常州大学数值分析第三章
常州大学数值分析作业—第三章
第一章：9.设2cos 1)(xxx f -=，给出计算函数值)012.0(f 的一个合适算法，并在字长m 给定的，十进制计算机上给出数值计算结果。
解：由 )2421(242)2421(1)cos(1224242x x x x x x x -=-=+--≈- 得 )2421(cos 1)(22x x x x f -≈-=10. 字长为5的十进制计算机上计算)015.0(f 和)015.0(g ，并与)015.0(f 的精确值1.0075376410479比较，说明差异存在理由，其中x e x f x 1)(-=，24621)(32x x x x g +++=。
clearf=@(x)1/2-x^2/24; f(0.012)ans =0.5000解：字长为5时的误差很大，这是因为设置的字长有限，就不可避免的使舍入误差不断积累。
把字长改为9时，误差已经大幅度减小。
这说明，加大字长可以显著减小误差。
11. 举例介绍数组矩阵常见运算。
解：举例如下clearf=@(x)digit(digit(exp(x)-1,5)/x,5);g=@(x)digit(digit(1,5)+digit(x/2,5)+digit... (digit(x^2,5)/6,5)+digit(digit(x^3,5)/24,5),5); exc=1.0075376410479; f(0.015) g(0.015)err1=f(0.015)-exc err2=g(0.015)-excans =1.0075 ans =1.0075 err1 =-3.7641e-05 err2 =-3.7641e-05clearA=[1:4;5:8;9:12;13:16]B=[1,1,1,1;2,2,2,2;3,3,3,3;4,4,4,4] A ’ A =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B =1 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4ans =1 5 9 132 6 10 143 7 11 154 8 12 16A*Bans = 30 30 30 30 70 70 70 70 110 110 110 110 150 150 150 150 A.*Bans =1 2 3 410 12 14 1627 30 33 3652 56 60 64A^2ans = 90 100 110 120 202 228 254 280 314 356 398 440 426 484 542 600 A.^2 ans =1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256%%编写m 文件使用digit 函数设置字长%% function y=digit(x,m) k=max(size(x)); y=x;for i=1:k if x(i)<0 sign=-1; elsesign=1; endx(i)=abs(x(i)); p=0;if x(i)<0.1&x(i)>eps while x(i)<0.1 x(i)=x(i)*10; p=p-1; end endif x(i)>=1while x(i)>=1 x(i)=x(i)/10; p=p+1; end endy(i)=round(x(i)*10^m)/10^m; y(i)=sign*y(i)*10^p; end returnf=@(x)digit(digit(exp(x)-1,9)/x,9);g=@(x)digit(digit(1,9)+digit(x/2,9)+digit... (digit(x^2,9)/6,9)+digit(digit(x^3,9)/24,9),9); err1=f(0.015)-exc err2=g(0.015)-excerr1 =-1.0479e-09 err2 =-1.0479e-0912.对任意给定的实数a 、b 、c 、试编写Matlab 程序,求方程02=++c bx ax 的根。
常州大学数值分析07-08试卷A及参考答案
江苏工业学院2007~2008学年第 2 学期硕士生考试试题参考解答一、（10分）叙述防止误差的几个基本原则，并举一例说明其在数值计算中的应用。
答：防止误差的几个基本原则主要有： 1） 防止大数“吃”小数；2） 避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 3） 避免相近数相减；4） 避免使用不稳定的算法；5） 注意简化计算步骤，减少运算次数； ………… 5 分 例如：当x 充分大时，即1x >>时，计算可以用表达式来计算，以避免相近数相减。
………… 5 分二、(15分)（1）叙述Lagrange 插值或Newton 插值方法的方法思想。
(2) 设(1)0,(2)3,(3)10f f f ===, 试求)(x f 的二次Newton 插值多项式。
