最新必修4-三角函数复习学案(含参考答案)

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高一数学必修4三角函数复习学案

[必修4] 第1章三角函数重点：角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的图象与性质、“五点法”作图、诱导公式、函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象与正弦函数y ＝sinx 的图象间的关系、同角三角函数的基本关系。

难点：三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由正弦函数到y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求值、化简和证明等知识要点一、任意角、弧度 nbgbgbhyjj1、角的概念：2、弧度制：角度制和弧度制的互换 1弧度：=π ，1rad= .3、弧长为l 所对的圆心角|α| = ；扇形的面积S= .二、任意角的三角函数1、任意角的三角函数：sin =α ，cos =α ，tan =α . 其中r = . 象限符号：2、同角三角函数关系：（1）；（2）；3、三角函数的诱导公式：口诀“奇变偶不变，符号看象限”公式（一）：=+=+=+)2tan()2cos()2sin(παπαπαk k k 公式（二）：=-=-=-)tan()cos()sin(ααα公式（三）：=-=-=-)tan()cos()sin(απαπαπ 公式（四）：=+=+=+)tan()cos()sin(απαπαπ公式（五）：=-=-=-)2tan()2cos()2sin(απαπαπ公式（六）：=+=+=+)2tan()2cos()2sin(απαπαπ三、三角函数的图象和性质1、三角函数的周期性：如果存在一个非零的常数的T ，满足f （x+T ）= .则称T 为函数f （x ）的一个周期.正、余弦函数的T= ，正、余切函数的T= .考点一三角函数的基本概念例1 (2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.变式: 若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sin α²cos α＝34，则a 的值为 ( ) A ．43 B ．±4 3 C ．－43或－433D. 3例2 设角α属于第二象限，|cos 2α|＝－cos 2α，试判断角2α属于第几象限？点评：由α所在象限，判断诸如2α，3α，4α等角所在的象限时，一般有两种办法：一种是利用终边相同的角的集合的几何意义，采用数形结合的办法确定2α，3α，4α所属的象限；另一种办法就是将k 进行分类讨论。

人教A版高中数学必修4第一章三角函数复习学案

或{ a4 90 °k?360 °v av k?360 ° k € Z}(象间角)：当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角，它不属于任何一a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合 S={ 33= a + k?360 ° k € Z}，即任一与角 a 终边相同的角，都可以表示成角 a 与整个周角的和.3•几种特殊位置的角: (1) 终边在x 轴上的非负半轴上的角： a =k?360°, k € Z ; (2)终边在x 轴上的非正半轴上的角： a =180° +?360° k € Z ;(3) 终边在x 轴上的角：a = k?180° k € Z ; (4) 终边在y 轴上的角：«=90°+ k?180° k € Z ; (5)终边在坐标轴上的角： a k?90°, k € Z ;(6) 终边在 y=x 上的角：«=45°+ k?180° k € Z ;(7) 终边在 y= — x 上的角：a = — 45°+ k?180° k € Z 或 a=135°+ k?180° k € Z ; (8)终边在坐标轴或四象限角平分线上的角： a k?45° k €Z .例1已知a 为锐角，那么2 %是( ).A .小于180。

