9.8曲线与方程
§9.8 曲线与方程
方程的曲线 _______________.
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要点梳理
忆一忆知识要点
2.求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P(x, y).
(3)列式——列出动点P所满足的关系式.
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、
斜率公式等将其转化为x, y的方程式,并化简.
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点
轨迹方程.
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要点梳理
忆一忆知识要点
3. 两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的 坐标应该是两个曲线方程的 _________ ，即两个 公共解 曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程 组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组 _______ 无 解 ，两条曲线就没有交点. 充 要 条件是它们的方 (2)两条曲线有交点的 _______ 程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点 问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实 数解问题.
即 ((x 即((－ －x x,,－ －4 4－ －2 2y y)· )· x,,－ －2) 2)＝ ＝0. 0. 12 1 2 所以曲线 所以曲线 C C 的方程为 的方程为 y y＝ ＝x x2－ －2. 2. 4 4
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x
1 22 1 2 2 1 1 1 (2) 设 P ( x ， y ) 为曲线 C ： y ＝ x － 2上一点． 上一点． (2) 设 P ((x ， y ))为曲线 C ： y ＝ － 2 2 0 0 2x 0 0 0 0 (2) 设 P x ， y 为曲线 C ： y ＝ x － 2 上一点． 0 0 4 (2)设 P (x0y ， y0)为曲线 Cy ： y＝ x2 － 2 上一点． (2)设 P(x C： ＝ x4 － 上一点． 0， 0)为曲线 4 4 4 y 1 1 1 1 1 1 1 1x 因为 y y′′ ′1 ＝1x x，所以 ，所以 ll l 的斜率为 的斜率为 x00 . 因为 ＝ .. 0 0 因为 y ＝ x ，所以 的斜率为 x 2 2 因为 y ′ ＝ x ，所以 l 的斜率为 x . 2 2 因为 y′＝ x，所以 l 的斜率为 x02 . 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 因此直线 ll l 的方程为 的方程为 y y－ －y y00 ＝2 x00 (x x－ －x x00 )， ， 因此直线 ＝ x (( )) 0 0 0 0 0 0 因此直线 的方程为 y － y ＝ x x － x ， 因此直线 l 的方程为 yy － y0＝ － x0)， 因此直线 l 的方程为 y－ x2 (x－ x 0(x 0＝ 0)， 2 2 02 2 2 2 O 2 即 x x － 2 y ＋ 2 y － x ＝ 0. 即 x x － 2 y ＋ 2 y － x ＝ 0. 2 0 0 0 2 x 0x－2y＋2y 0－ 0＝0. 0 0 0 0 即 x － 2y2 ＋ y00 － x ＝0. 即即 x0xx － 2 y＋ y02 － x ＝ 0. 0x 0 0 2 0 2 2 2 |2y y00 － x00 | |2 － || 2 1 22 1 0 0 2x 0 0 2 2 |2 y － x 1 |2 y － x | 1 |2 y － x | 0 0 1 2 所以 O 点到 l 的距离 d ＝ . 又 y ＝ x － 2 ， 所以 O 点到 ll 的距离 d ＝ . 又 y ＝ － 2 ， 0 0 0 0 2x 0 0 0 0 2 2 所以 O 点到 的距离 d ＝ . 又 y ＝ x － 2 ， 2 0 0 4 所以 O 点到 l 的距离 d＝ 2 x .又 y0＝ x02 － 2， 4 所以 O 点到 l 的距离 d＝ .又 y0＝ x0 － ， 2 x02 ＋ 4 ＋ 4 4 0 0 4 x ＋ 4 4 x0 ＋4 x0＋ 4 0 1 22 1 2 2 1 1 21x x ＋4 4 ＋ 2 0 0 0 x ＋ 4 0 4 4 2 x ＋ 4 2 2 1 2 2 1 x02 ＋ 4 0 4 2 1 4 4 x ＋ 4 ＋ 2 x ＋ 4 ＋ 2 1 2 0 2 1 0＋4＋ 0 x 2 所以 d d＝ ＝ 22 ＝ ≥2. 2. 所以 ＝ ≥ 2 2 2 0 2 2 2 所以 d ＝ ＝ ≥ 2. x ＋ 4 ＋ x ＋ 4 ＋ 0 2 所以 d ＝ ＝ ≥ 2. x ＋ 4 0 2 ＋ 4 所以 d＝ 2 x ＝ 2 ≥ 0 2x 2. 0 0 x ＋ 4 x00 ＋ 4 ＋ 4 2 0 0 0 2 x ＋ 4 x ＋ 4 2 x ＋ 4 0 x04 ＋4 0 x0＋ 当x x00 ＝0 0 时取等号，所以 时取等号，所以 O O 点到 点到 ll l 距离的最小值为 距离的最小值为 2. 2. 当 ＝ 0 0 当 x ＝ 0 时取等号，所以 O 点到 距离的最小值为 2. x0 ＝ 0 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 当当 x0＝ 0 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. 2.
