(详细解析)2001年上海高考数学(文科)

2001年上海高考数学试题（文科）一、填空题1．设函数9()log f x x =，则满足1()2f x =的x 值为 ． 【答案】3【解析】1291log 932x x =⇒===．2．设数列{}n a 的首项17a =-，且满足12()n n a a n N +=+∈，则1217a a a ++⋅⋅⋅+= ． 【答案】153【解析】由题设可得数列{}n a 是以17a =-为首项，公比为2的等差数列，即29n a n =-，所以17117(171)17(171)1717(7)215322S a d --=+⨯=⨯-+⨯=．3．设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的 轨迹方程是 _____ ． 【答案】2241x y -=【解析】设(,)M x y ，则(2,2)P x y ，代入双曲线方程2214x y -=得2241x y -=，即为所求．【点评】代入法是圆锥曲线问题的常用方法．4．设集合{}2lg lg(815),,cos 0,2x A x x x x R B x x R ⎧⎫==-∈=>∈⎨⎬⎩⎭||，则A B 的元素 个数为 _____ 个． 【答案】1【解析】由2lg lg(815)x x =-，可得28150x x -+=，∴3x =或5x =，检验知符合题意，∴{}3,5A =，3x =时，cos02x >；5x =时，5cos 02<，∴A B 的元素个数为1个，故答案为1．【点评】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，属于基础题．5．抛物线2430x y --=的焦点坐标为 ______ ． 【答案】1(0,)4【解析】由2430x y --=得，234()4x y =+，表示顶点在3(0,)4-，开口向上的抛物线，2p =，∴故焦点坐标是1(0,)4．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线的顶点坐标和p 是解题的关键．6．设数列{}n a 是公比为0q >的等比数列，n S 是它的前n 项和，若lim 7n x S →∞=，则此数列的首项1a 的取值范围为 _____ ． 【答案】(0,7)【解析】若该等比数列是一个递增的等比数列，则n S 不会有极限．因此这是一个无穷递缩等比数列．设公比为q ，则01q <<，01q <<．而等比数列前n 项和1(1)1n n a q S q-=-，因此lim 0nx q →∞=，而根据极限的四项运算法则有，1lim 71n x a S q→∞==-，因此17(1)a q =-，解得1(0,7)a ∈．【点评】本题是中档题，考查等比数列前n 项和的极限问题，注意公比的范围，是解题的关键，考查计算能力． 7．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现 在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种 _____ 种．（结果用数值表示） 【答案】7【解析】设素菜n 种，则225200(1)40n C C n n ≥⇒-≥，所以n 的最小值为7．【点评】正确应用乘法计数原理，组合数以及不等式运算，n 为最小正整数．8．在代数式621()x x -的展开式中，常数项为 ． 【答案】15【解析】通项公式66316621()()(1)()rrr r r r r T C x C x x--+=-=-，令630r -=得2r =，常数项为226(1)15C -=．9．设sin x α=，且5[,]66ππα∈-，则cos arc x 的取值范围是 ____ ．【答案】2[0,]3π 【解析】由题意可得112x -≤≤，而cos arc x 表示在区间[0,]π上余弦值等于x 的一个角，∴20cos 3arc x π≤≤，故答案为 2[0,]3π． 【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，反余弦函数的意义，属于中档题．10．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是 ____ ．【答案】3A【解析】方案1A 盈利的数学期望1500.25650.30260.4543.7EA =⨯+⨯+⨯=；同理可求得23432.5,45.7,44.6EA EA EA ===，易知应选择的方案是3A ．11．已知两个圆：221x y +=①；22(3)1x y +-=②，则由①式减去②式可得上述两个圆 的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 _____ ．【答案】设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠，则由①—②，得两圆的对称轴方程．【解析】将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广：设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠），由①—②，得两圆的对称轴方程．【点评】本题考查的知识点是类比推理．．．．，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．在解决类似题目时，一定要注意观察原题特点，找到其特征，再类比写结论．12．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．左下图表示我国土地沙化总面积在20世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为_______ ．【答案】【解析】1950﹣1970：土地沙化面积增加了3.2（万平方公里）， 平均沙化面积为：0.32（万平方千米）16=（百平方公里）1970﹣1990：平均沙化面积为：0.21（万平方千米）21=（百平方公里）； 1990﹣2000：平均沙化面积为：0.25（万平方千米）25=（百平方公里）．如上图． 