对勾函数讲解与例题解析
对勾函数详细分析
对勾函数详细分析对勾函数，又称为Heaviside函数或者单位阶跃函数，是一种常见的数学函数。
它在控制系统、信号处理和电路分析等领域具有广泛的应用。
在数学上，对勾函数可以通过以下方式定义：H(x)=0,x<0H(x)=1/2,x=0H(x)=1,x>0其中，H(x)表示对勾函数，x为自变量。
从定义可以看出，对勾函数在x小于0时取0，在x等于0时取1/2，在x大于0时取1对勾函数在数学上的精确定义可以依赖于Laplace变换或者Fourier 变换等数学工具，用于解决微积分和微分方程等问题。
在实际应用中，对勾函数通常以数学形式存在，用于描述信号的开关行为。
在控制系统中，对勾函数可以表示系统的阶跃响应。
阶跃响应是指当输入信号为一个单位阶跃函数时，系统所产生的响应。
对勾函数可以帮助分析系统的稳定性、零极点和频率响应等性质。
在信号处理中，对勾函数可以用于描述数字信号的采样和量化过程。
当对一个连续信号进行采样时，可以将采样函数表示为对勾函数。
对勾函数在离散时间中具有单位阶跃响应的特性，可以用于分析信号的频谱和滤波等问题。
在电路分析中，对勾函数可以用于描述开关电路的动态响应。
开关电路通常包含开关元件和电容、电感等被控元件。
对勾函数可以帮助确定电路的稳态和暂态响应，并且可以用于分析电路中的信号传输、噪声和功耗等问题。
此外，对勾函数在概率论和统计学中也有应用。
例如，对勾函数可以用于计算累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）。
对勾函数可以将离散随机变量转化为连续随机变量，以进行概率计算和数值模拟等工作。
对勾函数具有一些重要的性质。
首先，它是一个连续函数，但不是光滑函数。
它在x=0处的导数不存在，即导数不连续。
其次，对勾函数是一个奇函数，即H(-x)=1-H(x)。
此外，对勾函数是一个分布函数，满足概率的基本性质，即0≤H(x)≤1总结起来，对勾函数是一个常用的数学函数，具有广泛的应用。
它可以表示系统的阶跃响应，在信号处理和电路分析等领域发挥重要作用。
对勾函数详细分析
对勾函数详细分析对勾函数是一种经典的激活函数，在人工神经网络中被广泛使用。
它的主要特点是非线性，能够接受任意实数作为输入，输出范围在0和1之间。
在本文中，我们会详细分析对勾函数的定义、数学性质、应用以及优缺点。
对勾函数的定义为 f(x) = 1 / (1 + exp(-x))，其中 exp(x) 表示自然指数函数。
这个函数的图像是在x轴上下限分别为负无穷大和正无穷大，y轴上下限分别为0和1的S形曲线。
当 x 趋近正无穷大时，f(x) 趋近于1；当 x 趋近负无穷大时，f(x) 趋近于0。
对勾函数的主要数学性质如下：1.非线性：对勾函数是一种非线性函数，这是它被广泛使用的主要原因之一、它可以通过增加网络的复杂度来学习复杂的非线性模式。
2.可微性：对勾函数是连续可导的函数，这使得它可以与其他函数进行组合，形成复杂的神经网络结构。
对勾函数的导数f'(x)可以通过对f(x)进行求导得到，其表达式为f'(x)=f(x)(1-f(x))。
3.单调性：对勾函数是单调递增的，这意味着当输入值增加时，输出值也会增加。
这种单调性有助于网络的学习过程。
对勾函数在人工神经网络中的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.模式识别：对勾函数可以用于二分类问题的模式识别。
例如，在人脸识别中，可以使用对勾函数作为分类器来判断输入图像是人脸还是非人脸。
2.概率估计：对勾函数可以将实数映射到概率值的范围（0到1之间）。
这在机器学习中经常用于估计事件发生的概率。
3.深度学习：对勾函数是目前最流行的神经网络模型，深度神经网络中的常用激活函数。
它可以通过复杂的网络结构来学习高级的非线性模式。
虽然对勾函数有许多优点，但它也有一些缺点。
1.饱和性：当输入值较大或较小时，对勾函数的导数值会趋近于0，导致梯度消失的问题。
这会导致网络训练过程中的梯度更新过小，使得学习过程变得缓慢。
2.输出范围限制：对勾函数的输出范围为0和1之间，这意味着对勾函数不能表示负数的情况。
对勾函数,
对勾函数，不学但又必考！2016-02-22mxb08来源阅984 转51小数老师说对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，一般会单独考察或与圆锥曲线结合考察，也就是在圆锥曲线求取值范围时会应用对勾函数的性质求解。
一、对勾函数的概念与图像形如的函数，因为其图像类似于平时的对勾，因此称这种函数为对勾函数，图像见下图。
当a>0,b>0时，当a<><>时，当a,b异号时，函数不是对勾函数，关于此时函数的图像与性质，有机会小数老师再向大家介绍。
二、对勾函数的性质（下面我们只研究a>0,b>0时的情况，其他情况可以根据函数的对称性进行研究。
）1，定义域与值域：很明显，定义域是；下面研究值域，对于值域的研究，有多种方法，下面小数老师介绍最常用的——均值定理当x>0时，，当且仅当时，等号成立，此时；当x<>时，，因为x<>，所以-a>0，所以，即，当且仅当时，等号成立，此时；所以此函数的值域是：2，顶点：由（1）可得，两顶点坐标为：3，单调性：对于函数单调性的判断，可以利用导数法或者定义法，下面小数老师采用导数法。
令f’(x)=0，所以xf’(x) + - - +f(x) 单调递增单调递减单调递减单调递增4，奇偶性：很明显，函数f(x)是奇函数。
5，渐近线：通过图像，我们可以看到，对于函数f(x)，有两条渐近线，y=ax,y=0函数与这两条直线无限接近，但永不相交。
三、例题对勾函数具有以下性质：当x≥1时，y随x增大而增大，如：2≤x≤4，那么当x=2，y有最小值2+ （1/2）=5/2；当x=4时，y有最大值为4+（1/4）=17/4.请根据上述材料，完成以下问题：（1）当3≤x≤5时，求函数的最大值和最小值；（2）0≤x≤2时，求函数的最大值和最小值。
