2019年山东省实验中学等四校高考数学模拟试卷(理科)(4月份)
2019年山东省实验中学等四校高考数学模拟试卷（理科）（4月
份）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．（5分）已知集合A＝{x|log2x＜1}，集合B＝，则A∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（0，2）D．[0，+∞）2．（5分）已知复数z满足i•z＝3+2i（i是虚数单位），则＝（）
A．2+3i B．2﹣3i C．﹣2+3i D．﹣2﹣3i
3．（5分）已知等差数列{a n}的公差不为零，S n为其前n项和，S3＝9，且a2﹣1，a3﹣1，a5﹣1构成等比数列，则S5＝（）
A．15B．﹣15C．30D．25
4．（5分）已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则（）
A．a＝bc B．b2＝ac C．c＝ab D．c2＝ab
5．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．B．C．D．
6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（）
A．B．C．11πD．
7．（5分）给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）
A．12种B．18种C．24种D．64种
8．（5分）如图Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，设，则向量＝（）
A．B．C．D．
9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若△ABC的面为S，且
，则＝（）
A．1B．C．D．
10．（5分）图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）
A．B．C．﹣1D．2﹣
11．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆
上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若，则椭圆C的离心率是（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知函数f（x）＝，当a＜0时，方程f2（x）﹣2f（x）+a ＝0有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）
A．﹣15≤a＜﹣8B．
C．﹣15＜a＜﹣8D．
二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）观察下列式子，，……，根据上述规律，第n个不等式应该为．
14．（5分）若（x+1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a2＝．15．（5分）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，AB＝1尺，D为AB的中点，AB⊥CD，CD＝1寸，则圆柱底面的直径长是寸”．（注：l尺＝10寸）
16．（5分）如图所示，边长为1的正三角形ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，将△AMN沿线段MN进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A在线段BC上，则线段AM的最小值为
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．
17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足＝+1（n≥2，n∈N），且a1＝1．（1）求数列的通项公式{a n}；
（2）记b n＝，T n为{b n}的前n项和，求使T n≥成立的n的最小值．
18．（12分）如图在直角△ABC中，B为直角，AB＝2BC，E，F分别为AB，AC的中点，将△AEF沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF⊥面BCD；
（Ⅱ）若DE⊥BE，求二面角E﹣MF﹣C的余弦值．
19．（12分）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）
（I）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？
（II）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常
网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．
参考公式：
20．（12分）抛物线C：y＝x2，直线l的斜率为2．
（Ⅰ）若l与C相切，求直线l的方程；
（Ⅱ）若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q，求的取值范围．
21．（12分）已知函数
（Ⅰ）当x＞0时，证明f（x）＞g（x）；
（Ⅱ）已知点P（x，xf（x）），点Q（﹣sin x，cos x），设函数
时，试判断h（x）的零点个数．
（二）选考题：共10分．请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲
线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．
（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P（1，0），直线l与曲线C相交于A，B，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+2|x﹣3|．
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若f（x）﹣m2﹣m＞0恒成立，求实数m的取值范围．。
山东省实验中学2019届高三第四次模拟数学(理)试题(PDF版)
点，若 AF FB ，设 ABF ，且 ( , ) ，则双曲线 C 离心率的取值范围是
．
12 4
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题：共 60 分。
a1 1 ，an 2n 1 (n N *)
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得： bn (2n 1)
2n
2
(2n
1) 2n
Tn b1 b2 b3 bn1 bn 1 21 3 22 5 23 (2n 3) 2n1 (2n 1) 2n
2Tn 1 22 3 23 5 24 (2n 3) 2n (2n 1) 2n1 错位相减得： Tn 2 2(22 23 2n ) (2n 1) 2n1
x
y
1，则
z
3x
y
的最大值为___________．
y 1
15. 若正数 x, y 满足 x 5y 3xy ，则 5x y 的最小值是___________．
２2
16．已知双曲线
C
：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
右支上非顶点的一点 A 关于原点 O 的对称点为 B ， F 为其右焦
…………5 分 …………6 分
…………7 分 …………8 分 …………9 分
2 2 4(1 2n1) (2n 1) 2n1 1 2
…10 分
2 2n2 8 (2n 1) 2n1 6 (2n 3) 2n1
Tn (2n 3) 2n1 6
…12 分
19．【解析】
(I) 证法一: 设 AC BD O , BF 的中点为 H ，因为 G 是 BE 的中点， F
山东省济南市2019届高三第四次模拟考试数学(理)试卷
山东省济南市2019届高三第四次模拟考试数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{2,5,9}A =，{|21,}B x x m m A ==-∈，则A B =A ．{2,3,5,9,17}B ．{2,3,5,17}C ．{9}D ．{5} 2．若复数1z 对应复平面内的点(2,3)-，且121i z z ⋅=+，则复数2z 的虚部为 A ．513-B ．513C ．113-D ．1133．为了检验设备M 与设备N 的生产效率，研究人员作出统计，得到如下表所示的结果，则附：参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.A ．有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性B ．没有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性C ．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性D ．不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线350x y -=上，则7πtan sin(2)2θθ++= A ．1785B ．1785-C ．1185D ．1185-5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．3π9++B ．3π6++C ．4π6++D ．4π6++6．为了计算满足1110000ni i=<∑的最大正整数n ，设置了如下图所示的程序框图，若判断框中 填写的是“10000?S ≥”，则输出框中应填A ．输出iB ．输出1i +C ．输出1i -D ．输出2i -7．已知实数,x y 满足约束条件2107x y x x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则22y z x -=+的取值范围为 A ．1[,1]3 B ．14[,]33C ．1[,2]3D ．4[,2]38．函数223()2xx x f x --=的大致图象为ABCD9．如图，已知直四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AD BC ==，111111120A B C B C D ∠=∠=︒，且BC AD ∥， 则直线1AB 与直线1A D 所成角的余弦值为A B C D 10．