的正角B .第一象限的角C .第二象限的角D .第一或第二象限的角答案：A解析：•/ a 为锐角，••• 0°v av 90° A 0°v 2 aV 180° 故选 A .例2射线OA 绕端点0逆时针旋转120°到达OB 位置，由0B 位置顺时针旋转 270°到达OC 位置,、任意角广义角正角:f 按边旋转的方向分零角: 负角:按终边的位置分第一章三角函数按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角. 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 第一象限角第二象限角「第三象限角第四象限角 { a k?360°v av 90°+k?360° , k € Z} { o|90 +k?360°v av 180°+k?360° k € Z} { o|180 +k?360°v av 270° + k?360° k € Z}{ o|270 +k?360 °v av 360 °+ k?360 ° k € Z} 个象限.轴上角 2.终边相同角的表示：所有与角则/ AOC =( )A. 150° B .— 150° C . 390° D390°答案：B解析：各角和的旋转量等于各角旋转量的和，「.120°+ （— 270°） =— 150°. 例3如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是（）A . { a — 45 °< a< 120 °B . {切120 ° a< 315 °C . { a k?360 °— 45 °w aW k?360 °+ 120 °, k € Z}D . { M k?360 °+ 120 °< a< k?360 °+ 315 °, k € Z} 答案：C解析：由如图所知，终边落在阴影部分的角的取值是 k?360° — 45° < a< k?360° + 120° k € Z ,故选C .、弧度制1•弧度：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做2. 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 3•如果半径为r 的圆的圆心角 a 所对弧的长为I ，那么，角a 的弧度数的绝对值是1804.角度制与弧度制的换算：（1） 1 = rad ;（ 2） 1rad =（）.180例1扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是（）弧度.答案：C1弧度的角，用符号rad 表示.相关公式：（1） ln r 180(2) S 」lr22n r360r 27t解析：•••圆心角所对的弦长等于半径，.••该圆心角所在的三角形为正三角形，.••圆心角是 n 弧度.3 例2在直角坐标系中，若角a 与角B 终边关于原点对称，则必有()•答案：D解析：将a 旋转n 的奇数倍得3 .例3在半径为3cm 的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为( ). n3 n 2 n A . 3cm B . n cmC . qcmD . ycm答案：B解析：由弧长公式得，1 =|a|r = n<3 = n (cm ).三、三角函数定义a 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P (x , y ),那么:(1) y 叫做a 的正弦，记作sin a,即sin a =y ;(2) x 叫做a 的余弦，记作 cos a,即cos a =x ; (3) —叫做a 的正切，记作tan a,即tan a =)(X M 0).xx3. 同角三角函数的基本关系商的关系：当 a k n+n (k € Z )时，tan .2cos例1已知角a 的终边经过点(一4, 3),则cos a=()4 33 A. 5 B. 3C. —3答案：D解析：由条件知：x =-4, y = 3,则 r = 5，二 cos a= : =-4.例 2 若 sin 0?cos (X 0，则 9在( )答案：D解析：■/ sin 0cos 0< 0,二 sin (, cos 0异号.当 sin (>0, cos 0< 0 时，(在第二象限；当 sin (v 0, cos 0B . a=— 2k n±( k € Z )C . a= n+ 3D . a= 2k n~ n+ 3( k1 .单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.2.利用单位圆定义任意角的三角函数：设平方关系： sin 2cos 1sin 1 cos ; cos 1 sin 2A .第一、二象限B. 第一、三象限C. 第一、四象限D. 第二、四象限2 .5> 0时，B 在第四象限.4例3已知角a 的终边经过点 P (- b , 4)，且sin a=，贝y b 等于()5 A . 3 B 3 C . ±3 D . 5答案：C解析：r = |0P|=、/b 2+ 16, sin a= )4= 4,-b= ±3.V^b 2+ 16 5四、三角函数的诱导公式公式一公式二公式三公式四 sin k 2 sin sin sin sin sin sin sincos k 2coscos cos cos cos cos cos tank 2 tantantantantantantan【注】其中k Z公式一到四可以概括如下： k 2 k Z , , 的三角函数值，等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.公式五公式六加上一个把看成锐角时原函数值的符号（奇变偶不变，符号看象限）例 1 sin600 =( )答案：Csin600 = sin (360°+ 240° = sin240 = sin (180° + 60° =— sin60 =— 例2已知角B 的终边过点（4，— 3），则cos （ n — 9）=（）答案：Bsin —cos sin —cos 2 2cos —sincos —sin22tan — cottan —cot222的正弦（余弦）函数值，分别等于余弦（正弦）函数值，前面解析: 公式五、六可以概括如下:x 4 4解析：由题意、，知cos B=-=二，…cos ( n- 0) = —cos 0=——r 5 5例3下列各三角函数值：① sin 1125 ° ② tan37nn Sin3^;③:④ sin 1 - cosl.12 12 tan3其中为负值的个数是（）.A . 1B . 2 个C. 3 个 D . 4 个答案：B解析：1125°= 1080°+ 45°贝U 1125°是第一象限的角，所以sin 1125 °> 0;因37n= 2 n+瑕n则話n 是第三象限角，所以tan37n>0, sin^nV 0，故tan^n sin^nV 0;因3弧度的角在第二象限，则sin3 n nsin3>0. tan3v0，故:―V 0；因匚< 1 V n,贝V sin1—cos1>0.二②③为负数•因此选 B .' ta n3 4 2注意：y sinx周期为2n；y |sinx|周期为n y |sinx k|周期为2n；y sin|x|不是周期函数.例1函数y= sin （x —今的一条对称轴可以是直线（）•4n 7 n 3 n nA • x= 2 B• x= —C. x=——D• x =-答案：B解析：解法一：令x—n= k n+ n, k€ Z,「. x= k n+ k€ Z.当k= 1 时，x=今，故选 B .解法4 2 4 4二：当x= 寸，y= sin （今一= sin^^—1，二x=今是函数y= sin （x—T）的一条对称轴.4 4 4 2 4 4例2函数y= sin2x的单调减区间是（).n 3A . 2+ 2k n 2 n+ 2k n ( k€ Z)B .nk n+ 4,3k n+_ n4(k€ Z)C. [ n+ 2k n, 3 n+ 2k n]( k€ Z) D .n k n—~,4k n+n4(k€ Z)答案：Bn 3 n 3解析：由2k n+ 2三2x W 2k n+ 2 n, k€ Z 得y = sin2x 的单调减区间是[k n+ 4, k n+ ^4 n ] ] k € Z）3例3已知函数y= 1 + sinx, x€ [0, 2n,则该函数图象与直线y = ?交点的个数是（）.A . 0B . 1C . 2D . 3答案：C3解析：分别作出函数y= 1+ sinx, x€ [0 , 2n与直线y = ?的图象，如下图所示：3由图可知，函数y= 1 + sinx, x€ [0, 2 n与直线y=号有两个交点，故选C.例 4 已知函数 f (x)= iog1(lsin2x).2 2(1)求f (x)的定义域、值域和单调区间；(2)判断f (x)的奇偶性.解：(1)要使函数有意义，须sin2x> 0,••• 2k n< 2x v 2k n+ nn• k nV X V k n+ ( k€ Z),• f (x)定义域为(k k ), k€ Z .， 21 1T O v sin2x w 1, • 0V尹n2x w ?，1•• log1 (-sin 2x)》1即值域为[1，+ m).2 2令y= sin2x,则函数y= sin2x的增区间即为函数 f (x)的减区间，函数y= sin2x的减区间即为函数f (x)的增区间.•函数f (x)的单调递减区间为k k 一 (k€ Z),， 4n n单调递增区间为k n+ 4，k n+ n( k€ Z).(2)定义域关于原点不对称，故既不是奇函数，也不是偶函数.六、函数y Asin( x )1 .得到函数y Asin( x )图像的方法:答案：B 解析：由 2k n2X + 詐竽+ 2k n(k € Z )得右+ X x w 伊 k n(k € Z ),.••选 B .例4已知函数f (x )= 2sin ( wx+ 0)的图象如图所示，贝U f ( —) = ______________12①y sinx 平移变换sin(x )周期变换sin( x )振幅变换Asin( xy=s inx周期变换sin 向左或向右平移丨个单位y sin( x振幅变换y Asi n(2•函数 y A sin0, 0的性质:①振幅: A ;②周期: :③频率: :④相位::⑤初相:函数yA sinB ,当x x 1时，取得最小值为ymin ；X 2时，取得最大值为ymax ,例1函数 ymaxymin_ 1B 2 ymax yminTX 2 X i X i2y = 5sin 尹+ 的最小正周期是().答案：C B . |n例2 曲线5 n A .- "12答案:D例3 函数 (2x +n )的一条对称轴是(65 nB . x = 12C . ).7nx =— 67_nx= 6n2x + 3在区间［0, n ］的一个单调递减区间是(B. 12， 125 n 11 nC .12， 12y = sin y = sin2 n解析：T =--I "答案：0 解析：由图象知，T =弩，■/ f(-) = 0，二 f (^―) = f (一一) f (一 T )3 4 12 4 3 4 2例5已知函数y = Asin （ »+ 0）（A >0, w >0, 才）的图象的一个最高点为（个最高点到相邻最低点，图象与 x 轴交于点（6, 0）,试求这个函数的解析式. 解：已知函数最高点为（2, 2.2）,A A = 2 2.又由题意知从最高点到相邻最低点，图象与x 轴相交于点（6, 0）,而最高点与此交点沿横轴/• y = 2<2sinsin ( 3n+ o )= 0，又••• n n•••函数的解析式为 y = 2 ,2sin (T X +T) 8 42, 2 2），由这方向的距离正好为 1 4个周期长度，••• T =6-2=4，即 T =16 将点（6, 0）的坐标代入，有 2 ,2sin (n ><6 + ® = 0, 8。

