常州大学数值分析07-08试卷A及参考答案
江苏工业学院2007~2008学年第 2 学期硕士生考试试题参考解答一、（10分）叙述防止误差的几个基本原则，并举一例说明其在数值计算中的应用。
答：防止误差的几个基本原则主要有： 1） 防止大数“吃”小数；2） 避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 3） 避免相近数相减；4） 避免使用不稳定的算法；5） 注意简化计算步骤，减少运算次数； ………… 5 分 例如：当x 充分大时，即1x >>时，计算可以用表达式来计算，以避免相近数相减。
………… 5 分二、(15分)（1）叙述Lagrange 插值或Newton 插值方法的方法思想。
(2) 设(1)0,(2)3,(3)10f f f ===, 试求)(x f 的二次Newton 插值多项式。
解：（1）拉格朗日插值、牛顿插值的方法思想分别如下： 对于给定的节点(,),0,1,2,,i i x y i n = 拉格朗日插值通过引入满足如下条件的基函数1,(),0,i j j il x j i=⎧=⎨≠⎩ 构造如下形式的插值多项式()()nn i i i P x l x y ==∑其中0()()()nj i j ijj ix x l x x x =≠-=-∏。
………… 4 分牛顿插值方法是通过构造如下形式的多项式01020101()()()()()()n n n N x a a x x a x x x x a x x x x -=+-+--++--其中,0,1,2,,i a i n =通过Newton 差商公式得到，且仅与0,1,,,i x x x 有关，由此可以保证在增加节点时， 原先的计算量能够被充分利用。
………… 4 分 (2) 根据列表函数可得差商表如下：0 0 0 3 3 0 10 7 2)(x f 的二次Newton 插值多项式为()3(1)2(1)(2)P x x x x =-+--即2()231P x x x =-+。
………… 7 分三、（15分）（1）简要叙述求非线性方程()0f x =根的迭代法的方法思想。
（2）并在下述迭代公式 a）1k x += b）1k x += 中选用选一收敛的迭代公式来求方程3210x x --=在0 1.5x =附近的一个根, 精度 为31102-⨯。
解：（1）求非线性方程()0f x =根的迭代法的方法思想：将方程()0f x =改写成()x x ϕ=由给定的初始近似解0x ，给出如下迭代公式1()k k x x ϕ+=，0,1,2,k =，如果上述迭代序列{}k x 收敛，即lim *k k x x →∞=则*x 为方程()0f x =的根。
（2）将方程3210x x --=改写成321x x =+由此可得到相应的迭代公式1k x +=由于上述迭代公式的迭代函数在0 1.5x =处的导数的绝对值小于1，因此迭代公式a) 在0 1.5x =附近具有局部收敛性。
上述方程的根可以通过迭代a ）得到，计算结果如下：四、（10分）叙述确定线性函数y ax b =+拟合下述列表函数的步骤20(,)(())ni i i a b ax b f x ϕ==+-∑第二步，令00abϕϕ∂=∂∂=∂上述方程是关于所求参数,a b 的线性方程组。
第三步，解上述方程组可得所求参数,a b ，由此可得到用线性函数拟合上述列表函数的最小二乘解。
………… 5 分五、（15分）叙述复化梯形积分公式n T 计算()b af x dx ⎰的方法思想，并用复化梯形公式n T 计算积分320sin I x dx π=⎰,其中3n ≥。
解：方法思想：由截断误差可知, 当区间长度b －a 较大时, 梯形求积公式的误差较大. 为此，利用积分关于区间具有可加性, 将[a ，b]区间上的积分, 分成若干小区间上的积分, 以此来减少积分区间长度引起的误差. 这就引入了复合求积公式. 具体如下： 设分点,()/i x a ih h b a n =+=-将区间[a ，b]分成n 等分，则11()()ii nbx ax i f x dx f x dx -==∑⎰⎰将每个小区间上的积分都用梯形公式给出，则得计算定积分的复化梯形公式如下：11()[()()]2nb i i n ai hf x dx f x f x T -=≈+=∑⎰利用上述公式，取3n =时，可得如下计算结果：s = 0.3771。
六、（15分）求解微分方程初值问题0'(,),()y f x y a x b y a y =≤≤⎧⎨=⎩的数值解法通常需要把区间[,]a b 进行m 等分, 设分点为i x a ih =+，()/h b a m =-；然后求函数()y x 在节点i x 处值()i y x 近似值i y 。
由此可知初值问题数值解法的关键在于如何由()i y x 的近似值i y 得到1()i y x +的近似值1i y +。
试给出一种实现从由()i y x 的近似值i y 得到1()i y x +的近似值1i y +的方法思想，在此思想下给出一个具体的实现方法，并利用此方法取步长2.0=h ，求解微分方程初值问题 2,00.4(0)1y x xy x y '=-≤≤⎧⎨=⎩解：基于差商替代导数可以给出实现从由()i y x 的近似值i y 得到1()i y x +的近似值1i y +的Euler 方法如下：1(,),0,1,2,,i i i i y y hf x y i m +=+=，其中1i i h x x +=-。