高中数学考点-抛 物 线
9．8抛 物 线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________． 2．抛物线的标准方程及几何性质标准 方程 y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)图形性 质焦 点 ① ②⎝⎛⎭⎫－p2，0 ③ ④⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准 线 ⑤x ＝－p2⑥ ⑦y ＝－p2⑧ 范 围 ⑨x ≥0， y ∈R⑩⑪⑫y ≤0， x ∈R对 称 轴 ⑬⑭y 轴顶 点 ⑮原点O (0，0)离 心 率 ⑯开 口⑰⑱向左⑲向上⑳自查自纠1．l 焦点 准线2．①⎝⎛⎭⎫p 2，0 ③⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⑥x ＝p 2 ⑧y ＝p 2⑩x ≤0，y ∈R ○11y ≥0，x ∈R ○13x 轴 ○16e ＝1 ○17向右 ○20向下抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫18，0B.⎝⎛⎭⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，18 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解：由抛物线的标准方程为x 2＝12y ，可知p 2＝18，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18.故选C. A (2，1)为抛物线x 2＝2py (p >0)上一点，则A 到该抛物线的焦点F 的距离为( ) A.32 B.2＋12 C ．2 D.2＋1解：把A (2，1)代入抛物线方程得2＝2p ，得p ＝1，所以A 到焦点的距离为1＋12＝32，则|AF |＝32，故选A.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]解：由已知得Q (－2，0)，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.故选C. 已知直线l 过拋物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，且|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为________．解：设抛物线的焦点到准线的距离为p ，则由题意有2p ＝12，即p ＝6，则△ABP 的面积为12×12×6＝36.故填36.(2016·浙江)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是____________． 解：由题意可知焦点F 的坐标为(1，0)，则准线方程为x ＝－1，设M (x M ，y M )，则x M ＋1＝10，所以x M ＝9，即M 到y 轴的距离是9.故填9.类型一 抛物线的定义及标准方程(1)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y 解：因为x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，所以c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，所以b 2a 2＝3，ba＝ 3.x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±3x .由题意得p 21＋（3）2＝2，所以p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .故选D.(2)已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3，2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．解：因为椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为(1，0)，所以p2＝1，解得p ＝2，所以抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图所示，过M 作抛物线的准线l 的垂线MA ，垂足为A ，由抛物线的定义有|MA |＝|MF |，所以|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MA |， 显然当P ，M ，A 三点共线时，|MP |＋|MF |取得最小值．因为点P 的坐标为(3，2)， 所以|MP |＋|MF |的最小值为3－(－1)＝4.故填4.【点拨】(1)求抛物线的标准方程，若开口未知，则要先判断开口，以便设方程；(2)求最值问题，则常借助抛物线定义及平面几何中三角形两边和大于第三边或两点直线段最短等性质．(1)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解：因为以MF 为直径的圆过点(0，2)，所以点M 在第一象限．由|MF |＝x M ＋p2＝5得M ⎝⎛⎭⎫5－p 2，2p ⎝⎛⎭⎫5－p 2，从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，122p ⎝⎛⎭⎫5－p 2. 因为点N 的横坐标恰好等于圆的半径，所以圆与y 轴切于点(0，2)，从而2＝122p ⎝⎛⎭⎫5－p2，即p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8， 所以抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C.(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________． 