高一数学充分条件与必要条件1(教师)

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高一数学第一章(第18课时)充分条件与必要条件(1)

课题：1.8 充分条件与必要条件（一）教学目的：1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断教学难点：充分性与必要性的推导顺序一、复习引入：同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.二、讲解新课：⒈符号“⇒”的含义前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者q⇐p；如果由p推不出q，命题为假，记作p简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；“若p则q”为假，记作p q（或q p）.符号“⇒”叫做推断符号.例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 ⇒x2>0；又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等⇒两三角形面积相等.说明：⑴“p⇒q”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”.⑵“p⇒q”也可写为“q⇐p”，有时也用“p→q”.练习：课本P35练习：1⑴⑵⑶⑷.答案：⑴⇒；⑵⇒；⑶；⑷.⒉什么是充分条件？什么是必要条件？如果已知p⇒q，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.在上面是两个例子中，“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.⒊充分条件与必要条件的判断1.直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p 的必要条件”.（条件与结论是相对的）三、范例例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：⑴ p：x=y；q：x2=y2.⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.解：⑴由p⇒q，即x=y⇒x2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.⑵由p⇒q，即三角形的三条边相等⇒三角形的三个角相等，知p是q 的充分条件，q是p的必要条件；又由q⇒p，即三角形的三个角相等⇒三角形的三条边相等，知q也是p 的充分条件，p也是q的必要条件.练习：课本P35练习：2⑴⑵⑶⑷.答案：⑴∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；⑵∵q⇒p，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；⑶∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.⑷∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.2.利用逆否命题判断：即“若┐q⇒┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色⇒B为绿色”是真的，∴由定义知，“A 为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.⑵如图2⑴，∵“红点在B内⇒红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A 不为绿色”. ∵“B不为绿色⇒ A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内⇒红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明.先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即p⇒q）的形式.再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q⇒┐p）的形式.总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.四、练习：（补充题）用“充分”或“必要”填空，并说明理由：⒈“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的充分条件；⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的必要条件；⒊“x≠3”是“|x|≠3”的充分条件；⒋“x-1=0”是“x2-1=0”的充分条件；⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件；⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b2-4ac≥0”是“这个方程有两个正根”的必要条件；⒏“a=2，b=3”是“a+b=5”的充分条件；⒐“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件；⒑“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件.五、小结：本节主要学习了推断符号“⇒”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.判断充分条件与必要条件的依据是：若p ⇒q （或若┐q ⇒┐p ），则p 是q 的充分条件；若q ⇒p （或若┐p ⇒┐q ），则p 是q 的必要条件.六、作业：1．课本P 34-35内容，熟悉巩固有关内容.2．设A 是C 的充分条件，B 是C 的充分条件，D 是C 的必要条件，D 是B 的充分条件，那么，D 是A 的什么条件？A 是B 的什么条件？解：由题意作出逻辑图（右图），便知，D 是A 的必要条件；A 是B 的充分条件.3．预习：课本P 35-36内容. 课题：1.1集合－集合的概念（2）教学目的：（1）进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义（3）会运用集合的两种常用表示方法教学重点：集合的表示方法教学难点：运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：上节所学集合的有关概念1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法（1）自然数集：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + ，{} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}所有整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R ，{}数数轴上所有点所对应的=R3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写二、讲解新课：（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或 23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？答：不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集（三）有限集与无限集1、有限集：含有有限个元素的集合2、无限集：含有无限个元素的集合3、空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x三、练习题：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 四、小结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：有限集、无限集、空集2．集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：七、板书设计（略）八、课后记：。

充分条件与必要条件(1) PPT教学课件 (高一数学人教A版必修一册)