新编人教A版高中数学必修4第一章三角函数章末复习课导学案

第一章三角函数学习目标.1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象.4.理解三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tanx 的性质.5.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义，掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的变换.1.任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0). 2.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3.诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”. 4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质类型一.三角函数的概念例1.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴.若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝ .答案.－8解析.r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r＝y16＋y2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.反思与感悟.(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r ＞0).则sin α＝yr ，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1.已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值. 解.∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t .r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |.当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.类型二.同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用例2.已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π).求：(1)cos 2⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos (－π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ1＋tan (π－θ)；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值. 解.由根与系数的关系，得 sin θ＋cos θ＝3＋12， sin θcos θ＝m2.(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ ＝sin 2θsin θ－cos θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)由sin θ＋cos θ＝3＋12，两边平方可得1＋2sin θcos θ＝4＋234，1＋2×m 2＝1＋32，m ＝32. (3)由m ＝32可解方程2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，得两根12和32.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32或 ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.∵θ∈(0，2π)， ∴θ＝π6或π3.反思与感悟.(1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±si n α)2＝1±2sin αcos α. (2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.跟踪训练2.已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－47π4，求f (α)的值.解.(1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－47π4＝－6×2π＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－47π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.类型三.三角函数的图象与性质例3.将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的π3倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y ＝3sin x 的图象. (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0，1]时，函数y ＝g (x )的最小值和最大值.解.(1)函数y ＝ 3 sin x 的图象向下平移1个单位长度得y ＝3sin x －1，再将得到的图象上的点的横坐标伸长为原来的3π倍，得到y ＝3sin π3x －1的图象，然后向右平移1个单位长度，得到y ＝3sin(π3x －π3)－1的图象，∴函数y ＝f (x )的最小正周期为T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤π3x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是[6k －12，6k ＋52]，k ∈Z .(2)∵函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴当x ∈[0，1]时，y ＝g (x )的最值即为x ∈[3，4]时，y ＝f (x )的最值.∵当x ∈[3，4]时，π3x －π3∈[2π3，π]，∴sin(π3x －π3)∈[0，32]，∴f (x )∈[－1，12].∴当x ∈[0，1]时，y ＝g (x )的最小值是－1，最大值为12.反思与感悟.研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性、最值问题，把ωx ＋φ看作一个整体来解决. 跟踪训练3.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示. (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值.解.(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0，于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.类型四.三角函数的最值和值域命题角度1.可化为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 型例4.求函数y ＝－2sin(x ＋π6)＋3，x ∈[0，π]的最大值和最小值. 解.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴－12≤sin(x ＋π6)≤1.当sin(x ＋π6)＝1，即x ＝π3时，y 取得最小值1.当sin(x ＋π6)＝－12，即x ＝π时，y 取得最大值4.∴函数y ＝－2sin(x ＋π6)＋3，x ∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.反思与感悟.利用y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.跟踪训练4.已知函数y ＝a sin(2x ＋π6)＋b 在x ∈[0，π2]上的值域为[－5，1]，求a ，b 的值.解.∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，76π]，sin(2x ＋π6)∈[－12，1].∴当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a2＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3；当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋b ＝1，a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1.∴a ，b 的取值分别是4，－3或－4，－1. 命题角度2.可化为sin x 或cos x 的二次函数型例5.已知|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值.解.y ＝f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1. 令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22.则y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54(－22≤t ≤22)，∴当t ＝－22，即x ＝－π4时，f (x )有最小值，且最小值为－(－22－12)2＋54＝1－22. 反思与感悟.在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.跟踪训练5.已知函数f (x )＝－sin 2x －a sin x ＋b ＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a >0，求a ，b 的值.解.令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2－at ＋b ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋a 22＋a24＋b ＋1，且t ∈[－1，1].根据对称轴t 0＝－a2与区间[－1，1]的位置关系进行分类讨论.①当－a2≤－1，即a ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g (－1)＝a ＋b ＝0，y min ＝g (1)＝－a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.②当－1<－a2<0，即0<a <2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24＋b ＋1＝0，y min ＝g (1)＝－a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－10(舍)，综上所述，a ＝2，b ＝－2.类型五.数形结合思想在三角函数中的应用例6.已知方程sin(x ＋π3)＝m2在[0，π]上有两个解，求实数m 的取值范围.解.函数y ＝sin(x ＋π3)，x ∈[0，π]的图象如图所示，方程sin(x ＋π3)＝m2在[0，π]上有两个解等价于函数y 1＝sin(x ＋π3)，y 2＝m2在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点，所以32≤m2＜1，即3≤m ＜2.反思与感悟.数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想. 跟踪训练6.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0).若f (x )在区间[π6，π2]上具有单调性，且f (π2)＝f (2π3)＝－f (π6)，则f (x )的最小正周期为 . 答案.π解析.记f (x )的最小正周期为T .由题意知T 2≥π2－π6＝π3.又f (π2)＝f (2π3)＝－f (π6)，且2π3－π2＝π6，可作出示意图如图所示(一种情况)，∴x 1＝(π2＋π6)×12＝π3，x 2＝(π2＋2π3)×12＝7π12， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.1.若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为(..) A.4 3B.±4 3C.－43或－433D. 3答案.C解析.由三角函数定义可知，r ＝a 2＋16， sin α＝a a 2＋16，cos α＝－4a 2＋16，sin α·cos α＝－4a a 2＋16＝34，得a ＝－43或－433.2.已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f (－31π3)的值为(..)A.12B.－13C.－12D.13 答案.C解析.∵f (α)＝sin αcos (－α)cos (π＋α)tan α＝sin αcos α－cos α·sin αcos α＝－cos α，∴f (－31π3)＝－cos(－31π3)＝－cos(10π＋π3)＝－cos π3＝－12.3.