＝1；（2）x ＜1；（3）当x ＞2时，y ＜2．【解析】【分析】（1）把A （1，a ）代入y ＝﹣x +4求得a 的值，再把将A （1，3）代入y ＝kx +k +1即可求得k 的值；（2）观察函数图象即可解答；（3）当x ＝2时，y ＝2，观察图象，x ＞2时，图象在x ＝2的右侧，在y ＝2的下面，即可解答．【详解】（1）把A （1，a ）代入y ＝﹣x +4得a ＝﹣1+4＝3，将A（1，3）代入y＝kx+k+1得k+k+1＝3，解得k＝1；（2）根据图象可得：不等式﹣x+4＞kx+k+1的解集为x＜1；（3）当x＝2时，y＝﹣x+4＝﹣2+4＝2，所以当x＞2时，y＜2．【点睛】本题考查的是一次函数与不等式的解集，掌握利用函数图象求不等式解集的方法是关键．20．(1) a=83，b=2；（2）-1<x<1；（3）5.【解析】【分析】（1）把P点坐标代入y=x+1可得b的值，继而代入23y x a=-+可求a的值；（2）根据两函数图象的交点坐标及y=x+1与x轴的交点可得答案；（3）首先求出点A、B的坐标，由此计算AB的长，再由点P的坐标，即可计算出ABP∆的面积．【详解】解：（1）①直线l1：y=x+1过点P（1，b），①b=1+1=2；把点P（1，2）代入23y x a=-+中得a=8 3（2）①y=x+1与x轴交于点（-1，0），①在x=-1的左边x=1的右边的图象满足不等式2013x x a<+<-+，①不等式2013x x a<+<-+的解集是-1<x<1（3）在2833y x=-+中，当y=0时，x=4①点B的坐标是(4,0)又A（-1，0），①AB=4+1=5，①点P（1，2），①ABP∆的面积为：12×5×2=5．【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握待定系数法求一次函数解析式，掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式即可．。
北师大版八年级数学下册第一讲 不等式的基本性质(基础讲解)(含解析)
第一讲不等式的基本性质【学习目标】1．了解不等式的意义,认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质,并会简单应用.【知识总结】一、不等式的概念一般地,用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数,如3＜4,-1＞-2；有些不等式中含有未知数,如2x＞5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立．二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集．不等式的解是具体的未知数的值,不是一个范围不等式的解集是一个集合,是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”：一是确定“边界点”,二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言,x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言,x＜a或x≤a 向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈,表示不包括这一点．三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变． 【典型例题】【类型】一、不等式的概念例1．给出下列表达式：①()a b c ab ac +=+；②20-<；③5x ≠；④21a b >+；⑤222x xy y -+；⑥236x ->,其中属于不等式的是______．（填序号） 【答案】②③④⑥【分析】根据不等式的定义判断即可． 解：①a （b+c ）=a b+ac 是等式；②-2＜0是用不等号连接的式子,故是不等式； ③x≠5是用不等号连接的式子,故是不等式； ④2a ＞b+1是用不等号连接的式子,故是不等式； ⑤x 2-2xy+y 2是代数式；⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子,故是不等式, 故答案为：②③④⑥．【点拨】本题考查的是不等式的定义,即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．【训练】下列式子：①－1＞2；②3x≥－1；③x －3；④s ＝vt ；⑤3x －4＜2y ；⑥3x －5＝2x ＋2；⑦a 2＋2≥0；⑧a 2＋b 2≠c 2.其中是不等式的是___________________．(只填序号) 【答案】①②⑤⑦⑧ 【解析】【分析】根据不等式的定义即可得出结论．解：根据不等式的定义：①－1＞2,②3x ≥－1,⑤3x －4＜2y ,⑦a 2＋2≥0,⑧a 2＋b 2≠c 2是不等式；③x －3,④s =vt ,⑥3x －5=2x ＋2不是不等式． 故答案为：①②⑤⑦⑧．【点拨】本题考查了不等式的概念．掌握不等式的概念是解题的基础． 【训练】下列式子属于不等式的是_______________．① 50-< ② 2x 3= ③ 3x 12-> ④4x 2y 0-≤ ⑤ 2x 3x 20-+> ⑥ x 2y - ⑦ 57x ≠ ⑧54< ⑨ x y 0+≥【答案】①③④⑤⑦⑧⑨【解析】【分析】根据不等式的概念即可解题. 解：∵不等式要求用不等号连接 ∴排除②⑥∴不等式的有①③④⑤⑦⑧⑨【点拨】本题考查了不等式的识别,属于简单题,熟悉不等式的概念是解题关键.【类型】二、不等式的解及解集例2.