对勾函数模型
重点知识梳理1 •对勾函数定义对勾函数是指形如：y= ax+ x(ab>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为对入勾函数”又被称为双勾函数” 勾函数” 耐克函数”或耐克曲线”2. 对勾函数y= ax+ b(a>0, b>0)的性质入⑴定义域：(一汽0)U (0 ,+x).(2) 值域：(—X, -2 V????U [2V????+^).(3) 奇偶性：在定义域内为奇函数.⑷单调性：(―X,—、y i),(\脣，+*上是增函数；(―、/a, 0),(0, \/|)上是减函数.⑸渐近线：y轴与y=ax(或y=-ax)b3. y= ax+ b(a>0, b>0)的单调区间的分界点：x求分界点方法：令ax = b x入特殊的，a>0时，y= x+£的单调区间的分界点：土. a.入4. 对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解.5. 利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：b若a>0, b>0,则x>0 时，ax+ b>2 ab.x当且仅当ax二b，x= *时取等号.在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是一正、二定、三相等”即加号两边的项ax和“都是正项，且二者乘积为定值，同时ax= b中等号可取到.若等号取不到，则应根据x x对勾函数单调性求解.典型例题剖析5例1已知f(x) = x ■-，求f(x)在下列区间的最小值.X(1)［1,2］; (2)［3,4］; (3)［- 3,—1］.【解析】如图，f(x)在(—X,—5), ( .5,+^上是增函数，在(—，5, 0), (0, .5)上是减函数.(1)由对勾函数性质可知f(x)在［1,2］上单调递减，1 f(x)min 二f(2) = 42.⑵因为f(x)在［3,4］上单调递增，2 所以f(x)min = f(3) = 43.2⑶因为f(x)在［—3,— 5 ］上单调递增，在(—5,—1］上单调递减，且f(—3) = —43, f(—1)= —6,所以f(X)min = — 6.x2+ 5变式训练已知函数f(x) = 7^=，求f(x)的最小值，并求此时x的值.\x + 4【解析】f(x)= x J5 = X +：+ 1= x2+ 4+ 1■収+ 4 彳x2+ 4 彳寸x2+ 4__________ 4 令t=J x2+4，贝U t>2 y= t+-.1••• y= t + ”在［2 ,+x单调递增,t t1 5•••当t = 2 时，y min = 2+ 2= ^，5f(x)的最小值为2,此时x的值为0.x2—2x—1求函数f(x) = + 2 (0叹w 3的值域.X I厶【解析】令t = x+ 2,则x= t —2, 2磴5(t —2)2—2(t —2)—1 y==t —+7 = t+ 7 —6,2 « 5.此时, \/x2+ 4= 2, x= 0. 综上,••• y = t +1-6在［2 , 7 ］上单调递减，在［.7, 5］上单调递增,•••当 t = ［ 7时，y min = 2 .J 7 — 6,7 1且当 t = 2 时，y = 2 + 2— 6二一2，7 2 2当 t = 5 时，y = 5 + 5 — 6 = 5，二 y max = 5.2综上，f(x)的值域为[2 7 — 6,耳•=(x — 1)2— 2(x — 1)+ 9 = x — 1+ ®— 2,x — 1 ，9 令 t = x — 1,则 f(t) = t + - — 2, t € [1,4].9 结合y =t + 9的图象与性质，可知当t € [1,3]时，函数单调递减，当t € [3,4]时，函数单调递增，17又 f(1) = 8, f(3) = 4, f ⑷二a ，所以 f(x)€ [4,8].例3某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元.今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入 100 万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为 g(n)=k 寸n +1(k>0, k 为常数，n € Z 且n 》0)若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为f(n)万元.(1) 求k 的值，并求出f(n)的表达式；(2) 问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？k 【解析】(1)由g(n) = i --- ，当n = 0时，由题意， 7n + 1可得k = 8,变式训练 求函数f(x) = x 2— 4x + 12，x € [2，5]的值域. 【解析】f(x) = x 2 — 4x + 12x — 18所以 f(n)= (100+ 10n)(10 — ---- ) — 100n(n € Z 且 n 》0.)\/n+ 1⑵由 f(n) = (100+ 10n)(10 — ^n =) — 100n=1 000— 80(pn + 1 + r~7j )< 1 00— 80>2 9= 520,当且仅当n + 1= 9 ，即n = 8时取等号，V V n+1所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元.变式训练 建筑一个容积为800米3，深8米的长方体水池 优盖）.池壁，池底造价分别为 a 元咪2和2a 元/米2底面一边长为x 米，总造价为y.写出y 与x 的函数式，问底面边长x 为何值时总造价y 最低，是多少？