高中数学
理解概念
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；真命题 “平行四边形的对角线互相垂直” 是“这个平行四边形是菱形”的充分条件，“这个平行四边形是菱形”是 “平行四边形的对角线互相垂直”的必要条件 .
理解概念
（4）若平面内两条直线 a 和 b 均垂直于直线 l ，则 a / /b . 真命题
下列“若 p ，则 q”形式的命题中，哪些是真
命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；真命题（2）若两个三角形周长相等，则这两个三角形全等；
高中数学
复习思考
下列“若 p ，则 q”形式的命题中，哪些是真
命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；真命题（2）若两个三角形周长相等，则这两个三角形全等；假命题
下列“若 p ，则 q”形式的命题中，哪些是真
命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
高中数学
复习思考
下列“若 p ，则 q”形式的命题中，哪些是真
命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；真命题
高中数学
复习思考
命题？哪些是假命题？
（3）若 x2 4x 3 0，则 x 1；假命题（4）若平面内两条直线 a和 b 均垂直于直线 l ，则 a / /b .
高中数学
复习思考
下列“若 p ，则 q”形式的命题中，哪些是真
命题？哪些是假命题？
（3）若 x2 4x 3 0，则 x 1；假命题
（4）若平面内两条直线 a和 b 均垂直于直

必要条件与充分条件(1)课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

（3）当 = 1时， − 1 = — 1 = 0，所以 ⟹ ，所以q是p的必要条件．
（4）当 = −2时， − 2 ≤ ≤ 5成立，但是−1 ≤ ≤ 5不成立，所以 ⇏ ，
所以q不是p的必要条件．
（5）0是自然数，但是0不是正整数，所以 ⇏ ，所以q不是p的必要条件．
（6）等边三角形一定是等腰三角形，所以 ⇒ ，所以q是p的必要条件．
出这两个三角形的对应角相
等；而一旦两个三角形的对
应角不相等，那么这两个三
角形一定不是全等三角形．
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
怎么理解必要条件呢？仔细分析下面三个定理，找出必要条件，并
分析体会何为“必要”．
结论：
上面三个定理（命题）都可以写成相同的形式：
“如果成立，那么成立”（或“若p成立，则q成立”），
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”．
（1）已知 ⟹ ，则“若，则”是真命题．（）
（2）已知 ⟹ ，则的充分条件是，的必要条件是．（）
（3）是的必要条件是指“要使成立，必须要有成立”也就是说“若不
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
将下面的性质定理写成“若p，则q”的形式，并指出必要条件．
（1）平面四边形的外角和是360°；
（2）在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同．
解：（1）“平面四边形的外角和是360°”可表述为
“若平面多边形为四边形，则它的外角和为360°”，

充分条件与必要条件(教学设计)高一数学系列(人教A版2019)

从前有一个牧民，养了几十只羊，白天放牧，晚上赶进一个用柴草和木桩等物围起来的羊圈内。

一天早晨，这个牧民去放羊，发现羊少了一只。

原来羊圈破了个窟窿，夜间有狼从窟窿里钻了进来，把一只羊叼走了。

邻居劝告他说：“赶快把羊圈修一修，堵上那个窟窿吧。

”他说：“羊已经丢了，还去修羊圈干什么呢?”没有接受邻居的好心劝告。

第二天早上，他去放羊，发现又少了一只羊。

原来狼又从窟窿里钻进羊圈，又叼走了一只羊。

这位牧民很后悔没有认直接受邻居的劝告，去及时采取补救措施。

于是，他赶紧堵上那个窟窿，又从整体进行加固，把羊圈修得十分牢固的。

从此，这个牧民的羊就再也没有被野狼叼走过了。

【知识二：充分条件与必要条件】一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可以推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件(sufficient condition)，q 是p 的必要条件(necessary condition)．如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p ⇏q .此时，我们就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件．例1 .下列“若p 则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。

（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。

（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。

（4）211x x ==若，则（5）若a =b ，则ac =bc 。

（6）若x ，y 为无理数，则xy 为无理数。

通过问题探究，使学生深入充分条件、必要条件的概念，培养数学抽象的核心素养。

2.下列“ 若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？(1)若直线 l 与⊙O 有且仅有一个交点，则 l 为⊙O 的一条切线；(2)若x 是无理数，则x 2也是无理数．3.如图，直线 a 与 b 被直线 l 所截，分别得到了∠1，∠2，∠3和∠4．请根据这些信息，写出几个“a //b ”的充分条件和必要条件．。