函数y ＝|sin x |＋sin|x |的值域为(..) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，2] D.[0，1] 答案.C解析.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |＋sin x (x ≥0)，|sin x |－sin x (x ＜0)，∴0≤f (x )≤2.故选C.4.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(..)A.2，－π3B.2，－π6C.4，－π6D.4，π3答案.A解析.从图象可得34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.又∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝2，且－π2＜φ＜π2，∴φ＝－π3.5.已知函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f (x )≤174对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.解.令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，则函数可化为f (t )＝－t 2＋t ＋a ＝－(t －12)2＋a ＋14.当t ＝12时，f (t )max ＝a ＋14，即f (x )max ＝a ＋14；当t ＝－1时，f (t )min ＝a －2，即f (x )min ＝a －2.故函数f (x )的值域为[a －2，a ＋14].所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤174，a －2≥1，解得3≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[3，4].三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.课时作业一、选择题1.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为(..) A.5π6 B.2π3 C.11π6D.5π3答案.D解析.因为sin 5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝sin π6＝12， cos 5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32，所以点⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在第四象限. 又因为tan α＝cos5π6sin5π6＝－3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3＝tan 5π3，所以角α的最小正值为5π3.故选D.2.若sin(π－α)＝－53，且α∈(π，3π2)，则sin(π2＋α)等于(..) A.－53B.53C.－23D.23答案.C解析.∵sin(π－α)＝－53，∴sin α＝－53，又∵α∈(π，3π2)，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－59＝－23， ∴sin(π2＋α)＝cos α＝－23，故选C.3.已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域为(..)A.[－1，1]B.[－22，1] C.[－1，22] D.[－1，－22] 答案.C解析.f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x ＞cos x .函数f (x )的图象如图所示，由f (x )的图象，知f (x )的值域为[－1，22].4.设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是(..) A.[－4，－2] B.[－2，0] C.[0，2] D.[2，4]答案.A解析.由数形结合的思想，画出函数y ＝4sin(2x ＋1)与y ＝x 的图象，观察可知选A.5.将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数(..) A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增答案.B解析.y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，则2x －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增. 6.函数f (x )＝A sin(ωx ＋θ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (x )等于(..)A.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3D.2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 答案.A解析.由图象知A ＝2，∵5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝34T ，∴T ＝π，∴ω＝2.∵2×5π12＋θ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴可取θ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.7.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在区间[5π6，π]上是单调递增函数”的一个函数可以是(..) A.y ＝cos(2x －π3)B.y ＝sin(2x －π6)C.y ＝sin(2x ＋5π6)D.y ＝sin(x 2＋π6)答案.B解析.由T ＝2πω＝π知，ω＝2，D 错；图象与对称轴的交点为最值点，即当x ＝π3时，函数值为最值，A 错；由B 的单调递增区间，可得－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，即为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )，当k ＝1时，[5π6，π]∈[5π6，4π3]，故选B. 二、填空题8.设x ∈(0，π)，则f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最大值是 . 答案.54解析.∵f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54. 又∵x ∈(0，π)，∴0＜sin x ≤1， ∴当sin x ＝12时，f (x )的最大值是54.9.函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值等于 .答案. 2解析.由图知A ＝2，ω＝π4，φ＝0，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0. 又f (x )的周期为8，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014). ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝ 2. 10.设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，下列命题：①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图象关于点(π12，0)对称；③把f (x )的图象向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图象；④f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数.其中正确命题的序号为 .答案.③解析.f (x )＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴方程满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )；f (x )＝sin(2x ＋π3)的图象的对称中心的横坐标满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )；f (x )的周期为T ＝2π2＝π，由(2x ＋π3)∈[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，得f (x )的增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )；把f (x )的图象向左平移π12个单位长度，得到f (x )＝sin[2(x ＋π12)＋π3]＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x 的图象，为偶函数.故只有③正确.11.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (π6)对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是 . 答案.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )解析.由题意可知，当x ＝π6时，f (x )取最值.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋k π(k ∈Z ).又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6.令－π2＋2k π≤2x－5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，则π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )，∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ). 三、解答题12.若sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，且 1－sin α1＋sin α ＋1＋sin α1－sin α＝22，求tan α.解.∵sin αcos α＜0，sin αtan α＜0， ∴α是第二象限角，∴ 1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝ (1－sin α)21－sin 2α＋ (1＋sin α)21－sin 2α＝2|cos α|＝2－cos α＝22，∴cos α＝－22，则sin α＝22，tan α＝－1. 13.已知f (x )＝3sin(2x ＋π4)－1.(1)f (x )的图象是由y ＝sin x 的图象如何变换而来？(2)求f (x )的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x 的值.解.(1)将函数y ＝sin x 图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y ＝3sin x 的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝3sin 2x 的图象，再把所得函数的图象向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝3sin(2x ＋π4)的图象，最后把所得到的函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f (x )＝3sin(2x ＋π4)－1的图象.(2)最小正周期T ＝π，由2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝π8＋k π2(k ∈Z ).当2x ＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π8＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2.四、探究与拓展14.将函数f (x )＝2sin(ωx －π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位得到函数y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )在[－π6，π4]上为增函数，则ω的最大值为 .答案.215.已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值. 解.(1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R ，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z ).(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.。