已知ABC △中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(c o s c o s )c o s 122a Bb A B a b +=+，且20ABC S =△，则当ab 取到最小值时，a =A ．BC ．D 11．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数()f x 满足：当0x >时，2()()10xf x x f x '+-=，1(e)ef =.若函数()|()|g x f x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是A ．1(0,)eB ．(0,1)C ．1(,1)eD ．(1,)+∞12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1:0l x my -=与抛物线C 交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若||3QF =，则QRF PRFS S =△△A ．57 B ．37 C ．67D ．97二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(3,4)=-a ，(,2)m =b ，若向量23-a b 与b 共线，则实数m =_________. 14．2731(2)3x x -的展开式中1x的系数为_________. 15．将函数π()3cos(2)5f x x =-的图象向右平移π3个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的对称轴方程为x =_________.16．我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C 的焦点在x且过点．若直线0y =与6y =在第一象限内与 双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该 图形绕y 轴旋转一周所得几何体的体积为_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足9117S =，719a =，数列{}n b 满足112ni i i b n -==∑.（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列11{}n n n b a a ++的前n 项和.18．（本小题满分12分）为了了解某市高三学生的身体情况，某健康研究协会对该市高三学生组织了两次体测，其中第一次体测的成绩（满分：100分）的频率分布直方图如下图所示，第二次体测的成绩2(65,2.5)XN .（Ⅰ）试通过计算比较两次体测成绩平均分的高低；（Ⅱ）若该市有高三学生20000人，记体测成绩在70分以上的同学的身体素质为优秀，假设这20000人都参与了第二次体测，试估计第二次体测中身体素质为优秀的人数；（Ⅲ）以频率估计概率，若在参与第一次体测的学生中随机抽取4人，记这4人成绩在[60,80)的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.附：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥S ABCD -中， 21,2SA SD AD BC CD AB ====，CD AB ∥，90ABC ∠=︒，二面角S AD B --的大小为90︒.（Ⅰ）求证：SA BD ⊥； （Ⅱ）在线段SB 上找一点E ，使得二面角E AD S --的大小为45︒.20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(1,（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线(1)y k x =-与椭圆C 交于,P Q 两点，且(3,2)N ，设,PN QN k k 分别是直线,PN QN 的斜率，试探究PN QN k k +是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+.（Ⅰ）当0a ≥时，判断函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当2a =-时，证明：522e e [()2]xf x x >+.（e 为自然对数的底数）请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为41332x t y t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为2πsin()4ρθ=-.（Ⅰ）求直线l 的普通方程以及圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PQ ，求||PQ 的最小值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2|||3|f x x x =+-. （Ⅰ）解关于x 的不等式()4f x <；（Ⅱ）若对于任意的x ∈R ，不等式2()2f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围.高三数学（理科）参考答案。
2019年山东省高考理科数学模拟试题与答案(一)
2019年山东省高考理科数学模拟试题与答案(一)2019年山东省高考理科数学模拟试题与答案（一）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z满足(1+i)z=i，则在复平面内，复数z所对应的点位于：A。
第一象限。
B。
第二象限。
C。
第三象限。
D。
第四象限2.设集合A=N，B={x|0≤x<3}，则A∩B=A。
{0,1,2}。
B。
{1,2}。
C。
{0,1,2,3}。
D。
{0,1,2,3}3.若某多面体的三视图（单位：cm）如右图所示，则此多面体的体积是：A。
7 cm³。
B。
2 cm³。
C。
5 cm³。
D。
1 cm³4.设x,y满足约束条件{x≤4，y≤4，x+y≥4}，则z=2x+y的最大值为：A。
4.B。
8.C。
12.D。
165.《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，XXX 齐声朗诵，别有韵味。
若《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有：A。
144种。
B。
48种。
C。
36种。
D。
72种6.已知cos(π/4-α)=4/5，则sin2α=A。
-7/25.B。
-5/7.C。
1/5.D。
7/257.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为：A。
/3π。
B。
6π。
C。
8π/3.D。
4π8.当0<x<1时，f(x)=ln(x/2)/2x，则下列大小关系正确的是：A。
f(1/3)<f(1/4)<f(1/5)。
2019届山东省实验等四校高三联合考试数学（理）试题
2019届山东省实验中学等四校高三联合考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}21|A x log x =<，集合{|B y y ==，则AB =（ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞【答案】D【解析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B ⋃=+∞．故选：D ． 【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算． 2．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ． 23i -+ D ． 23i --【答案】A【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由32i z i ⋅=+，得()()2323223i i i z i i i +-+===--，∴23z i =+．故选：A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知等差数列{}n a 的公差不为零，n S 为其前n 项和，39S =，且21a -，31a -，51a -构成等比数列，则5S =（ ） A ．15 B ．-15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由已知列关于首项与公差的方程组，求解得到首项与公差，再由等差数列的前n 项和公式求解．【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由题意，()()()1211133921141a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+-=+-+-⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩． ∴ 554251252S ⨯⨯=⨯+=． 故选：D ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和，考查等比数列的性质，是基础题． 4．已知正实数a ，b ，c 满足236log a log b log c ==，则（ ） A ．a bc = B ．2b ac =C ．c ab =D ．2c ab =【答案】C【解析】设236log log log a b c k ===，则2k a =，3k b =，6k c =，由此能推导出c ab =． 【详解】解：∵ 正实数a ，b ，c 满足236log log log a b c ==， ∴ 设236log log log a b c k ===， 则2k a =，3k b =，6k c =， ∴ c ab =． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为（ ） A ．23-B ．54-C ．43-D ．12-【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数21y z x -=+的几何意义为动点(),M x y 到定点()1,2D -的斜率，利用数形结合即可得到z 的最小值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数21yzx-=+的几何意义为动点(),M x y到定点()1,2D-的斜率，当M位于11,2A⎛⎫-⎪⎝⎭时，此时DA的斜率最小，此时1252114minz--==-+．