对勾函数详细分析教学指导
3.3探究对勾函数的图象与性质教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修
让学生分组讨论对勾函数性质的推导过程，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
5. 总结回顾（用时5分钟）
回顾本节课的主要内容，强调对勾函数性质的重要性，引导学生总结对勾函数的概念、性质和应用，提高学生的记忆和理解能力。
总用时：45分钟
六、教学资源拓展
1. 拓展资源：
十、对勾函数性质的证明和推导过程
1. 对勾函数性质的证明方法
2. 对勾函数性质的推导过程
3. 对勾函数性质的应用实例
十一、对勾函数性质的实际应用
1. 对勾函数性质的应用实例
2. 对勾函数性质的实际问题解决
3. 对勾函数性质的应用技巧
十二、对勾函数与其他函数的关系
1. 对勾函数与三角函数的关系
2. 对勾函数与指数函数的关系
5. 激发学生的数学兴趣：通过对勾函数的图象特征和性质的学习，激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学学习热情。
三、重点难点及解决办法
1. 重点：对勾函数的性质。
- 难点来源：对勾函数性质的理解和运用。
- 解决方法：通过例题讲解和练习巩固，帮助学生理解和掌握对勾函数的性质。
2. 重点：对勾函数性质的应用。
提供一些对勾函数性质的验证题目，让学生通过计算和作图的方式，验证对勾函数的性质。
b. 对勾函数性质的实际应用（用时5分钟）
提供一些实际问题，让学生运用对勾函数的性质进行解答，培养学生的数学应用能力。
c. 对勾函数图象的绘制（用时5分钟）
通过数学软件或手工绘制对勾函数图象，让学生直观地理解对勾函数的图象特征，提高学生的空间想象能力。
4. 总结：总结本节课的主要内容，强调对勾函数性质的重要性。
七、教学评价
基本不等式精讲+对勾函数暴力讲解
第2讲 基本不等式精讲+对勾函数暴力讲解【学习目标】1.了解基本不等式的证明过程.2.会用对勾函数的性质求特定函数的最值3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.【要点梳理】要点1 对勾函数()0,0by ax a b x=+>>的图像与性质 （1） 定义域：()(),00,-∞+∞；（2） 值域：(),2,ab ⎡-∞-+∞⎣； （3） 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称；（4） 图像在一、三象限，当0x >时，by ax x=+≥x =等号），即()f x 在x =0x <时，()f x 在x =-；（5） 单调性：增区间⎫+∞⎪⎪⎭，,⎛-∞ ⎝，减区间是⎛ ⎝，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭要点2 基本不等式 基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 要点3 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 要点4 利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 【经典例题】 题型1 基本公式套用例1 【★】已知a ，b ，0c >，且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值为________．例2 【★•2019秋•徐汇区校级期中】设0x >，0y >，下列不等式中等号能成立的有（ ）． ①114x yx y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②()114x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭；24；④4x y ++；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3 【★•2019秋•历下区校级月考】设,a b +∈R ，则下列各式中不一定成立的是（ ）． A ．2a b ab + B ．2b aa b+C 222abD ．2ab ab a b+例4 【★•2019秋•迎泽区校级月考】已知实数1x >，则91x x +-的最小值为（ ）． A ．4B ．6C ．7D ．10例5 【★★】设a ，0b >，5a b +=+________．例6 【★★•2019秋•梅河口市校级期末】已知a ，b 为正数，2247a b +=，则大值为（ ）．A B C ．D ．2题型2 对勾函数例1【★★•2019秋•淮安期末】函数22(1)1y x x x =+>-的最小值是( ) A ．2B ．4C ．6D ．8例2【★★•2020春•龙华区校级月考】若1x >，则1411x x ++-的最小值等于( ) A ．6B ．9C ．4D ．1例3【★★•2019春•河北月考】若1x <，则2471x x x -+-的( )A ．最小值为2B ．最大值为2C ．最小值为6-D ．最大值为6-例4【★★•2019春•东湖区校级月考】函数24(0)1x x y x x ++=>+的最小值是( )A ．3B ．4C ．103D ．