高一数学必修4三角函数复习学案.docx

一、任意角、弧度1、_____________________________________ 角的概念：按逆时针旋转的角是：___________ 按顺时针方向旋转的角是：___________________________例题：作出卜-列角度的大致图像，并指出终边位于哪个象限，旋转方向-420°750°-90°-75°1050°练>i： -225°475°3900°2、弧度制：角度制和弧度制的互换71 = ______________ , 271 =____________ , 1 rad= _____________ .1 ° = _____________习题：将下列各角在角度制与弧度制相互转化。

n-420°750°1050°—0.75 龙123、__________________________________ 弧长为/所对的圆心角|Q|= ______ ；扇形的面积S= .例题：已知扇形AOB的周长是6cm,该関心角是1弧度，则扇形的面积= ____ cm2练习：已知扇形的周长是6cm,面积是2cn<则扇形的屮心角的弧度数是( ) A」B」或4； C.4 D.2或4作业：已知扇形AOB的|fli积是6cm2,该圆心角是2弧度，贝lj扇形的周长= _ cm4、若Q与B终边相同，则B二______________________ •例题：与-2002°终边相同的最小正角是 ________________ 。

写出与下列各角终边相同的角的集合，把集合中适合不等式-360。

冬卩<360。

的元素p写出來：练习：(1) 745°； (2) - 342°； (3) - 1343。

30‘。

作业：(1) 542°； (2) - 580°： (3) - 653°20\5、4与年的终边关系：由“两等分各彖限、一二三四”确定•如若Q是第二象限角，则纟是第2 2 象限角.练习：若a是第三彖限角，则2a是第彖限角，竺是第象限角；2作业：•若Q是第四象限角，则2Q是第象限角，乞是第象限角。

必修四任意角的三角函数(附规范标准答案)

任意角的三角函数(一)[学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等．知识点一三角函数的概念1．利用单位圆定义任意角的三角函数如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r，cosα＝x r ，tan α＝yx.思考角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？答案角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．思考三角函数在各象限的符号由什么决定？答案三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．知识点三诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.题型一三角函数定义的应用例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝1010x，求sin θ，tan θ.解由题意知r＝|OP|＝x2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx2＋9.又∵cos θ＝1010x，∴xx2＋9＝1010x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.跟踪训练1 (1)已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值； (2)已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解 (1)r ＝－4a2＋3a2＝5|a |.若a >0，则r ＝5a ，α是第二象限角，则 sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a－4a ＝－34，若a <0，则r ＝－5a ，α是第四象限角，则 sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.(2)因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点．则r ＝a 2＋3a2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a2a ＝12，tan α＝3a a＝3.若a <0，则α为第三象限，r ＝－2a ，所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3a a＝3.题型二三角函数值符号的判断例2 判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)．解 (1)∵π2<3<π<4<3π2<5<2π，∴3,4,5分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.跟踪训练2 若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第象限的角．答案四解析 ∵sin θ<0，∴θ是第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上的角，又tan θ<0，∴θ是第四象限的角．题型三诱导公式一的应用例3 求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.跟踪训练3 求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32；(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.利用任意角的三角函数的定义求值，忽略对参数的讨论而致错例4 已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值．错解令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝24k 2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.错因分析点P (24k,7k )中参数k 只告诉了k ≠0，而没有告诉k 的符号，需分k >0与k <0讨论，而上述解法错在默认为k >0. 正解当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝24k2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724. 当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ， ∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝xr ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1．cos(－11π6)等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2 3．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D.324．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α＝ .5．已知角α的终边经过点P (2，－3)，求α的三个函数值．一、选择题1．若sin θcos θ>0，则θ在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限2．sin(－1 380°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.323．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A.25 B.25或－25 C ．－25D ．与a 有关 4．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π6 D.11π6 6．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5 二、填空题7．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第象限角．8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为． 9．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .10．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是．三、解答题11．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．12．求下列各式的值．(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.当堂检测答案1．答案 C解析 cos(－116π)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.2．答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3．答案 A解析 ∵2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3，∴r ＝2，∴cos α＝12.4．答案－43解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35，∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16，∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43. 5．解因为x ＝2，y ＝－3，所以r ＝22＋－32＝13.于是sin α＝y r＝－313＝－31313，cos α＝x r＝213＝21313，tan α＝y x ＝－32.课时精练答案一、选择题 1．答案 B 2．答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝32.3．答案 C 解析 ∵a <0，∴r ＝－4a2＋3a 2＝5|a |＝－5a ，∴cos α＝x r ＝45，sin α＝yr ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.4．答案 D解析 ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．故选D. 5．答案 D解析 ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限，且tan α＝cos 2π3sin 2π3＝－33， ∴角α的最小正角为2π－π6＝11π6. 6．答案 A解析 ∵r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35. ∴b ＝3.二、填空题7．答案一或二解析要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．8．答案－2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.9．答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∵|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10.∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.10．答案 {－4,0,2}解析由sin x ≠0，cos x ≠0知x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2，故函数y ＝|sin x |cos x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4,0,2}．三、解答题11．解当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5，得sin α＝－25＝－255， cos α＝－15＝－55， tan α＝2.12．解 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0°＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32.。