解：（1）拉格朗日插值、牛顿插值的方法思想分别如下： 对于给定的节点(,),0,1,2,,i i x y i n = 拉格朗日插值通过引入满足如下条件的基函数1,(),0,i j j il x j i=⎧=⎨≠⎩ 构造如下形式的插值多项式()()nn i i i P x l x y ==∑其中0()()()nj i j ijj ix x l x x x =≠-=-∏。
………… 4 分牛顿插值方法是通过构造如下形式的多项式01020101()()()()()()n n n N x a a x x a x x x x a x x x x -=+-+--++--其中,0,1,2,,i a i n =通过Newton 差商公式得到，且仅与0,1,,,i x x x 有关，由此可以保证在增加节点时， 原先的计算量能够被充分利用。
………… 4 分 (2) 根据列表函数可得差商表如下：0 0 0 3 3 0 10 7 2)(x f 的二次Newton 插值多项式为()3(1)2(1)(2)P x x x x =-+--即2()231P x x x =-+。
常州大学数值分析作业
常州大学数值分析作业1.解：（1）x = [ 3*π/8 π/2];Y = cos(x);x0 = π/3;[A,Y] = lagrange(x,y,x0);P1 = vpa(poly2sym(A),3)结果如下：P1 = 1.53*x - 0.974Y = 0.5102（2）x = [π/4 3*π/8π/2];Y = cos(x);[A,Y] = lagrange(x,y,x0);P2=vpa(poly2sym(A),3)结果如下：P2 = 1.18*x^2 - 0.455*x - 0.189Y = 0.4973（3）x = [0 π/8 π/4 3*π/8 π/2];Y = cos(x);[A,Y]=lagrange(x,y,x0);结果如下：P3 = x^4 + 0.00282*x^3 - 0.514*x^2 + 0.0232*x + 0.0287 Y = 0.50017.function [T]=aitken(x,y,x0,T0)If nargin == 3T0=[];endn0=size(T0,1);m=max(size(x));n=n0+m;T=zeros(n,n+1);T(1:n0,1:n0+1)=T0;T(n0+1:n,1)=x;T(n0+1:n, 2)=y; ifn0==0i0=2;elsei0=n0+1;Endx=[0 1];y=[0.5 1.25];x0=2.8;T0=aitken(x,y,x0);T=T0;x=[3.0,4.0]';y=[3.5,2.75]';x0=2.8;T=aitken(x,y,x0,T0);n=max(size(x))+size(T0,1);for i=1:nfor j=1:i+1fprintf('%10.4f',T(i,j));endfprintf('\n');EndReturn0.0000 0.5000 0 0 01.0000 1.25002.6000 0 03.0000 3.5000 3.3000 3.2300 04.0000 2.7500 2.0750 2.2850 3.419016.function [C,D,Y]=newpoly(x0,y0,x)if nargin < 2 | nargin> 3error( 'Incorrect Number of Inputs'); endif length(x0)~=length(y0)error('The length of x0 must be equal to it of y0');end n=length(x0); D=zeros(n,n); D(:,1)=y0'; for j=2:n%计算差商表for k=j:nIf abs(x0(k)-x0(k-j+1))<eps< bdsfid="127" p=""></eps<> error('DividedbyZero,therearetwonodesarethes ame');endD(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(x0(k)-x0(k-j+1));EndEndC=D(n,n);For k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(x0(k)));m=length(C);C(m)=C(m)+D(k,k);endIf nargin==3Y=polyval(C,x);endC=fliplr(C);Returnx = [0 1 2 3 4 ];y = [0.5,1.25,2.75,3.5,2.75];[A,Y]=lagrange(x,y,x0)x0 = [0 1 2 3 4 ];y0 = [0.5,1.25,2.75,3.5,2.75];[C,D,X]=newpoly(x0,y0,x)plot(x,Y,'b-',x0,X,'r:')A = 0.5000 -0.3125 1.4687 -0.4375 0.0313Y = 0.5000 1.2500 2.75003.5000 2.7500C = 0.0313 -0.4375 1.4688 -0.3125 0.5000D = 0.5000 0 00 01.2500 0.7500 0 0 02.7500 1.5000 0.3750 0 03.5000 0.7500 -0.3750 -0.2500 02.7500 -0.7500 -0.7500 -0.1250 0.0313X = 0.5000 1.2500 2.7500 3.5000 2.7500fl(x)=0.5*x^4 - 0.312*x^3 + 1.47*x^2 - 0.438*x + 0.0312fn(x)=0.5*x^4 - 0.312*x^3 + 1.47*x^2 - 0.438*x + 0.03126. 解：对题中函数进行变形：原式→y/x = a* exp(b*x) →ln(y/x) = ln(a) + b*exp(x) 化为线性形式计算：>> a = [1 2 3 4 5];>> b = [1.222 2.984 5.466 8.902 13.592];>> x = exp(a);>> y = log(b)-log(a);>> n = 1; >> [C]=lspoly(x,y,n);>> y = vpa(poly2sym(C),3)结果如下：y = 0.00464*x + 0.384写成题中拟合函数的形式即为：y = 1.4679*x*exp(0.00464*x)7.function [a0,a1,a2]=ec2(h,w)S=log(s)';N=length(h);A=zeros(N,3);for i=1:5A(i,1)=1;A(i,2)=log(h(i));A(i,3)=log(w(i));endc=inv(A'*A)*(A'*S); a0=exp(c(1)); a1=c(2); a2=c(3);return%给出数据h=[175 172 183 164 156]; w=[80 90 80 70 65];s=[1000 900 1200 750 800]; [a0, a1,a2]=ec2(h,w,s)输出结果为：a0 =1.614815742043648e-04a1 =3.383163094165866a2 =-0.4191650115826638.x= lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb, ub,options)[x,resnorm] = lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual]=lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag]= lsqcu rvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag,output,l ambda] = lsqcurvefit(…) [x,resnorm,residual,exitflag,output,l ambda,jacobian] =lsqcurvefit(…)function F = myfun(x,xdata)F=(x(1).*xdata).*(exp(x(2).*xdat a));xdata=[1,2,3,4,5];ydata=[1.222,2.984,5.466,8.902,13. 592]; x0=[0,0];[x,resnorm]=lsqcurvefit(@myfun,x0, xdata,ydata)输出结果为：Local minimum found.Optimization completed because t he size of the gradient is less than t he default value of the function toler ance.x =0.999958348976391 0.2000141328 12834aaresnorm = 8.067930437509675e -7。
数值分析第三章_2
非线性方程的牛顿法
(Newton Method of Nonlinear Equations ) 邹秀芬教授 数学与统计学院
内容提纲（ 内容提纲（Outline)
牛顿法及其几何意义 收敛性及其收敛速度 计算实例及其程序演示
一、牛顿法及其几何意义
基本思路：将非线性方程f(x)=0 线性化 基本思路：将非线性方程 作为初始近似值， Taylor展开 展开: 取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开: 在
