第六章-连续介质力学基础

连续介质力学基础物质坐标和空间坐标对于有限个质点组成的质点系统，我们可以采用给质点编号的方式区分各个质点;对于有无限个质点组成的系统，我们就采用坐标识别系统中各个质点。

用于标示质点的坐标称为物质坐标132(,,)ξξξ；表示空间中几何点的坐标312(,,)x x x 则称为欧拉坐标。

两种坐标是通过连续介质的运动联系起来的：如果在时刻t 质点132(,,)ξξξ占据空间位置312(,,)x x x ，则二者之间具有函数关系：123(,,,)k k x x t ξξξ=由于这个函数必须是一一影射的，其反函数存在并且唯一： 123(,,,)k k x x x t ξξ= 因此，质点的位置矢量、速度等都可以等价地用物质坐标或空间坐标描述：(,)((),)t t =r ξr ξx当我们采用物质坐标时，相应的基矢量：i i ˆξ∂=∂rg当我们采用空间（Euler ）坐标时，相应的基矢量：i i x∂=∂r g 两者之间具有转换关系：k k i k i k ii x x ˆx ξξξ∂∂∂∂===∂∂∂∂r r g g j jm m ˆx ξ∂=∂g g k k i k i i ki ˆx x x ξξξ∂∂∂∂===∂∂∂∂r r g g j jm m x ˆξ∂=∂g g 物质导数质点的速度：D D k kk k(,t )()x (,t )v t t x t ∂∂∂==∂∂∂r r ξr x ξv g 算子D D t称为物质导数（全导数）。

它的含义是保持物质坐标不变时，张量随时间的变化率。

Euler 坐标基底矢量的物质导数：k k mi i ik m k D v v Dt x∂==Γ∂g g g i i kk i m mk k D v v Dt x∂==-Γ∂g g g 物质坐标（Langrange ）基底矢量的物质导数：ˆ(,)()i i D t Dt t ξ∂∂=∂∂gr ξ 欧氏空间中矢量求偏导数的顺序是可以交换的，因此ˆ(,)()i i i D t Dt t ξξ∂∂∂==∂∂∂g r ξv利用协变基与逆变基之间的关系，我们得到：()m i i i m ˆD ˆˆˆˆDt ξ∂=⊗⋅=∇⋅∂g v g g v g ()m i i i m ˆD ˆˆˆˆDt ξ∂=⋅⊗=⋅∇∂g v g g g v Langrange 逆变基底矢量的物质导数可以由逆变基的定义式j j i i ˆˆδ⋅=gg 求得。