初升高数学暑假衔接(人教版)第04讲充分条件与必要条件(教师版)

第04讲充分条件与必要条件1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义；2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系；3．能通过充分性、必要性解决简单的问题；4．能对充分条件进行证明。

一、命题的定义与表示1、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．2、命题的表示：命题表示为“若p ，则q ”时，p 是命题的条件，q 是命题的结论．二、充分条件条件与必要条件1、充分条件与必要条件定义（1）一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由条件p 通过推理可以得出结论q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

（2）如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p q ¿.这时，我们就说，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件。

2、充分条件与必要条件的关系p 是q 的充分条件反映了p q ⇒，而q 是p 的必要条件也反映了p q ⇒，所以p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同。

而p 是q 的充分条件只反映了p q ⇒，与q 能否推出p 没有任何关系。

三、充要条件1、充要条件的定义如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均为真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔。

此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。

2、充要条件的含义若p 是q 的充要条件，则q 也是p 的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同。

3、充要条件的等价说法：p 是q 的充要条件又常说成是q 成立当且仅当p 成立，或p 与q等价。

四、充分、必要、充要条件的证明1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。

人教A版高中数学选修一1-2-1 《充分条件与必要条件》教案

§1.2.1 充分条件与必要条件教学目标1、知识与技能（1）理解充分条件、必要条件及充要条件的概念；理解“⇒”的含义。

（2）初步掌握充分、必要条件及充要条件的判断方法。

（3）在理解定义的基础上，能对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。

2、过程与方法通过对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3、情感、态度与价值观（1）通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（2）通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学重点（1）对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和判断.（2）利用定义法、从集合角度、等价命题解决充要条件问题.教学难点理解充分条件、必要条件、充要条件的判断方法.教学方法小组合作学习，由微课引入课题，用例子的形式和同学一起探究得出问题的解决办法. 教学过程一、微课《水滴石穿》引入新课教师板书课题--1.2 充分条件与必要条件二、新授课1、新的数学符号：“⇒”读作:推出； “⇒/”读作：推不出.2、教师总结板书定义：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.也可以简单说成：⎧⎨⎩前者是后者的充分条件；如果前者能推出后者后者是前者的必要条件. 3、教师板书定义：如果q ⇒p ，那么我们就说，p 是q 的必要条件,q 是p 的充分条件.4、教师板书定义：若p ⇒q 且q ⇒/p ，即p 是q 成立的充分条件，但不是必要条件，我们称p 是q 的充分不必要条件．下面我们对定义加以运用，看下面的例题.221.(1).1,430.(2).(),().(3).,.p q p q x x x f x x f x R x x =-+==例下列“若、则”的命题中，哪些命题中的是的充分条件？若则若则在上是增函数若为无理数则为无理数学生思考分析：因为(1) (2)中p ⇒q ，(3)中p ⇒/q ，所以p 是q 的充分条件.教师点评例2 下列“若p ，则q”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的必要条件？(1)若x 2=y 2，则x=y.(2)若两个三角形的面积相等,则这两个三角形全等.(3)若ac 2>bc 2，则a>b.学生思考分析：命题(1) (2)中q ⇒p ，命题(3)中q ⇒/p ，所以命题(1)(2)中的p 是q 的必要条件. 教师点评加法总结：如何判断p 是q 的充分条件,p 是q 的必要条件？教师板书：1、可以判断命题的真假；2、看p q ⇒是否成立；看q p ⇒是否成立.例3下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分不必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若0ab =，则a=0.学生思考分析：命题（1）（2）中p ⇒q 且q ⇒/p ，所以命题（1）（2）中的q 是p 的充分不必要条件. 教师提问：命题（3）中p ⇒q ，q ⇒p 吗？那么p 是q 的什么条件呢？我们给出新的定义.5、教师板书定义：若p ⇒/q 且q ⇒p ，即p 是q 成立的必要条件，但不是充分条件，我们称p 是q 的必要不充分条件．思考：条件p ：三角形的三条边相等，结论q ：三角形的三个角相等，p ⇒q ，q ⇒p 成立吗？因此，p q 是的什么条件？6、教师板书定义：如果p ⇒q 且q ⇒p ，记作p ⇔q ．这时，p 既是q 成立的充分条件，又是q 的必要条件，我们称p 是q 的充分必要条件，简称p 是q 的充要条件．另外，如果p ⇒/q 且q ⇒/p ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件练习1：下列各组语句中，p 是q 的什么条件？（1）p ：a ＞0，b ＞0，q ：a ＋b ＞0；充分不必要条件（2）p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形；必要不充分条件（3）p ：|x|＜1，q ：－1＜x ＜1；充要条件（4） p ：a ＞b ，q ：a 2＞b 2. 既不充分也不必要条件学生小组研究完成，再由学生回答。

