对勾函数详细分析(最新整理)

14. 求f (x) x2 x 1 的值域 x2 x 3
5.已知函数 y x2 2x a (x [1,)) x
（1） 求 a 1 时，求f (x)的最小值 2
(2)若对任意 x∈[1,+∞],f(x)>0 恒成立,求 a 范围
2 6.: 方程 sin2x－asinx+4=0 在[ 0 , ]内有解 ，则 a 的取值范围是__________
单位，向
（填“上”、“下”）平移
单位.
2.已知 x 1 ，求函数 f (x) x2 7x 10 的最小值；
x 1
3.已知 x 1 ，求函数 f (x) x2 9x 9 的最大值
x 1 类型七：函数 f (x) x m (a 0)
ax2 bx c
练习 1.求函数 f (x) x 1 在区间 (1,) 上的最大值；若区间改为[4,) 则 f (x) 的最大值为 x2 x 2
2b
5. 单调性：减区间为（ b, ），（ , b ）；增区间是
[ b, b]
2
f (x) x
练习 1.函数
x2 1 的在区间2, 上的值域为
b. 若 a 0 ，作出函数图像：
1． 定 义 域： (,)
2. 值 域： [a 1 , a 1 ] 2b 2b
3. 奇偶性：奇函数.
4. 图像在一、三象限.
f
(x)
a.若 a 0 ，图像如下：
a x2 b
x
a xb
x
1．定义域： (,) 2. 值域：[a 1 , a 1 ] 2b 2b
3. 奇偶性：奇函数.
4. 图像在一、三象限.当 x 0 时， f (x) 在 x b 时，取最大值 a ，当 x<0 时，
2b
f (x) 在 x= b 时，取最小值 a
3
练习 1.求函数 f (x) x2 5 的最小值； x2 4
2. 求函数 f (x) x2 1 的值域 x 2 17
三、关于求函数 y x 1 x 0 最小值的十种解法
x
1. 均值不等式
x 0 ， y x 1 2 ，当且仅当 x 1 ，即 x 1的时候不等式取到“=”。当 x 1的时候，
对勾函数的性质及应用
一、对勾函数 y ax b (a 0, b 0) 的图像与性质：
x
1. 定义域： (,0) (0,)
2. 值域： (,2 ab ] [2 ab,)
3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形 状，且函数图像关于原点呈中心对称，即
f (x) f (x) 0
4. 图像在一、三象限, 当 x 0 时， y ax b 2 ab （当且仅当 x b 取等号），即 f (x) 在 x= b
x
1.定义域： (,0) (0,)
2.值域： (,2 ab ] [2 ab,)
3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.
4.图像在二、四象限, 当 x<0 时， f (x) 在 x= b 时，取最
a
小值 2 ab ；当 x 0 时， f (x) 在 x= b 时，取最大值 2 ab
x
a
a
时，取最小值 2 ab
由奇函数性质知：当 x<0 时， f (x) 在 x= b 时，取最大值 2 ab
a
5. 单调性：增区间为（ b , ），（ , b ）,减区间是（0， b ），（ b ,0）
a
a
a
a
二、对勾函数的变形形式
类型一：函数 y ax b (a 0, b 0) 的图像与性质
x
sin 2
0, 2 0, 2
当
4
，即 2
2
时，
sin
2
max
1，
y min
2 ，显然此时 x
1
7. 向量
y x 1 x 1 1 1 a b ， a x, 1 ,b 1,1
x
x
x
a b a b cos 2 a cos
根据图象， a 为起点在原点，终点在 y 1 x 0 图象上的一个向量， a cos 的几何意义为 a 在 b 上
y 1 关于直线 y x 轴对称，若 y x 与 y 1 在 x 1处有一交点，根据对称
x
x
性，在 0 x 1 处也必有一个交点，即此时 y x 与 y 1 相交。显然不是距离最小的情况。 x
所以，切点一定为 1,1点。 此时， x 1， ymin 2
9.平面几何
依据直角三角形射影定理，设 AE x, EB 1 ，则 AB AD x 1
ax2 bx xm
c
(a
0)
