江苏省南京市 学年高一上学期期末考试数学试题 含答案

是半径为
1，圆心角为
π 3
的扇形，点
A
在弧
⌒ PQ
上(异于点
P，Q)，过点 A
作 AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为 B，C．记∠AOB＝θ，四边形 ACOB 的周长为 l．
（1）求 l 关于 θ 的函数关系式； （2）当 θ 为何值时，l 有最大值，并求出 l 的最大值．
Q C
A
θ O
BP
（第 18 题图）
y 2
O
－1π2
π 6
x
(第 16 题图)
2 南京清江花苑严老师
17．（本小题满分 14 分）
已知 sinα＝－47 3，α∈(－π2，0)． （1）求 cos(π4＋α)的值； （2）若 sin(α＋β)＝－3143，β∈(0，π2)，求 β 的值．
18．（本小题满分 16 分）
如图，已知 OPQ
解得
cosβ＝12，sinβ＝
3或 2
cosβ＝2938，sinβ＝－5958
3(舍去)．„„„„„„ 12 分
因为 β∈(0，π2)，所以 β＝π3．
„„„„„„ 14 分
注：第(1)问 6 分，求出 cosα 的值得 2 分(公式 1 分，结果 1 分)，求 cos(π4＋α)共 4 分，(公式 2 分，
4．已知 tanα＝2，则 tan(α＋π4) 的值是 ▲ ．
5．若函数 f(x)＝cosx＋|2x－a| 为偶函数，则实数 a 的值是 ▲ ．
6．已知向量 a＝(1，2)，b＝(－2，1)．若向量 a－b 与向量 ka＋b 共线，则实数 k 的值是 ▲ ．
7．已知角 α 的终边经过点 P(12，5)，则 sin(π＋α)＋cos(－α) 的值是 ▲ ．
„„„„„„ 14 分
注：第(1)问 8 分，计算出数量积 2 分，求两个向量模各 1 分，求夹角余弦 2 分，求出角 2 分，不交
代向量夹角的范围或错误扣 1 分；第(2)问 6 分，列出关系式 4 分，解出 λ 得 2 分．
16．（本小题满分 14 分）
解（1）设函数 f(x)的最小正周期为 T，由图象知：A＝2，14T＝π6－(－1π2)＝4π，
（1）求向量 a＋b 与向量 a 夹角的大小； （2）若 a⊥(a＋λb)，求实数 λ 的值．
16．（本小题满分 14 分）
已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) ( A＞0，ω＞0，0＜φ＜π) 的图象如图所示．
（1）求 A，ω，φ 的值； （2）若 x∈[－π2，1π2]，求 f(x)的值域．
„„„„„„„ 16 分
注：第(1)问 7 分，求出 OB，AB，OC，AC 各 1 分，写出 l 的表达式 2 分，定义域 1 分；
7 南京清江花苑严老师
第(2)问 9 分，将 l 化为( 3＋1)sin(θ＋π3)得 5 分，求出最值 3 分，答 1 分． 19．（本小题满分 16 分）
解（1）因为 M 是线段 CE 的中点，→ AE ＝2→ EB ，
3 南京清江花苑严老师
19．（本小题满分 16 分）
如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，且→ AE ＝2→ EB ．M 是线段 CE 上一动点． （1）若 M 是线段 CE 的中点，→ AM＝m→ AB ＋n→ AD，求 m＋n 的值； （2）若 AB＝9，→ CA ·→ CE ＝43，求 (→ MA＋2→ MB)·M→C 的最小值．
所以周期 T＝π，从而 ω＝2Tπ＝2．
„„„„„„ 4 分
因为函数图象过点(－1π2，2)，所以 sin(－π6＋φ)＝1．
5 南京清江花苑严老师
因为 0＜φ＜π，所以－6π＜－π6＋φ＜56π， 所以－π6＋φ＝π2，解得 φ＝23π． 因此 A＝2，ω＝2，φ＝23π． （2）由（1）知 f(x)＝2sin(2x＋23π)． 因为 x∈[－2π，1π2]，所以－π3≤2x＋23π≤56π， 所以－ 23≤sin(2x＋23π)≤1，
8．已知函数
f(x)＝l2oxg，2(2－x)，
x＜1， x≥1，
则
f (－2)＋f (log23)
的值是
▲
．
9．在△ABC 中，若 tanA＞1，则角 A 的取值范围是 ▲ ．
10．在平行四边形 ABCD 中，→ AB ＝a，→ AD＝b．若|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 π3，则线段 BD
高 一 数 学第一学期期末调研测试卷
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上． 1．已知集合 M＝{x|0≤x＜2}，N＝{－1，0，1，2}，则 M ∩ N ＝ ▲ ．
2．计算：lg4＋lg52 的值是 ▲ ．
1