【解析】长方体底面积S =晋二100米2,地面一边长为x 米, 因此另一边长为100米,入池壁总面积为8 （2x +警）米2,入二总造价 y = 100>2a + (2x + 200) 8 ax =200a + 16a(x + ^)(x>0). X•••函数y = 200a + 16a （x +号0）在（0,10］上是减函数，在（10,+ ^上是增函数, 入下列函数中最小值是4的是（4尸X + X2 尸x +xy = 21+x + 21 — x y = x 2+ 計1+ 3, (X M 0)二当x = 10时，总造价最低，且y min = 520a （元）.C .42•函数y =x + -, x € (1,3]的值域为( ) XA • [y ，5)c .[等,4) 43•函数 y = — x + — + 3, x € [- 1, 0)的值域为 1 ——4. y = 2x 2 + 3 2的最小值是1 + x45. 已知x>0,则2 + x + -的最小值是 _________ .入36. 函数y =x + 3在区间［1,2］上的最小值为 ___ —7. 若函数y = x + x(a >0)在区间(J5,+上单调递增，则a € _________________________ .入8. 建造一个容积为8m 3,深为2 m 的无盖水池，如果池底与池壁的造价每平方米分别是 120元和80元，则水池的最低造价为 _____________ .9.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD ,公园由长方形休闲区 A 1B 1C 1D 1和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2,人行 道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比琵=x ,求公园ABCD 所占面积S 关于—的函数解析式； (2)要使公园所占面积最小，休闲区 A 1B 1C 1D 1的长和宽应如何设计？10. 如图，某单位准备修建一个面积为 600平方米的矩形场地(图中ABCD)的围墙，且要 求中间用围墙EF 隔开，使得ABEF 为矩形，EFDC 为正方形，设AB =—米，已知围墙(包 括EF)的修建费用均为800元每米，设围墙(包括EF)的修建总费用为y 元.(1)求出y 关于—的函数解析式；⑵当—为何值时，设围墙(包括EF)的的修建总费用y 最小？并求出y 的最小值.—2 + 2—+ 3 11. 已知函数 f(x)= — (x € ［2,+x )) (1)求f(x)的最小值；⑵若f(x)>a 恒成立，求a 的取值范围.B . [4,5) D . (4,5)12. 已知函数f(x)= x+ a, x€ [1 , + ^) a>0.入41(1)当a =㊁时，求函数f(x)的最小值；⑵若函数f(x)的最小值为4,求实数a.13 •为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层•体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元•该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万k兀)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C(x) = (0叹w 10 k为常数)，若不建隔热层，3X十5每年能源消耗费用为8万元•设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；⑵隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求出最小值.参考答案1. C A选项，由于x可取负值，显然最小值不是4，排除A ;B选项，由于x可取负值，显然最小值也不是4，排除B;2 1C 选项，由于y=2 2x+ 2 = 2(2x+ 歹)，一1换兀，令t= 2x，t>0，则y= 2(t+—)当且仅当t= 1即x= 0时，函数有最小值4,D 选项，由于y=x2+ x2+ 1 + 3 = x2+ 1 + x2+ 1 + 2，换兀，令t= x2+ 1，t>1，1则y=t+1 + 2,函数在(1，+^上单调递增，因此y>4,排除D选项.综上，答案为C.42. B由对勾函数性质可知，当x= 4,即x = 2时，表达式有最小值4,又函数在(1,2)上单x4 13调递减，在(2,3]上单调递增，f(1) = 5, f(3) = 3 + 3 =三，所以值域为[4,5)，答案为B.3. [6,7)4 4解析y= —x+ + 3= 1 —x+ + 2,1 —x 1 —x4若t= 1,则y= 1 +1 + 2= 7,换元，令t= 1 —x,则x€ [ —1, 0)时t€ (1,2],4y = t + 4+ 2,函数在(1,2]上单调递减，4若t= 2,则y = 2 + 2 + 2 = 6,故函数值域为［6,7).4. 2 6-2解析换元，令t= 1 + x2,则t>1 x2= t- 1,3 3y = 2(t-1)+ t = 2t+ - - 2,函数在［1 , , 3］上单调递减，在［,|,+x上单调递增，所以当t= ：j时，函数有最小值2 6 — 2.5. 6解析由对勾函数性质可知，当x=4,即x= 2时，表达式有最小值6.x6. 2 33解析因为y=x+ x在区间［1, 3 ］上单调递减，在［3, 2］上单调递增，所以当x= .3时入函数有最小值2 . 3.7. (0,5］8. 1 760解析池底面积为8= 4 cm2,设池底宽为x cm,则长为4 cm,则水池的造价为4X120+ 2(42 x xX320x = 1 760.9. 解析⑴设休闲区的宽为a米，则其长为ax米.