上述方程的数值解为：x = 0 0.20 0.40 y = 1.00 1.00 0.96 七、（10分）用列选主元的Gauss 消去法或LU 分解法求解方程组：123211741062100x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：用LU 分解法上述方程组，设 A ＝LU则有L =[ 1 0 0 -2 1 0 -1 2 1] U =[ 2 -1 10 -1 2 0 0 -3] 解方程组Ly b =可得 y = 7 8 -9解方程组Ux y =可得原方程组的解 x = 1 -2 3 八、（10分）1）写出求解线性方程组Ax b =的Gauss －Seidel 迭代格式的分量形式，其中()n n ij A a R ⨯=∈，n b R ∈；2）编写求解线性方程组Ax b =的Gauss －Seidel 迭代格式的Matlab 程序，要求该程序能根据方程的系数矩阵A 、右端项b 、初始近似解0x 、精度Eps 及最大许可迭代次数max_1输出在许可迭代次数内由Gauss －Seidel 迭代得到的满足精度要求的近似解及达到精度要求需要的最少迭代次数或输出在许可的迭代次数内Gauss －Seidel 迭代没有得到满足精度要求的近似解的提示信息。
解：1）Gauss －Seidel 迭代格式的分量形式为：11111()/i nk k k ii ij jijjii j j i xb a xa xa -++==+=--∑∑，1,2,,i n =，其中0ii a ≠，1,2,,i n =。
2）满足上述要求的Matlab 程序如下： function [X,iternum]=gseid(A,B,x0,Eps,max1) % Input -A is an n by n nonsingular matrix % -B is an n by 1 matrix% -x0 is an n by 1 matrix; the initial guess % -Eps is tolerance for X% -max1 is the maximum number of iterations% Output-X is an n by 1 matrix;the Gauss-seidel approximation to the solution of AX=B % -iternum is the number of iterations%Examining the inputs if nargin<2error( 'more arguments are needed'); endif nargin< 3x0=zeros(size(B)); endif nargin< 4 Eps=1e-12; endif nargin< 5 max1=100; endif nargin> 5error( 'Incorrect number of inputs'); end[n,m]=size(A);if n ~=m | n~=size(B,1)error('Incorrect Inputs,the dimensions of matrix A and B must agree. A must be square '); endflag=0; iternum=0; n=length(B); for k=1:max1iternum=iternum+1; X=x0; for j=1:nif abs(A(j,j))< (Eps+eps)error('A(j,j) equal to zero,divided by zero');endx0(j)=(B(j)-A(j,[1:j-1,j+1:n])*x0([1:j-1,j+1:n]))/A(j,j);enderr=norm(X-x0);relerr=err/(norm(x0)+eps);if (err<Eps)|(relerr<Eps)flag=1;break;endendif flag==1disp('The Gauss-seidel method converges . ')X=x0;elsedisp(['The Gauss-seidel method does not converge within ',num2str(max1), ' iterations ']) end。
数值分析参考答案
数值分析参考答案数值分析参考答案数值分析是一门研究使用数值方法解决数学问题的学科。
它涉及到数值计算、数值逼近、数值解法等方面的内容。
在实际应用中，数值分析可以帮助我们解决各种各样的问题，如线性方程组的求解、非线性方程的根的求解、插值、数值积分等等。
本文将给出一些数值分析常见问题的参考答案。
1. 线性方程组的求解线性方程组的求解是数值分析中的一个重要问题。
常见的求解方法有直接法和迭代法。
直接法包括高斯消元法、LU分解法等，迭代法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
2. 非线性方程的根的求解非线性方程的根的求解是数值分析中的另一个重要问题。
常见的求解方法有二分法、牛顿法、割线法等。
其中，牛顿法是一种迭代法，通过不断迭代逼近方程的根。
3. 插值插值是数值分析中的一个常见问题，它可以用于构造函数的近似值。
常见的插值方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法等。
这些方法通过已知的数据点来构造一个多项式函数，从而近似原函数。
4. 数值积分数值积分是数值分析中的另一个重要问题，它可以用于计算函数的定积分。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则等。
这些方法通过将定积分转化为求和的形式，从而进行数值计算。
5. 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法是数值分析中的一个重要问题。
常见的数值解法有欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法通过将微分方程转化为递推关系，从而逐步逼近解。
6. 线性规划问题的求解线性规划问题是数值分析中的一个重要问题，它可以用于求解最优化问题。
常见的线性规划求解方法有单纯形法、内点法等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解。
7. 矩阵特征值和特征向量的计算矩阵特征值和特征向量的计算是数值分析中的一个重要问题。
常见的计算方法有幂法、反幂法、QR方法等。
这些方法通过迭代来逼近矩阵的特征值和特征向量。