3．函数 f(x)＝(x－2)2 的定义域是 ▲ ．
15．（本小题满分 14 分） 解 （1）因为 a＝(1，2)，b＝(－3，4)，所以 a＋b＝(－2，6)，
所以|a＋b|＝ (－2)2＋62＝2 10，|a|＝ 5，
(a＋b)·a＝－2＋12＝10．
记向量 a＋b 与向量 a 的夹角为 θ，
从而 cosθ＝
(a＋b)·a |a＋b|·|a|
＝
22．
D
C
M
A
B
E
(第 19 题图)
20．（本小题满分 16 分） 如果函数 f(x)在定义域内存在区间[a，b]，使得该函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]，则称函
数 f(x)是该定义域上的“和谐函数”． 南京清江花苑严老师 （1）求证：函数 f(x)＝log2(x＋1)是“和谐函数”； （2）若函数 g(x)＝ x2－1＋t (x≥1)是“和谐函数”，求实数 t 的取值范围．
cosβ 之一，并没有消元的过程，最后结果正确，扣 4 分，仅给 4 分。
18．（本小题满分 16 分）
解（1）在直角三角形 OAB 中，因为 OA＝1，∠AOB＝θ，
所以 OB＝cosθ，AB＝sinθ．
„„„„„„ 2 分
在直角三角形 OAC 中，因为∠POQ＝π3，所以∠AOC＝π3－θ，
从而 OC＝cos(π3－θ)，AC＝sin(π3－θ)．
＝3→ ME．
„„„„„„„ 13 分
设 ME＝t，0≤t≤5．
所以(→ MA＋2→ MB)·M→C＝－3ME·MC＝－3t·(5－t)＝3(t2－5t)＝3(t－52)2－745，0≤t≤5．
因此当且仅当 t＝52 时，(→ MA＋2→ MB)·M→C 有最小值－745，
从而(→ MA＋2→ MB)·M→C的最小值为－745．
17．（本小题满分 14 分）
解（1）因为 sinα＝－47 3，α∈(－π2，0)，
所以 cosα＝ 1－sin2α＝ 1－4489＝17．
从而 cos(π4＋α)＝cosπ4cosα－sinπ4sinα
＝ 22×17－ 22×(－47 3)＝
2＋4 14
6．
（2）因为 α∈(－π2，0)，β∈(0，π2)，
因为 θ∈[0，π]，所以 θ＝ π4，
即向量 a＋b 与向量 a 的夹角为π4．
„„„„„„ 4 分 „„„„„„ 6 分 „„„„„„ 8 分
（2）因为 a⊥(a＋λb)，所以 a·(a＋λb)＝0， 即 a2＋λa·b＝0，
所以 5＋λ (－3＋8)＝0，
„„„„„„ 12 分
解得 λ＝－1．
„„„„„„ 8 分 „„„„„„ 10 分
从而函数 f(x)的值域为[－ 3，2]．
„„„„„„ 14 分
注：第(1)问 8 分，指出 A 得 1 分，求出周期得 2 分，求出 ω 得 1 分，列出求 φ 的关系式 2 分，求
出 φ 得 2 分，；第(2)问 6 分，指出相位范围得 2 分，求出 sin(2x＋23π)的范围得 2 分，求出值域得 2 分．
4 南京清江花苑严老师
高一数学参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1．{0，1} 6．－1 11．3
2．1 7．173 12．2
3．[2，＋∞) 8．5 13．(－2，2)
4．－3
5．0
9．(π4，π2)
10． 7
14．(0，1]∪[3，＋∞)
注：第 1、3、13 题的答案必须是集合或区间形式，第 9、14 题可以用不等式表示；其它题严格按标 准执行。 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．
所以 α＋β∈(－π2，π2)．
„„„„„„ 2 分 „„„„„„ 6 分
„„„„„„ 8 分
因为 sin(α＋β)＝－3143，
所以 cos(α＋β)＝ 1－sin2(α＋β)＝ 1－(－3143)2＝1134． „„„„„„ 10 分 从而 sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β) sinα
＝－3143×17－1134× (－47 3)＝ 23． 因为 β∈(0，π2)，所以 β＝π3．
„„„„„„ 12 分 „„„„„„ 14 分
6 南京清江花苑严老师
法二:因为 sin(α＋β)＝－3143，所以－47 3cosβ＋17sinβ＝－3143．„„„„„„ 8 分 从而有 2sinβ－8 3cosβ＝－3 3，又 sin2β＋cos2β＝1，
＝
32＋1sinθ＋
3＋3 2 cosθ
＝(
3＋1)(12sinθ＋
3 2 cosθ)
＝( 3＋1)sin(θ＋π3)，θ∈∈(0，π3)，所以 θ＋π3∈(π3，23π)，
所以 当且仅当 θ＋π3＝π2，即 θ＝π6 时，l 取得最大值 3＋1．
答：当 θ＝π6 时，l 取得最大值，最大值为 3＋1．