6例5【★★•2019秋•常熟市期中】若2x >，则函数42y x x =+-的最小值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6题型3 “1”的代换例1．【★★•2020•韶关二模】已知0x >，0y >，且121x y+=，则2x y +的最小值是( ) A ．7B ．8C ．9D ．10例2．【★★•2020•辽阳二模】已知0a >，0b >，32a b ab +=，则23a b +的最小值为()A ．20B ．24C ．25D ．28例3．【★★•2020春•九龙坡区校级期中】若x ，y R +∈，且315x y+=，则34x y +的最小值是( )A ．5B ．245C D ．195例4．【★★•2020春•昌吉市期中】若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为( ) A ．5 B ．6C ．8D ．9题型4 x ，y ，xy 型例1【★★•2019春•江岸区校级期末】已知223a b ab ++=，0a >，0b >，则2a b +的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[33)C ．[2，)+∞D ．[2，3)例2【★★•2020春•浙江期中】已知0x >，0y >，3236x y xy ++=，则3x y +的最小值为 ．例3【★★•2020春•定海区校级月考】已知实数a ，b 满足1a >，0b >且2220a b ab +--=，那么2a b +的最小值是 ．例4【★★•2020•红桥区模拟】已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是 ． 例5【★★•2020•河西区二模】已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为例6【★★•2020•锡山区校级模拟】已知01a <<，01b <<，且44430ab a b --+=，则12a b+的最小值是 ．题型5 2x ，2y ，xy 型例1【★★•2020•浙江模拟】对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为( ) A ．12-B ．12C ．2-D ．2例2【★★•2019秋•聊城期末】若实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是()A ．6B ．4C D ．23例3【★★•2020春•浙江期中】若正数x ，y 满足2249330x y xy ++=，则xy 的最大值是() A ．43B ．53C ．2D ．54例4【★★•2020•南通模拟】（2020•南通模拟）已知实数x ，y 满足22210x xy y ---=，则222522x yx xy y +++的最大值为 ．【课后练习】1．【★2020春•福州期中】以下结论，正确的是（ ） A ．y ＝x +≥4 B ．e x +＞2C ．x （1﹣x ）≤（）2＝D ．sin x +（0＜x ＜π）的最小值是22．【★★2020•湖北模拟】直线2ax +by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ） A ．9B ．4C ．8D ．103．【★★2020•滨海新区模拟】已知正实数a ，b 满足a +b ＝1，则的最小值为（ ） A ．13B ．11C ．10D ．94．【★★2020•河东区一模】已知实数a 、b ，ab ＞0，则的最大值为（ ）A．B．C．D．6。
对勾函数详细分析
对勾函数详细分析对勾函数是一种经典的激活函数，在人工神经网络中被广泛使用。
它的主要特点是非线性，能够接受任意实数作为输入，输出范围在0和1之间。
在本文中，我们会详细分析对勾函数的定义、数学性质、应用以及优缺点。
对勾函数的定义为 f(x) = 1 / (1 + exp(-x))，其中 exp(x) 表示自然指数函数。
这个函数的图像是在x轴上下限分别为负无穷大和正无穷大，y轴上下限分别为0和1的S形曲线。
当 x 趋近正无穷大时，f(x) 趋近于1；当 x 趋近负无穷大时，f(x) 趋近于0。
对勾函数的主要数学性质如下：1.非线性：对勾函数是一种非线性函数，这是它被广泛使用的主要原因之一、它可以通过增加网络的复杂度来学习复杂的非线性模式。
2.可微性：对勾函数是连续可导的函数，这使得它可以与其他函数进行组合，形成复杂的神经网络结构。
对勾函数的导数f'(x)可以通过对f(x)进行求导得到，其表达式为f'(x)=f(x)(1-f(x))。
3.单调性：对勾函数是单调递增的，这意味着当输入值增加时，输出值也会增加。
这种单调性有助于网络的学习过程。
对勾函数在人工神经网络中的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.模式识别：对勾函数可以用于二分类问题的模式识别。
例如，在人脸识别中，可以使用对勾函数作为分类器来判断输入图像是人脸还是非人脸。
2.概率估计：对勾函数可以将实数映射到概率值的范围（0到1之间）。
这在机器学习中经常用于估计事件发生的概率。
3.深度学习：对勾函数是目前最流行的神经网络模型，深度神经网络中的常用激活函数。
它可以通过复杂的网络结构来学习高级的非线性模式。
虽然对勾函数有许多优点，但它也有一些缺点。