总结起来，数值分析是一门研究使用数值方法解决数学问题的学科。
它涉及到线性方程组的求解、非线性方程的根的求解、插值、数值积分、常微分方程的数值解法、线性规划问题的求解以及矩阵特征值和特征向量的计算等方面的内容。
常州大学数值分析07-08试卷A及参考答案
江苏工业学院2007~2008学年第 2 学期硕士生考试试题参考解答一、（10分）叙述防止误差的几个基本原则，并举一例说明其在数值计算中的应用。
答：防止误差的几个基本原则主要有： 1） 防止大数“吃”小数；2） 避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 3） 避免相近数相减；4） 避免使用不稳定的算法；5） 注意简化计算步骤，减少运算次数； ………… 5 分 例如：当x 充分大时，即1x >>时，计算可以用表达式来计算，以避免相近数相减。
………… 5 分二、(15分)（1）叙述Lagrange 插值或Newton 插值方法的方法思想。
(2) 设(1)0,(2)3,(3)10f f f ===, 试求)(x f 的二次Newton 插值多项式。
解：（1）拉格朗日插值、牛顿插值的方法思想分别如下： 对于给定的节点(,),0,1,2,,i i x y i n = 拉格朗日插值通过引入满足如下条件的基函数1,(),0,i j j il x j i=⎧=⎨≠⎩ 构造如下形式的插值多项式()()nn i i i P x l x y ==∑其中0()()()nj i j ijj ix x l x x x =≠-=-∏。
………… 4 分牛顿插值方法是通过构造如下形式的多项式01020101()()()()()()n n n N x a a x x a x x x x a x x x x -=+-+--++--其中,0,1,2,,i a i n =通过Newton 差商公式得到，且仅与0,1,,,i x x x 有关，由此可以保证在增加节点时， 原先的计算量能够被充分利用。
………… 4 分 (2) 根据列表函数可得差商表如下：0 0 0 3 3 0 10 7 2)(x f 的二次Newton 插值多项式为()3(1)2(1)(2)P x x x x =-+--即2()231P x x x =-+。
《数值分析》A卷期末考试试题及参考答案
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数 点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分 由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分 而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分 而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分 则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分 所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分 所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。
(完整版)07-08-2高数(AB)期末试卷A参考答案及评分标准
共 4 页 第 1 页07-08-2高数（A B ）期末试卷A 参考答案及评分标准08.1.15一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．()2112lim e e xxx x→-=；2．设1sinxy x=，则1sin 21111d sin cos ln d xy xx x x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭； 3．已知(3)2f '=，则0(3)(3)lim1sin 2h f h f h→--=-；4．对数螺线e θρ=在2πθ=对应的点处的切线方程是2e x y π+=；5．设()y y x x =<<是由方程2200e d cos d 0y x t t t t -=⎰⎰确定的隐函数，则()y x的单调增加区间是⎝⎭，单调减少区间是⎝⎭； 6．曲线2exy x -=的拐点坐标是()21,e-，渐进线方程是0y =；7．2222lim 31239n n n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭L ； 8．)23cos sin d x x x ππ-=⎰；9．二阶常系数线性非齐次微分方程2sin y y x ''+=的特解形式为*cos sin y Ax x Bx x =+.二.计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，满分21分）10. 20x x ⎰解220(11)x x x x =-+⎰⎰22(1)2(x x x x x =-+-+⎰⎰⎰（2分）10202t t π=++⎰ （1,sin ,d cos d x t t t θθθ-===）（1+1分）共 4 页 第 2 页222200152sin cos d (1cos 4)d 2428πππππθθθθθ=+=-+=⎰⎰（3分）11．(arctan 1d x ⎰解((1arctan 1d arctan 12x x x =+-⎰，（2分） 令2,d 2d x t x t t ==，2121d ln(2)222t x t x C t t ==++++⎰，（1+3分）原式(()arctan 1ln 2x x C =++（1分）12。
(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档
9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解：
1
4