由a2x=4 000,得a= 2°^,则S= (a + 8)(ax+ 20) = a2x+ (8x+ 20)a + 160=4 000+ (8x+ 20) 20 10+ 160=80 10(2 ,x+ 5 ) + 4 160,5(2)S= 80再(2&+玄)+ 4 i60 > i600^i0+ 4 i60= 5 760,当且仅当2 x= 3 4 5，即x= 2.5时取等号，此时a=40,7xax= 100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A i B i C i D i应设计为长100米，宽40米.i0.解析(i)设AD= t米，则由题意得xt= 600,且t>x, 故t= 6 7 8 9 10 11x!°>x，可得0<x<i0 6, x则y= 800(3x+ 2t) = 800(3x+ 2^^)x400二2 400(x+ -x0),所以y关于x的函数解析式为y= 2 400(x+ 400)(0<x<i0 6).x(2)y= 2400(x+ 竽 > 2 400 X2x 4；°= 96 000,当且仅当x= 400即x= 20时等号成立.x故当x为20米时，y最小.y的最小值为96 000元.ii .解析(i)任取x i, x2€ [2，+ °°)□ 3且x i<x2，f(x) = x + x + 2.3则f(x i)—f(x2)= (x i —x2) (i—航),T X i<X2，「. x i —X2<0,又••• x i>2 x2>2，3• xix2>4，i—云>0,二f(x i) —f(X2)<0，即f(x1)vf(x2).故f(x)在[2 , + X上是增函数，11•••当x= 2时，f(x)有最小值f(2) = ©.(2) ■/f(x)>a 恒成立，•只需f(x)min>a.E ii ii又••• f(x)min = • a<2.1 112•解析(1) a = 2时，f (x) = x + 2x ， x € [1 ,+x ). 令 x = £(x>0)，得 x =#[1 ,+G •••不能用不等式求最值.设 1$1<X 2，则 f(X 1)— f(X 2), 1 1二(x1—x2) + (2x 1—2x 2)1二(X 1 — X 2)(1 —融)<0，•函数f(x)在[1 ,+x 上是单调递增函数，3• f min (x) = f(1)=a⑵当 0<a<1 时，令 x = x ，得 x = a<1,入•••、a[1，+ %)，•类似于⑴可知函数f(x)在[1，+^上是单调递增函数,• f min (x) = f(1) = 1 + a = 4，得a = 3,与0<a<1不符(舍);当a 》l 时，•由不等式知x + x >2a ， X当 x = -，即卩 X = , a 时,f min (x)= 2 , a = 4, X解得a =4.(1)依题意，当 x = 0 时，C = 8,二 k = 40 ,20 >40 800• f(x )= 6x + = 6X + 3X +5(0 x 10) (2)f(x)二 2(3x + 5) + 38+°5—10, 设 3x + 5 = t , t € [5,35],• y = 2t + 800— 10>2 2t 8：0 —10= 70,综上所述, 函数f(x)的最小值为4时，a = 4.40 • C (X) = 3x + 5'13•解析当且仅当2t=-，即t= 20时等号成立.这时x= 5 ,因此f(x)的最小值为70.即隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元. 特殊对勾函数”、 1 f(x) = X+ ??x・・・1413121234・・・f(x)・・・144332222131144・・・(1)定义域：(—X, 0)U (0,+ X).⑵值域：(—X, -2 ] U [2, +X)⑶奇偶性：在定义域内为奇函数. (4) 单调性：(—X,—1), (1 , + X 上/;(—1, 0), (0, 1)上\・⑸分界点(拐点)坐标P(1,2) ; Q(-1,-2)(6)渐近线⑺Y=x和x=0。
(完整版)对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，by ax x=+≥ab 2（当且仅当b x a ，即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5. 单调性：增区间为（∞+,ab ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0）二、对勾函数的变形形式 类型一：函数by ax x=+)0,0(<<b a 的图像与性质 1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞ 2.值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限, 当x<0时，)(x f 在x=ab 时，取最小值ab 2；当0x >时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,ab ），（a b -∞-,）,类型二：斜勾函数by ax x =+)0(<ab①0,0<>b a 作图如下1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-∞，0），（0，+∞）.②0,0><b a 作图如下：1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-∞，0），（0，+∞）.类型三：函数)0()(2>++=ac xcbx ax x f 。
对勾函数绝对经典
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明：1、求函数324222++++=x x x x y 的最小值。
yXOy=ax解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x ttt t t y 112+=+= 根据对号函数tt y 1+=在（1，+∞）上是增函数及t 的取值范围，当2=t 时y 有最小值223。