1.饱和性：当输入值较大或较小时，对勾函数的导数值会趋近于0，导致梯度消失的问题。
这会导致网络训练过程中的梯度更新过小，使得学习过程变得缓慢。
2.输出范围限制：对勾函数的输出范围为0和1之间，这意味着对勾函数不能表示负数的情况。
对勾函数专题讲解
专题 对勾函数及其应用1．对勾函数定义对勾函数是指形如：y ＝ax ＋bx (a>0,b>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。
2．对勾函数y ＝ax ＋bx(a >0，b >0)的性质(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：(－∞，－2ab ]∪[2ab ，＋∞)． (3)奇偶性：在定义域内为奇函数． (4)单调性：(－∞，－b a)，(ba，＋∞)上是增函数；(－ba，0)，(0，ba)上是减函数． 3．y ＝ax ＋bx (a >0，b >0)的单调区间的分界点：±b a. 求分界点方法：令ax ＝bx⇒x ＝±b a. 特殊的，a >0时，y ＝x ＋ax的单调区间的分界点：±a .4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解． 5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式： 若a >0，b >0，则x >0时，ax ＋bx ≥2ab .当且仅当ax ＝bx，x ＝ba时取等号． 例1 已知f (x )＝x ＋5x ，求f (x )在下列区间的最小值．(1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]．变式训练 已知函数f (x )＝x 2＋5x 2＋4，求f (x )的最小值，并求此时x 的值．例2 求函数f (x )＝x 2－2x －1x ＋2(0≤x ≤3)的值域．变式训练 求函数f (x )＝x 2－4x ＋12x －1，x ∈[]2，5的值域．强化训练1．下列函数中最小值是4的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝x ＋2x C ．y ＝4x x-D ．y ＝x 2＋1x 2＋1＋3，(x ≠0) 2．函数y ＝x ＋4x，x ∈(1,3]的值域为( )A ．[133，5)B ．[4,5)C ．[133，4) D ．(4,5)3．函数y ＝－x ＋41－x ＋3，x ∈[)－1，0的值域为____________．4．y ＝2x 2＋31＋x 2的最小值是________．5．已知x >0，则2＋x ＋4x的最小值是________．6．函数y ＝x ＋3x 在区间[-2,-1]上的最大值为____________．7．若函数y ＝xax y 2+=(a ＞0)在区间(5，＋∞)上单调递增，则a ∈________________. 8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x (x ∈[2，＋∞))．(1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )>21122+-a a 恒成立，求a 的取值范围．9．已知函数f (x )＝x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，a >0.(1) 当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2) 若函数f (x )的最小值为4，求实数a .10求函数()f x x=的最大值.（较难）参考答案1．C A 选项，由于x 可取负值，显然最小值不是4，排除A ； B 选项，由于x 可取负值，显然最小值也不是4，排除B ； C 选项，由于y ＝2·2x ＋22x ＝2(2x ＋12x )，换元，令t ＝2x ，t >0，则y ＝2(t ＋1t )≥4，当且仅当t ＝1即x ＝0时，函数有最小值4，D 选项，由于y ＝x 2＋1x 2＋1＋3＝x 2＋1＋1x 2＋1＋2，换元，令t ＝x 2＋1，t >1，则y ＝t ＋1t ＋2，函数在(1，＋∞)上单调递增，因此y >4，排除D 选项．综上，答案为C.2．B 由对勾函数性质可知，当x ＝4x ，即x ＝2时，表达式有最小值4，又函数在(1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增， f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133，所以值域为[4,5)，答案为B.3．[6,7)解析 y ＝－x ＋41－x ＋3＝1－x ＋41－x ＋2，换元，令t ＝1－x ，则x ∈[)－1，0时t ∈(1,2]， y ＝t ＋4t ＋2，函数在(1,2]上单调递减，若t ＝1，则y ＝1＋41＋2＝7，若t ＝2，则y ＝2＋42＋2＝6，故函数值域为[6,7)． 4．26－2解析 换元，令t ＝1＋x 2，则t ≥1，x 2＝t －1， y ＝2(t －1)＋3t ＝2t ＋3t －2，函数在[1，32]上单调递减，在[32，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝32时，函数有最小值26－2. 