【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页附答案)

【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象．答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．解析周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．答案红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间．答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________．解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一．答案一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)．答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．答案 C【探究2】写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．【探究4】已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________．答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案－252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件．故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确．答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数．答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上．答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限．解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限．答案一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度．【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________．答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一角度与弧度的互化【例1】将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．【训练1】将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．解设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析－23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错．答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________．答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。

高一教学数学必修4三角函数总结复习计划练试题及答案

高一必修4三角函数练习题一、选择题〔每题4分，计48分〕1.sin( 1560o)的值为〔〕B 1C3D3 222.如果cos(A)1A)=〔〕，那么sin(221C3D3 222.函数ycos(2x)的最小正周期是〔〕55C2D5 52.轴截面是等边三角形的圆锥的侧面展开图的中心角是〔〕32C D433.tan100o k，那么sin80o的值等于〔〕k B k C1k1k22k21k2kDk.假设sincos2，那么tancot的值为〔〕2C1D2.以下四个函数中，既是(0,)上的增函数，又是以为周期的偶函数的是〔2ysinx By|sinx|Cycosx D y|cosx|.atan1，btan2，ctan3，那么〔〕Aabc Bcba Cbca Dbac.sin(1，那么cos()的值为〔〕)6331B C 1D12 23 31 0.是第二象限角，且满足cossin2(sincos)2，那么是〔〕象限角2222A 第一B第二C第三D可能是第一，也可能是第三11.f(x)是以为周期的偶函数，且x[0,]时，f(x)1sinx，那么当x[5,3]时，22f(x)等于〔〕A 1sinxB1sinx C1sinx Dsinx1 2.函数f(x)Msin(x)()在区间[a,b]上是增函数，且f(a)M,f(b)M，那么g(x)Mcos(x)在[a,b]上〔〕A是增函数B是减函数可以取得最大值M D可以取得最小值M二、填空题〔每题4分，计16分〕1 3.函数ytan(x)的定义域为___________。

31 4.函数y12)(x[0,2])的递增区间__________ 3cos(x321 5.关于y3sin(2x)有如下命题，1〕假设f(x1)f(x2)0，那么x1x2是的整数倍，4②函数解析式可改为ycos3(2x)，③函数图象关于x对称，④函数图象关于48点(,0)对称。

其中正确的命题是___________ 81 6.假设函数f(x)具有性质：①f(x)为偶函数，②对任意xR都有f(x)f(x)44那么函数f(x)的解析式可以是：___________〔只需写出满足条件的一个解析式即可〕三、解答题117〔6分〕将函数y cos( x )的图象作怎样的变换可以得到函数 y cosx的图象？3 219〔10分〕设a 0，0 x 2 ，假设函数y cos2x asinx b的最大值为0，最小值为4，试求a与b的值，并求y使取最大值和最小值时x的值。

必修4-三角函数复习学案(含参考答案)

高一数学期中三角函数（复习）学案一、基础知识梳理1.1.1任意角1.正角、负角、零角：按照方向旋转所成的角叫正角；按照方向旋转所成的角叫负角；如果一条射线,我们称它形成了一个零角。

2.象限角与轴线角：我们使角的顶点与重合，角的始边与重合，则角的终边在第几象限，就叫第几象限角；如果角的终边在上，就认为这个叫不属于任何象限（通常称为轴线角）。

3.终边相同的角的表示法：与角α的终边相同的角的集合为：① 象限角的集合：第一象限角集合为：第二象限角集合为：第三象限角集合为：第四象限角集合为：② 轴线角的集合：终边在x轴非负半轴角的集合为：终边在x轴非正半轴角的集合为：故终边在x轴上角的集合为：终边在y轴非负半轴角的集合为：终边在y轴非正半轴角的集合为：故终边在y轴上角的集合为：终边在坐标轴上的角的集合为..4．度量角的单位制：角度制：；弧度制：1.1.2弧度制5.“1度的角”：把分成等份，每一份的弧所对的角，就是1度。

“1度弧的角”：把长度等于的弧所对的叫做1弧度。

6．角度制与弧度制的换算关系：7．如果半径为R的圆的圆心角α所对的弧长为l,那么，角α的弧度数的计算公式是：扇形的弧长公式是：面积公式是1.2.1任意角的三角函数8. 单位圆定义：设α是任意角，它的终边与单位圆交于点()_,则α, α, α .9. 坐标定义：设α是任意角，它的终边过点()_,则.α, α, α_.10.几何定义：（1）带有的线段叫有向线段（2）画图并指出角α的正弦线，余弦线、正切线。

11.三角函数各象限的符号：α α α1.2.2同角三角函数的基本关系(1)平方关系式： (2)商除关系式： 1.3三角函数的诱导公式α±•2k 与α的三角函数关系：口诀： 14.特殊角的三角函数值：xy 0( ( ((xy 0( ( ((xy 0( ( ((1.4.1正、余弦函数的图象15.函数的图象:用“五点法”作出正弦函数简图时，选择的五个点分别图象为：16.根据关系,作出R=,cos的图象为:用“五点法”作出余弦y∈xx函数的简图时，选择的五个点分别为图象为1.4.2正、余弦函数的性质17. 正、余弦函数的性质18.最大值与最小值与相应的x值：（1）正弦.当且仅当时取得最大值1；当且仅当时取得最小值－1。

必修4三角函数1.1-1.3(含答案)

第1页，总14页三角函数1.1-1.3一：知识点1．⑴角度制与弧度制的互化：π弧度180=，1801π=弧度，1弧度 )180(π='1857 ≈⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R S 21212==θ。