.可变形为
f
(x)
a(x
m)2 s(x xm
m)
t
a(x
m)
x
t
m
s(at
0) ，
则 f (x) 可由对勾函数 y ax t 左右平移，上下平移得到 x
练习 1.函数 f (x) x 2 x 1 由对勾函数 y x 1 向
x 1
x
（填“左”、“右”）平移
x
x
显然， x 1 为菱形的一条边，只用当 AD AB ，即 AD 为直线 AB 和 CD 之 x
间的距离时， x 1 取得最小值。即四边形 ABCD 为矩形。 x
此时， x
1 x
，即 x
1，
y min
2
10. 对应法则
5
设 f xmin t
f
x2
x2
1 x2
x 0,， x2 0,，对应法则也相同
5. 求一阶导
y
x
1 x
y'
1
1 x2
数单调递增。
当 x 0,1 时， y ' 0 ，函数单调递减；当 x 1, 时， y ' 0 ，函
当 x 1取到最小值， ymin f 1 2
4
6. 三角代换
令 x tan ， 0, ，则 1 cot
2
x
y x 1 tan cot 2
7. 函 数 y x 10 2 x 7 的 最 小 值 为 ____________； 函 数 y x 10 2 x 7 的 最 大 值 为
x
x
_________。
8.函数 y 2 3x 4 的最大值为
。
x
9、若 4 x 1 ，则 y x 2 2x 2 的最值是
。
2x 2
1
5.单调性：增区间为（- ，0），（0，+ ）.
② a 0,b 0 作图如下：
1.定义域： (,0) (0,) 2.值域：R
3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.
5.单调性：减区间为（- ，0），（0，+ ）.
类型三：函数 f (x) ax2 bx c (ac 0) 。 x
在t
0,2上恒成立，则 a
的取值范围是
2. 若 x>1. 求 y x2 2x 2 的最小值 12. 求函数 f x x 1 16x x 1的最值。
x 1
x x2 1
3. 若
x>1.
求y
x2
x 1
的最小值
x 1
13.
当x (0，1)时，求f (x)
2 x 的值域 4x 1
4. 若 x>0. 求 y 3x 2 的最小值 x
x
x
ymin 2
2. 法 y x 1 x2 yx 1 0
x
若 y 的最小值存在，则 y 2 4 0 必需存在，即 y 2 或 y 2 （舍）
找到使 y 2 时，存在相应的 x 即可。通过观察当 x 1的时候， ymin 2
3. 单调性定义
设 0 x1 x2
f x1
2.求函数 f (x) x2 2x 3 在区间[0,) 上的最大值
x2 x 2
类型八：函数 f (x) x b .此类函数可变形为标准形式： f (x) x a b a
xa
xa
x a b a (b a 0) xa
练习 1.求函数 f (x) x 3 的最小值； x 1
10.函数 y 9 4 sin 2 x 的最小值是
。
sin 2 x
6
f x2
x1
x2
1 x1
1 x2
x1
x2 1
1 x1 x 2
x1
x 2
x1x 2 1 x1 x 2
当对于任意的 x1,x 2 ，只有 x1,x 2 0,1时， f x1 f x2 0 ，此时 f x 单调递增；
当对于任意的 x1,x 2 ，只有 x1,x 2 1,时， f x1 f x2 0 ，此时 f x 单调递减。
xk
x
练习
1.作函数
f (x)
x
1 x2
与
f (x)
x3 x2
x 的草图
2.求函数 f (x) x 1 在 (2,) 上的最低点坐标
2x 4
3. 求函数 f (x) x x 的单调区间及对称中心 x 1
类型五：函数
f
(x)
ax (a
x2 b
0, b
0) 。此类函数定义域为 R ，且可变形为
x
的投影，
显然当 a b 时， a cos 取得最小值。此时， x 1， ymin 2 2 2
8．图象相减
y x 1 x 1 ，即 y 表示函数 y x 和 y 1 两者之间的距离xx Nhomakorabeax
求 ymin ，即为求两曲线竖直距离的最小值
平移直线 y x ，显然当 y x 与 y 1 相切时，两曲线竖直距离最小。 x
2．求函数 f (x) x 5 的值域； x 1