计算如下： 取初值x0＝0.0,计算如下： 对迭代格式一: 对迭代格式一: the iterative number is 27, the numerical solution is 0.442852706 对迭代格式二: 对迭代格式二 the iterative number is 3, the numerical solution is 0.442854401
x = xk
k
f '( xk )
k
2 f '( xk )
( x xk )
说明数列{ 说明数列{xk}有下界 x f (x ) f ( x0 ) ≤x 又 x1 = x0 < x0 x = x f '( x ) f '( x0 )
k k +1 k k
f "(ξ k ) * = xk +1 ( x xk ) 2 ≤ xk +1 2 f '( xk ) *
f1 ( x1 , x2 ,L xn ) = 0 f ( x , x ,L x ) = 0 2 1 2 n M f n ( x1 , x2 ,L xn ) = 0
记为：F ( x) = 0
将非线性方程组线性化，得到： 将非线性方程组线性化，得到：
数值分析课件第3章
x
y
2 4 6
8 6 4 2
骄行札或务旷恰洗大而非仆椒鸿孜襟儡和跟浪陪痕骚树认邻异镍屠丰逃臃数值分析课件第3章数值分析课件第3章
初每孟缅家邱拙货另崇屎慑芝骋磨雨鹏苯核碉断策占悲异贺碴察鸿旧岿父数值分析课件第3章数值分析课件第3章
例3-4 已知实测数据表如下,确定数学模型 y=aebx, 用最小二乘法确定a，b。
帜尸砚损讹祖邱帆迄攫让汕芽柔造兔优伐具猪购冈琅高蹄熊嫌第凸貉楚章数值分析课件第3章数值分析课件第3章
伸姜积升斯钳更相傍抒匣替讯蔽炽恋喉爱著殷都皂孵羌邹捞谎寐池骇织狱数值分析课件第3章数值分析课件第3章
i
0 1 2 3 4
拙猪囤犀缎孩甸萤捷褐番舍倪酌月迢飘沟锰乡橙波旗骨渠虎偷朋袒夹惹胳数值分析课件第3章数值分析课件第3章
新隆培润已描苍淬霖绪册防嚷拇痘掂腹坏蕉吁咳洞烷携敦玻腔同翻坎镀讨数值分析课件第3章数值分析课件第3章
宽烹呼境眺泡狞瑞怕敝斧厨寞贝砚妄特痒福踊阁监桐却挠伸井竟哇含野劲数值分析课件第3章数值分析课件第3章
囊铭徒庄裸课爹压屏滴插百盗万武廷校船卿肪没弹溃想镊茨壳峨孽信骗跨数值分析课件第3章数值分析课件第3章
i
0 1 2 3 4
xi yi yi
1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46 1.629 1.756 1.876 2.008 2.135
3.1基本概念
x0
x
x
x
x
x
x
x
f(x)
p(x)
虐座韦龄椽加腕槽晶僵壤漱键椒赏琢芭尊校榆唤著里钙治纹改瞥宁岁坛草数值分析课件第3章数值分析课件第3章
2、范数与赋范线形空间
数值分析第三章答案
数值分析第三章答案【篇一：常州大学数值分析作业第三章】答：matlab 程序function [a,y]=lagrange(x,y,x0) %检验输入参数if nargin 2 || nargin 3error(incorrect number of inputs); endif length(x)~=length(y)error(the length of x must be equal to it of y); endm=length(x);n=m-1;l=zeros(m,m); %计算基本插值多项式的系数for i=1:n+1 c=1;for j=1:n+1if i~=jif abs(x(i)-x(j))eps abs(x(i)-x(j))epserror(there are two two same nodes);endc=conv(c,poly(x(j)))/(x(i)-x(j));end endl(i,:)=c; end%计算lagrange插值多项式的系数 a=y*l;%计算f(x0)的近似值 if nargin==3y=polyval(a,x0);工程（专）学号：14102932enda=fliplr(a); return[a,y] = lagrange(x,y,x0); p1 = vpa(poly2sym(a),3) y[a,y] = lagrange(x,y,x0); p2=vpa(poly2sym(a),3) yp2 = x2 - 0.109x - 0.336 y =0.5174[a,y]=lagrange(x,y,x0); p4=vpa(poly2sym(a),3) yp4 =x4 + 0.00282x3 - 0.514x2 + 0.0232x + 0.0287 y =0.5001次多项式在2.8处的值。