显而易见：ˆˆ()0i mD Dt⋅=gg因此i m i i m m ˆˆD D ˆˆˆDt Dt ξ∂⋅=-⋅=-⋅∂g g v g g g 该式左端是逆变基物质导数在协变基下的分量，因而ˆˆˆˆ()ˆˆˆi i m i m m i i m D Dt ξξ∂=-⋅⊗=-⋅∇∂∂=-⊗⋅=-∇⋅∂g vgg g v v gg v g（物质坐标基底矢量的物质导数可表示为速度梯度与基矢量的点积；协变基的导数与哈密顿算子相邻；逆变基的导数与负的速度矢量相邻）张量的物质导数Euler 描述下，张量是空间坐标和时间的函数，所以张量i j .j i T =⊗T g g 的物质导数：()()k k k kD Dt tx t tv tx ∂∂+∂∂∂∂=+⊗⋅∂∂+∇⋅∂∂+∇∂==⋅∂=T TT T T v T v T v TT g物质描述下，张量i j .j iˆˆˆT =⊗T g g 的物质导数： ()()ij .j j m j i m i .j.m i i .j j i i .j m i m j i .j m .m j i ˆT ˆˆD D D ˆˆˆˆˆT T Dt t Dt DtˆdTˆˆdt ˆdT ˆˆˆT v T v dt ∂=⊗+⊗+⊗∂=⊗+∇⋅-⋅∇⎛⎫=+∇-∇⊗ ⎪ ⎪⎝⎭T g g g g g g g g v T T v g g 由于ik .j j l .l i k i k .j lj.l k i ˆDT D DT ˆˆDt Dt DtˆDT D DT ˆˆDt Dt Dt=⊗=⊗=⊗=⊗T g g g g T g g g g所以i i l k .j.lk j ˆDT x DT Dt x Dtξξ∂∂=∂∂i ki l .j.l k j ˆDT DT x Dt x Dtξξ∂∂=∂∂可以证明度量张量的物质导数为零：()()D D D D D D i i i i ˆˆˆˆˆˆt t t=⊗+⊗=∇⋅-⋅∇=G g g g g v G G v 0 ()()D D D D D D i i k mi k i m i i ik m mk i v v t t t=⊗+⊗=Γ⋅⊗-Γ⊗=G g g g g g g g g 0 （()()k i m k mi mk i ik m v v Γ⊗=Γ⊗g g g g ）速度场的加法分解将速度梯度分解为对称部分D 和反对称部分Ω： ∇=v D +Ω()T∇=∇=-v v D Ω其中：1()2=∇+∇D v v1()2=∇-∇Ωv v如果弹性体做刚体运动，则刚体上一点的速度00()=+⨯-v r ωr r 因此i i i iˆˆξξ∂∂=⨯=⨯=⋅∂∂v r ωωg Ωg （T=-ΩΩ） i i i i ˆξ∂∇=⊗=⋅⊗=∂vv g Ωgg Ω 所以，刚体运动时速度梯度的对称部分=D 0，即刚体运动的速度梯度是反对称的。

速度梯度的对称部分D 描述变形的速率，而反对称部分Ω描述基矢量的转动速率。

二阶张量场的相对导数刚体转动会引起张量变化率的改变，客观的应力、应变随时间变化率应剔除刚体转动所引起的那部分。

..ˆd ˆˆ()()d ˆd ˆˆ()()d ˆd ˆˆ()()d ˆd ˆˆ()()d ij i j i jj i i jj i iji j D HDt tH tH t H t=⊗+∇⋅+⋅∇=⊗+∇⋅-⋅∇=⊗-∇⋅+⋅∇=⊗-∇⋅-⋅∇H g g v H H vg g v H H v g g v H H v g g v H H v 将速度梯度进行加法分解后得到：ˆd ˆˆ()()d ij i j D HDt t=⊗+⋅+⋅+⋅-⋅H gg D H H D ΩH H Ω .ˆd ˆˆ()()d ijj i H D Dt t=⊗+⋅-⋅+⋅-⋅H gg D H H D ΩH H Ω .ˆd ˆˆ()()d ijj i H D Dt t=⊗-⋅-⋅+⋅-⋅H gg D H H D ΩH H Ω ˆd ˆˆ()()d ij ij H D Dt t=⊗-⋅+⋅+⋅-⋅H gg D H H D ΩH H Ω 上式右端的前两项定义为Jaumann 导数:D D D D tt=-⋅+⋅=-⨯+⨯HH ΩH H ΩH ωH H ωJaumann 导数剔除了局部刚体运动的影响，它是一种相对导数。

些材料的本构关系和应变、应力的变化率有关。

然而，应力张量（应变张量）的物质导数却不适合在本构关系中使用：例如：一个做刚体运动的弹性体的内部应力是不变的，然而应力张量的物质导数却是非零的，因此应当采用应力、应变的相对导数描述本构关系：连续介质的变形与运动变形前物质线元 i i d d ξ=r g ，变形后成为k k ik i kˆd d ˆd d ˆξξξ∂==⋅⊗⋅=∂r g g F g r r 其中k k ˆ=⊗F gg ； T k k ˆ=⊗F g g 是变形梯度张量，它的逆张量1k k ˆ-=⊗F g g ；T k k ˆ-=⊗F g g 这是由于：ˆˆˆˆˆ()()i k k k i k ⊗⋅⊗=⊗=gg g g g g G 从变形梯度张量的表达式中可知：k k ˆ⋅=F g gT k k ˆ-⋅=F g g 1k k ˆ-⋅=F gg T k k ˆ⋅=F g g变形梯度张量是协变瞬时协变基底矢量k ˆg与初始协变基底矢量k g 的并矢；它的逆是初始协变基底k g 与瞬时逆变基底k ˆg的并矢。

