习题课—函数极限
15极限概念习题课
极限概念习题课
一、内容小结 二、题型练习
极限概念习题课
一、内容小结 二、题型练习
一、内容小结
（一）极限的概念 （二）极限的性质 （三）主要研究问题
一、内容小结
（一）极限的概念 （二）极限的性质 （三）主要研究问题
（一）极限的概念
1．概念纵览 2．不同变化过程的联系 3．不同概念的联系 4．不同概念的定义
(1) 0 (0 1), 正整数 N , 当n N 时,
恒有：xn a .
(2) 0 , 正整数 N , 当n N 时, 恒有：
xn a k (k 0).
（一）概念辨析
➢对N的理解 数列极限的定义是否可叙述为：
0 , 使不等式 xn a 成立的正整数n
（三）主要研究问题
1．存在性 2．唯一性 3．性质 4．求法
➢证明极限存在 利用定义 利用不同过程之间的关系 利用极限与无穷小的关系 利用无穷小的性质
➢证明极限不存在 利用定义的反面说法 利用极限的性质：无界→极限不存在 利用不同过程之间的关系
（三）主要研究问题
1．存在性 2．唯一性 3．性质 4．求法
x x0
➢定理2 lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x
x
x
➢定理3
lim
n
xn
A
lim
k
xnk
A
({xnk } {xn})
函数的变化趋势
有趋势
无趋势
趋势为 常数A
趋势为 无穷大
无界 有界 振荡
n
A≠0 有极限
A=0 无穷小 ∞ ＋∞ －∞
自 x
变 量
第一章 函数与极限习题
第一章 函数与极限【内容提要】1. 函数的定义与性质（1）常量与变量、区间与邻域 常量就是在某变化过程中不变的量；而变量则是在某变化过程中变化的量。
（2）函数的概念 设有两个变量x 和y ，D 为一非空数集，如果对于D 内每一个数x ，变量y 按一定的法则f 总有唯一确定的值与之对应，则称y 是x 的函数。
记作y=f (x )。
数集D 称为函数的定义域。
（3）函数的表示法 解析法、列表法、图象法。
（4）函数的性质 有界性、奇偶性、单调性、周期性。
2. 函数的极限（1）自变量趋于无穷大时函数的极限对于给定的任意小的正数ε，总存在一个正数X ，当|x |>X 时，不等式ε<-|)(|A x f （A 是一个确定的常数）恒成立，则称常数A 为函数∞→x x f 当)(时的极限，记作lim ()()()x f x A f x A x →∞=→→∞或。
（2）自变量趋于有限值时函数的极限设函数f (x )在点0x 的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在一个正数δ，当δ<-<||00x x 时，不等式ε<-|)(|A x f （A 是一个确定的常数）恒成立，则称常数A 为函数0)(x x x f →当时的极限，记作0l i m ()()()x f x Af x A x x →∞=→→或。
（3）极限存在定理函数f (x )在点0x 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限存在并且相等，即lim ()x f x A →∞=⇔00lim ()lim ()x x x x f x f x A +-→→== （4）函数极限的性质定理1（唯一性）若lim ()x f x →∞（或0lim ()x x f x →）存在，则它的极限是唯一的。
定理2（局部有界性）若0lim ()x x f x →存在，则在点0x 的某一邻域内函数f (x )有界。
定理3（局部保号性）若0lim ()x x f x →=A ，且A>0(或A<0)，则存在点0x 的某一去心邻域，使得在该邻域内的任意x 都有f (x )>0(或f (x )<0)。
高数第一次课随堂练习函数与极限
随堂练习 一第一章 函数与极限一、填空题1、432lim23=-+-→x kx x x ，则k= 。
2、函数xxy sin =有间断点 ，其中 为其可去间断点。
3、若当0≠x 时 ，xxx f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。
4、=++++∞→352352)23)(1(limx x x x x x 。
5、3)21(lim -∞→=+e nknn ，则k= 。
6、函数23122+--=x x x y 的间断点是 。
7、当+∞→x 时，x1是比3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
9、函数xe y 1=在x=0处是第 类间断点。
10、设113--=x x y ，则x=1为y 的 间断点。
11、已知33=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
12、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a= 。
13、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。
二、计算题1、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++∞→ ； （2）2)1(321lim nn n -++++∞→ ；（3）35lim 22-+→x x x ； （4）112lim 221-+-→x x x x（5）)12)(11(lim 2xx x -+∞→ ； （6）x x x 1sin lim 20→ ；（7）xx x x +---→131lim21； （8）)1(lim 2x x x x -++∞→ ；2、计算下列极限 （1）x wx x sin lim0→ ； （2）xxx 5sin 2sin lim 0→ ； （3）x x x cot lim 0→ ；（4）x x x x )1(lim +∞→ ； （5）1)11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1)1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶（1）32220x x x x x --→与，时 ； （2）)1(21112x x x --→与，时 ； (3)当0→x 时 ， 232-+xx与x 。
