最小二乘法的基本原理和多项式拟合matlab实现_0
最小二乘法曲线拟合-原理及matlab实现
曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。
因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。
原理：给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。
求近似曲线)(x ϕ。
并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。
近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。
常见的曲线拟合方法:1.使偏差绝对值之和最小2.使偏差绝对值最大的最小3.使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程：1. 设拟合多项式为：kk x a x a a x +++=...)(10ϕ2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了：.......4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。
MATLAB实现：MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。
调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]= polyfit(x,y,n)[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。
x 必须是单调的。
矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。
加权最小二乘法 拟合多项式 matlab
加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）是一种经典的拟合方法，用于处理数据中的噪声和异常值。
在拟合多项式的过程中，加权最小二乘法能够更好地适应不同的数据权重，从而得到更准确、更可靠的拟合结果。
结合Matlab强大的数学计算和可视化工具，我们可以更方便、更高效地实现加权最小二乘法拟合多项式。
一、加权最小二乘法的基本原理1. 加权最小二乘法的概念在拟合多项式过程中，常常会遇到数据噪声较大或者部分数据异常值较大的情况。
此时，普通的最小二乘法可能无法有效地拟合数据，因此需要引入加权最小二乘法。
加权最小二乘法通过为每个数据点赋予不同的权重，对异常值和噪声进行更有效的处理。
2. 加权最小二乘法的数学原理加权最小二乘法的数学原理主要是在最小化误差的基础上，引入权重矩阵来调整不同数据点的重要性。
通过优化残差的加权和，可以得到适应不同权重的拟合结果。
二、Matlab中的加权最小二乘法1. Matlab工具Matlab提供了丰富的数学计算和拟合工具，通过内置的polyfit函数和curve fitting工具箱，可以方便地实现加权最小二乘法拟合多项式。
Matlab还提供了丰富的可视化工具，可以直观展示加权最小二乘法的拟合效果。
2. 加权最小二乘法的实现在Matlab中，可以通过指定权重向量来调用polyfit函数，实现加权最小二乘法拟合多项式。
利用Matlab内置的拟合评估工具，可以对拟合效果进行全面评估和优化。
三、实例分析以实际数据为例，我们可以在Matlab环境下进行加权最小二乘法的拟合多项式实例分析。
通过构建数据模型、指定权重、调用polyfit函数并结合可视化工具，可以全面了解加权最小二乘法在拟合多项式中的应用效果。
四、个人观点和总结在实际工程和科学研究中，加权最小二乘法拟合多项式是一种非常有效和重要的数据处理方法。
结合Matlab强大的数学计算和可视化工具，可以更方便、更高效地实现加权最小二乘法拟合多项式。
最小二乘法求二次拟合多项式 matlab
最小二乘法求二次拟合多项式 matlab最小二乘法求二次拟合多项式 Matlab1. 介绍最小二乘法是一种常用的数学优化方法，用于寻找一组参数，使得模型预测值与实际观测值之间的平方误差和最小。
在拟合多项式曲线时，最小二乘法能够帮助我们找到最佳的拟合曲线，从而更好地描述数据之间的关系。
2. 理论基础在进行二次拟合时，我们希望找到一个二次多项式曲线，使得该曲线能够最好地拟合给定的数据点。