故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6．某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（）A．163πB．283πC．11πD．323π【答案】B【解析】首先利用三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出几何体的表面积．【详解】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体，故：下底面的中心到底面顶点的长为：33， 所以：外接球的半径为：22232171393R ⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭故：外接球的表面积为：27284433S R πππ==⋅=． 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．64种【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有246C =种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有222A =种情况， 此时有224⨯=种情况，则有6424⨯=种不同的安排方法； 故选：C ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 8．如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =，AC b =，则向量AD =（ ）A ．a b +B ．12a b +C ．12a b +D ．23a b +【答案】C【解析】根据Rt ABC ∆中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+．【详解】解：设圆的半径为r ，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==， 又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===， 所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+．故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．9．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B 2C ．624D ．624【答案】D【解析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】解：由()2243S a b c =+-，得222143sin 22ab C a b c ab ⨯=+-+，∵ 2222cos a b c ab C +-=， ∴ 23sin 2cos 2ab C ab C ab =+， 即3sin cos 1C C -=即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ 0C π<<， ∴ 5666C πππ-<-<， ∴ 66C ππ-=，即3C π=，则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭321262222+⨯+⨯=， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．10．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12 B ．13 C ．41π- D ．42π- 【答案】C【解析】令圆的半径为1，则()22'41SPSππππ--===-，故选C。
山东省2019届高三4月高考模拟训练数学(理)试卷附答案解析
山东省2019年高三4月模拟训练数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】分析：根据不等式，求解出集合，再利用集合的交集运算，即可求解.详解：由题意或，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的交集运算，其中正确的求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2.若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A.的虚部为B.C.为纯虚数D.的共轭复数为【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案 【详解】∵z ，∴z 的虚部为﹣1，|z |，z 2＝（1﹣i ）2＝﹣2i 为纯虚数，z 的共轭复数为1+i ．，故选：AC ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.已知函数 ，则（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先计算出的值，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故选B【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，由内向外逐步代入即可求出结果，属于基础题型.4. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由图形知，无信号的区域面积，所以由几何概型知，所求事件概率，故选A．考点：几何概型．【此处有视频，请去附件查看】5.如图，在中，是边上的高，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，•（）••；⊥；•||•||cos∠BAD＝||•sin30°•||•cos60°；从而求得．【详解】•（）•••＝||•||cos∠BAD＝||•sin30°•||•cos60°＝4×44；故选：C．【点睛】本题考查了向量的数量积的运算，同时考查了线性运算，属于中档题．6.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月份最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了折线图（如图）.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A. 最低气温低于的月份有个B.月份的最高气温不低于月份的最高气温C. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在月份D. 每月份最低气温与当月的最高气温两变量为正相关【答案】A【解析】【分析】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得最低气温低于0℃的月份有3个．【详解】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温低于0℃的月份有3个，故A错误．在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温与最高气温为正相关，故D正确；故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7.如图正方体，点为线段的中点，现用一个过点的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，然后判断侧视图即可．【详解】上半部分的几何体如图：由此几何体可知，所得的侧视图为故选：B．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（）A.尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式和前项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果.【详解】从冬至起，日影长依次记为，根据题意，有，根据等差数列的性质，有，而，设其公差为，则有，解得，所以冬至的日影子长为尺，故选A.【点睛】该题考查的是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前项和的有关量的计算，属于简单题目.9.已知函数，当时，取得最小值，则函数的图像为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求.【详解】∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4x+15≥25＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，∴a＝2，b＝1，,排除BC.此时g（x）＝2|x+1|，此函数可以看成函数y的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选：A．【点睛】本题主要考察了基本不等式在求解函数最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键。
精品解析：【全国百强校】山东省实验中学2019届高三4月上旬质量检测数学(理)试题(解析版)
数学（理科）试卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求解出两个集合，根据交集定义求解出结果.【详解】因为所以本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.已知复数z满足，则复数z的虚部为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则求出，由此得到虚部.【详解】复数的虚部为本题正确选项：【点睛】本题考查复数的运算及复数的基本概念，属于基础题.3.设等差数列的前n项和为，若A. 8B. 18C.D. 14【答案】D【解析】【分析】利用和表示出已知条件，解出和，利用求出结果.【详解】因为，且所以，解得所以本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.4.已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的面积，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【详解】解：在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，则△ABC为直角三角形，且∠B为直角。