x1
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2007-2008期末考试A卷答案及评分细则
2007年常微分方程评分标准一、填空题：1、''2()y xy y =+2、2(1)sin x y -+3、0y Cxx ==及4、22x y K -=5、(0,)+∞6、24x y =- 7、12n a xa xa x e e e ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭8、β 9、326x x x ++ 10、中心二解答题：11、令w 1＝x ， w 2＝'x ，w 3＝y ，w 4＝y ‘， 1分 则原初值问题可化为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-====+-+-====tw w w y w w y w e w w w x w w x t cos 15132675w 143'''44''3314'''22''1 且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧========1)0()0(0)0()0(0)0()0(1)0()0('43'21y w y w x w x w 4分 即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=t e w w t cos 00132015100056070010'w(0)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1001 其中 w ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321w w w w 5分 12、21(,)21,21(0)1,1141111,111(,).5lim lim x xxx x xx xx x y f x y xoy ce y cey c e y e e e e e →+∞→-∞-=+=-==--=+--=-=++∴-∞+∞ 在平面上满足解的存在唯一及延伸条件.其通解为分过初值得特解为分最大存在区间为分13、解法一：解：xe x xdxcos 1)(tan ==⎰μ __________________学院__________级___________班 姓名_______________ 学号_______________…………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………密 封 线 内 答 题 无 效dx x x x dx xx y dy x cos cos sin 2cos sin cos 12=+xdx x y d sin 2cos =⎪⎭⎫⎝⎛ 6分 c x xy+-=cos 2cos 8分 x x C y 2cos 2cos -= 10分解法二： 解：0tan =+x y dxdyxdy ydytan -= C x y +=cos ln lnx C y cos = 5分则为原方程的特解令,cos )(x x C y =x x x C 2sin cos )(='x x C cos 2)(-= 8分x x C y 2cos 2cos -=故 10分14、解：令2(,)(,)(2)y P x y yQ x y xy e -==-则有，1(,)(,)12,(,)Q x y P x y P x y xy y ⎡⎤∂∂-=-⎢⎥∂∂⎣⎦ 2分 故方程有积分因子：21()yy e yμ=4分 用21()y y e y μ=乘以方程两边，得221(2)0y y e dx xe dy y+-= 积分得：2ln .yxe y C -= 9分方程有特解0.y = 10分15、解：令'cos ,sin ;y t y t == 1分则当sin 0t ≠时，'1(cos )1sin dx dx dy t dt dy dt t===-， 5分 积分得：,x C t =- 7分 故，方程的通解为cos().y C t =- 8分 当sin 0t =时，得方程的特解为 1.y =± 10分16、解：系数矩阵110011001A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，对应的特征方程为：det （A E λ-）=0 即：11011001λλλ-----=2(1)(1)0,λλ-+-= 得A 的特征根为121,1λλ=-=（二重）. 4分当11λ=-时，由11()0A E r λ-=,可取1100r ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭当21λ=（二重）时，210()0A E r λ-= ，可取10104r ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 20012r ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭从而，11240r -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 21120r ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭8分'y Ax =的基解矩阵 (12)()04(12)042xx xx x xx e x e xe t xe x e e e -⎡⎤-⎢⎥Φ=-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦则该方程组的通解为：(12)()04(12).042xx xx x xx e x e xe y t C xe x e C e e -⎡⎤-⎢⎥=Φ=-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦10分１7、解：3220λλλ-+=120;1λλ==（二重） 4分基解：1;;x x e xe通解：123x x y C C e C xe =++ 7分 将初值代入得，1231,1,1C C C ===故方程的解为 1x x y e xe =++ 10分 18、证明（一）：设y vx =,则由齐次方程的性质有，(1,)(1,)()0,m m x P v dx x Q v vdx xdv ++= 1分即， 1[(1,)(1,)](1,)0,m m x P v Q v v dx x Q v dv +++= 3分这是一个变量分离方程，它有积分因子：111(,)[(1,)(1,)](,)(,)m x y x P v vQ v xP x y yQ x y μ+==++. 