位移梯度与变形梯度张量之间的关系物质描述下空间一点的矢径ˆ(,)()(,)t t ξξξ=+r r u 其中()ξr 为变形前（初始时刻）连续介质中一点所在的位置；(,)t ξu 为质点ξ的位移。

k k k k k k ˆˆξξξξ∂∂∂∂==+=+∂∂∂∂r r u ugg因此ˆ()k kk k k ξ∂=⊗=+⊗∂=+∇u gg g G g F u1ˆˆˆˆˆ()k k k k kξ-∂=⊗=-⊗∂=-∇u g gg g F G u 其中,算子 k kξ∂∇=⊗∂g ; k kˆˆξ∂∇=⊗∂g 两者之间的联系：()()11 k k T Tkkˆˆˆˆ----*∇=*∇⋅∇*=⋅∇*⋅=⋅=T g F g Fg T F F T gT 变形前后线元长度的变化：220(d )(d )d d d ()d d d 2d d T s s =⋅⋅⋅-⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅-=F r F r r r r F F G r r E r111220ˆˆˆˆˆˆˆd d (ˆˆd d )(d )d (d )2d d d T s s ----=⋅-⋅⋅⋅=⋅-⋅=-⋅⋅⋅rr F r F r r r F e r G F r 其中比较这两个应变表达式可知：Almansi应变的协变分量与Green应变的协变分量一致但基底矢量不同，由变形前的基底矢量转换为当前构型下的基底矢量。

这种类型的张量称为协变前推。

这两个应变张量都满足：它们之间存在如下联系：T=⋅⋅E F e F两种张量与位移梯度之间的关系：()()()()1122=+∇+∇-=∇+∇+∇⋅∇E G u G u G u u u u()()()()1122ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ=--∇-∇=∇+∇-∇⋅∇e G G u G u u u u u小变形、小位移假设下，应变张量的非线性部分：∇⋅∇u u可以忽略，从而：1()2≈∇+∇E u u;1ˆˆ()2=∇+∇e u u变形前后连续体所占据的空间没有明显变化，物质描述与空间描述之间的差别也可忽略，两种应变是一致的。

Green应变的分量表示()1()()2kj ji j i j i i kE u u u u=∇+∇+∇∇在直角坐标系下12kji kij j i i juu u uEx x x x∂⎛⎫∂∂∂=++⎪∂∂∂∂⎝⎭体积微元变形前连续介质中一个体积微元dv可以由三个线性无关的线元作混合积表示为123d d d dv()=⋅⨯r r r变形后，这三个微元分别变换为112233ˆd(d)ˆd(d)ˆd(d)=⋅=⋅=⋅r F rr F rr F r变形后的体积微元123123ˆˆˆˆd d(d d)(d)[(d)(d)]v=⋅⨯=⋅⋅⋅⨯⋅r r r F r F r F r因此d dˆv J v=其中 J 表示变形梯度张量的第三不变量，即它的行列式：123d e t ()i j kijk J e F F F ==F它与基底矢量之间的关系为123123123123ˆˆˆˆ()()dv d d d J dv d d d ξξξξξξ⋅⨯===⋅⨯g g g g g g 面元变形前连续介质中一片带有方向的面积微元d a 可以由组成它的两条边的线元表示为：12d d d =⨯a r r面元的方向指向该面的外法线方向。