2．三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：,cos ,sin r x r y ==ααxy=αtan 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看原函数象限”； 5．同角三角函数的基本关系：x xxx x tan cos sin ;1cos sin 22==+；1．已知扇形面积为83π，半径是1，则扇形的圆心角是（） A.43π B.83π C.163π D.23π【答案】A【解析】试题分析：扇形面积公式为παπ22⋅⋅r ，r 为半径。

设该扇形的圆心角弧度数为α，则ππαπ83212=⋅⋅，所以解得πα43=，故选A. 考点：扇形面积公式\弧度制。

2．已知扇形的周长为4cm ，面积是1cm 2，则扇形的圆心角的弧度[数是 . 【答案】2 【解析】试题分析：设扇形的半径为r ，则弧长为42l r =- ，由题意得：()14212r r -= ，整理得：2210r r -+= 解得：1r =，所以，4212l =-⨯=，所以扇形的圆心角的弧度数是：2lr= 所以答案应填：2.考点：1、扇形的弧长与面积公式；2、弧度制. 3．已知半径为10的圆o 中，弦AB 的长为10．求弦AB 所对的圆心角α的大小；第 2 页共 14 页求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S ．【答案】（1）3πα=,（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∴23350πS ．【解析】试题解析：解：由圆o 的半径AB r ==10，知AOB ∆是等边三角形，3600πα==∠=∴AOB由（1）可知10,3==r πα，∴弧长350103102121,310103ππππα=⋅⋅==∴=⋅=⋅=lr S r l 扇形， 32523101021231021=⋅⋅==∆AB S AOB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∴∆23350πAOB S S S 扇形．考点：扇形弧长、面积公式的应用． 4．已知α是第一象限的角，那么2α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角【答案】D 【解析】试题分析：∵α的取值范围222k k πππ+（，），分类属于第三象限角．②当k=2n属于第一象限角．故答案为：D ．考点：象限角、轴线角． 5．θ是第二象限角，则2θ是第象限角．【答案】一或三【解析】试题分析：θ是第二象限角，则有22,()2k k k Z ππθππ+<<+∈，于是422k k πθπππ+<<+，因此2θ是第一、三象限角．考点：象限角的概念．6．若角α的终边在第二象限且经过点(1P -，则sin α等于A B ．．12- D ．12【答案】A【解析】第3页，总14页试题分析：由已知23sin 2,3,1==⇒=∴=-=r y r y x α，故选A ．考点：三角函数的概念．7．已知角α终边上一点P(y)，且sin α＝4y ，求cos α和tan α的值．【答案】cos α＝－1，tan α＝0. 【解析】r 2＝x 2＋y 2＝y 2＋3，由sin α＝y r＝4y ， ∴yy ＝0.当yα是第二象限角时，cos α＝x r＝－4，tan α＝－3；当y即α是第三象限角时， cos α＝x rtan α；当y ＝0时，P(0)，cos α＝－1，tan α＝0. 8．已知43tan =α，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππα23,则αcos 的值是．【答案】54- 【解析】试题分析：由43cos sin tan ==ααα，1cos sin 22=+αα，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππα23,，0cos <α，所以解得54cos -=α考点：1，同角三角函数关系式 2，三角函数值符号的判定 9．若cos θ=，[0,π]θ∈，则tan θ= A ．12 B ．12- C ．2- D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：cos 05θ=-< ，,2πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，sin 5θ∴==，sin tan 2cos θθθ∴==-，故答案为C.考点：同角三角函数的基本关系. 10．若sin cos θθ+=，[0,π]θ∈，则tan θ= A ．12-B ．12C ．2-D ．2 【答案】C 【解析】第 4 页共 14 页试题分析：()θθθθθθcos sin 2cos sin cos sin 222++=+51=，因此得054cos sin 2<-=θθ，由于[]πθ,0∈，0cos ,0sin <>∴θθ，因此⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，∴()θθθθθθcos sin 2cos sin cos sin 222-+=-59=，由于0cos ,0sin <>θθ，553cos sin =-θθ，又由于sin cos θθ+=，55cos ,552sin -==∴θθ，得2cos sin tan -==θθθ，故答案为C. 考点：同角三角函数的基本关系.11．已知()11cos cos ,sin sin cos 23αβαβαβ+=+=-=，（） A.5972- B ．1372- C ．5972± D ．1372±【答案】A 【解析】试题分析：由211cos cos (cos cos )24αβαβ+=⇒+=即221cos 2cos cos cos 4ααββ++=① 由211sin sin (sin sin )39αβαβ+=⇒+=即221sin 2sin sin sin 9ααββ++=②所以①+②可得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=即592cos()36αβ-=-即59cos()72αβ-=-，选A.考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式. 12．计算cos330的值为（）A．-．12- C ．12 D【答案】D【解析】试题分析：()cos330cos 36030cos30 =-== 考点：1．诱导公式；2．特殊角三角函数值 13．)613sin(π-的值是（） A ．23 B ．23- C ．21 D ．21-【答案】D【解析】试题分析：131sin sin 2sin 6662ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故D 正确. 考点：诱导公式.第5页，总14页14．=65tanπ。

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高一数学期中三角函数（复习）学案一、基础知识梳理1.1.1任意角1.正角、负角、零角：按照____________方向旋转所成的角叫正角；按照____________方向旋转所成的角叫负角；如果一条射线_________________,我们称它形成了一个零角。

2.象限角与轴线角：我们使角的顶点与_________重合，角的始边与_________________________重合，则角的终边在第几象限，就叫第几象限角；如果角的终边在_________________上，就认为这个叫不属于任何象限（通常称为轴线角）。