高中数学必修1《充分条件与必要条件》说课教案附学生教师评价表

《充分条件与必要条件》说课教案广西柳州地区民族高中数学组彭葆蓓一、背景分析1、学习任务分析：充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

在旧教材中，这节内容安排在《解析几何》第二章“圆锥曲线”的第三节讲授，而在新教材中，这节内容被安排在数学第一册（上）第一章中“简易逻辑”的第三节。

除了教学位置的前移之外，新教材中与充要条件相关联的知识体系也作了相应的扩充。

在“充要条件”这节内容前，还安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这二节内容作为必要的知识铺垫，特别是“逻辑联结词”这部分内容是第一次进入中学数学教材，安排在充要条件之前讲授，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。

教学重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。

2、学生情况分析：从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”（注意：新教学大纲的教学目标是“掌握充要条件的意义”），这是比较切合教学实际的．由此可见，教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。

教学难点：“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.根据多年教学实践,学生对”充分条件”的概念较易接受,而必要条件的概念都难以理解.对于“B=>A”,称A是B的必要条件难于接受,A本是B推出的结论,怎么又变成条件了呢?对这学生难于理解。

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学科教师辅导讲义讲义编号_
C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形
D ．p ：a≠0，q ：关于x 的方程ax ＝1有惟一解
18、设A 、B 、C 三个集合，为使A (B ∪C)，条件A B 是（）
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
19、给出下列各组条件：
(1)p ：ab ＝0，q ：a 2＋b 2＝0；
(2)p ：xy≥0，q ：|x|＋|y|＝|x ＋y|；
(3)p ：m ＞0，q ：方程x 2－x －m ＝0有实根；
(4)p ：|x －1|＞2，q ：x ＜－1．
其中p 是q 的充要条件的有（）
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
20、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是（）
A 、所给命题为假
B 、它的逆否命题为真
C 、它的逆命题为真
D 、它的否命题为真
21、“α≠β”是cosα≠cosβ”的（）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
22、已知p ：方程x 2+ax+b=0有且仅有整数解，q ：a ，b 是整数，则p 是q 的（）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件 C.充要条件 D 、既不充分又不必要条件
【课堂总结】
思考回顾：
1、本节课主要讲了哪些知识点：
2、如何写一个命题的其他几个命题形式？在改写的过程中有哪些注意事项？
3、如何判断充分必要条件？在判断过程中有什么好的办法？
【课后练习】
1、判断下列命题的真假：
1．(x -2)(x +3)=0是(x -2)2+(y +3)2=0的充要条件。

解：是假命题。

反例；若x =2, y ≠-3
2．x 2=4x +5是 x 254x x =+的必要条件。

解：是假命题。

{x | x 2=4x +5}={-1,5} {x | x 2
54x x =+}={0,5} 3．内错角相等是两直线平行的充分条件。

解：是真命题。

4．ab <0是 |a +b |<|a -b | 的必要而不充分条件。

解：是假命题。

|a -b |>|a +b |≥0 ⇔ (a -b )2>(a +b )2 ⇔ a 2-2ab +b 2> a 2+2ab +b 2
⇔ 4ab <0 ⇔ ab <0 ∴(ab <0是 |a +b |<|a -b | 的充要条件)
2、已知关于x 的方程 (1-a )x 2
+(a +2)x -4=0 a ∈R 求：
1) 方程有两个正根的充要条件；。

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