二次多项式的一般形式为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为待定系数，需要通过最小二乘法来求解。
3. Matlab实现步骤我们需要将实际观测数据以矩阵的形式输入到Matlab中。
假设我们已经将x轴与y轴的观测数值分别存储在矩阵X和Y中。
接下来，我们可以使用Matlab中的polyfit函数来进行最小二乘法拟合。
该函数的语法为：p = polyfit(X, Y, n)，其中n为多项式的次数。
对于二次拟合，我们将n设为2。
函数将返回多项式系数p，其中p(1)对应于二次项的系数a，p(2)对应于一次项的系数b，p(3)对应于常数项c。
我们可以使用polyval函数来计算拟合的二次多项式在给定x轴数值下的y轴预测值。
语法为：Y_fit = polyval(p, X)。
4. 个人观点和理解最小二乘法求二次拟合多项式在实际工程和科学研究中具有非常重要的应用价值。
通过这种方法，我们能够利用已知数据点来构建一个更加准确的模型，从而能够更好地理解数据之间的关系。
在使用Matlab进行二次拟合时，我们不仅可以得到拟合的二次多项式曲线，还能够通过拟合结果进行后续的数据预测和分析。
这种方法不仅简单高效，而且在处理实际问题时非常有用。
总结通过最小二乘法求解二次拟合多项式，我们能够通过Matlab快速、准确地得到拟合曲线的系数，从而更好地理解数据之间的关系。
这种方法也为我们提供了一种有效的工程应用解决方案。
最小二乘法求二次拟合多项式 Matlab的方法对于分析实验数据和建立数据模型有着重要的意义，值得我们深入学习和应用。
基于最小二乘法的曲线拟合及其在Matlab中的应用
基于最小二乘法的曲线拟合及其在Matlab中的应用【摘要】物理量之间的函数关系的确定在实际研究工作中有很重要的作用。
目前我们用于曲线拟合的方法主要是三次多项式插值法，抛物线加权平均法，张力样条函数插值法等，但这些方法计算量大。
本文结合最小二乘法的基本原理，利用最小二乘方法进行曲线拟合，计算过程简便。
首先介绍了最小二乘法拟合的基本原理，然后介绍了用Matlab实现曲线拟合以得到函数关系的方法和步骤，最后举例详细介绍了该方法的应用。
【关键词】最小二乘法；Matlab；曲线拟合1.引言在现代科学研究中，物理量之间的相互关系通常是用函数来描述的。
有些函数关系是由经典理论分析推导得出的，这些函数关系为我们进一步的分析研究工作提供了理论基础。
在现实的科学研究过程中，有一些问题很难由经典理论推导出物理量的函数表达式，或者此推导出的表达式也十分复杂，不利于进一步的分析，但又很希望能得到这些量之间的函数关系，这时就可以利用曲线拟合的方法，用实验数据结合数学方法得到物理量之间的近似函数表达式。
Matlab是Math Works公司推出的一种科学计算软件，是集数值计算、符号运算及出色的图形处理、程序语言设计等强大功能于一体的科学计算语言。
应用Matlab处理既克服了最小二乘法计算量大等缺点，又使繁琐、枯燥的数值计算变成种简单、直观的可视化操作过程，且能较准确地标记实验数据点和绘出拟合曲线。
2.最小二乘法拟合的基本原理曲线拟合又称函数逼近，是指对一个复杂函数，求出一个简单的便于计算的函数，要求使与的误差在某种度量意义下最小。
我们把近似值和测得值的差值称为残余误差。
即显然，残差的大小是衡量拟合好坏的重要标志。
经常采用的三种衡量的准则为：（1）使残差的最大绝对值最小：；（2）使残差的绝对值之和最小：；（3）使残差的平方和最小：。
分析上面的三种准则，准则（1）、（2）的提法都比较自然，但是由于含有绝对值，所以不利于实际计算，而按照准则（3）来确定参数，得到拟合曲线的方法称作曲线拟合的最小二乘法，它的计算比较简单，是工程实际当中常用的一种函数逼近的方法。
基于Matlab实现最小二乘曲线拟合
基于Matlab实现最小二乘曲线拟合一、本文概述在数据分析和科学计算中，曲线拟合是一种常见且重要的技术。
通过拟合，我们可以根据已知数据建立数学模型，预测未知数据，以及深入理解数据背后的规律。
最小二乘法是曲线拟合中最常用的一种方法，其原理是通过最小化预测值与实际值之间的平方误差来寻找最佳拟合曲线。
本文旨在介绍如何使用Matlab这一强大的数学计算软件，实现最小二乘曲线拟合，包括其理论基础、实现步骤以及实际应用案例。
通过本文的学习，读者将能够掌握在Matlab环境中进行最小二乘曲线拟合的基本方法，提高数据处理和分析能力。
二、最小二乘曲线拟合原理最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