2019年山东省高考模拟考试数学试题(理科)
该截面的面积是
（）
A．
B．2
C． 3
D． 2 3
5．已知条件甲：函数 f (x) a x (其中 a 0且 a 1) 在其定义域内是减函数，条件乙：
1 log a 2 0，则条件甲是条件乙的
A ．充分而不必要的条件 C．充要条件
B．必要而不充分的条件 D ．既不充分也不必要条件
（）
6 ．若直线 l 1 : y 2 (k 1)x和直线 l 2关于直线 y x 1 对称，那么直线 l2 恒过定点
bca
A ．都不大于 2
B．都不小于 2
C．至少有一个不大于 2
D．至少有一个不小于 2
（）
11．F1、 F2 分别是双曲线
x2
2
y2
2
1的左、右焦点， A 是其右顶点，过 F2 作 x 轴的垂线与
ab
双曲线的一个交点为
P，G 是 PF1F2的重心 , 若GA F1F2
0 ，则双曲线的离心率是
（）
A．2
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 P { x | x 2 | 1, x R}, Q { x | x N }, 则 P Q 等于
（）
A ． [1， 3] 2．在复平面内，复数
B ．{1 ， 2}
1 i 2009 (1 i ) 2 对应的点位于
B． 2
C． 3
D． 3
12．已知函数 y f ( x) 的定义域为 R，当 x 0时， f (x) 1，且对任意的实数 x, y R ，
等式 f ( x) f ( y)
f (x y) 成立，若数列 { an} 满足 a1
山东师范大学附属中学2019届高三第四次模拟数学(理)试题(解析版)
山东师范大学附属中学2019届高三第四次模拟数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=lg(x+2)}，B={x|x<3}，则A∩B=()A. (−2,3)B. (0,3)C. (−3,0)D. (−3,−2)【答案】A【解析】解：集合A={x|y=lg(x+2)}=(−2,+∞)，B={x|x<3}=(−∞,3)，则A∩B=(−2,3)，故选：A．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.设复数z=−1+i(i是虚数单位)，则1+z1−z=()A. 15+25i B. −15+25i C. 15−25i D. −15−25i【答案】B【解析】解：∵z=−1+i，∴1+z1−z =1−1+i1−(−1+i)=i2−i=i(2+i)(2+i)(2−i)=−15+25i．故选：B．把z=−1+i代入1+z1−z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是()A. ∃x∈R，x2+x≤1B. ∀x∈R，x2+x≤1C. ∃x∈R，x2+x<1D. ∀x∈R，x2+x<1【答案】C【解析】解：全称命题的否定为特称命题，命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是∃x∈R，x2+x<1，故选：C．根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案本题考查了命题的否定，属于基础题．4.在等差数列{a n}中，a8=12a10+1，则数列{a n}的前11项和S11=()A. 8B. 16C. 22D. 44【答案】C【解析】解：∵在等差数列{a n }中，a 8=12a 10+1， ∴a 1+7d =12(a 1+9d)+1，整理得a 1+5d =2， ∴数列{a n }的前11项和： S 11=112(a 1+a 11)=11(a 1+5d)=22．故选：C ．利用等差数列通项公式推导出a 1+5d =2，由此能求出数列{a n }的前11项和．本题考查数列的前11项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5. 在△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60∘，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( )A. 1B. 12C. 13 D. 23【答案】D【解析】解：在△ABD 中，BD =12AB =1 又BC =3 所以BD =13BC∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC⃗⃗⃗⃗⃗ ∵O 为AD 的中点∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BC⃗⃗⃗⃗⃗ ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴λ=12,μ=16∴λ+μ=23故选：D ．通过解直角三角形得到BD =13BC ，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出AD⃗⃗⃗⃗⃗ 利用向量共线的充要条件表示出 AO⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据平面向量就不定理求出λ，μ值． 本题考查解三角形、向量的三角形法则、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理．6. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为×1×1=24×12由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为√13，对角线长为2，故棱锥的高为√(√13)2−22=3×2×3=2此棱锥的体积为13故选：B．由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，×底面积×高.三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，其公式为13三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．7.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log3(x+1)，则f[f(−8)]=()A. 2B. 1C. −1D. −2【答案】C【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)=log3(x+1)，则f(8)=log39=2，又由函数为奇函数，则f(−8)=−f(8)=−2，f[f(−8)]=f(−2)=−f(2)=−log3(2+1)=−1，故选：C．根据题意，由函数的解析式可得f(8)的值，结合函数的奇偶性可得f(−8)的值，则有f[f(−8)]=f(−2)=−f(2)，结合函数的解析式计算可得答案．本题考查函数的奇偶性与函数值的计算，关键掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．8. 定义运算：∣∣∣a 1a 2a 3a 4∣∣∣=a 1a 4−a 2a 3，将函数f(x)=∣∣∣√3sinωx 1cosωx ∣∣∣(ω>0)的图象向左平移2π3个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A. 14B. 54 C. 74 D. 34【答案】B【解析】解：函数f(x)=∣∣∣√3sinωx 1cosωx ∣∣∣=√3cosωx −sinωx =2cos(ωx +π6)(ω>0)， f(x)的图象向左平移2π3个单位，所得图象对应的函数为 y =2cos[ω(x +2π3)+π6]=2cos(ωx +2ωπ3+π6)；又函数y 为偶函数， ∴2ωπ3+π6=kπ，k ∈Z ，解得ω=3k 2−312，k ∈Z ；当k =1时，ω取得最小值是54． 故选：B ．化函数f(x)为余弦型函数，写出f(x)图象向左平移2π3个单位后对应的函数y ，由函数y 为偶函数，求出ω的最小值．本题考查了三角函数的化简与图象平移的应用问题，是基础题．9. 已知三棱锥S −ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且AB =SA =SB =SC =2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A. 83πB. 4√33π C. 43πD. 163π【答案】D【解析】解：如图所示：三棱锥S −ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且AB =SA =SB =SC =2， 则：SD =√3， 设外接球的半径为R ，则：在△BOD中，利用勾股定理：(√3−R)2=12+R2，解得：R=2√3所以：S=4π⋅R2=4π⋅43=16π3．故选：D．首先确定外接球的球心，进一步确定球的半径，最后求出球的表面积．本题考查的知识要点：三棱锥与外接球的关系，球的体积公式的应用．10.函数f(x)=sinx⋅ln|x|的图象大致是()A. B.C. D.【答案】A【解析】解：f(−x)=sin(−x)ln|−x|=−sinxln|x|=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，∴函数f(x)的图象关于原点对称，故排除B，C，当x→+∞时，−1≤sinx≤1，ln|x|→+∞，∴f(x)单调性是增减交替出现的，故排除，D，故选：A．先根据函数的奇偶性，可排除B，C，根据函数值的符号即可排除D．本题考查了函数图象的识别，根据根据函数值的符号即可判断，属于基础题．11.已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|>2，则A点到原点的距离为()A. 3B. 4√2C. 4D. 4√3【答案】B【解析】解：设点A的坐标为(x1,y1)，抛物线y2=4x的准线方程为x=−1，根据抛物线的定义，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，∵点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，∴x1+1|y1|=54，∵y12=4x1，∴解得x 1=14或x 1=4， ∵|AF|>2， ∴x 1=4，∴A 点到原点的距离为√16+16=4√2， 故选：B ．