专题：“对勾函数”及其运用
的 最 小 值 为__4____
B 2.(2018全国卷3理)已知a log 0.2 0.3, b log 2 0.3，则( )
A. a b ab 0 B. ab a b 0 C. ab 0 a b D. a b 0 ab 3.(2018江苏理)已知a、b、c是ABC的三边，ABC 1200 ,ABC的角平分线BD
a
a
思考： 求函数f ( x) x 4 (x 3)的最小值.
x
分析：y x与y 4 在3， 上均为增函数.
x
f ( x) x 4 在3， 上为增函数.
x
45
fmin ( x)
f (3) 3
3
. 3
函数f ( x) ax b (a 0, b 0)在( ,0)和(0， )单调递增. x
典型例题
1.已知x 4，则f ( x) x 4 的最小值为_____ x1
2.已知x 1，则f ( x) 2x 1 的最大值为_____ x
3.已知x 1，则f ( x) 2x 1 的最大值为_____ x
过关斩将
1
1.(2018天 津 理)已 知a、b
R且a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3b
6
0，
则2a
1 8b
2.函数f ( x) ax b (a 0, b 0)在(, 0)和(0， )单调递增. x
第三章 不等式 专题 “对勾函数”及其运用
温故知新
积定和最小
(1) ab a b a b 2 ab(a, b 0) 当且仅当a b时取“”
2
定值
和定积最大
定值
(2) ab a b ab ( a b )2(a, b 0) 当且仅当a b时取“”
对勾函数模型
第十周 对勾函数模型重点知识梳理1．对勾函数定义对勾函数是指形如：y ＝ax ＋b x(ab >0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”．2．对勾函数y ＝ax ＋b x (a >0，b >0)的性质(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)值域：(－∞， ]∪[，＋∞)．(3)奇偶性：在定义域内为奇函数．(4)单调性：(－∞，－b a )，(b a ，＋∞)上是增函数；(－b a ，0)，(0，b a )上是减函数． (5)渐近线：y 轴与y=ax(或y=-ax)3．y ＝ax ＋b x (a >0，b >0)的单调区间的分界点：±b a.bx⇒x＝±b a.求分界点方法：令ax＝特殊的，a >0时，y ＝x ＋a x 的单调区间的分界点：±a . 4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解．5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若a >0，b >0，则x >0时，ax ＋b x≥2ab . 当且仅当ax ＝b x ，x ＝b a时取等号． 在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”，即加号两边的项ax 和b x 都是正项，且二者乘积为定值，同时ax ＝b x中等号可取到．若等号取不到，则应根据对勾函数单调性求解．典型例题剖析例1 已知f (x )＝x ＋5x，求f (x )在下列区间的最小值． (1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]．【解析】如图，f (x )在 (－∞，－5)，(5，＋∞)上是增函数，在(－5，0)，(0，5)上是减函数．(1)由对勾函数性质可知f (x )在[1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝412. (2)因为f (x )在[3,4]上单调递增，所以f (x )min ＝f (3)＝423. (3)因为f (x )在[－3，－ 5 ]上单调递增，在(－5，－1]上单调递减，且f (－3)＝－423， f (－1)＝－6，所以f (x )min ＝－6.变式训练 已知函数f (x )＝x 2＋5x 2＋4，求f (x )的最小值，并求此时x 的值． 【解析】f (x )＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4令t ＝x 2＋4，则t ≥2，y ＝t ＋1t. ∵y ＝t ＋1t在[2，＋∞)单调递增， ∴当t ＝2时，y min ＝2＋12＝52， 此时，x 2＋4＝2，x ＝0.综上，f (x )的最小值为52，此时x 的值为0. 例2 求函数f (x )＝x 2－2x －1x ＋2(0≤x ≤3)的值域． 【解析】令t ＝x ＋2，则x ＝t －2, 2≤t ≤5，(t－2)2－2(t－2)－1 y＝t＝t 2－6t ＋7t ＝t ＋7t－6,2≤t ≤5. ∵y ＝t ＋7t－6在[2，7 ]上单调递减，在[7， 5]上单调递增， ∴当t ＝7时，y min ＝27－6，且当t ＝2时，y ＝2＋72－6＝－12， 当t ＝5时，y ＝5＋75－6＝25，∴y max ＝25. 综上，f (x )的值域为[27－6，25]． 变式训练 求函数f (x )＝x 2－4x ＋12x －1，x ∈[]2，5的值域． 【解析】f (x )＝x 2－4x ＋12x －1＝(x －1)2－2(x －1)＋9x －1＝x －1＋9x －1－2， 令t ＝x －1，则f (t )＝t ＋9t－2，t ∈[1,4]． 结合y ＝t ＋9t的图象与性质， 可知当t ∈[1,3]时，函数单调递减，当t ∈[3,4]时，函数单调递增，又f (1)＝8，f (3)＝4，f (4)＝174， 所以f (x )∈[4,8]．