在曲线拟合中，最小二乘法被广泛应用于通过一组离散的数据点来估计一个连续函数的形状。
这种方法的基本思想是通过选择一个模型函数（通常是多项式、指数函数、对数函数等），使得该模型函数与实际数据点之间的差距（即残差）的平方和最小。
假设我们有一组数据点 ((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots,(x_n, y_n))，我们希望通过一个模型函数 (y = f(x, \mathbf{p})) 来拟合这些数据点，其中 (\mathbf{p}) 是模型的参数向量。
最小二乘法的目标就是找到最优的参数向量 (\mathbf{p}^*)，使得残差平方和 (S(\mathbf{p})) 最小：S(\mathbf{p}) = \sum_{i=1}^{n} [y_i - f(x_i,\mathbf{p})]^2]为了使 (S(\mathbf{p})) 达到最小，我们需要对(S(\mathbf{p})) 求偏导数，并令其等于零。
这样，我们就得到了一个关于 (\mathbf{p}) 的方程组。
解这个方程组，就可以得到最优的参数向量 (\mathbf{p}^*)。
matlab 最小二乘 拟合系数
matlab 最小二乘拟合系数【最新版】目录1.MATLAB 简介2.最小二乘法原理3.MATLAB 中的最小二乘拟合4.拟合系数的求解5.总结正文【1.MATLAB 简介】MATLAB 是一种广泛使用的数学软件，它提供了强大的矩阵计算能力和各种数据分析工具。
在数据分析和信号处理领域，MATLAB 可以方便地完成复杂的计算任务，使得用户可以更加专注于理论研究和算法设计。
【2.最小二乘法原理】最小二乘法是一种数学优化技术，它的基本原理是寻找一条直线，使得所有数据点到这条直线的垂直距离之和最小。
对于线性拟合问题，最小二乘法可以求解出最佳拟合直线，而对于非线性拟合问题，最小二乘法可以求解出最佳拟合曲线。
【3.MATLAB 中的最小二乘拟合】在 MATLAB 中，可以使用 polyfit 函数进行最小二乘拟合。
polyfit 函数可以对一组数据点进行多项式拟合，从而得到最佳拟合曲线。
polyfit 函数的语法为：p = polyfit(x, y, n)，其中 x 和 y 是数据点的横纵坐标，n 是最小二乘拟合的阶数。
【4.拟合系数的求解】在使用 polyfit 函数进行最小二乘拟合后，我们可以得到拟合曲线的系数，这些系数即为拟合系数。
拟合系数可以反映拟合曲线与数据点之间的拟合程度，拟合系数的误差可以衡量拟合效果的好坏。
在 MATLAB 中，我们可以使用 polyval 函数计算拟合系数的误差。
【5.总结】MATLAB 中的最小二乘拟合功能为数据分析和信号处理提供了强大的工具，用户可以方便地使用 polyfit 函数进行最小二乘拟合，并求解出拟合系数。
matlab递推最小二乘法函数
一、介绍在数学和工程领域中，最小二乘法是一种常见的参数估计方法，用于寻找一组参数使得观测数据和模型预测值之间的误差最小。
而在matlab中，递推最小二乘法函数是指使用递推方式来实现最小二乘法计算的函数。
本文将介绍matlab中如何编写递推最小二乘法函数，并对其原理和应用进行详细讲解。
二、递推最小二乘法的原理递推最小二乘法是一种迭代方法，通过不断更新参数来逼近最优解。
其原理可以简单描述为以下几个步骤：1. 初始化参数：首先需要初始化参数向量，通常可以使用随机数或者某些先验知识来确定初始参数值。
2. 迭代更新：接下来进入迭代更新阶段，根据当前参数值和观测数据，更新参数向量以降低误差。
3. 判断停止条件：迭代更新的过程中需要设立停止条件，当满足某个条件时停止迭代，可以是达到一定的迭代次数或者参数变化小于某个阈值等。
三、matlab编写递推最小二乘法函数在matlab中，编写递推最小二乘法函数可以通过以下步骤实现：1. 编写初始化函数：首先需要编写一个初始化函数来初始化参数向量，该函数可以接受观测数据和模型的输入，并返回初始参数向量。
2. 编写更新函数：接下来需要编写一个更新函数来进行参数的迭代更新，该函数也可以接受观测数据和当前参数向量的输入，并返回更新后的参数向量。
3. 编写停止条件函数：最后需要编写一个停止条件函数来判断迭代是否应该停止，该函数可以接受当前参数向量和更新前的参数向量的输入，并返回是否停止的逻辑值。
四、matlab递推最小二乘法函数的应用递推最小二乘法函数在matlab中的应用非常广泛，特别是在参数估计、信号处理、系统识别等领域。