（2018·安徽全国·七年级单元测试）下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解？哪些不是？ 100, 98, 51, 12, 2, 0, -1, -3, -5.【答案】100, 98, 51, 12, 2是不等式3x-1≥5的解；0,-1,-3,-5不是不等式3x-1≥5的解. 【解析】试题分析：把上述各数分别代入不等式315x -≥的左边计算出左边的值,看是否大于或等于5即可. 试题解析：∵在不等式315x -≥中,当100x =时,左边=312995x -=>； 当98x =时,左边=312935x -=>； 当51x =时,左边=311525x -=>； 当12x =时,左边=31355x -=>； 当2x =时,左边=315x -=；当0x =时,左边=3115x -=-<； 当1x =-时,左边=3145x -=-<； 当3x =-时,左边=31105x -=-<； 当5x =-时,左边=31165x -=-<;∴上述各数中,100,98,51,12,2是不等式315x -≥的解；0,－1,－3,－5不是不等式315x -≥的解. 例3. 把下列不等式的解集在数轴上表示出来． (1)x≥－3； (2)x ＞－1； (3)x≤3；(4)x<－32. 【答案】(1)(2) (3)(4)【解析】将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可. 试题解析：（1）将3x ≥-表示在数轴上为：（2）将1x >-表示在数轴上为：（3）将3x ≤表示在数轴上为：（4）将32x <-表示在数轴上为：点拨：将不等式的解集表示在数轴上时,需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右,小于（小于或等于）向左”；（2）“x a >或（x a <）时”,数轴上表示数“a ”的点用“空心圆圈”,“x a ≥（或x a ≤）时”,数轴上表示数“a ”的点用“实心圆点”. 【训练】在数轴上表示不等式﹣3≤x ＜6的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7,并利用数轴说明x 的这些数值中,哪些满足不等式﹣3≤x ＜6,哪些不满足？ 【答案】﹣2,0,142满足不等式；﹣4,7不满足不等式 【分析】根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7在数轴上表示出来,这些值如果在解集范围内则表示满足不等式,否则就是不满足不等式．解：根据图可知：x 的下列值：﹣2,0,142满足不等式；x 的下列值：﹣4,7不满足不等式．【点拨】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞,≥向右画；＜,≤向左画）,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示；“＜”,“＞”要用空心圆点表示．【类型】三、不等式的性质例4.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x a >或x a <的形式．（1）x 15-<． （2）4x 13-≥． （3）1x 142-+≥． （4）4x 10-<-． 【答案】（1）x 6<；（2）x 1≥；（3）x 6≤-；（4）5x 2>．【分析】（1）利用不等式的性质将两边加上1即可求解；（2）利用不等式的性质先将两边加上1,再两边同除以4即可求解； （3）利用不等式的性质先将两边减去1,再两边同除以12-即可求解； （3）利用不等式的性质将两边同除以-4即可求解； 解：（1）x 15-<,两边加上1得：x 1151-+<+, 解得：x 6<； （2）4x 13-≥,两边加上1得：4x 1131-+≥+,即4x 4≥, 两边除以4得：x 1≥； （3）1x 142-+≥, 两边减去1得：1x 11412-+-≥-,即1x 32-≥, 两边除以12-得：x 6≤-； （4）4x 10-<-, 两边除以4-得：5x 2>． 【点拨】本题考查不等式的性质,解题的关键是熟练掌握不等式的性质．【训练】根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：（1）5x>4x+8 （2）x+2<-1 （3）-23x>-1（4）10-x>0 （5）-15x<-2 （6）3x+5<0【答案】（1）x>8；（2）x<-3；（3）x<32；（4）x<10；（5）x>10；（6）x<-53．【分析】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子）,不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变；依次分析各小题即可．解：（1）根据不等式性质1,不等式两边都减4x,不等号的方向不变,得5x-4x>4x+8-4x,即x>8；（2）根据不等式性质1,不等式两边都减去2,不等号的方向不变,得x+2-2<-1-2即x<-3；（3）根据不等式性质3,不等式两边同除以-23,不等号的方向改变,得-23x÷（-23）<-1÷（-23）即x<32；（4）根据不等式性质1,不等式两边同减10,不等号的方向不变,得10-x-10>0-10即-x>-10,再根据不等式性质3,不等式两边同除以-1,不等号的方向改变,得x<10；（5）根据不等式性质3,不等式两边同乘以-5,不等号的方向改变,得-15x·（-5）>-2×（-5）即x>10；（6）根据不等式性质1,不等式两边都减去5,不等号的方向不变得3x+5-5<0-5即3x<-5,再根据不等式性质2,不等式两边同除以3,不等号的方向不变,得3x÷3<-5÷3即x<-53．【点拨】本题主要考查了不等式的基本性质,本题重在考查不等式的三条基本性质,特别是性质3,两边同乘以（•或除以）同一个负数时,一定要改变不等号的方向!•这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．。