同济高等数学第一章习题课
f (x) b k = lim [ − ] x→+∞ x x ∴ f (x) k = lim x→+∞ x
(或x →−∞)
f (x) b lim x[ −k − ] = 0 x→+∞ x x f (x) b lim [ −k − ] = 0 x→+∞ x x
b = lim [ f (x) − kx]
1
lim(cos x )
x →0
x2
ln cos x ln(1 + cos x − 1) lim = lim 2 x→ 0 x →0 → x x2 cos x − 1 = lim x→ x →0 x2 x2 − 1 = lim 2 = − x →0 x 2 1 2 − 所以， 所以，原式 = e 2
二、无穷小的比较
例11 当 下列函数分别是x的几阶无穷小 时，下列函数分别是 的几阶无穷小
~ ~
x2 2
x
1 2
2x = 1+ x + 1− x
~
x
练习： 练习： P74，3（1） ， （ ）
求分段函数的极限， 三、求分段函数的极限，判断分段函数的 连续性， 连续性，间断点的类型
例12
解：
1 x>0 x sin x , f ( x) = , 求 lim f ( x ). x x→ 0 → 1 − cos x − x sin 2 , x<0 x2 x 1 − cos x − x sin 2 lim− f ( x ) = lim− x x →0 x →0 x2 x sin 1 − cos x 1 1 2 = lim− − lim− = − =0 x →0 x →0 x2 x2 2 2 1 lim+ f ( x ) = lim+ x sin = 0 x →0 x →0 x lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = 0
极限 章节习题课
? ?
x
(含 x n)
x
x
… xN … x N
lim f ( n)
n
?Байду номын сангаас
lim f ( x )
?
2. 极限的性质 （1） 极限的唯一性. （2） 极限的局部保号性.
δ 0, 当 0 | x - x0 | 时,
有 f ( x) 0
1 ( 1)n 2 0 分析： n n 1 ( 1) n 0, 要 使 0 , n 2 即 n
2 只需要 ， n
2 总 N , 证 明 ： 0 ， 1 ( 1) n 0 当 n N 时，就有 n
1 ( 1) n lim 0 n n
（1） 利用函数连续性求极限——代入法. （2） 用恒等变形消去零因子法求极限.
（3） 用同除一个函数的方法求 型极限.
（4） 利用两个重要极限求极限. （5） 利用无穷小性质求极限.
（6） 利用等价无穷小代换求极限.
（7） 利用极限存在的两个准则求极限. （8） 从左、右极限求分段函数在分界点处的极限. （9） * 用洛必达法则求未定式的极限.
(× )
.
(13) (14) (15) (16) (17) (18)
n
lim| a n | 0 lim a n 0
n n
(√ ) ( ×) (× ) (× ) ( √) ( ×)
lim| a n | 1 lim a n 1
n
1 1 lim xsin lim x limsin 0 x 0 x x 0 x 0 x x tanx x x lim lim 3 0 3 x 0 x 0 x x 1 cosx 1 cosx 1 lim lim 2 x 0 xsin x 0 x 2 x x sinxcosx x sin x lim lim 3 x 0 x 0 x x3
高等数学课后习题答案--第一章 函数与极限
第一章 函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤ []ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由 ][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a ax a ax a a x a x3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()xe x g =，求()[]x gf 和()[]x fg ，并做出这两个函数的图形。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}nx 有界, 又,0lim =∞→nn y证明:.0lim =∞→n n n y x{}结论成立。
从而时，有，当自然数即又有对有界，∴=<=-<>∃>∀=≤∀>∃∴∞→ ..0)(,0,0lim ,,0εεεεMM y x y x My N n N y Mx n M x n n n n n n n n n 5. 根据函数的定义证明: ⑴()813lim 3=-→x x8)13(lim 813303,033,33813,03=-<--<-<>∀<-<-=-->∀→x x x x x x x 所以成立时，恒有，当＝取故即可。
清华大学微积分习题课(Stolz定理、数列极限、函数极限)
（ ）求极限 ． 4
lim
x→0
2 1
+ +
1
ex
4
ex
+
sin x
x
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2/3
3．求下列极限
（ ）求 ．1
1
lim(1 + sin x)2x
x→0
（ ） ． x2 −1x2
3
lim
x→∞
x2
+
1
4．求下列极限
（ ）求 2
lim(sin 1 + cos 1 )x .