答：matlab 程序 function[t,y0]=aitken(x,y,x0,t0) if nargin==3 t0=[]; endn0=size(t0,1);m=max(size(x)); n=n0+m;t=zeros(n,n+1);t(1:n0,1:n0+1)=t0; t(n0+1:n,1)=x; t(n0+1:n,2)=y; if n0==0 i0=2; elsei0=n0+1; endfor i=i0:nfor j=3:i+1t(i,j)=fun(t(j-2,1),t(i,1),t(j-2,j-1),t(i,j-1),x0); end endy0=t(n,n+1); returnfunction [y]=fun(x1,x2,y1,y2,x) y=y1+(y2-y1)*(x-x1)/(x2-x1); return%选取0、1、3、4四个节点，求三次插值多项式 x=[0,1,3,4];y=[0.5,1.25,3.5,2.75]; x0=2.8;[t,y0]=aitken(x,y,x0) t =0 0.5000 00 0 1.01.25002.6000 0 0 3.03.50003.29993.23000 4.02.75002.07502.28503.4190 y0 =3.41900000000000016、选取适当的函数y=f(x)和插值节点，编写matlab程序,分别利用lagrange插值方法,newton插值方法确定的插值多项式，并将函数y=f(x)的插值多项式和插值余项的图形画在同一坐标系中，观测节点变化对插值余项的影响。
常州大学数值分析09-10试卷及参考答案
常州大学2009~2010学年第 2 学期硕士生考试试题评分标准1. （10分）当x 充分大时, 试比较算上的差异？并叙述常见的防止误差的一些原则。
解：当x 充分大时，两个表达式在理论上恒等， 但其数值计算结果不同，前者会出现相近数相减，失去有效数位，降低计算结果精度的问题；后者避免了相近数相减的问题，尽可能地保证了计算结果的精度。
防止误差的几个基本原则主要有： 1） 防止大数“吃”小数；2） 避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 3） 避免相近数相减；4） 避免使用不稳定的算法；注意简化计算步骤，减少运算次数；………… 5 分2. （15分）已知列表函数利用Newton 插值方法求()f x 的插值逼近多项式3()N x ，利用插值多项式近似计算(1.52)f 。
解：Newton 差商表： D =1.0000 -1.0000 -2.00003.00004.0000 3.0000 2.0000 -1.0000 -2.5000 -1.8333………… 5 分3() 1.8333^38.5000^28.6667 1.0000N x x x x =-+-+………… 5 分3(1.52)(1.52) 1.0268f N ≈=。
………… 5 分3. （10分）已知列表函数解：写出正规方程组42 5.1526 6.09a b a b +=⎧⎨+=⎩ ………… 5 分解上述正规方程组得0.9360,0.7030a b ==………… 5 分4. （15分）写出龙贝格（Romberg ）方法的数值积分公式，并用龙贝格方法计算1sin 0x e dx ⎰，要求误差不超过210-。
解：龙贝格（Romberg ）方法计算定积分()baf x dx ⎰的数值积分公式如下：211122221(),,22413316115156416363n n n i i i i n n nn n nn n nh b aT T f x h x x n S T T C S S R C C --=-=+=-==-=-=-∑，其中1[()()]2b aT f a f b -=+。
数值分析(颜庆津)第三章 学习小结
第三章 矩阵特征值与特征向量的计算--------学习小结一、 本章学习体会通过本章的学习，我们学到了四种矩阵特征值和特征向量的计算方法，分别是幂法、反幂法、Jacobi 方法和QR 方法。
四种方法各有其特点和适用范围。
幂法主要用于计算矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量；反幂法主要用于计算矩阵按模最小的特征值及其相应的特征向量；Jacobi 方法用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；QR 方法则适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。
归结起来，这四种方法亦有其共同点，那就是都是用了迭代的方法来求矩阵的特征值和特征向量。
此外，用MA TLAB 自带的解法求解特征值和特征向量也非常快速，而且不用编辑函数建立m 文件。
其自带函数Eig 功能强大，即便得到结果是虚数也可以算出，并且结果自动正交化。
二、 本章知识梳理本章对于矩阵的特征值和特征向量的算法提出了新的思路，如幂法和反幂法、Jacobi 、QR 方法等。
本章的小结主要从方法的思想，以及一些定理展开。
2.1各种方法的运用范围1、幂法：主要用于计算矩阵按模最大的特征值和其相应的特征向量；2、反幂法：主要计算矩阵按模最小的特征值以及其相应的特征向量；3、Jacobi 方法:用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；4、QR 方法：适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。