解：如图，易知抛物线的焦点为F (1，0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到F (1，0)的距离之和最小， 显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－（－1）]2＋（0－1）2＝ 5.故填 5.类型二 抛物线焦点弦的性质如图，AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)||AB ＝x 1＋x 2＋p ；(2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；(4)1||AF ＋1||BF ＝2p. 证明：(1)由抛物线的定义知||AB ＝||AF ＋||BF ＝||AA 1＋||BB 1＝x 1＋x 2＋p .(2)当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝p 2，x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－2px 1·2px 2＝－p 2；当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2， 联立抛物线方程，消x 得y 2－2pk y －p 2＝0， 所以y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 212p ·y 222p＝p 24.(3)设AB 的中点为M ，M 到准线的距离为d ，则d ＝||AA 1＋||BB 12＝||AF ＋||BF 2＝||AB 2，所以以AB 为直径的圆与准线相切．(4)当直线AB 的斜率不存在时，1|AF |＋1|BF |＝1|AA 1|＋1|BB 1|＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝1p ＋1p ＝2p；当直线AB 的斜率存在时，因为x 1＋x 2＝⎝⎛⎭⎫y 1k ＋p 2＋⎝⎛⎭⎫y 2k ＋p 2＝y 1＋y 2k ＋p ＝2p k 2＋p ，x 1x 2＝p 24，所以1||AF ＋1||BF ＝1||AA 1＋1||BB 1＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2（x 1＋x 2）＋p 24＝2pk 2＋2p p 2＋p 2k2＝2p. 【点拨】本题小结了抛物线的焦点弦的有关性质，当抛物线的坐标方程形式发生变化时，性质(3)、(4)不变，性质(1)、(2)略有变化，如对于抛物线x 2＝2py ，性质(1)应为|AB |＝y 1＋y 2＋p ，性质(2)应为x 1x 2＝－p 2，y 1y 2＝p 24，其余情况可自行推导．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4. 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝OA →＋λOB →＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握．2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny (m ≠0，n ≠0)．若m ＞0，开口向右；若m ＜0，开口向左．m 有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n ＞0与n ＜0，有类似的讨论．3．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，要看到焦点想准线(看到准线想焦点)，优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．4．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 5．抛物线的几个常用结论(1)抛物线上的点P (x 0，y 0)与焦点F 之间的线段长度(一般叫做抛物线的焦半径)记作r ＝||PF .①y 2＝2px (p ＞0)，r ＝x 0＋p2；②y 2＝－2px (p ＞0)，r ＝－x 0＋p2；③x 2＝2py (p ＞0)，r ＝y 0＋p2；④x 2＝－2py (p ＞0)，r ＝－y 0＋p2.(2)若AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，||AB ＝l .则：①x 1x 2＝p 24；②y 1y 2＝－p 2；③弦长l ＝x 1＋x 2＋p ，因x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，故当x 1＝x 2时，l 取得最小值，最小值为2p ，此时弦AB 垂直于x 轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)．1．(2016·河北唐山一模)已知抛物线的焦点F (a ，0)(a <0)，则抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2ax B ．y 2＝4ax C ．y 2＝－2ax D ．y 2＝－4ax解：由题意可令抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，由－p2＝a 可知p ＝－2a ，则抛物线的标准方程为y 2＝4ax .故选B.2．(2016·东北三省三校一联)点M (1，1)到抛物线y ＝ax 2准线的距离为2，则a 的值为( ) A.14 B ．－112 C.14或－112 D ．－14或112解：抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝－14a ，依题意有⎪⎪⎪⎪1＋14a ＝2，解得a ＝14或a ＝－112.故选C. 3．(2016·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 解：因为y 2＝4x ，所以F (1，0)．又因为曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，所以P (1，2)．