5分证明（二）：方程两边乘以1(,)(,)(,)x y xP x y yQ x y μ=+，得0Pdx QdyxP yQ xP yQ+=++ 1分2()()P Q yQ Py PQP y y y xP yQ xP yQ ∂∂--∂∂∂=∂++， 2()()Q PxP Qx PQQ x x x xP yQ xP yQ ∂∂--∂∂∂=∂++， 3分 因为(,),(,)P x y Q x y 是,x y 的齐次函数，由欧拉定理有，,P P Q QP xy Q x yx y x y∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂， 所以，()()P Q y xP yQ x xP yQ∂∂=∂+∂+， 4分 故，1(,)(,)(,)x y xP x y yQ x y μ=+是方程0),(),(=+dy y x Q dx y x P 的积分因子. 5分１9、证明：设)(),...,(1x y x y n 是y x A dx y d )(=的基解，)(0x y是)()(x f y x A dxy d +=的特解，则由线性方程组的性质得到)()(),...,()(001x y x y x y x y n ++，)(0x y是)()(x f y x A dxy d+=的n+1 个解. (1分)下面证明n+1 个解线性无关0))()((...))()(()(001100=+++++x y x y C x y x y C x y C n n0))(...)(()()...(11010=++++++x y C x y C x y C C C n n n若0)...(10≠+++n C C C ，则)(0x y 是)(),...,(1x y x y n的线性组合，这显然是)(0x y是)()(x f y x A dxy d +=的特解相矛盾。
数学分析A试卷参考答案(高数)
数学分析考试题学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共七道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、单项选择题（每小题2分，满分10分） 1．当0x →时，函数211sin x x是（ D ）． （A ）无穷小 （B ）无穷大 （C ）有界但不是无穷小 D ）无界的，但不是无穷大 2．设()f x 在x a =的某个邻域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是（D ）（A ）1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在；（B ）0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在；（C ）0()()lim 2h f a h f a h h →+--存在；（D ）0()()lim h f a f a h h→--存在；3．下列说法中与lim n n x a →∞=定义等价的说法是（A ）．（A ）(0,1),,,100;n N n N x a εε∀∈∃∀≥-< （B ）1,,,;n N n N x a εε∀>∃∀>-< （C ）,0,,;n N n N x a εε∀∃>∀>-< （D ）,0,,;n N n N x a εε∃∀>∀>-<cos sin 22()(1)()222()(1)()22( D )x t t t y t tA y xB y xC y xD y xπππππππ=⎧=⎨=⎩=+=+=-=-4.曲线在处的切线方程为． ．． ． 答 5．设数列,n n x y 满足lim 0n n n x y →∞=，下列结论正确的是（D ）．（A ）若n x 收敛，则n y 必发散；. （B ）若n x 无界，则n y 必有界； （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小； （D ）若1nx 为无穷小，则n y 必为无穷小； 二、填空题（每小题2分，满分10分）6．设1(0)2f '=，则332lim (0)n n ff n →∞⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1 ． 7．设(1)(2)()()(1)(2)()x x x n f x x x x n ---=+++，则(1)f '= 11(1)(1)n n n --+.8．极坐标方程(1cos )a ρθ=+在(,)2a π点处的切线的直角坐标方程为y x a =+.9．若212lim 1,11x ax x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭则a 4 ． 10．设(),0,,0x xe e xf x xk x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则k 2 .三、求下列极限（每小题5分，满分25分）11.求)lim .x xx →-∞解:)1lim limlim.2x x x xx →-∞→-∞===-12.求1402sin lim 1x x xe x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解: 14144002sin (2)sin lim lim 01111x x xx x x x e x e e x x x e e ++-→→-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭； 1402sin lim 2111x x x e x x e -→⎛⎫+ ⎪+=-= ⎪- ⎪+⎝⎭， 所以1402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭=1. 13.求tan sin x x x →解:3sin tan sin tan sin 3300011tan sin 2lim lim 244xx xxxx x x x x e e x xx x -→→→→--====。