通过使用递推最小二乘法函数，可以快速准确地估计出模型参数，从而提高算法的精度和效率。
由于递推最小二乘法具有较好的收敛性和稳定性，因此在实际工程中也得到了广泛的应用。
五、总结通过本文的介绍，读者可以了解到matlab中递推最小二乘法函数的编写和应用。
递推最小二乘法作为一种迭代方法，能够快速准确地估计出模型参数，并在各种工程领域中得到了广泛的应用。
matlab最小二乘法曲线拟合
matlab最小二乘法曲线拟合在数据处理和拟合曲线中，最小二乘法是一种常用的数学方法。
通过最小化数据点到拟合曲线的垂直距离的平方和，最小二乘法可以在给定数据集上拟合出一条曲线。
在MATLAB中，最小二乘法曲线拟合可以通过使用polyfit函数来实现。
最小二乘法原理最小二乘法的目标是找到一条曲线，使得曲线上的点到原始数据点的垂直距离的平方和最小。
具体而言，对于给定的数据集{(x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn)}，最小二乘法拟合的目标是找到一个多项式函数y =f(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n，其中a0, a1, a2, ... , an为待定系数，使得下述式子最小化：这里，ei表示第i个数据点的观测误差。
在MATLAB中使用最小二乘法进行曲线拟合MATLAB提供了polyfit函数来进行最小二乘法曲线拟合。
polyfit函数采用两个输入参数：x和y，分别表示数据点的横坐标和纵坐标。
此外，用户还需要指定多项式的阶数n。
polyfit将返回一个包含拟合多项式系数的向量p。
用户可以使用polyval函数来计算拟合曲线上的点的纵坐标，具体使用如下：p = polyfit(x, y, n);y_fit = polyval(p, x);下面我们通过一个例子来演示如何使用MATLAB进行最小二乘法曲线拟合。
假设我们有如下数据集，表示了一个函数y = f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 2上的一些离散数据点：x = [0, 1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 3, 4, 5, 6, 7];我们可以使用polyfit函数进行二次多项式曲线拟合，代码如下：p = polyfit(x, y, 2);y_fit = polyval(p, x);接下来，我们可以绘制原始数据点和拟合曲线，代码如下：plot(x, y, 'o');hold on;plot(x, y_fit, '-');xlabel('x');ylabel('y');legend('原始数据', '拟合曲线');在图中，原始数据点以圆圈表示，拟合曲线以实线表示。
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---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 最小二乘法的基本原理和多项式拟合matlab实现最小二乘法的基本原理和多项式拟合 matlab 实现最小二乘法的基本原理和多项式拟合一、最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数 p(x) 同所给数据点(xi, yi) (i=0, 1, , m) 误差 ri p(xi) yi(i=0, 1, , m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 riri p(xi) yi(i=0, 1, , m) 绝对值的最大值max0 i m，即误差向量 r (r0, r1, rm) T 的范数；二是误差绝对值的和i 0mri，即误差向量 r 的 1范数；三是误差平方和 i 0 rm2i 的算术平方根，即误差向量 r 的 2范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和 i 0 体大小。
rm2i 来度量误差 ri(i=0， 1，， m) 的整数据拟合的具体作法是：对给定数据 (xi, yi) (i=0, 1, ， m) ，在取定的函数类中,求 p(x) , 使误差 ri p(xi) yi(i=0, 1, , m)的平方和最小，即 i 0 rm2i i 0 p(x) y iim2 min 从几何意义上讲，就是寻求与给定点(xi, yi) (i=0, 1, , m) 的距离平方和为最小的曲线y p(x) （图 6-1）。