将点P (1，2)的坐标代入y ＝kx(k >0)，得k ＝2.故选D.4．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解：因为抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以椭圆中c ＝2，又c a ＝12，所以a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.因为抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，所以x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象的对称性可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B.5．(2016·运城期末)已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为( )A ．x 2＝32y B ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y 解：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y 得x 2－2ax ＋2a ＝0， 所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线的方程为x 2＝3y .故选D.6．(2016·甘肃模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A.13B.23C.34D.43解：记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C.则有cos∠ABB 1＝||BC ||AB ＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得||AF ||BF ＝13.故选A.7．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，当水下降1m 后，水面宽为________．解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为x 2＝－2py ，因为拱顶离水面2m ，水面宽4m ，所以22＝－2p ·(－2)，得p ＝1.所以抛物线方程为x 2＝－2y ，水面下降1m ，则y ＝－3，代入抛物线方程，得x 2＝－2×(－3)，x ＝±6，这时水面宽为26m.故填26m.8．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝________．解：焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，0， 方法一：直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二：由抛物线焦点弦的性质可得|AB |＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12.故填12.9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |，求C 的方程．解：设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，所以|QF |＝x 0＋p 2＝8p ＋p2.又因为|QF |＝54|PQ |，所以8p ＋p 2＝54·8p ，解得p ＝2(舍去负值)．所以C 的方程为y 2＝4x .10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)由(1)知点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)．又因为F (1，0)，所以k F A ＝43.因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34.所以F A 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2，联立⎩⎨⎧y ＝43（x －1），y ＝－34x ＋2，解方程组得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2，0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12. (1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．解：(1)设直线l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 所以p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)(*)化为y 2－4my ＋8＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M (x M ，y M )，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝（1＋m 2）（16m 2－32），② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝± 3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解：由题知F ⎝⎛⎭⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－aba ＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合． 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1．。
酶促反应动力学(有方程推导过程)