5．6解析 由对勾函数性质可知，当x ＝4x ，即x ＝2时，表达式有最小值6.6．23解析 因为y ＝x ＋3x 在区间[1, 3 ]上单调递减，在[3，2]上单调递增，所以当x ＝3时函数有最小值2 3.7．(0,5] 8．1 760解析 池底面积为82＝4 cm 2，设池底宽为x cm ，则长为4x cm ，则水池的造价为4×120＋2(4x ×2＋x ×2)×80＝480＋1 280x＋320x ≥480＋2 1 280x×320x ＝1 760. 9．解析 (1)设休闲区的宽为a 米，则其长为ax 米． 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x，则S ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160 ＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010(2x ＋5x)＋4 160， 即S ＝8010(2x ＋5x)＋4 160. (2)S ＝8010(2x ＋5x)＋4 160≥16010·10＋4 160＝5 760， 当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时取等号，此时a ＝40， ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米． 10．解析 (1)设AD ＝t 米，则由题意得xt ＝600，且t >x ， 故t ＝600x>x ，可得0<x <106，则y ＝800(3x ＋2t )＝800(3x ＋2×600x )＝2 400(x ＋400x)，所以y 关于x 的函数解析式为y ＝2 400(x ＋400x )(0<x <106)．(2)y ＝2400(x ＋400x)≥2 400×2x ·400x＝96 000， 当且仅当x ＝400x，即x ＝20时等号成立．故当x 为20米时，y 最小．y 的最小值为96 000元． 11．解析 (1)任取x 1，x 2∈[2，＋∞)， 且x 1<x 2，f (x )＝x ＋3x ＋2.则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2) (1－3x 1x 2)， ∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0， 又∵x 1≥2，x 2>2， ∴x 1x 2>4,1－3x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 故f (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴当x ＝2时，f (x )有最小值f (2)＝112.(2)∵f (x )>a 恒成立，∴只需f (x )min >a . 又∵f (x )min ＝112，∴a <112.12．解析 (1) a ＝12时， f (x )＝x ＋12x ， x ∈[1，＋∞)．令x ＝12x (x >0)，得x ＝22∉[1，＋∞)，∴不能用不等式求最值． 设1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2) ＝(x 1－x 2)＋(12x 1－12x 2)＝(x 1－x 2)(1－12x 1x 2)<0， ∴函数 f (x ) 在[1，＋∞)上是单调递增函数， ∴f min (x )＝f (1)＝32.(2)当0<a <1时，令x ＝ax ，得x ＝a <1,∵a ∉[1，＋∞) ，∴类似于(1)可知函数f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数， ∴f min (x )＝f (1)＝1＋a ＝4， 得a ＝3，与0<a <1不符(舍)；当a ≥1时，a ≥1，∴由不等式知x ＋ax ≥2a ，当x ＝ax ，即x ＝a 时， f min (x )＝2a ＝4，解得a ＝4.综上所述，函数f (x )的最小值为4时，a ＝4.13．解析 (1)依题意，当x ＝0 时，C ＝8，∴k ＝40 ， ∴C (x )＝403x ＋5，∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10，设3x ＋5＝t ，t ∈[5,35]， ∴y ＝2t ＋800t－10≥22t ·800t－10＝70，当且仅当2t ＝800t ，即t ＝20时等号成立．这时x ＝5 ，因此f (x )的最小值为70.即隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元．。
3.3探究对勾函数的图象与性质教学设计-高一上学期数学人教A版
人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第三章 3.3 探究函数x
x y 1+=的图象与性质教学设计
一、学情分析：
通过函数定义域、值域、单调性与奇偶性的学习，学生初步具备学习这类函数的基础和方法。
二、教学目标：
（1）以函数x
x y 1
+
=为载体，初步感受研究函数性质的基本过程与方法. （2）探究函数x
k
x y +=）（0>k 的图象与性质.