例3 某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)＝kn ＋1(k >0，k 为常数，n ∈Z 且n ≥0)，若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元．(1)求k 的值，并求出f (n )的表达式；(2)问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【解析】(1)由g (n )＝kn ＋1，当n ＝0时，由题意，可得k ＝8，所以f (n )＝(100＋10n )(10－8n ＋1)－100n (n ∈Z 且n ≥0)． (2)由f (n )＝(100＋10n )(10－8n ＋1)－100n ＝1 000－80(n ＋1＋9n ＋1)≤1 000－80×29＝520，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元．变式训练 建筑一个容积为800米3，深8米的长方体水池(无盖)．池壁，池底造价分别为a 元/米2和2a 元/ 米2.底面一边长为x 米，总造价为y .写出y 与x 的函数式，问底面边长x 为何值时总造价y 最低，是多少？【解析】长方体底面积S ＝8008＝100米2，地面一边长为x 米， 因此另一边长为100x米，200池壁总面积为8·(2x＋x)米2，∴ 总造价y ＝100×2a ＋(2x ＋200x)·8·a ＝200a ＋16a (x ＋100x)(x >0)． ∵函数y ＝200a ＋16a (x ＋100x)在(0,10]上是减函数，在(10，＋∞)上是增函数， ∴ 当x ＝10时，总造价最低，且y min ＝520a (元)．跟踪训练1．下列函数中最小值是4的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝x ＋2xC ．y ＝21＋x ＋21－xD ．y ＝x 2＋1x 2＋1＋3，(x ≠0) 2．函数y ＝x ＋4x，x ∈(1,3]的值域为( ) A ．[133，5) B ．[4,5) C ．[133，4) D ．(4,5)3．函数y ＝－x ＋41－x＋3，x ∈[)－1，0的值域为____________． 4．y ＝2x 2＋31＋x 2的最小值是________．45．已知x>0，则2＋x＋x的最小值是________．6．函数y ＝x ＋3x 在区间[1,2]上的最小值为____________． 7．若函数y ＝x ＋ax(a ＞0)在区间(5，＋∞)上单调递增，则a ∈________________. 8．建造一个容积为8m 3，深为2 m 的无盖水池，如果池底与池壁的造价每平方米分别是120元和80元，则水池的最低造价为____________元．9．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形休闲区A 1B 1C 1D 1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x ，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式； (2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应如何设计？10．如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中ABCD )的围墙，且要求中间用围墙EF 隔开，使得ABEF 为矩形，EFDC 为正方形，设AB ＝x 米，已知围墙(包括EF )的修建费用均为800元每米，设围墙(包括EF )的修建总费用为y 元．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)当x 为何值时，设围墙(包括EF )的的修建总费用y 最小？并求出y 的最小值．11．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x(x ∈[2，＋∞))． (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )>a 恒成立，求a 的取值范围．12．已知函数f (x )＝x ＋a x，x ∈[1，＋∞)，a >0. (1) 当a ＝12时，求函数f (x )的最小值； (2) 若函数f (x )的最小值为4，求实数a .13．为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求出最小值．参考答案1．C A 选项，由于x 可取负值，显然最小值不是4，排除A ；B 选项，由于x 可取负值，显然最小值也不是4，排除B ；C 选项，由于y ＝2·2x＋22x ＝2(2x ＋12x )， 换元，令t ＝2x ，t >0，则y ＝2(t ＋1t)≥4， 当且仅当t ＝1即x ＝0时，函数有最小值4，D 选项，由于y ＝x 2＋1x 2＋1＋3＝x 2＋1＋1x 2＋1＋2，换元，令t ＝x 2＋1，t >1， 则y ＝t ＋1t＋2，函数在(1，＋∞)上单调递增，因此y >4，排除D 选项． 综上，答案为C.2．B 由对勾函数性质可知，当x ＝4x，即x ＝2时，表达式有最小值4，又函数在(1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增， f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133，所以值域为[4,5)，答案为B. 3．[6,7)41－x＋3＝1－x＋41－x＋2，解析y＝－x＋换元，令t ＝1－x ，则x ∈[)－1，0时t ∈(1,2]，y ＝t ＋4t＋2，函数在(1,2]上单调递减， 若t ＝1，则y ＝1＋41＋2＝7， 若t ＝2，则y ＝2＋42＋2＝6， 故函数值域为[6,7)．4．