酶促反应动力学(kinetics of enzyme- catalyzed reactions)是研究酶促反应速度及其影响因素的科学。酶促反应的影响因素主要包括酶的浓度、底物的浓度、pH、温度、抑制剂和激活剂等。
01
酶促反应动力学
02
3.4 酶促反应动力学
酶浓度的影响
在一定温度和pH下，酶促反应在底物浓度大于100 Km时，速度与酶的浓度呈正比。 酶浓度对速度的影响机理：酶浓度增加，[ES]也增加，而V=k3[ES]，故反应速度增加。
，所以
(2)
将（2）代入（1）得：
(3)
当[Et]=[ES]时，
(4)
所以
将（4）代入（3），则：
01
Vmax指该酶促反应的最大速度，[S]为底
02
物浓度，Km是米氏常数，V是在某一底物浓
03
度时相应的反应速度。从米氏方程可知：
04
当底物浓度很低时
05
<< Km,则 V≌Vmax[S]/Km ，反应速度
〔E〕〔S〕
〔ES〕
〔E〕〔I〕
〔EI〕
ki
解方程①②③得： 〔ES〕=
〔E〕t
（1 + ）＋1
Km
〔S〕
〔I〕
Ki
又因vi＝k3〔ES〕,代入上式得： Vi＝
（1 + ）＋〔S〕
Km
〔I〕
Ki
Vmax〔S〕
〔I〕
Ki
很多药物都是酶的竞争性抑制剂。例如磺胺药与对氨基苯甲酸具有类似的结构，而对氨基苯甲酸、二氢喋呤及谷氨酸是某些细菌合成二氢叶酸的原料，后者能转变为四氢叶酸，它是细菌合成核酸不可缺少的辅酶。由于磺胺药是二氢叶酸合成酶的竞争性抑制剂，进而减少细菌体内四氢叶酸的合成，使核酸合成障碍，导致细菌死亡。抗菌增效剂-甲氧苄氨嘧啶(TMP)能特异地抑制细菌的二氢叶酸还原为四氢叶酸，故能增强磺胺药的作用。
张宇例题9.8柱壳法
张宇例题9.8柱壳法为了理解这种方法，考虑图1左边所示的区域，也就是，第一象限数轴和所示示曲线y=f(x)y=f(x)围成的区域。
如果这个区域绕xx 轴旋转，那么图中的垂直窄带生成一个圆盘，我们能够从x=0x=0到x=bx=b区间上积分这些圆盘的体积得到总体积。
当然，这是上篇文章中描述的圆盘法。
然而，如果区域绕yy轴旋转，就像图中间的那样，那么我们获得完全不同的物体，垂直窄带产生了很薄的圆柱壳。
这个壳可以看做一个罐头，只是其顶部和底部已被去掉，或者很薄的纸板。
其体积dVdV本质上是内圆柱表面积(2πxy)(2πxy)乘以厚度(dx)(dx)，所以dV=2πxydx(1)(1)dV=2πxydx这个壳的半径xx从x=0x=0增长到x=bx=b，从图1可以看出，圆柱壳序列填充沿着轴向外充满了整个物体。
因此总体积就是dVdV 体积元的和-或积分V=∫dV=∫2πxydx=∫b02πxf(x)dx(2)(2)V=∫dV=∫2πxydx=∫0b2πxf(x)dx其中y=f(x)y=f(x)，原则上，体积VV也可以用水平窄带得到的水平圆盘来计算；然而我们会发现这非常困难，因为给定的方程y=f(x)y=f(x)无法用yy来表示xx。
图1和其他积分的应用一样，等式(1)(2)将涉及到和极限的复杂过程变成简洁的表达式，为了清楚起见，我们忽略这个过程的细节。
还跟之前一样，我们建议大家不要死记公式(2)。
这个公式类似于对应的圆盘法公式，如果只是死记而不加思考的话，很容易将他们用混并打字自信。
更好地方式是画图，直接从图中可见的信息来构建(1)，然后对形式(2)进行积分。
此外，这种方法更大的优势，我们不用依赖于任何特定的符号，可以很容易将基本思想应用到各种轴旋转得到的物体上。
例1：上篇文章中我们用圆盘法计算了球体的体积。
现在我们用圆柱壳法在此解决这问题(图2)。
图中所示壳的体积为dV=2πx(2y)dx=4πxa2−x2−−−−−−√dxdV=2πx(2y)dx=4πxa2−x2dx因此球体的体积是V=4π∫a0xa2−x2−−−−−−√dx=4π(−13)(a2−x2)3/2∣∣a0=−4π3(a2−x2)3/2∣∣a0=43πa3V=4π∫0axa2−x2dx=4π(−13)(a2−x2)3/2|0a=−4π3(a2−x2)3/2|0a=43πa3图2另外，我们考虑一个相关问题：如果一个直径为aa的垂直洞通过了球中，那么如何找到剩余的体积。
2013届高考北师大版数学总复习课件：9.8曲线与方程
B 两点，若|AB|＝ 4，这样的直线条数为( A． 1 C． 3 B． 2 D． 4
)
[答案] C
[解析] 若与双曲线右支交于两点 A， B，则 |AB|≥ 4(通径 )， 此时弦长为 4 的弦有一条； 若与左右两支各有一交点 A、 B，则|AB|≥ 2(实轴长)， 此时弦长为 4 的弦有两条．∴共 3 条．
x2 2 5．设 P 为双曲线 － y ＝ 1 上一动点，O 为坐标原点，M 为 4 线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是________．
[答案] x2－4y2＝1
[解析] 设 M(x， y)， P(x1， y1)， 0＋ x1 0＋ y1 则 ＝ x， ＝ y，∴ x1＝ 2x， y1＝ 2y， 2 2 又 P(x1， y1)在双曲线上， 2x2 ∴ － (2y)2＝ 1，∴ x2－ 4y2＝ 1. 4
5．求曲线轨迹方程的常用方法 (1)直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关 系，这些条件简单明确，直接表述成含 x，y 的等式，就得到轨 迹方程，这种方法称为直接法． (2)定义法 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的 定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法． (3)代入法 又称相关点法，其特点是，动点 M(x，y)的坐标 取决于已知曲线 C 上的点(x′，y′)的坐标，可先用 x，y 来表示 x′，y′，再代入曲线 C 的方程，即得点 M 的轨迹方程．
A．长轴在 y 轴上的椭圆 B．长轴在 x 轴上的椭圆 C．实轴在 y 轴上的双曲线 D．实轴在 x 轴上的双曲线
[答案] C
y2 x2 [解析] 由已知条件，方程可化为 2 － ＝ 1. k － 1 1＋ k ∵ k>1，∴ k2－ 1>0,1＋ k>0. 则方程表示实轴在 y 轴上的双曲线．故选 C.