2.2各种方法的基本思想以及迭代公式 1.幂法幂法的基本思想：设n×n 实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n x x x ,....,,21，其相应的特征值,,...,21n λλλ满足不等式n λλλλ≥≥>....321，其中iix i Ax λ=)...,3,2,1(n i =。
任取一n 维非零向量u 0，从u 0出发，按照如下的递推公式...)2,1(1===k Au u k k因n 维向量组n x x x ,....,,21线性无关，故对向量u 0必存在唯一的不全为0的数组a 1,a 2,...,a n ,使得n n x a x a x a u +++= (22110)])(...)([ (1)212211122211122110221n n n k n kn n k k n k n k k k k k k x a x a x a x a x a x a x A a x A a x A a u A u A Au u λλλλλλλλ+++=+++=+++=====--设a 1≠0,由上式可以看出，当k 充分大时有111x a u kkλ≈得迭代公式：9u A u k k = （1）从实际中来看，为了避免迭代向量u k 的模过大，（当11>λ）或过小（当11<λ），通常对u kj 进行归一化，使其范数等于1。
数值分析第三章林成森
⎢ ⎢
5
⎥ 1⎥
1
1
⎣
− 4⎦
x = Bx0 +
11
1
⎡0
⎤ ⎡−
⎤
⎡0
= ⎢⎢1
8 0
81⎥⎥
⎢ 0+⎢
8
1 −
⎥ ⎥
1 16
= ⎢⎢1
⎢5 5⎥ ⎢ ⎢1 1 ⎥ ⎢
5 ⎥ 7 ⎢5
1⎥
⎢1
⎣4 4 0⎦
⎣
− 4⎦
⎣4
k
0
1
2
3
11
⎡0
⎤
1 1
= ⎢⎢1
8 0
81⎥⎥
0
⎢5 5⎥ ⎢1 1 ⎥
⎣4 4 0⎦
−2 0
−1 −3
=
⎢ ⎢−
2
0
3⎥⎥
⎥ 1⎥
1
3
0
⎢ ⎢1
⎥ 3⎥
⎦
⎣− − 0⎦
√
B 的特征值：λ = ±
，0；要想收敛ρ[B] ≤ 1， ≥ √14。
8、用 Jacobi 和 Gauss—Seidel 迭代法解方程组
−8 1 1
1
2 1 −1
1
(1) 1 −5 1
= 16 (2) 1 2 −1 = 1
⎣− 80
− 20
− 4⎦
⎣0 80 80⎦
⎣− 80 ⎦
k
0
1
2
3
4
5
X1
0
-0.125 -0.851563 -0.977832 -0.996578 -0.999477
X2
0
-3.225 -3.88781 -3.98254 -3.99733 -3.99959
数值分析第三章
2
(4) 若Xn和X都是实 则 都是实r.v.,则 都是实
lim E (e
n →∞
jtX n
) = E (e
jtX
)
即ϕ X n (u ) → ϕ X (u )
3．均方收敛判定准则 ．
定理（ 准则） 定理（Cauchy准则）设 { X n , n = 1, 2,L} ⊂ H , 准则 则{Xn}均方收敛的充要条件是 均方收敛的充要条件是
2
2 2
2
2
0 ≤ D( X − Y ) = E X − Y − E ( X − Y ) = − E ( X − Y ) ≤ 0
于是 P( X − Y = c) = 1 以概率1等于常数 也就是 以概率 等于常数c,也就是 等于常数
2
从而 X − Y
2
E X −Y = c 1= 0
即 c=0
以概率1等于常数 等于常数0,也就是 故 X − Y 以概率 等于常数 也就是
aX +bY ∈H,
证明 E aX + bY = E (aX + bY )(aX + bY )
2
= E ( aX + bY )( aX + bY ) = E ( aX + bY + aXbY + aX bY )
2 2
aXbY + aXbY = 2R =2R aXbY) e(
= E a X + E b Y + E 2 Re(aXbY )
2
2
≤ E Xm − X + E Xn − X
2
1 2
2 2
+ 2E X m − X E X n − X
2
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第三章作业
1.设节点x 0=0,x 1=π/8,x2=π/4,x3=3π/8,x4=π/2,试适当选取上述节点，用拉格朗日插值法分别构造cosx 在区间[0，π/2]上的一次、二次、四次差值多项式P 1（x ）,P 2(x)和P 4（x)，并分别计算P 1（π/3）,P 2(π/3)和P 4（π/3). 解： x0 x1 x2 x3 x4 x
π/8 π/4 3π/8 π/2 y=cosx 1
0.923879
0.707106