设点A 的坐标为(x 1,y 1)，求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程关系进行求解即可． 本题主要考查抛物线性质和定义的应用，利用抛物线的定义建立方程关系是解决本题的关键．12. 已知直线x +y −k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−2，那么k 的取值范围是( )A. (√3,+∞)B. [√2,2 √2)C. [√2,+∞)D. [√3,2 √2)【答案】B【解析】解：根据题意，圆x 2+y 2=4的圆心为(0,0)，半径r =2，设圆心到直线x +y −k =0的距离为d ； 若直线x +y −k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A ，B ，则d =√1+1=√2<2，则有k <2√2；设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角即∠OAB =θ， 若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−2，即|OA|×|OB|×cosθ≥−2，变形可得cosθ≥−12，则θ≤2π3，当θ=2π3时，d =1，若θ≤2π3，则d =√2≥1，解可得k ≥√2，则k 的取值范围为[√2,2√2)； 故选：B ．根据题意，设圆心到直线x +y −k =0的距离为d ；由直线与圆相交的性质可得d =√1+1=√2<2，则有k <2√2；设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角即∠OAB =θ，由数量积的计算公式可得|OA|×|OB|×cosθ≥−2，变形可得cosθ≥−12，则θ≤2π3，结合直线与圆的位置关系分析可得d =√2≥1，解可得k ≥√2，综合可得答案．本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2=4，则S6S 4=______．【答案】134【解析】解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若S4S 2=4，则S 4=S 2+q 2S 2=4S 2，解可得q 2=3， 则S 6=S 2+q 2S 4=4S 2+9S 2=13S 2，则S6S 4=13S 24S 2=134；故答案为：134．根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列前n 项和的性质可得S 4=S 2+q 2S 2=4S 2，解可得q 2=3，进而可得S 6=S 2+q 2S 4=4S 2+9S 2=13S 2，相比即可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的前n 项和公式，属于基础题．14. 设实数x 、y 满足约束条件，{y ≤xx +y ≤y ≥−11，则z =3x +y 的最大值是______．【答案】5【解析】解：由约束条件画出可行域如图：目标函数z =3x +y 可化为：y =−3x +z 得到一簇斜率为−3，截距为z 的平行线 要求z 的最大值，须满足截距最大 ∴当目标函数过点C 时截距最大 又{y =−1x+y=1∴x =2，y =−1 ∴点C 的坐标为(2,−1) ∴z 的最大值为：3×2−1=5 故答案为：5先根据约束条件画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成求截距的最值问题，找到最优解代入求值即可本题考查线性规划，要求可行域要画准确，还需特别注意目标函数的斜率与边界直线的斜率的大小关系，即要注意目标函数与边界直线的倾斜程度.属简单题15. 若正数x ，y 满足x +5y =3xy ，则5x +y 的最小值是______． 【答案】12【解析】解：正数x ，y 满足x +5y =3xy ，则1y +5x =3， ∴5x +y =13(5x +y)(1y +5x )=13(25+1+5x y+5yx)≥13(26+2√5x y ⋅5yx)=12，当且仅当x =y =2时取等号， 故5x +y 的最小值是12，故答案为：12利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式及其应用.属基础题．16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>b>0)右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥FB，设∠ABF=θ，且θ∈(π12,π4)，则双曲线C离心率的取值范围是______．【答案】(√2,+∞)【解析】解：设双曲线的左焦点为，连接，，AF⊥FB，可得四边形为矩形，设|AF|=m，|BF|=n，即有，且m2+n2=4c2，n−m=2a，tanθ=mn，e2=c2a2=4c24a2=m2+n2m2−2mn+n2=11−2mnm2+n2=11−2mn+nm=11−2tanθ+1tanθ，由θ∈(π12,π4)，可得t=tanθ∈(2−√3,1)，则t+1t ∈(2,4)，可得2t+1t∈(12,1)，即有1−2t+1t∈(0,12)，则11−2tanθ+1tanθ∈(2,+∞)，即有e∈(√2,+∞)．故答案为：(√2,+∞)．设双曲线的左焦点为，连接，，AF⊥FB，可得四边形为矩形，运用勾股定理和双曲线的定义，结合对勾函数的单调性，计算可得所求范围．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的范围，注意运用勾股定理和对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知m⃗⃗⃗ =(√3sinx,cosx),n⃗=(cosx,cosx),x∈R,设f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗．(I)求f(x)的解析式及单调递增区间；(II)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，b+c=2，f(A)=1，求△ABC的面积．【答案】解：(Ⅰ)知m⃗⃗⃗ =(√3sinx,cosx),n⃗=(cosx,cosx),x∈R,设f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗．∴f(x)=√3sinx⋅cosx+cos2x=√32sin2x+1+cos2x2=sin(2x+π6)+12．∴f(x)的解析式：f(x)=sin(2x+π6)+12．令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ⇒−π3+kπ≤x≤π6+kπ,(k∈Z)∴f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ] (k∈Z)(Ⅱ)由f(A)=sin(2A+π6)+12=1⇒sin(2A+π6)=12，又∵A∈(0,π)，∴2A+π6∈(π6,13π6)∴2A+π6=5π6⇒A=π3由余弦定理，可得a2=b2+c2−2bc⋅cosA=(b+c)2−2bc⋅(1+cosA)∴bc=1，∴S△ABC=12bc⋅sinA=√34．【解析】(I)根据f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗，根据向量乘积的运算，可得f(x)的解析式，化简后.将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；(II)根据f(A)=1，求解A的大小.利用余弦定理求解bc的值，可得△ABC的面积．本题考查了向量乘积的运算，正余弦函数的运用，三角函数的图象和性质，考查了计算能力，属于中档题．18.数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=S n+a n+2，a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b na n=(√2)1+a n，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：(1)∵S n+1=S n+a n+2，∴a n+1=S n+1−S n=a n+2∴数列{a n}是公差为2的等差数列；又a1，a2，a5成等比数列，∴a1⋅(a1+4d)=(a1+d)2⇒a1⋅(a1+8)=(a1+2)2∴a1=1，∴a n=2n−1(n∈N∗)(2)由(1)可得：bn=(2n−1)⋅√22n=(2n−1)⋅2n∴T n=b1+b2+b3+⋯+b n−1+b n=1⋅21+3⋅22+5⋅23+⋯+(2n−3)⋅2n−1+(2n−1)⋅2n∴2T n=1⋅22+3⋅23+5⋅24+⋯+(2n−3)⋅2n+(2n−1)⋅2n+1错位相减得：−T n=2+2(22+23+⋯+2n)−(2n−1)⋅2n+1=2+2×4(1−2n−1)1−2−(2n−1)⋅2n+1=2+2n+2−8−(2n−1)⋅2n+1=−6−(2n−3)⋅2n+1∴T n=(2n−3)⋅2n+1+6．【解析】(1)利用数列的递推关系式推出a n+1=a n+2，得到数列是等差数列，然后求解通项公式；(2)利用递推关系式，求出数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，等差数列的判断，数列求和的方法的应用，考查计算能力．19. 四边形ABCD 是菱形，ACEF 是矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，AB =2AF =2，∠BAD =60∘，G 是BE的中点．(Ⅰ)证明：CG//平面BDF(Ⅱ)求二面角E −BF −D 的余弦值．