初中抛物线知识点
初中抛物线知识点抛物线是一种非常重要的数学曲线，它在生活中有着广泛的应用，特别是在物理学和工程学领域。
在初中阶段，学生需要学习抛物线的基本概念和性质，掌握其基本的计算方法和应用技巧，为以后更深入的学习打下坚实的基础。
本文将为大家详细介绍初中抛物线知识点。
一、抛物线的定义和基本形状抛物线是一个非常特殊的二次曲线，它是一种由平面上一个点P和一条直线L（称为抛物线的准线）所确定的点集。
具体来说，如果点P离开准线的距离与点P到准线所垂直的直线的长度成比例，那么P所在的点集就称为抛物线。
如下图所示：可以看到，抛物线的形状非常特殊，它是一个向上开口或向下开口的平面弧线。
抛物线具有以下两个基本性质：1. 抛物线是轴对称的，即它以准线为轴对称。
2. 抛物线是有界的，即它在竖直方向上始终有最高点，而在水平方向上则具有无限的延伸。
二、抛物线的标准方程对于任何一个抛物线，它都可以用一个标准方程来表示。
标准方程的形式如下：y = ax2 + bx + c其中，a、b、c分别是实数常数，x、y是抛物线上的未知点坐标。
利用这个标准方程，我们可以计算出抛物线的各种关键参数，如顶点坐标、焦点坐标、准线方程等等。
下面我们来逐一介绍这些参数的计算方法。
三、抛物线的顶点坐标抛物线上的最高点被称为顶点，在计算抛物线的各种参数和完成题目时，顶点坐标是一个非常重要的指标。
要计算抛物线的顶点坐标，我们可以首先将标准方程改写成顶点式：y = a(x - h)2 + k其中，(h,k)就是抛物线的顶点坐标。
为了求出这个顶点坐标，我们需要将标准方程改写成顶点式，但首先需要利用一些数学方法将标准方程进行配方。
这个过程并不困难，下面我们来直接给出结果：①当抛物线开口向上时，顶点坐标为(h,-k)；②当抛物线开口向下时，顶点坐标为(h,k)。
例如，在下面这个图中，抛物线开口向上，它的标准方程为y = 2x2 - 4x + 1。
将这个方程改写成顶点式，可以得到：y = 2(x - 1)2 - 1所以，这个抛物线的顶点坐标为(1,-1)。
第9章 系综理论
9.1
4、系综的分类
相空间 刘维定理
微正则系综：粒子数N 体积V 能量E都确定的系统， （1）微正则系综：粒子数N 、体积V 、能量E都确定的系统，孤立系统 正则系综： 粒子数N 体积V 温度T都确定的系统， （2）正则系综： 粒子数N、体积V、温度T都确定的系统，封闭系统 巨正则系综：化学势µ 体积V 温度T都确定的系统， （3）巨正则系综：化学势µ、体积V、温度T都确定的系统，开放系统 二、刘维定理 1、稳定系综 不显含时间t 则该系综称为稳定系综，此时： 若ρ不显含时间t，则该系综称为稳定系综，此时： ）、稳定系综的<f>与时间无关 稳定系综的<f> （1）、稳定系综的<f>与时间无关 ）、处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综 处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综。 （2）、处于平衡态的系统所构成的系综称为稳定系综。
（ 5）
由于相空间中不存在“ 由于相空间中不存在“源”与“壑”，因而代表点的总数必须守 因此， 则有： 恒。因此，由（2）和（4）式，则有：
∂ → div ρ v dΓ = − ∫ ρdΓ ∫ ∂t Γ Γ
∂ρ → ∫ ∂t + div ρ v dΓ = 0 （6） Γ
包围这个体积的表面，体内代表点数目的增加率为： 包围这个体积的表面，体内代表点数目的增加率为：
→
∂ 3）
→
n
→ → 从表面的净流出为： 从表面的净流出为： ρ v⋅ ndσ ∫ σ
→
→
为表面元的速度矢量， v 为表面元的速度矢量， n 为 dσ 向外的法向单 位矢量。 位矢量。
高三数学一轮总结复习目录
高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。
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8 曲线与方程
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( )
A ．一条直线和一条双曲线
B ．两条双曲线
C ．两个点
D ．以上答案都不对
3．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一
动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设
CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
4．有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a >0)且与y 轴相交于点A 、B ，若△ABP 为正三角形，则点
P 的轨迹为( )
A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．双曲线
5．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平
面内的轨迹是( )
A ．直线
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．双曲线
二、填空题(每小题6分，共24分)