26－2解析 换元，令t ＝1＋x 2，则t ≥1，x 2＝t －1，y ＝2(t －1)＋3t ＝2t ＋3t－2， 函数在[1，32]上单调递减，在[32，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝32时，函数有最小值26－2. 5．6解析 由对勾函数性质可知，当x ＝4x，即x ＝2时，表达式有最小值6. 6．23解析 因为y ＝x ＋3x 在区间[1, 3 ]上单调递减，在[3，2]上单调递增，所以当x ＝3时函数有最小值2 3.7．(0,5]8．1 760解析 池底面积为82＝4 cm 2，设池底宽为x cm ，则长为4x cm ，则水池的造价为4×120＋2(4x×2＋x ×2)×80＝480＋1 280x ＋320x ≥480＋2 1 280x×320x ＝1 760. 9．解析 (1)设休闲区的宽为a 米，则其长为ax 米．由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x， 则S ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160 ＝8010(2x ＋5x )＋4 160， 即S ＝8010(2x ＋5x)＋4 160. (2)S ＝8010(2x ＋5x )＋4 160≥16010·10＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x ，即x ＝2.5时取等号，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．10．解析 (1)设AD ＝t 米，则由题意得xt ＝600，且t >x ，故t ＝600x>x ，可得0<x <106， 则y ＝800(3x ＋2t )＝800(3x ＋2×600x ) ＝2 400(x ＋400x)，400所以y关于x的函数解析式为y＝2 400(x＋x)(0<x<106)．(2)y ＝2400(x ＋400x )≥2 400×2x ·400x＝96 000， 当且仅当x ＝400x，即x ＝20时等号成立． 故当x 为20米时，y 最小．y 的最小值为96 000元．11．解析 (1)任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，f (x )＝x ＋3x＋2. 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2) (1－3x 1x 2)，∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又∵x 1≥2，x 2>2，∴x 1x 2>4,1－3x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴当x ＝2时，f (x )有最小值f (2)＝112. (2)∵f (x )>a 恒成立，∴只需f (x )min >a .又∵f (x )min ＝112，∴a <112. 12．解析 (1) a ＝12时， f (x )＝x ＋12x， x ∈[1，＋∞)． 令x ＝12x (x >0)，得x ＝22∉[1，＋∞)， ∴不能用不等式求最值．设1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋(12x 1－12x 2) ＝(x 1－x 2)(1－12x 1x 2)<0， ∴函数 f (x ) 在[1，＋∞)上是单调递增函数，∴f min (x )＝f (1)＝32. (2)当0<a <1时，令x ＝a x，得x ＝a <1, ∵a ∉[1，＋∞) ，∴类似于(1)可知函数f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数， ∴f min (x )＝f (1)＝1＋a ＝4，得a ＝3，与0<a <1不符(舍)；当a ≥1时，a ≥1，∴由不等式知x ＋a x ≥2a ， 当x ＝a x ，即x ＝a 时， f min (x )＝2a ＝4，解得a ＝4.综上所述，函数f (x )的最小值为4时，a ＝4.13．解析 (1)依题意，当x ＝0 时，C ＝8，∴k ＝40 ，∴C (x )＝403x ＋5， ∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．800(2)f(x)＝2(3x＋5)＋3x＋5－10，设3x ＋5＝t ，t ∈[5,35]，∴y ＝2t ＋800t －10≥22t ·800t －10＝70， 当且仅当2t ＝800t ，即t ＝20时等号成立． 这时x ＝5 ，因此f (x )的最小值为70.即隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元．特殊对勾函数f (x )＝x ＋ x1 2 3 4 f (x )4 3 2 2 2 3 4‘’(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)值域：(－∞，-2 ]∪[2，＋∞)．(3)奇偶性：在定义域内为奇函数．(4)单调性：(－∞，－1)，(1，＋∞)上↗；(－1，0)，(0，1)上↘．(5)分界点(拐点)坐标P(1,2) ; Q(-1,-2)(6)渐近线(7)Y=x和x=0(8)如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！(9)(10)(11)。
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对勾函数
对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图
一、对勾函数f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。