3.终边相同的角的表示法：与角α的终边相同的角的集合为：①象限角的集合：第一象限角集合为：第二象限角集合为：第三象限角集合为：第四象限角集合为：②轴线角的集合：终边在x轴非负半轴角的集合为：终边在x轴非正半轴角的集合为：故终边在x轴上角的集合为：终边在y轴非负半轴角的集合为：终边在y轴非正半轴角的集合为：故终边在y轴上角的集合为：终边在坐标轴上的角的集合为_______________________________________..4．度量角的单位制：角度制：____________________________；弧度制：____________________________ 1.1.2弧度制5.“1度的角”：把______分成_________等份，每一份的弧所对的________角，就是1度。

“1度弧的角”：把长度等于_________的弧所对的________________叫做1弧度。

6．角度制与弧度制的换算关系：7．如果半径为R的圆的圆心角α所对的弧长为l,那么，角α的弧度数的计算公式是：______ 扇形的弧长公式是：__________ 面积公式是_______________1.2.1任意角的三角函数8. 单位圆定义：设α是任意角，它的终边与单位圆交于点P_(_________)_,则sinα=______ , cosα=_____ , tanα=_______ .9. 坐标定义：设α是任意角，它的终边过点P_(_________)_,则r=_________.sinα=______ , cosα=_____ , tanα=______ _.10.几何定义：（1）带有________的线段叫有向线段（2）画图并指出角α的正弦线，余弦线、正切线。

11.三角函数各象限的符号：sin α cos α tan α 1.2.2同角三角函数的基本关系(1)平方关系式：____________ (2)商除关系式：__________α±∙2k 与α的三角函数关系：口诀：x y 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x y 0 ( ) ( ) ( ) ( ) xy0 ( ) ( ) ( )( )1.4.1正、余弦函数的图象15.函数y=sinx 的图象:用“五点法”作出正弦函数简图时，选择的五个点分别_________________________________________________________________ 图象为：__________________________________________________________________________ 16.根据关系__________________________,作出R x x y ∈=,cos 的图象为:用“五点法”作出余弦函数的简图时，选择的五个点分别为_______________________________________________________________________ 图象为____________________________________________________________________________ 1.4.2正、余弦函数的性质18.最大值与最小值及相应的x 值：（1）正弦y=sinx.当且仅当x=_______________时取得最大值1；当且仅当x=_______________时取得最小值－1。

（2）余弦y=cosx.当且仅当x=_______________时取得最大值1；当且仅当x=_______________时取得最小值－1。

1.4.3．正切函数的图象与性质正切函数的图象作法：“三点两线法” 正切函数的图象1.5正弦型)sin(φω+=x A y 的图象与性质：1.“五点法”作y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(ω>0)的图象．令X ＝ωx ＋ϕ转化为y ＝sinX ，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象． 2. 图象变换：（1）振幅变换（2）周期变换（3）相位变换振幅变换：y ＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看做是y ＝sinx 的图象上所有点的纵坐标都，(A>1)或 (0<A<1)到原来的倍（横坐标不变）而得到的．周期变换：y ＝sinωx(ω>0，ω≠1)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．由于y ＝sinx 周期为2π，故y ＝sinωx(ω>0)的周期为．相位变换：y ＝sin(x ＋ϕ)(ϕ≠0)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点向 (ϕ>0)或向 (ϕ<0)平移个单位而得到的．由y ＝sinx 的图象得到y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象主要有下列两种方法：说明：前一种方法第一步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移个单位．变换二、例题例1. (1) 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，求sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α的值．(2) 已知sin θ＝33，求cos (π－θ)cos θ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫32π－θ－1＋cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．例2. 函数f (x )＝3sin(2x ＋π3)的最小正周期为；图象的对称中心是；对称轴方程是；单调减区间是__________________________ ;当x ∈[0，π2]时，函数的值域是．例3. 若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的图象(部分)如图所示，则ω＝_________，φ＝_________．例4.已知函数y=3sin )421(π-x（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.三、练习：1.将分针拨快15分钟,则分针转过的弧度数是( )6.6.2.2.ππππ--D C B A2.已知A={第一象限角}, B={锐角}, C={小于900的角},则有( )C B AD C A C C C B B C A B A ==⊆==....3.两个圆心角相同的扇形面积之比为1：2,则它们的周长之比为( ) A.1：2 B.1：4 C.1：2 D.1：8 4．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32D.325．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( ) A ．－12 B.12 C.32D ．－326．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C.－223D.2237. 函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是( )(A)]3,0[π(B)]127,12[ππ (C) ]65,3[ππ (D)],65[ππ8．函数22cos()()363yx x πππ=-≤≤的最小值是（） ()2A - ()B - ()1C - ()1D9. 为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（） (A)向右平移6π个单位长度 (B)向右平移3π个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3π个单位长度10.已知角α=-29600,在[00,3600)内与角α终边相同的角是. ___ ___,与角α终边相同且绝对值最小的角是 ______.11．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________. 12．sin 2 1°＋sin 2 2°＋…＋sin 288°＋sin 2 89°＝________. 13．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.14.已知P(8,y)是α终边上一点,且sin α=0.1y,求tan α,cos α例4．解（1描点、连线,如图所示：（2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y=sinx 的图象上所有点向右平移4π个单位，得到y=sin )4(π-x 的图象；再把y=sin )4(π-x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin )421(π-x 的图象，最后将y=sin )421(π-x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin )421(π-x 的图象.方法二 “先伸缩，后平移”先把y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin 21x 的图象；再把y=sin 21x 图象上所有的点向右平移2π个单位，得到y=sin 21(x-2π)=sin )42(π-x 的图象，最后将y=sin )42(π-x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin )421(π-x 的图象.（3）周期T=ωπ2=212π=4π，振幅A=3，初相是-4π. (4)令421π-x =2π+k π(k ∈Z ),得x=2k π+23π(k ∈Z ),此为对称轴方程. 令21x-4π=k π(k ∈Z )得x=2π+2k π(k ∈Z ). 对称中心为)0,22(ππ+k (k ∈Z ).。