x→∞
f (x) g(x)
τ = Tf ∈Q
f (x) g(x)
x→∞
Tg
什么关系？
．证明：若 ，且 ≤ ，则 11
f (x) = a1 sin x + a2 sin 2x + ⋯ + an sin nx
| f (x) | | sin x |
≤ ． a1 + 2a2 + ⋯ + nan 1
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．已知 ，求证： ． 1
lim
n→∞
an
=
+∞
lim a1 + a2 + ⋯ + an = +∞
n→∞
n
．已知数列 单调，且 ，证明： ． 2
{an }
lim a1 + a2 + ⋯ + an = A
n→∞
n
lim
n→∞
an
=
A
3．证明：数列
{an
}
没有收敛子列等价于
lim
n→∞
函数,极限,连续-习题课
取Nmax{9,[
]},则 0n N, 有
即
n2 n 1 lim 2 . n 2n n 9 2
例5
证
证明
lim
x 2
x 2. x 1
x x2 | 2 || | x 1 x 1 1 不妨取 | x 2 | 2 ,即 3 5 1 3 1 x | x 1 | 2. 2 2 2 2 | x 1| x2 | 2 | x 2 | | x 2 | . 则 | x 1 2 1 取 min{ , },则x:0<|x-2|<，有 2 2 x | 2 | . 证毕. x 1
f (x ) x 2 2 x 2
例3 判断下列函数的奇偶性
a x 1 ① yx x a 1
② y ln x x 2 1
(
)
1 1 ax 1 x x x x a 1 1 a a a ( x ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x x x x 解 ① 1 a x 1 1 ax 1 ax 1 x x a a x x a 1 a 1 为偶函数。 x x f ( x) ∴函数 y x x a 1 a 1
1
x ln (1 2 x ) ～ 12 x
e
x 0
x 2x lim ( cos sin x 1 x )
1 x
e
2
复习: 若 lim u ( x) 0 , lim v( x) , 则有 x x0 x x0
x x0
lim 1 u ( x)
v( x)
lim
1 (1 x 3 ) 2 x 3 1 x 3 x 2
x 3
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第二次习题课（函数极限、无穷小比较）
一、内容提要
1.函数极限定义，验证21lim 3
=+→x x . 2.极限性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式）.
3.极限四则运算.求x
e e x
x x 230lim -→-. 4.收敛准则（迫敛准则、柯西收敛准则、归结原则）.
5.无穷小与无穷大（无穷小比较、等价无穷小替换定理、渐近线的求法）.
6.重要极限与常用等价无穷小.
二、客观题
1.当0→x 时，下列四个无穷小中，（ ）是比其它三个更高阶的无穷小.为什么？
（A ）2x ； (B)x cos 1-； (C)112--x ； (D)x x sin tan -
2.已知5)(cos sin lim 0=--→b x a
e x x x ，则), (=a ) (=b . 3.的是时，当 sin 02x x x x -→（ ）.
)(A 低阶无穷小；)(B 高阶无穷小；)(C 等价无穷小；)(D 同阶无穷小但非等价无穷小.
4.
则它的连续区间是（ ）. 5.当x →0时下列变量中与x 是等价无穷小量的有 [ ].
)(A x 2
1
sin ； )(B )1ln(x +； )(C 2x ； )(D x x -22. 7.设x
x x f 11)(2-+=，则0=x 是)(x f 的间断点，其类型是．____________ 三、解答题
1利用重要极限求下列函数极限
（1）17lim 1x x x x -→∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
（二重），（2）设n n n n n a x !=，求极限n n n x x 1lim +∞→，（3）求极限()210cos lim x x x →， 解：()()321cos 1cos 1010)1(cos 1lim cos lim x x x x x x x x -⋅-→→-+=211
cos lim 30--==→e e x x x
2.利用等价无穷小的性质求下列极限：
（1）()x x x sin 31ln lim 0-→； （2）bx x ax x tan sin lim 20+→，0≠b ； （3）1
1sin 1lim 20--+→x x e x x . 3.利用连续函数求下列极限：
(1)()x ax x +→1ln lim 0；(2)x e x x 1lim 0-→(提示：令1-=x e t )；（3）()x x x 2cot 20tan 31lim +→.
4.利用函数极限的归结原则求数列极限
（1）n n x 2sin lim ∞→， （2）n
n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→2211lim . 5.设()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0][0sin x x x x x ax x f ，应怎样选取数a ，才能()x f 使处处连续？
6.已知 1)1
1(l i m 23=--++∞→b ax x x x ，求常数,a 和b 。
（极限分析） 四、证明题
1.若)(x f 为周期函数，且0)(lim =∞
→x f x ，试证明) ,( ,0)(∞+-∞∈≡x x f . 2. 利用函数极限的归结原则证明x x cos lim ∞
→不存在. 3.设),)((~)(0x x x g x f →证明：))(()()(x f o x g x f =-.
4.设函数f 在),0(∞+上满足方程)()2(x f x f =，且A x f x =+∞
→)(lim ，证明：A x f ≡)(，),0(∞+∈x .
5．设函数f 在),0(∞+上满足方程)()(2x f x f =，且)1()(lim )(lim 0f x f x f x x ==+∞
→→+，证明：)1()(f x f ≡，),0(∞+∈x .。