黑第6讲 污染物迁移转化模型-模型构建

• 思考一个问题：以上仅得出一组流体运动及 浓度输运方程，但是在实践中，流体的运动 却是千差万别？不同的问题是不是需要不同 的控制方程呢？
• 如果采用一组控制方程，那么这组控制方程 如何反应不同的浓度输运呢？ 回顾跳绳、撒网问题和马尔萨斯等模型
速度和浓度方程的边界条件
• 包括初始速度场u(x,y,z,t0)、v(x,y,z,t0)、 w(x,y,z,t0)； C(x,y,z,t0) • 开边界Γ1：给定u(xΓ1,yΓ1,zΓ1,t)、v(xΓ1,yΓ1,zΓ1,t)、 w(xΓ1,yΓ1,zΓ1,t)或速度梯度边界； C(xΓ1,yΓ1,zΓ1,t) • 壁边界Γ2：常采用速度无滑移条件，即 u(xΓ2,yΓ2,zΓ2,t)=0、v(xΓ2,yΓ2,zΓ2,t)=0、
z
△
x/2
C C dx Dx ( Dx ) Adt x x x 2
x1
C dx C Dx ( Dx ) Adt x x x 2
y
C Dx x
△
x
x
C C dx Dx Adt x x x 2 C C dx V Dx Dx Adt x x x 2
C D 单位时间单位面积扩散出去的污染物量定义为(Fick Law)： x x Adt
扩散从左面进入的污染物量 V Dx 扩散从右面出的污染物量
式中的负号表示扩散物质的扩散方向为从高浓度向低浓度，与浓度梯度相反.
对流+扩散
z
(Cu) dx Cu Adt x 2
x
(Cv) dy Cv (hdx)dt x 2
C C dy Dx y y Dx y 2 (hdx)dt
沿x 、y轴 方向的进出量之差分别为：
△
x
u
面积：A
当污染物浓度空间分布只在一个方向存在明 显差异时，常采用一维模型来进行描述。
1)对流
z
应用Taylor方程（一阶精度）
△
x/2
(Cu) dx Cu x 2 Adt
x1
y
△
(Cu) dx Cu x 2 Adt
x x
随流从左面进入的污染物量
三维模型
由物质守恒定律，得出：
三维对流扩散方程基本形式：
C uC vC wC 2C 2C 2C Ex Ey Ez Rc Sc 2 2 2 t x y z x y z
浓度变化率 对流作用引起的变化 紊动扩散引起的变化 化学 物理 源项 源项
z
dz
y
dx
dy
x
对控制体应用质量守恒定理：
质量变化=输进-输出+产生（源）-损失（汇）
对控制体应用质量守恒定理：
质量变化=输进-输出+产生（源）-损失（汇） z
dz
y
dx
dy
x
数学模型如何构建？
对控制体应用质量守恒定理：
质量变化=输进-输出+产生（源）-损失（汇） z
dz
y
dx
dy
x
如何构建？
移流作用 引起的变化
Dx
2C x
2