的图象与性质
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。
（接下来写作
f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：
a>0 b>0 a<0 b<0
对勾函数的图像（ab同号）
当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）
对勾函数的图像（ab异号）
一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：
当x>0时，错误!未找到引用源。
当x<0时，错误!未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：
(三) 对勾函数的定义域、值域
由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性
(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)
对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。
我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab ，两边同时加上2ab ，整理得到（a+b)^2≥4ab ，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b ≥2sqrt(ab ）。
把ax+b/x 套用这个公式，得到ax+b/x ≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab ），这里有个规定：当且仅当ax=b/x 时取到最小值，解出x=sqrt(b/a ），对应的f(x)=2sqrt(ab ）。
我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab ），前式大家都知道，是求平均数的公式。
那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。
这些知识点也是非常重要的。
三、关于求函数()01>+=x x
x y 最小值的解法 1. 均值不等式 0>x ，∴21≥+
=x
x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。
∴当1=x 的时候，2min =y 2. ∆法 0112=+-⇒+=yx x x
x y 若y 的最小值存在，则042≥-=∆y 必需存在，即2≥y 或2-≤y （舍）
y
X
O y=ax
找到使2=y 时，存在相应的x 即可。
通过观察当1=x 的时候，2min =y
3. 单调性定义
设210x x << ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=-21212121211111x x x x x x x x x f x f ()2
121211x x x x x x --= 当对于任意的21,x x ，只有21,x x (]1,0∈时，()()21x f x f -0>，∴此时()x f 单调递增；
当对于任意的21,x x ，只有21,x x ()+∞∈,1时，()()21x f x f -0<，∴此时()x f 单调递减。
∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y
4. 复合函数的单调性
2112
+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=x x x x y x x t 1
-=在()+∞,0单调递增，22
+=t y 在()0,∞-单调递减；在[)+∞,0单调递增 又 ∈x ()1,0()0,∞-∈⇒t ∈x [)+∞,1[)+∞∈⇒,0t ∴原函数在()1,0上单调递减；在[)+∞,1上单调递增 即当1=x 取到最小值，()21min ==f y
四、例题解析：
例1、已知函数 ，
五、重点（窍门）
其实对勾函数的一般形式是：
f(x)=ax+b/x(a>0)
定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）
值域为（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞）
当x>0，有x=根号a，有最小值是2根号a
当x<0，有x=-根号a，有最大值是：－2根号a
对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下：
设x1<x2，则f(x1）-f(x2）=x1+a/x1-(x2+a/x2）=(x1-x2）+a(x2-x1）/(x1x2）=(x1-x2）（x1x2-a)/(x1x2）
下面分情况讨论
⑴当x1<x2<-根号a时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）<f(x2），所以函数在（-∞，-根号a）上是增函数
⑵当-根号a<x1<x2<0时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数
⑶当0<x1<x2<根号a时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数
⑷当根号a<x1<x2时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）<f(x2），所以函数在（根号a，+∞）上是增函数
解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。