函数 p(x) 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数 p(x) 的1 / 15方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法 .61 二多项式拟合为所有次数不超过 n(n m) 的多项式构假设给定数据点(xi, yi) (i=0, 1, , m) ， pn(x) akxkk 0n 成的函数类，现求一 m , 使得 2 I pn(xi) yi i 0 2 n akxik yi mini 0 k0 (1) m 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的 pn(x) 称为最小二乘拟合多项式。
特别地，当 n=1 时，称为线性拟合或直线拟合。
显然 I ( akxik yi) 2 i 0 k 0m n 为 a0, a1, an 的多元函数，因此上述问题即为求 I I(a0, a1, an) 的极值问题。
由多元函数求极值的必要条件，得mn I 2 ( akxik yi) xij 0, aji 0k 0 j 0, 1, , n (2) 即k 0 ( x i 0 nm j ki ) ak xijyi, i 0 m j 0, 1, , n (3) （3）是关于 a0, a1, an的线性方程组，用矩阵表示为m 1 m x i i0 m xin i 0 x x i 0i 0 m m i 2i n 1x ii 0m m x y i ai 0i 00 m m xin 1 a1 xiyi i0 i 0 a m m n2nn xiyi xi i 0 (4) i 0 n i---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------m 式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。
可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。
从式（4）中解出 ak(k=0, 1, ， n) ，从而可得多项式npn(x) akxk k 0 (5) 可以证明，式（5）中的 pn(x)满足式（1），即 pn(x) 为所求的拟合多项式。
我们把 i 0 p m n (xi) yi 2 称为最小二乘拟合多项式 pn(x) 的平方误差，记作 r 22 pn(xi) yi i 0 m 2 由式(2) 可得 r 22 y ak(xikyi) 2ii0 k0 i0 mnm (6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：(1) 由已知数据画出函数粗略的图形散点图，确定拟合多项式的次数 n； (2) 列表计算 i 0 x m ji (j0, 1, , 2n) 和 i 0 x m ji yi (j 0, 1, ,2n) ； (3) 写出正规方程组，求出 a0, a1, an；pn(x) akxk k 0n (4) 写出拟合多项式。
在实际应用中， n m 或 n m；当 n m 时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。
例 1 测得铜导线在温度Ti(℃) 时的电阻 Ri( ) 如表6-1，求电阻 R 与温度 T 的近似函数关系。
数为 R a0 a1T 列表如下 245. 3a03 / 15565. 5 7 245. 39325 a 20199. 83. 445 1解方程组得 a0 70. 572, 故得 R 与 T 的拟合直线为a1 0. 921 R 70. 572 0. 921T 利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。
例如，由 R=0 得 T=-242. 5，即预测温度T=-242. 5℃时，铜导线无电阻。
6-2 例 2 例 2 已知实验数据如下表解设拟合曲线方程为 2 y a ax ax012 列表如下 52381a0329 523813017a147 1 381301725317 a2 1025 解得 a0 13. 4597, 故拟合多项式为 a1 3. 6053 a2 0. 2676 y 13. 4597 3. 6053 0. 2676x2 *三最小二乘拟合多项式的存在唯一性定理 1 设节点 x0, x1, , xn 互异，则法方程组（4）的解存在唯一。