【点评】本题主要考查了函数的图象与图想的变化，考查了变量的变化与平均变化的基本概念，考查了识图、作图的能力．二、选择题13．3a =是直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行且不重合的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】当3a =时，两直线分别为3290,3240x y x y ++=++=，∴两直线斜率相等，则平行且不重合；若两直线平行且不重合，则23317a aa a=≠---，∴3a =综上所述，3a =是两直线平行且不重合的充要条件．故选C ．【点评】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．14．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =uuu u r r，111,A D b A A c ==uuuu r r uuu r r ．则下列向量中与1B M uuuu r相等的向量是A ．1122a b c -++r r rB ．1122a b c ++r r rC ．1122a b c -+r r rD ．1122a b c --+r r r【答案】A【解析】由题意可得11112B M B B BM A A BD =+=+uuuu r uuu r uuu r uuu r uu u r111111111111()()22222A AB D c A D A B c b a a b c =+=+-=+-=-++uuu r uuuu r r uuuu r uuu u r r r r r r r ．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．15．已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且,a b αβ⊥⊥，则下列命题中的假命题是A ．若//a b ，则//αβB ．若αβ⊥，则a b ⊥C ．若,a b 相交，则,αβ相交D ．若,αβ相交，则,a b 相交 【答案】D 【解析】略．16．用计算器验算函数lg (1)xy x x=>的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是 A ．lg x y x =在(1,)+∞上是单调减函数 B ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞的值域为lg 3(0,]3 C ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞有最小值 D ．lg lim 0,n nn N n→∞=∈ 【答案】D【解析】∵lg (1)x y x x =>的导数lg (1)x y x x =>，221lg lg lg ln10x xe x x y x x⋅--'==， ∴当(1,)x e ∈时，0y '>；当(,)x e ∈+∞时，0y '<． 可得函数在(1,)e 上为增函数，在(,)e +∞为减函数，最大值lg e y e =，值域为lg (0,]ee，由此可得A 、B 、C 三项都不正确．由极限的运算法则，可得1lg 1ln10lim lim lim 01ln10n n n n n n n →∞→∞→∞===，D 项正确．【点评】本题给出关于函数lg (1)xy x x=>的几个结论，要我们找出其中的正确结论，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的值域求法和极限的运算法则等知识，属于中档题．三、解答题 17．（同理科17）（本题满分12分）已知,,a b c 是ABC ∆中,,A B C ∠∠∠的对边，S 是ABC ∆的面积，若4,5,a b S ===c 的长度．18．（本题满分12分）设12,F F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF >，求12PF PF 的值．【解】解法一：由已知得12126,PF PF F F +==......（4分） 根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则2221212PF PF F F =+，即2211(6)20PF PF =-+， 得12144,33PF PF ==，故1272PF PF =； ......（9分） 若12F PF ∠为直角，则2221212F F PF PF =+，即221120(6)PF PF =+-，得124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分）解法二：由椭圆的对称性不妨设(,)(0,0)P x y x y >>，则由已知可得12(F F ． ......（4分） 根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则4)3P ，于是12144,33PFPF ==，故1272PF PF =；...（9分） 若12F PF ∠为直角，则221941x y ⎧+=⎪⎪⎨=-，解得x y ==，即P ，于是124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分）（说明：两种情况，缺少一种扣3分）．【点评】本题考查椭圆的定义和标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑2PF x ⊥轴时的情况．19．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点，且AE BF =．（Ⅰ）求证：A F C E ''⊥；（Ⅱ）当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求二面角B EF B '--的大小．（结果用反三角函数表示） 【解】（I ）证明：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系． 