0.382683
（1）选择x0=0,x4=π/2的节点
y0=cosx0=1,y4=cosx4=0,可得
)
()
()()()(0101
1010
1x x x x y x x x x y x P --+--=，即 333333
.0)3/(1636620.0)(11≈+-≈πP x x P
（2）选择x0=0,x2=π/4,x4=π/2的节点
y0=cosx0=1,y2=cosx2=0.707106,y4=cosx4=0,可得
)
)(())(())(()
)(())(())(()(1202102
2101201
2010210
1x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x P ----+----+----=,即
145968
.1)3/(1511124.5482067.1)(222≈++-≈πP x x x P
（3）选择x0=0,,x1=π/8,x2=π/4,x3=3π/8，x4=π/2的节点y0=cosx0=1,y1=cosx1=0.923879,y2=cosx2
=0.707106,y3=cosx3=0.382683,y4=cosx4=0可得
)
(
)(4
,04
4∏
∑≠==--=i
j j j
i j i i x x x x y x P ， 得
P3(x)=1+0.0031x-0.51542x +0.02423
x +0.02
844
x
4(3) 0.5001P π=/
7.解：
选取0123=0=1=2=3x x x x ，，，为节点 >> T0=[0.0 0.5];x=[1 2 3]';y=[1.25 2.75 3.5]';x0=2.8;T=aitken(x,y,x0,T0) T =
0.0000 0.5000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 1.2500 2.6000 0.0000 0.0000 2.0000 2.7500 3.6500 4.4900 0.0000 3.0000 3.5000 3.3000 3.2300 3.4820 16
1）拉格朗日差值
．选取
函数
],[),sin()cos(ππ-∈+=x x x y
x0=-pi:0.5*pi:pi; y0=cos(x0);
x=-pi:0.05*pi:pi;
if length(x0)~=length(y0)
error('The length of x0 must be equal to it of y0'); end
w=length(x0); n=w-1;
L=zeros(w,w); for k=1:n+1 V=1;
for j=1:n+1 if k~=j if
abs(x0(k)-x0(j))<eps
error('Divided by Zero,there are two nodes are the same'); end
V=conv(V,poly(x0(j)))/(x0(k)-x0(j));
end end L(k,:)=V;
end
C=y0*L;
Y=polyval(C,x); y=cos(x)+sin(x); r=y-Y;
plot(x,Y,'r--',x,y,'b-',x,r,'k-.','LineWidth',2);
legend('Lagrange polynomial','The
original f(x) ','Error',0)
2）牛顿差值
．选取函数]5,5[,11
2
-∈+=
x x y >> x0=-5:1:5;
>>y0=1./(1+x0.*x0); >>x=-5:0.1:5;
>>if length(x0)~=length(y0)
>>error('The length of x0 must be equal to it of y0'); end
>>n=length(x0); >>D=zeros(n,n); >>D(:,1)=y0'; >>for j=2:n for k=j:n
if abs(x0(k)-x0(k-j+1))<eps
error('Divided by Zero,there are two nodes are the same'); end
>>D(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(x0(k )-x0(k-j+1)); end end
C=D(n,n);
for k=(n-1):-1:1
C=conv(C,poly(x0(k))); m=length(C);
C(m)=C(m)+D(k,k); end
Y=polyval(C,x); y=1./(1+x.*x+20*x); r=y-Y;
>plot(x,Y ,'r--',x,y,'b-',x,r,'k-.','LineWidth',2); >legend('Newton polynomial','The original f(x)
','Error',0)。