【答案】(I) 证法一：设AC ∩BD =O ，BF 的中点为H ，因为G 是BE 的中点， GH//EF//AC,GH =12AC =OC ，∴OCGH 是平行四边形∴CG//OH ，CG ⊄平面BDF ， OH ⊂平面BDF ， ∴CG//平面BDF证法二：因为G 是BE 的中点，2CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CG//DF ，∵CG ⊄平面BDF ，DF ⊂平面BDF ， ∴CG//平面BDF(II)设EF 的中点为N ，ACEF 是矩形，ON ⊥AC ，平面ACEF ⊥平面ABCD ， ∴ON ⊥面ABCD ∴ON ⊥AC ，ON ⊥BD 四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为Y 轴，ON 所在直线为Z 轴 建立空间直角坐标系， AB =2，AF =1，∠BAD =60∘，则DB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),BF ⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3,1),EF ⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√3,0) 平面BEF 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面BDF 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗ =0⇒{−2√3y 1=0−x 1−√3y 1+z 1=0令z 1=1，则n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)， 由{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2x 2=0−x 2−√3y 2+z 2=0⇒n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3) 设二面角 E −BF −D 的大小为θ则cosθ=|cos <n 1,⃗⃗⃗⃗⃗ n 2⃗⃗⃗⃗ >|=|√3√2×2|=√64， 则二面角E −BF −D 的余弦值是√64． 【解析】(Ⅰ)根据线面平行的判定定理或者面面平行的性质定理即可证明：CG//平面BDF(Ⅱ)建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角E −BF −D 的余弦值．本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解，利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理以及建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角的关键.考查学生的运算和推理能力．20. 如图，设椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，长轴的右端点与抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 重合，且椭圆C 1的离心率是√32． (1)求椭圆C 1的标准方程；(2)过F 作直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆C 1于另一点C ，求△ABC 面积的最小值，以及取到最小值时直线l 的方程．【答案】解：(1)∵椭圆C 1：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，长轴的右端点与抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 重合，∴a =2， 又∵椭圆C 1的离心率是√32.∴c =√3，⇒b =1，∴椭圆C 1的标准方程：x 24+y 2=1． (2)过点F(2,0)的直线l 的方程设为：x =my +2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)联立{y 2=8x x=my+2得y 2−8my −16=0．y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−16，∴|AB|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8(1+m )2．过F 且与直线l 垂直的直线设为：y =−m(x −2)联立{y =−m(x −2)x 24+y 2=1 得(1+4m 2)x 2−16m 2x +16m 2−4=0， x C +2=16m 21+4m 2，⇒x C =2(4m 2−1)4m 2+1． ∴|CF|=√1+m 2|x c −x F |=44m 2+1⋅√1+m 2．△ABC 面积s =12|AB|⋅|CF|=16(1+m 2)4m 2+1⋅√1+m 2． 令√1+m 2=t(t ≥1)，则s =f(t)=16t 34t 2−3，f′(t)=16(4t 4−9t 2)(4t 2−3)2， 令f′(t)=0，则t 2=94，即1+m 2=94时，△ABC 面积最小．即当m =±√52时，△ABC 面积的最小值为9，此时直线l 的方程为：x =±√52y +2． 【解析】(1)由已知可得a ，又由椭圆C 1的离心率得c ，b =1即可．(2)过点F(2,0)的直线l 的方程设为：x =my +2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)联立{y 2=8x x=my+2得y 2−8my −16=0.|AB|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2，同理得|CF|=√1+m 2|x c −x F |=44m 2+1⋅√1+m 2．△ABC 面积s =12|AB|⋅|CF|=16(1+m 2)4m 2+1⋅√1+m 2．令√1+m 2=t(t ≥1)，则s =f(t)=16t 34t 2−3，利用导数求最值即可． 本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．21. 已知函数f(x)=x 2+ax +1，g(x)=e x (其中e 为自然对数的底数)．(Ⅰ)若a =1，求函数y =f(x)⋅g(x)在区间[−2,0]上的最大值；(Ⅱ)若a =−1，关于x 的方程f(x)=k ⋅g(x)有且仅有一个根，求实数k 的取值范围；(Ⅲ)若对任意的x 1，x 2∈[0,2]，x 1≠x 2，不等式|f(x 1)−f(x 2)|<|g(x 1)−g(x 2)|均成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)a =1时，y =(x 2+x +1)e x ，y′=(x +1)(x +2)e x ，令y′>0，解得：x >−1或x <−2，令y′<0，解得：−2<x <−1，∴函数y =f(x)⋅g(x)在[−2,−1]递减，在[−1,0]递增，而x =−2时，y =3e 2，x =0时，y =1，故函数在[−2,0]上的最大值是1；(Ⅱ)由题意得：k =f(x)g(x)=x 2−x+1e x 有且只有一个根， 令h(x)=x 2−x+1e x ，则h′(x)=−(x−1)(x−2)e x， 故h(x)在(−∞,1)上单调递减，(1,2)上单调递增，(2,+∞)上单调递减，所以h(x)极大=h(2)=3e 2，h(x)极小=h(1)=1e ，因为h(x)在(2,+∞)单调递减，且函数值恒为正，又当x →−∞时，h(x)→+∞，所以当k >3e 2或0<k <1e 时，k =h(x)有且只有一个根．(Ⅲ)设x 1<x 2，因为g(x)=e x 在[0,2]单调递增，故原不等式等价于|f(x 1)−f(x 2)|<g(x 2)−g(x 1)在x 1、x 2∈[0,2]，且x 1<x 2恒成立，所以g(x 1)−g(x 2)<f(x 1)−f(x 2)<g(x 2)−g(x 1)在x 1、x 2∈[0,2]，且x 1<x 2恒成立，即{f(x 1)+g(x 1)<g(x 2)+f(x 2)g(x 1)−f(x 1)<g(x 2)−f(x 2)，在x 1、x 2∈[0,2]，且x 1<x 2恒成立， 则函数F(x)=g(x)−f(x)和G(x)=f(x)+g(x)都在[0,2]单调递增， 则有，在[0,2]恒成立， 当a ≥−(e x +2x)恒成立时，因为−(e x +2x)在[0,2]单调递减，所以−(e x +2x)的最大值为−1，所以a ≥−1；当a ≤e x −2x 恒成立时，因为e x −2x 在[0,ln2]单调递减，在[ln2,2]单调递增，所以e x −2x 的最小值为2−2ln2，所以a ≤2−2ln2，综上：−1≤a ≤2−2ln2．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；(Ⅱ)若a =−1，关于x 的方程f(x)=k ⋅g(x)有且仅有一个根，即k =f(x)g(x)=x 2−x+1e x ，有且只有一个根，令h(x)=x 2−x+1e x ，可得h(x)极大=h(2)=3e 2，h(x)极小=h(1)=1e ，进而可得当k >3e 2或0<k <1e 时，k =h(x)有且只有一个根； (Ⅲ)设x 1<x 2，因为g(x)=e x 在[0,2]单调递增，故原不等式等价于|f(x 1)−f(x 2)|<g(x 2)−g(x 1)在x 1、x 2∈[0,2]，且x 1<x 2恒成立，当a ≥−(e x +2x)恒成立时，a ≥−1；当a ≤e x −2x 恒成立时，a ≤2−2ln2，综合讨论结果，可得实数a 的取值范围．本题考查的知识点是导数在最大值和最小值中的应用，利用导数分析函数的单调性，利用导数分析函数的极值，运算量大，综合性强，转化困难，属于难题．22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程为{x =1+t y =2+√3t(t 为参数) (1)写出直线L 的普通方程与Q 曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换{x′=x y′=12y 得到曲线C′，设M(x,y)为C′上任意一点，求x 2−√3xy +2y 2的最小值，并求相应的点M 的坐标．【答案】解：(1)∵直线l 的参数方程为{x =1+t y =2+√3t(t 为参数)， ∴消去参数t 得直线l 的普通方程为√3x −y −√3+2=0，∵ρ=2，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=4；(2)∵曲线C ：x 2+y 2=4经过伸缩变换{x ′=x y ′=12y 得到曲线，∴C′：x 24+y 2=1， 设M(2cosθ,sinθ)则x =2cosθ，y =sinθ，∴x 2−√3xy +2y 2=3+2cos(2θ+π3)，∴当θ=π3+kπ，k ∈Z 时，即M 为(1,√32)或(−1,−√32)时x 2−√3xy +2y 2的最小值为1．