设AE BF x ==，则(,0,),(,,0),(0,,)A a a F a x a C a a ''-，(,,0)E a x ．∴(,,),(,,)A F x a a C E a x a a ''=--=--u u u r u u u r ．......（4分） ∵2()0A F C E xa a x a a ''⋅=-+-+=u u u r u u u r ，∴A F C E ''⊥． ......（6分） （II ）记,BF x BE y ==，则x y a +=， 三棱锥B BEF '-的体积2311()66224a x y V xya a +=≤=，当且仅当2ax y ==时，等号成立． 因此，三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，2aBF BE ==．......（10分） 过B 作BD EF ⊥交EF 于D ，连B D '，可知B D EF '⊥． ∴B DB '∠是二面角B EF B '--的平面角． 在直角三角形BEF 中，直角边2aBE BF ==，BD 是斜边上的高，∴,tan 4B BBD a B DB BD''=∠== 故二面角B EF B '--的大小为tan arc ......（14分）【点评】本题考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查三棱锥的体积，考查基本不等式的运用，属于中档题． 20．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分．对任意一个非零复数z ，定义集合{}|,nz M z n N ωω==∈．（Ⅰ）设z 是方程10x x+=的一个根，试用列举法表示集合z M ．若在z M 中任取两个数，求其和为零的概率P ；（Ⅱ）设集合z M 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 的值，并说明理由 ． 【解】（Ⅰ）∵z 是方程210x +=的根，∴1z i =或2z i =-． ...............（2分）不论1z i =或2z i =-，{}{}234,,,,1,,1z M i i i i i i ==--． ...............（8分）于是24213P C ==． ...............（10分）（Ⅱ）取12z =-+，则212z =-及31z =． 于是{}23,,z M z z z =． ....................（14分）或取12z =-．（说明：只需写出一个正确答案）【解】（Ⅰ）(0)1f =，表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．......（2分）（Ⅱ）函数()f x 应该满足的条件和具有的性质是：1(0)1,(1)2f f ==， 在[0,)+∞上()f x 单调递减，且0()1f x <≤． ......（8分）（Ⅲ）设仅清洗一次，残留在农药量为1211f a =+， 清洗两次后，残留的农药量为22222116[](4)1()2f a a ==++， ......（12分） 则2212222222116(8)1(4)(1)(4)a a f f a a a a --=-=++++．于是，当a >12f f >；当a =12f f =；当0a <<12f f <．因此，当a >当a =当0a << ......（16分）【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题．考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力． 22．（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．对任意函数(),f x x D ∈，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端，再输出21()x f x =，并依此规律继续下去，现定义42()1x f x x -=+． （Ⅰ）若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ．请写出数 列{}n x 的所有项；（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（Ⅲ）是否存在0x ，，在输入数据0x 时，该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列?若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．【解】（Ⅰ）∵()f x 的定义域(,1)(1,)D =-∞--+∞，∴数列{}n x 只有三项：123111,,1195x x x ===-． ......（3分） （Ⅱ）∵42()1x f x x x -==+，即2320x x -+=，∴1x =，或2x =． 即当01x =或2时，1421n n n n x x x x +-==+．故当01x =时，1n x =；当02x =时，2()n x n N =∈． ......（9分） （Ⅲ）解法一：设0()n x n N <∈． 由0104201x x x -<<+，得0112x -<<，0201410051x x x -<<-，得01557x <<，0302(2319)01911x x x -<<-，得011191923x <<． ∵111219<， ∴同时使123,,x x x 为负数的0x 不存在．故所求的0x 不存在． .....（18分） 解法二：6()41f x x =-+， 当01(,1)[,)2x ∈-∞-+∞时，10x ≥； 当01(1,)5x ∈-时，12(,1),4x x ∈-∞->；当015x =时，11x =-，不能产生2x ； 当011(,)52x ∈时，1(1,0)x ∈-，2(,2)x ∈-∞-，可得30x >．由于同时使123,,x x x 为负数的0x 不存在，故所求的0x 不存在． .....（18分）。