常州大学数值分析作业(共六章)
第二章：20.（1）用 Jacobi 迭代法解方程组 AX=b. function [x,iternum,flag]=jacobi(A,b,x0,delta,max1) %检验输入参数，初始化 if nargin<2,error('more augments are needed');end if nargin<3,x0=zeros(size(b));end if nargin<4,delta=1e-13;end if nargin<5,max1=100;end if nargin>5,error('incorrect number of input');end n=length(b);x=0*b;flag=0;iternum=0; %用Jacobi迭代法解方程组 for k=1:max1 iternum=iternum+1; for i=1:n if abs(A(i,i))<eps error('A(i,i) equal to zero,divided by zero'); end x(i)=(b(i)-A(i,[1:i-1,i+1:n])*x0([1:i-1,i+1:n]))/A(i,i); end err=norm(x-x0); relerr=err/(norm(x)+eps); x0=x; if (err<delta)||(relerr<delta) flag=1; break; end end if flag==1 disp('The Jacobi method converges.') x=x; else disp(['The Jacobi method does not converge with '... ,num2str(max1),' iterations']) end return A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1]; b=[1;1;1]; [x,iternum,flag]=jacobi(A,b) 输出结果为： The Jacobi method converges. ans = -3 3 1 iternum =4 flag = 1
(完整word版)数值分析考试试卷和答案(word文档良心出品)
线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解 用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分） 用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(， 试证明： 用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分） 又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。
2007-2008a(参考答案)
华东政法大学2007-2008学年第一学期期末考试商学院07级各专业《高等数学》A 卷参考答案一、填空题（每题2分，共20分）(1) e(2) 0(3) -2(4) 0(5) 3(6) C x F +-)(c o s(7) xdy x dx yxy y ln 1+- (8) ⎰⎰ee y dx y xf dy ),(10(9 ) 1/2 (10) 222-。
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，每小题2分，共20分）(1) C (2) B (3) D (4) A (5) A (6) B (7) C （8）A （9）C （10）A三、计算题（每小题6分，共30分）1、解：x x xf x x dt t tf x x x x F 2)(0)(00lim lim )(lim 20→→→=⎰= （3分）2/)(lim 0x f x →= 02/)0(==f （5分）所以当0=x 时，F （x ）在x=0处连续。
（6分）2、解：)111111(1lim )21111(lim 1nn n n n n n n n +++++=++++∞→∞→ n n i n i n 111lim 1∑=∞→+= （2分） ⎰+=1011dx x （4分）2ln |)1ln(10=+=x （6分）3、解：323552x x y -= 0)'52(332351310'＝令x x x x y -=-=，所以x=1是函数的稳定点。
X=0是函数的不可导的点，这两点是可能的极值点。
在0)('),0,(>-∞x f ,0)('),1,0(<x f ,0)('),,1(>∞x f所以函数的单调区间增区间为)0,(-∞),1(∞，单调递减区间为)1,0(在点x=0处，函数取得极大值0； 在点x=1处，函数取得极小值－3。
（3分）)12()'(''3239101310+==--x x y x x 令,0''=y 则x=-1/2，则在0)(''),,(21<--∞x y ，0)(''),,(21>+∞-x y ，因此，函数在区间),(21--∞内凸，在),(21+∞-内凹。