Rc
Sc
扩散 引起的变化
衰减转化 物理源项
• 当污染物的浓度分布只在两个方向存在着 明显的变化，需要建立二维的模型。其建 模思路与一维维模型的建立基本一致，只 是要同时考虑体积元在两个方向上的质量 平衡。
三、二维模型
(Cv) dy (hdx)dt Cv x 2
第6讲 污染物在流体中的浓 度输运模型 ——模型构建
模型准备 1.流体的性质
2.质点选取 3.连续介质假设
模型假设
模型构建
4.描述流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法
5.浓度输运方式 6.宏观质量守恒和动量守恒定理
7.控制体选取
8.Talor公式
控制体的选取(模型准备)
1.欧拉法； 2.控制体仍然是宏观上足够小，微观上足够大。
C ( Cu D )dxdydzdt 沿x方向进出量之差为： x x x
x
沿y轴、 z轴方向的进出量之差分别为：
C (Cv Dy )dxdydzdt y y
C (Cw Dz )dxdydzdt z z
z
( u ) dx u dydzdt x 2
离散世界与连续空间的 桥梁：
f(z)
n 0
N 1
f (n)(z0 ) (z z0 )n RN (z) n!
先从简单的开始：
一、零维模型
• 对于湖泊、某一河段或高空某一相对静止区域， 当污染物浓度的空间差异可以忽略不计时，可以 将整个研究区域视为完全混合反应器，污染物能 瞬间分散到空间各部位。
思考
• 在（0,0,0）点有一连续大气污染点源，若 基于如下假定：
（1）大气流动时稳定的、有主导方向的； （2）假定污染物在大气中只有物理运动、没有化学 和生物变化； （3）所预测范围内没有其他同类污染物源汇。
给出此时大气污染物浓度方程的具体形式。
思考
• 现有一长细直输气管道，给出管道所适用 的浓度方程。 • 现有一底部光滑的宽浅水槽，给出水槽所 适用的浓度方程。
△
x/2
(Cu) dx Cu x 2 Adt
x1
C C dx Dx ( Dx ) Adt x x x 2
△
C dx C Dx ( Dx ) Adt x x x 2
x
x 进出量之差为：
V Qc dt (Cu
(Cu) dx (Cu) dx ) Adt (Cu ) Adt x 2 x 2 (Cu) dx (Cu) dx ) Adt (Cu ) Adt x 2 x 2
随流从右面出去的污染物量
V Qc dt (Cu
2) 扩散
End！
C (Cu Dx )dxAdt x x
化学转化：Rc(Adxdt)
物理源汇：Sc(Adxdt)
z
x1
A
△
x
x
在dt时段内由于C的变化，控制体内扩散质的增加为：
C t dtdxdydz
由物质守恒定律，得出： 一维对流扩散方程基本形式：
C t
浓度变化率

C u x
环境流体的速度求解方程
对于密度不变化的水 体，此方程形式 连续性方程：
( u ) ( u ) ( w) 0 t x x z
2u 2u 2u u uu vu wu p f x x 2 y 2 z 2 X-方向动量方程： t x y z y
w(xΓ2,yΓ2,zΓ2,t)=0， C(xΓ1,yΓ1,zΓ1,t)
思考
• 由三维浓度方程 立即给出 一维和二维模 型具体形式；
你认为正确吗？
C C C C 2C 2C 2C u v w kx ky kz Rc Sc 2 2 2 t x y z x y z
C C dy Dx y y Dx y 2 (hdx)dt
(Cu) dx Cu x 2 hdydt
(Cu) dx Cu x 2 (hdy)dt
C C dx Dx x x Dx x (hdy)dt 2
y
(u,v,w) C
dx
dy
C C dx Dx x x Dx x (hdy)dt 2
Q、C0可能是变化的
思考 需要考虑哪些影响因素：对流？扩散？源汇项？
如何建立浓度方程？
浓度方程：
dC V QC0 QC S rV dt
• V— 总体积； Q— 流入流出的流量； C0— 流
入介质的污染物浓度；C流出介质中的污染
物浓度；r—衰减和反应速率；S—污染物源
和汇
二、一维模型
化学 源项
物理 源项
z
(Cu) dx Cu dydzdt x 2
四、三维模型
dz
(Cu) dx Cu dydzdt x 2
C C Dx ( Dx )dxdydzdt x x x
y
dx
dy
C C Dx ( Dx )dxdydzdt x x x
2v 2v 2 v v uv vv wv p f Y-方向动量方程： x 2 y 2 z 2 v t x y z y 2w 2w 2w w uw vw ww p Z-方向动量方程：t x y z z x 2 y 2 z 2 f w
C (Cu Dx )hdydt x x
C (Cv D y )( hdx)dt y y
• 二维模型：
C C C 2C 2C u v Dx Dy Rc Sc 2 2 t x y x y
浓度变化率 对流作用引起的变化
扩散引起的变化
dz
( u ) dx u dydzdt x 2
y
dx
dy
x
沿x方向进出量之差为：
C (Cu Dx )dxdydzdt x x
沿y轴、 z轴方向的进出量之差分别为：
C (Cv Dy )dxdydzdt y y
C (Cw Dz )dxdydzdt z z