（3）体会由特殊到一般、数形结合等数学思想在数学研究中的应用.
（4）能够利用这类函数的性质求简单的值域问题，感受其在实际生活中的应用.
（5）直观感受函数(0,0)b
y ax a b x
=+≠≠的图象.
三、重点：函数1
y x x =+的图象与性质的探究.
难点：函数1
y x x
=+的单调区间的确定及单调性的证明.。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，错误！未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
对勾函数初探教学指南
对勾函数初探教学指南简介对勾函数是数学中的一种函数，通常用来表示一个布尔变量是否为真或为假。
在数学中，一个对勾函数的输出只有两个值：真或假。
在计算机科学中，对勾函数也广泛应用于逻辑判断、条件控制等领域。
目标本教学指南的目标是帮助研究者初步了解对勾函数的原理、性质和应用，并且能够独立运用对勾函数完成一些基本的逻辑判断。
内容1. 对勾函数的定义和符号表示对勾函数的定义是一个将一个布尔变量映射到两个输出值（真或假）的函数。
对勾函数通常用符号“√”（表示真）和“×”（表示假）表示。
2. 对勾函数的性质- 只有两个输出值：真或假。
- 对勾函数是一种离散函数，输入集合和输出集合均为有限集合。
- 对勾函数具有不可交换性：交换输入变量的位置会导致输出值发生变化。
- 对勾函数具有唯一性：给定相同的输入，对勾函数的输出结果是唯一的。
3. 对勾函数的应用场景- 逻辑判断：可以通过对勾函数判断条件语句的真假。
- 条件控制：可以根据对勾函数的输出结果执行不同的代码块。
- 布尔代数：对勾函数是布尔代数中的基本运算。
4. 对勾函数的运算法则- 反运算：对勾函数的反运算是指将真变为假，假变为真。
即√的反运算是×，×的反运算是√。
- 与运算：对勾函数的与运算是指两个对勾函数的输入变量同时为真时输出真，否则输出假。
- 或运算：对勾函数的或运算是指两个对勾函数的输入变量至少有一个为真时输出真，否则输出假。
使用说明1. 阅读教学指南内容，理解对勾函数的定义、性质和应用场景。
2. 完成相关练，巩固对勾函数的基本概念和运算法则。
3. 思考并尝试应用对勾函数解决实际问题。
4. 研究进度记录和遇到的问题，可以与同学或老师进行讨论和交流。
5. 持续练和研究，深入理解对勾函数的更多应用和拓展。
结束语对勾函数是数学中一个基础而重要的概念，也是计算机科学中逻辑判断和条件控制的基础。
通过掌握对勾函数的原理和应用，我们能够更好地理解和运用逻辑思维，在编程和问题解决中更加得心应手。
探究“对勾”函数的图象与性质+教学设计 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册 (1)
探究与发现探究函数xx y 1+=的图象与性质 教学设计 一.课程标准的相关要求数学探究活动是指围绕某个具体的数学问题开展自主探究，合作探究并最终解决问题的过程。
具体表现为发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究、论证数学结论。
数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容。
函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥着重要作用，函数是贯穿高中数学课程的主线。
研究一个函数，不仅要分析其图像与性质，更重要的是以这个函数为载体，在研究过程中，体会基本的研究方法，感悟数学思想的重要应用，为研究其它函数积累经验和能力。
二．教材分析新版教材设置“探究与发现”栏目是实现数学建模活动与数学探究活动的一个窗口，而选择“函数y=x+1/x 的图像与性质”这个素材又契合了函数主题。
该部分内容上乘函数的图像、函数的性质、幂函数等，学生可以由图像直观发现函数的性质，体现图像反映性质；也可由性质入手，画出图象，体会性质决定图象，若能切实搞好这两方面的教学，将会大大的提高学生的数学素养，提高数学能力。
三.教学设计（一）基于以上内容，确定本节课的教学目标和教学重、难点。