北师大版八年级数学下册2.1不等关系
观察由上述问题得到的关系式，比如：
l2 l2 ≤1， 16 4
＞1.5，
l2 4
＞
l2 ， 16
3x+5＞240， 它们的共同特点：都是用
连接的式子。
师：一般地，____________________ 叫做不等式。 （特别的，不等号还包含“≠” ）
（3）铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超 过 160cm。设行李的长、宽、高分别为 a cm、b cm、c cm， 请你列出行李的长、宽、高满足的 关系式 第三环节：活动探究 活动内容： 投影 B 。
某中学准备在学校饭厅新添一个通风口，四周用长为 xm(x≤5)的装潢条镶嵌（不计接缝） ，
八年级数学导学案第 1 课时
第五环节：运用巩固 活动内容：投影E 1、用适当的符号表示下列关系： （1）a 是非负数；
主备人：王文锦 审核人：王文锦 审批人：王文锦
（2）直角三角形斜边 c 比它的两直角边 a、b 都长； （3）x 与 17 的和比它的5倍小； （4）两数的平方和不小于这两数积的2倍。 2、表达式①x ≥0；②2a+4b≠3；③5m+2n；④x+y<0；⑤3x+2=9 中的不等式有
（1）某厂今年的产值是 a 元，预计明年年产值增长率高于 20%，如果明年的产值是 b 元， 那么 b 和 a 满足的关系式是 。
（2）如果某等腰三角形的底边用 a cm 表示，这边上的高为 4 cm，如果这个三角形的面积 不大于 8 cm²，那么 a 应该满足的关系式为 。 （注意：不大于的含义）
八年级数学导学案第 1 课时
主备人：王文锦 审核人：王文锦 审批人：王文锦 不等关系 教师个性化设 计、学法指导 或学生笔记
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2.1不等关系
一、选择题（共10小题）
1．下列各项中，蕴含不等关系的是（）
A．老师的年龄是你的年龄的2倍
B．小军和小红一样高
C．小明岁数比爸爸小26岁
D．x2是非负数
2．下列式子，其中不等式有（）
①2＞0；②4x+y≤1；③x+3＝0；④y﹣7；⑤m﹣2.5＞3．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．下列说法中正确的是（）
A．a不是负数，则a＞0 B．b是不大于0的数，则b＜0
C．m不小于﹣1，则m＞﹣1 D．a，b是负数，则a+b＜0
4．数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列不等式成立的是（）
A．a＞b B．ab＞0 C．a+b＞0 D．a+b＜0
5．已知x+3与y﹣5的和是负数，以下所列关系式正确的是（）A．（x+3）+（y﹣5）＞0 B．（x+3）+（y﹣5）＜0
C．（x+3）﹣（y﹣5）＞0 D．（x+3）+（y﹣5）≤0
6．x是不大于5的正数，则下列表示正确的是（）
A．0＜x＜5 B．0＜x≤5 C．0≤x≤5 D．x≤5
7．下列说法正确的是（）
A．﹣a比a小
B．一个有理数的平方是正数
C．a与b之和大于b
D．一个数的绝对值不小于这个数
8．学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（）A．两种客车总的载客量不少于500人
B．两种客车总的载客量不超过500人
C．两种客车总的载客量不足500人
D．两种客车总的载客量恰好等于500人
9．下列不等式总成立的是（）
A．4a＞2a B．a2＞0 C．a2＞a D．﹣a2≤0 10．若图示的两架天平都保持平衡，则对a、b、c三种物体的重量判断正确的是（）
A．a＞c B．a＜c C．a＜b D．b＜c
二、填空题（共6小题）
11．x与y的平方和一定是非负数，用不等式表示为．
12．吉安市机关公车改革于今年4月1日正式开始实施，小明坐着爸爸新买的小车，在闹市区街道边发现一块标志牌（如图所示），小明知道这表示车速不超过这个字，请你用式子表示在该车道上车辆行驶速度v（km/h）的数值范围：．
13．用不等式表示“x与a的平方差不是正数”为．
14．已知x≥2的最小值是m，x≤﹣6的最大值是n，则m+n＝
15．用适当的不等式表示下列关系：
（1）a是非负数；
（2）x与2差不足15 ．
16．用不等号连接下列各组数：
（1）π 3.14；（2）（x﹣1）20；（3）﹣﹣．17．已知有理数m，n的位置在数轴上如图所示，用不等号填空．
（1）n﹣m0；（2）m +n0；（3）m﹣n0；（4）n +1 0；
（5）m •n0；
（6）m +1 0．
三、根据题意，写出下列不等式：
18.（1）x的与x的2倍的和是非正数；
（2）一枚炮弹的杀伤r半径不小于300米；
（3）三件上衣（每件上衣a元）与四条长裤（每条裤子b元）的总价钱不高于268元；
（4）明天下雨的可能性P不小于70%.
参考答案：
一、选择
1-5DCDDB 6-10 BDADA
二、填空
11. x2+y2≥0
12. v≤10
13. x2﹣a2≤0
14. ﹣4
15. a≥0 ；x﹣2＜15
16. （1）＞；（2）≥；（3）＜
17. （1）n﹣m＜0；（2）m +n＜0；（3）m﹣n＞0；
（4）n+1 ＜0；（5）m •n＜0；（6）m+1 ＞0．
三、根据题意，写出下列不等式：
18. （1）x+2x≤0；
（2）r≥300；
（3）3a+4b≤268；
（4）P≥70%.。