【解析】(1)直接消去参数t得直线l的普通方程，根据ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；(2)先根据伸缩变换得到曲线C′的方程，然后设M(2cosθ,sinθ)，则x=2cosθ，y=sinθ代入x2−√3xy+2y2，根据三角函数的性质可求出所求．本题主要考查了极坐标方程，参数方程化直角坐标方程，以及椭圆的参数方程在求最值上的应用和三角函数求出最值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．23.已知实数a>0，b>0，函数f(x)=|x−a|−|x+b|的最大值为3．(I)求a+b的值；(Ⅱ)设函数g(x)=−x2−ax−b，若对于∀x≥a均有g(x)<f(x)，求a的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)f(x)=|x−a|−|x+b|≤|x−a−x−b|=|a+b|=3，∵a>0，b>0，∴a+b=3；(Ⅱ)由(Ⅰ)得，0<a<3，0<b<3，∴∀x≥a，x−a≥0，x+b>0，此时，f(x)=x−a−x−b=−3，若对于∀x≥a均有g(x)<f(x)，即x2+ax+b−3>0在[a,+∞)恒成立，即x2+ax−a>0在[a,+∞)恒成立，<0，对称轴x=−a2故只需a2+a2−a>0即可，，解得：a>12<a<3．故12【解析】(Ⅰ)根据绝对值的性质求出f(x)的最大值是a+b，从而求出a+b的值即可；(Ⅱ)根据a，b的范围，问题转化为x2+ax−a>0在[a,+∞)恒成立，结合函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了绝对值的性质，考查绝对值不等式的解法以及函数恒成立问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．。
山东省实验中学等四校2019届高三数学联合考试试卷文(含解析)
山东省实验中学等四校2019届高三数学联合考试试卷文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.）【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简【详解】C．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.Z(M)表示集合M的子集个数，设集合A. 3B. 4C. 5D. 7【答案】B【解析】【分析】求出集合A,B，取交集得到A∩B，从而得出Z（A∩B）．【详解】；的子集有：∴Z（A∩B）＝4．故选：B【点睛】本题考查集合的交集运算，考查集合的子集个数问题以及解对数不等式和分式不等式，属于基础题.3.过椭圆C a>b>0)的上顶点与右焦点的直线方程为x+2y－4=0，则椭圆C的标准方程为D.【答案】A【解析】【分析】通过直线方程可得椭圆的上，右顶点坐标，从而可确定椭圆方程.【详解】直线方程为令x=0,则y=2,得到椭圆的上顶点坐标为（0,2），即b=2,令y=0,则x=4,得到椭圆的右顶点坐标为（4,0），即a=4,故选：A【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，属于简单题.4.A. c<a<bB. c<b<aC. a<c<bD. b<c<a 【答案】A【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】c＝lna＝ln＜ln1＝0，∴a，b，c的大小关系为c＜a＜b．故选：A．【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的对称性及特殊值即可作出判断.【详解】，故为奇函数，排除C，D选项；排除B选项，故选：A【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6.与圆）。
山东省实验中学2019届高三数学4月上旬质量检测试卷理(含解析).doc
山东省实验中学2019届高三数学4月上旬质量检测试卷理（含解析）山东省实验中学2019届高三数学4月上旬质量检测试卷理（含解析）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设A. B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】分别求解出两个集合，根据交集定义求解出结果. 【详解】因为所以本题正确选项【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2.已知复数z满足，则复数z的虚部为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算法则求出，由此得到虚部. 【详解】复数的虚部为本题正确选项【点睛】本题考查复数的运算及复数的基本概念，属于基础题. 3.设等差数列的前n项和为，若 A. 8B. 18C. D. 14 【答案】D 【解析】【分析】利用和表示出已知条件，解出和，利用求出结果. 【详解】因为，且所以，解得所以本题正确选项【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题. 4.已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB5千米，BC12千米，AC13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的面积，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【详解】解在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，则△ABC为直角三角形，且∠B为直角。
则△ABC的面积S＝，若在三角形ABC内任取一点，则该点到三个定点A，B，C的距离不小于2，则该点位于阴影部分，则三个小扇形的圆心角转化为180°，半径为2，则对应的面积之和为S＝，则阴影部分的面积S＝，则对应的概率P＝＝＝，故选C．【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．5.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．若一个鳖臑的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为2的等腰直角三角形如图所示，则该鳖臑的表面积为 A. 8B. C. D. 4十【答案】C 【解析】【分析】根据三视图还原出直观图，可得到四面体，分别求解出各个面的面积，加和得到表面积. 【详解】根据三视图可以画出该几何体的直观图为如图所示的四面体垂直于等腰直角三角形所在平面，将其放在正方体中易得该鳖臑的表面积为本题正确选项【点睛】本题考查三视图还原直观图、椎体表面积的求解，属于基础题. 6.在平行四边形ABCD中，，若E 为线段AB中点，则A. B. 1C. D. 2 【答案】C 【解析】【分析】根据向量的线性运算将所求向量进行拆解，得到，然后利用数量积的运算律，求解得到结果. 【详解】因为平行四边形中，，，，为线段中点所以本题正确选项【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积运算，关键在于能够将所求向量进行拆解，转化为已知向量的形式. 7.在侧棱长为的正三棱锥中，侧棱OA，OB，OC两两垂直，现有一小球P在该几何体内，则小球P最大的半径为A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】原题即为求正三棱锥内切球的半径，利用体积桥的方式建立等量关系，解方程求出内切球半径. 【详解】当小球与三个侧面，，及底面都相切时，小球的体积最大此时小球的半径最大，即该小球为正三棱锥的内切球设其半径为由题可知因此本题正确选项【点睛】本题考查三棱锥的内切球问题，求解三棱锥的内切球半径通常采用体积桥的方式，利用几何体体积和表面积，得到. 8.设抛物线C的焦点为F1，0，过点P1，1的直线l与抛物线C交于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，则A. 2B. C. 4D. 5 【答案】B 【解析】【分析】由抛物线焦点坐标求得抛物线方程，设出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，利用是中点列方程，求得直线的斜率.由此求得直线的方程，利用弦长公式求得弦长. 【详解】由于焦点，故，抛物线方程为.设，由于直线的斜率存在且不为零，设，由，消去，得，由为线段的中点可知，，所以，所以直线的方程为，，所以.故选B. 【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线相交所得弦长的求法，属于中档题. 9.记函数在区间上单调递减时实数a的取值集合为A；不等式恒成立时实数的取值集合为B，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用二次函数对称轴求出集合，利用基本不等式求解出集合，从而得到，得到结论. 【详解】函数在区间上单调递减，即不等式恒成立等价于又当时，当且仅当时，即时等号成立，符合条件所以，即“”是“”的必要不充分条件本题正确选项【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断、恒成立问题的求解，解题关键在于能够将恒成立问题变为最值得求解，利用基本不等式求出最值，从而得到结果.10.已知函数的最小正周期为，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，且，则的取值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】通过最小正周期得到，再通过平移得到解析式，根据是的对称轴可得，再根据的范围确定结果. 【详解】函数的最小正周期为将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象又为函数图象的一条对称轴，，即，又本题正确选项【点睛】本题考查的图象与性质，关键在于能够明确的对称轴为. 11.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为F，点B的坐标为0，b，若直线BF与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为 A.B. C. D. 2 【答案】B 【解析】【分析】将直线与双曲线渐近线联立，可求得的值；利用可得，将的值代入，可得，从而求得离心率. 