证由克莱姆法则，只需证明方程组（4）的系数矩阵非奇异即可。
用反证法，设方程组（4）的系数矩阵奇异，则其所对应的齐次方程组m 1 m x i i 0 m xin i 0 x x i 0i 0 m m i 2i xi 0 m n 1i m x y i ai 0 i 00 m m n 1 a xi 1 xiyi i 0 i0 a m m n2n n---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------xiyi xi i 0 （7） i 0 n i m 有非零解。
式(7) 可写为( x k 0 i 0 nm j ki ) ak 0, j 0, 1, , n （8）将式（8）中第 j 个方程乘以 aj(j=0, 1, ，n) ，然后将新得到的 n+1 个方程左nmj k aj ( xi) ak0 0 右两端分别相加，得 j 0 k 0i 0 因为 mnnm nmj k mnn2j kjk aj ( xi) ak akajxi ( ajxi) ( akxi) pn(xi) j 0i 0j 0k 0i 0 k 0i 0 i 0j 0k 0 n n 其中pn(x) akxk k 0n 所以 pn(xi) 0 (i=0, 1, , m) pn(x) 是次数不超过 n 的多项式，它有 m+1＞n 个相异零点，由代数基本定理，必须有a0 a1 an 0，与齐次方程组有非零解的假设矛盾。
因此正规方程组（4）必有唯一解。
定理 2 设 a0, a1, , an 是正规方程组（4）的解，则是满足式（1）的最小二乘拟合多项式。
证只需证明，对任意一组数 b0, b1, , bn 组成的多项式 Qn(x) bkxk k 0n pn(x) akxk k 0 n ，恒有Q(x) y p 2 n i i i 0 i 0 mm n (xi) yi 2 即可。
Q(x) y p2 nii i 0i 0 m2 i5 / 150mmn(xi) yi m2Qn(xi) pn(xi) 2Qn(xi) pn(xi) pn(xi) yi i 0 0 2 i 0j 0mn n m n n j kk(bj aj) xi akxi yi 2 bj aj akxi yi xi j0i0k0k0 j 因为 ak(k=0, 1, ， n) 是正规方程组（4）的解，所以满足式（2），因此有 2 Q(x) y p(x) y nii nii 02 i 0i 0mm 故 pn(x) 为最小二乘拟合多项式。
*四多项式拟合中克服正规方程组的病态在多项式拟合中，当拟合多项式的次数较高时，其正规方程组往往是病态的。
而且①正规方程组系数矩阵的阶数越高，病态越严重；②拟合节点分布的区间x0, xm 偏离原点越远，病态越严重；③xi(i=0, 1, ， m) 的数量级相差越大，病态越严重。
为了克服以上缺点，一般采用以下措施：①尽量少作高次拟合多项式，而作不同的分段低次拟合；②不使用原始节点作拟合，将节点分布区间作平移，使新的节点 xi 关于原点对称，可大大降低正规方程组的条件数，从而减低病态程度。
平移公式为：xi xi x0 xm, 2i 0, 1, , m (9) ③对平移后的节点 xi(i=0, 1, ， m) , 再作压缩或扩张处理：xi pxi, p (m 1) 其中i 0, 1, , m （10）(x) i i 0m2r, （r 是拟合次数）（11）经---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------过这样调整可以使 xi 的数量级不太大也不太小，特别对于等距节点xi x0 ih(i 0, 1, , m) ，作式（10）和式（11）两项变换后，其正规方程组的系数矩阵设为 A，则对 1～4 次多项式拟合，条件数都不太大，都可以得到满意的结果。
变换后的条件数上限表如下：④在实际应用中还可以利用正交多项式求拟合多项式。
一种方法是构造离散正交多项式；另一种方法是利用切比雪夫节点求出函数值后再使用正交多项式。
这两种方法都使正规方程组的系数矩阵为对角矩阵，从而避免了正规方程组的病态。
我们只介绍第一种，见第三节。
例如 m=19, x0=328, h=1, x1=x0+ih， i=0, 1, ， 19，即节点分布在［328, 347］，作二次多项式拟合时① 直接用 xi 构造正规方程组系数矩阵 A0，计算可得 cond2(A0) 2.25 1016 严重病态，拟合结果完全不能用。