6．过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M
的轨迹方程为____________．
7．点P 到点(1,1)和到直线x ＋2y ＝3的距离相等，则点P 的轨迹方程为____________．
8．P 是椭圆b y a x 2222 =1上任意一点,F F 2
1,是它的两个焦点，O 为坐标原点,OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是______________．
9．已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、
l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是____________．
三、解答题(共41分)
10．(13分)设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
11．(14分)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆
C 2相外切．求动圆圆心M 的轨迹方程．
12．(14分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点
C .
(1)求动点C 的轨迹方程；
(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ,Q,交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．
答案
1．C 2. C 3. A 4. D 5. D 6. x ＋y －1＝0 7. 2x －y －1＝0 8. x 24a 2＋y 2
4b 2＝1 9. (x ＋1)2－y 2＝65
10. 解 如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ .
方法一 直接法．
设OC 的中点为M ⎝⎛⎭⎫12，0，
则|MP |＝12|OC |＝12
， 得方程⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14
， 其中0<x ≤1.
方法二 定义法．
∵∠OPC ＝90°，∴动点P 在以M ⎝⎛⎭⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上．
用圆的方程得解：⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14
(0<x ≤1)． 方法三 代入法．
设弦与圆C 的另一交点为Q (x 1，y 1)，
则⎩⎨⎧ x ＝x 12，
y ＝y 12⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝2x ，y 1＝2y . 又∵(x 1－1)2＋y 21＝1， ∴(2x －1)2＋(2y )2＝1 (0<x ≤1)．
11. 解 设动圆半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧
|MC 1|＝R ＋1|MC 2|＝R ＋3， ∴|MC 2|－|MC 1|＝2<6.
∴动点M 的轨迹是以(－3,0)，(3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，由a ＝1， c ＝3，得b 2＝c 2－a 2＝8，
∴动圆圆心的轨迹方程为：x 2
－y 28＝1 (x <0)．
12. 解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，
∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，
∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .
(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1 (k ≠0)，
与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0.
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.
又易得点R 的坐标为⎝⎛⎭
⎫－2k ，－1， RP →·RQ →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭
⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭
⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝⎛⎭⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4 ＝4⎝
⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号， RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.。