1.教学目标：（1）经历函数y=x+1/x的图像与性质的探究过程，体验用已知的数学结论和方法来发现，探索未知的内容，体会数学研究的一些基本的要领和方法（2）通过直观感知、合理猜想、演绎论证的过程研究y=x+1/x这个函数模型，探究发现函数的图像和性质，培养学生的探索精神、合作能力，提高实践能力，体验成功的感受，提升学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，以及数学表达、反思完善的能力。
2.教学重点：通过独立探索或合作探究的方式，引导学生积极主动思考，得到函数y=x+1/x的性质与图像，明确探究方案的确定即：研究什么、怎么研究、研究出了什么？帮助学生建构探索体验。
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对勾函数的性质及应用
一.对勾函数的图像与性
质：
1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）
2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)
3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个
“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心
对称，即
4.图像在一、三象限, 当时，2√ab（当且仅当取等号），
即在x=时，取最小值
由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值
5.单调性：增区间为（），（）,减区间是（0，），（,0）
1、对勾函数的变形形式
类型一：函数的图像与性
质
1.定义域：
2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)
3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.
4.图像在二、四象限, 当x<0时，在x=时，取最小值；当时，
在x=时，取最大值
5.单调性：增区间为（0，），（,0）减区间是（），（）,
类型二：斜勾函数
①作图如下
1.定义域：
2.值域：R
3.奇偶性：奇函数
4.图像在二、四象限，无最
大值也无最小值.
5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）.
②作图如下：
1.定义域：
2.值域：R
3.奇偶性：奇函数
4.图像在二、四象限，无最大值
也无最小值.
5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）.
类型三：函数。
此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到
练习1.函数的对称中心为
类型四：函数
此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到
练习 1.作函数与的草图
2.求函数在上的最低点坐标
3. 求函数的单调区间及对称中心
类型五：函数。
此类函数定义域为，且可变形为
a.若，图像如下：
1．定义域： 2. 值域：
3. 奇偶性：奇函数.
4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最大值，当x<0时，在x=时，取最小值
5. 单调性：减区间为（），（）；增区间是
练习1.函数的在区间上的值域为
b. 若，作出函数图像：
1．定义域： 2. 值域：
3. 奇偶性：奇函数.
4. 图像在一、三象限.
当时，在时，取最小值，
当x<0时，在x=时，取最大值
5. 单调性：增区间为（），（）；减区间是
练习1.如，则的取值范围是
类型六：函数.可变形为
，
则可由对勾函数左右平移，上下平移得到
练习1.函数由对勾函数向（填“左”、“右”）平移单位，向（填“上”、“下”）平移单位.
2.已知，求函数的最小值；
3.已知，求函数的最大值
类型七：函数
练习1.求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为
2.求函数在区间上的最大值
类型八：函数.此类函数可变形为标准形式：
练习1.求函数的最小值；
2．求函数的值域；
3.求函数的值域
类型九：函数。
此类函数可变形为标准形式：。