【详解】由题可知，，则直线方程为又双曲线渐近线方程为由可解得或由可知，由题可知，，则化简得，所以【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键在于能够通过向量的关系得到的齐次方程，通过方程求得离心率. 12.已知的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】将已知等式变为，展开可求得，利用两角和差公式可得，利用基本不等式求得的范围，从而求得的最小值. 【详解】因为，即则有即那么当即时等号成立因此，即又，本题正确选项【点睛】本题考查两角和差正弦公式、正切公式的应用，基本不等式求最值问题，关键在于能够将已知角进行拆解，从而得到；求解最值问题时，常用方法是构造出基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.二、填空题本大题共4小题，每小题5分. 13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，若，则A___________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理得到∠B，再由内角和定理得到结果. 【详解】∵，根据正弦定理可得，即解得，又，故B为锐角，故∴故答案为【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题. 14.已知直线与圆相交的弦长，则__________．【答案】【解析】【分析】利用得到关于的方程，解方程得到结果. 【详解】设圆心到直线的距离为则又解得本题正确结果【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题，关键是明确截得的弦长等于，属于基础题. 15.某同学手中有4张不同的“猪年画”，现要将其投放到A、B、C三个不同号的箱子里，则每个箱子都不空的概率为_________．【答案】【解析】【分析】首先确定总体的方法总数，再利用平均分组的方式求得每个箱子不空的方法数量，利用古典概型公式求得结果. 【详解】每张“猪年画”的投放方法有种张不同的“猪年画”投放的方法总数为又由于每个箱子不空，其组合为型所以投放方法有本题正确结果【点睛】本题考查利用排列组合解决古典概型的问题，关键是在解决平均分组问题时，要注意平均分了组，需要除以来去除重复. 16.已知，若函数恰有两个不相等的零点，则实数m的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】通过分类讨论，得到的解析式；将问题转化为与图象有两个交点的问题；分别判断出在每一段上的单调性和值域，结合函数图象得到的取值范围. 【详解】因为，所以因为函数恰有两个不相等的零点所以直线与函数的图象共有个不同的公共点当，单调递减，所以当时，恒成立单调递减所以当时，单调递增，所以数形结合可知，当且仅当时，直线与函数的图象有个不同的公共点，即函数恰有两个不相等的零点本题正确结果【点睛】本题考查利用函数零点个数求解参数范围问题，关键在于能够将零点问题转化为两个函数的交点个数问题，然后根据函数的单调性得到函数图象，采用数形结合的方式求得需要的结果.三、解答题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.设数列的前n项和为，若．1求出数列的通项公式；2已知，数列的前n项和记为，证明．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用，列出后与作差，可得，从而得到为等比数列，利用求出后，可得到通项公式；（2）写出的通项公式，采用裂项相消的方法可得，可知时，最小且，从而证得结论. 【详解】（1）因为，所以两式相减可得，即在中，令可得所以数列是首项为，公比为的等比数列（2）所以所以是一个单调递增的数列当时，当时，所以【点睛】本题考查利用递推关系求解数列通项公式、裂项相消法求和，关键在于能够利用得到为等比数列；在进行数列求和时，要根据通项公式所满足的形式选取合适的方法，对于分式且分母为乘积形式的通项公式，求和时多选取裂项相消的方法. 18.如图所示，底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，AB2，PA4，PBPD，AC与BD相交于点O，E为PD中点．1求证EO//平面PBC；2设线段BC上点F满足CF2BF，求锐二面角E－OF－C的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位线证得,进而证得平面.（2）建立空间直角坐标系后，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值. 【详解】（1）因为为与交点，且是正方形，所以为中点，因为为的中点，所以，平面,平面，所以平面.（2）因为，所以,所以,所以平面，因为是正方形，所以，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则,.，设平面的法向量为，则，令，则，所以.因为平面，所以平面的法向量可以取，所以.所以锐二面角的余弦值为. 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题. 19.为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表1根据上述统计数据填下面的22列联表，并判断是否有95％的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；2为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众假设年龄均在20周岁至80周岁内，给予适当的奖励．若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为，试求随机变量的分布列和数学期望．参考数据参考公式．【答案】（1）22列联表见解析，无95％的把握（2）期望为，分布列见解析【解析】【分析】（1）根据题目所给数据填写好联表，计算的值，由此判断没有把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异.（2）利用二项分布计算公式，计算出分布列和数学期望. 【详解】（1）列联表如下图所示，故没有把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异.（2）依题意，的所有可能取值为，且观众支持“新农村建设”的概率为，且，所以,,,,,所以的分布列为所以的数学期望为. 【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查二项分布有关计算，属于中档题. 20.已知函数．1求函数的单调区间及极值；2设时，存在，使方程成立，求实数的最小值．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.函数有极大值且为，没有极小值.（2）【解析】【分析】（1）通过求导，得到导函数零点为，从而可根据导函数正负得到单调区间，并可得到极大值为，无极小值；（2）由最大值为且可将问题转化为有解；通过假设，求出的最小值，即为的最小值. 【详解】（1）由得令，则，解得当时，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为当时，函数有极大值，没有极小值（2）当时，由（1）知，函数在处有最大值又因为方程有解，必然存在，使，等价于方程有解，即在上有解记，，令，得当时，，单调递减当时，，单调递增所以当时，所以实数的最小值为【点睛】本题考查利用导数求解函数单调区间和极值、能成立问题的求解.解题关键是能够将原题的能成立问题转化为方程有解的问题，从而进一步转化为函数最值问题的求解，对于学生转化与化归思想的应用要求较高. 21.已知椭圆的短轴长为，且离心率为，圆．1求椭圆C的方程，2点P在圆D上，F为椭圆右焦点，线段PF与椭圆C相交于Q，若，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据短轴长和离心率求解出，从而得到椭圆方程；（2）假设坐标，利用可得，代入圆中整理消元可得到关于的等式，则此方程在上必有解；将方程左侧看做二次函数，通过二次函数图像，讨论得出的取值范围. 【详解】（1）由题可知，又，解得椭圆的方程为（2）由（1）知圆，点坐标为设，，由可得，所以，由可得又，代入，消去，整理成关于的等式为，则此方程在上必须有解令则，，若，则（舍去）或若，则（舍去）或若在上有且仅有一实根则由得若在上有两实根（包括两相等实根）则解得综上可得的取值范围是【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、二次函数零点分布问题.解决此题的难点在于能够通过向量关系将问题转化为二次函数在特定区间内的根的个数的问题，即二次函数图象问题.讨论二次函数图象通常需讨论以下内容开口方向、对称轴位置、判别式、区间端点值符号. 22.在直角坐标系中，曲线C的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．1求曲线C的参数方程和直线的直角坐标方程；2若直线与轴和y轴分别交于A，B两点，P为曲线C上的动点，求△PAB面积的最大值．【答案】（1）（为参数），（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆参数方程形式和极坐标与直角坐标互化原则即可得到结果；（2）可求出，所以求解面积最大值只需求出点到直线距离的最大值；通过假设，利用点到直线距离公式得到，从而得到当时，最大，从而进一步求得所求最值. 【详解】（1）由，得的参数方程为（为参数）由，得直线的直角坐标方程为（2）在中分别令和可得，设曲线上点，则到距离，其中，当，所以面积的最大值为【点睛】本题考查椭圆参数方程、极坐标化直角坐标以及椭圆上的点到直线距离的最值问题求解，求解此类最值问题的关键是利用参数表示出椭圆上点的坐标，将问题转化为三角关系式的化简，利用三角函数的范围来进行求解.23.设不等式的解集为M．1求集合M；2已知，求证．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）通过零点分段的方式进行讨论，求得不等式的解集；（2）将问题转变为证明，由，可得，，从而证得所需的结论. 【详解】（1）原不等式等价于或或解得或所以原不等式的解集为（2）由（1）知，当时，，所以，从而可得【点睛】本题考查绝对值不等式的求解及证明.解绝对值不等式的常用方法为采用零点分段的方式去绝对值符号；证明绝对值不等式常采用平方的方法将问题进行转化.。