高一函数重难点突破
高一下学期数学教学的重点和难点有哪些？
高一下学期数学教学的重点和难点有哪些？高一下学期数学教学的重点和难点有哪些？随着时代的发展和社会的进步，数学已经成为现代社会中不可或缺的一门学科。
在高中的数学学习中，数学知识的掌握和应用是非常重要的。
本文探讨高一下学期数学教学的重点和难点有哪些。
一、数列与函数数列和函数作为高中数学的基础知识，在高一下学期的数学学习中占据着很重要的地位。
学生需要掌握数列和函数的概念、性质和应用，正确运用数学语言描述数列、函数的变化规律。
对于这一部分的学习，学生要注重练习，多进行数列和函数的变化研究，提高分析问题、解决问题的能力。
二、三角函数三角函数在高中数学中也是一个重要的知识点。
三角函数的定义、公式、性质以及图像变化规律需要学生进行深入研究，并且需要学生熟练地掌握三角函数的应用。
在学习过程中，学生可以将三角函数和几何图形、物理现象、天文学等相结合，了解三角函数在生活和科技中的应用。
三、向量向量是高一下学期数学学习的重点之一。
在向量的学习过程中，学生需要了解向量的概念、加减、数量积、向量积等基本操作和性质，并且要掌握向量在解决几何问题、力学问题中的应用。
此外，学生还需要掌握坐标系下向量的表示方法和计算方法。
四、导数与微分高一下学期数学学习的难点之一就是导数与微分。
学生需要掌握导数的定义和性质，掌握导数的计算方法和应用问题的解决方法。
此外，学生还需要掌握微分的概念和微分公式，并且熟练地运用微分来求极值、判定函数的单调性等。
五、空间解析几何空间解析几何是高一下学期数学学习的难点之一，也是难度较大的一部分知识点。
空间解析几何需要学生掌握三维空间坐标系的画法和坐标表示方法，并且了解几何图形的性质和特点，熟练地使用向量、点、直线、平面等解决空间解析几何相关的问题。
六、数学应用题高一下学期数学教学中的重点之一就是数学应用题。
数学应用题是将数学知识应用到生活和实际问题中进行解决的过程。
学生需要掌握正确分析问题的方法，运用所学数学知识切实解决实际问题，提高自己的数学应用能力。
高一上学期数学的重点、难点有哪些
高一上学期数学的重点、难点有哪些到这里，本文就结束了。
主要给大家介绍了新教材高一数学衔接时，需要注意的内容。
包括集合与简易逻辑、不等式、二次函数、函数的概念与性质、以及今天要说的指数函数与对数函数。
至于三角函数，一般来说如果在初中阶段没有提前学习，那么在暑假学到这里不太现实，所以我们不再赘述。
第四章指数函数与对数函数。
4.1指数指数运算并不是一个新的知识，在初中就学习过整数指数幂，在高中是将指数从整数扩充到分数，再扩充到实数。
需要注意的是将根式转化为分数指数幂再进行计算的方法，这在高一是一个考点。
整体来说，这一节不算重点。
4.2指数函数毋庸置疑，指数函数是本章的第一个重点、也是难点。
指数函数是高中新学习的一种函数，其本身的图像与性质都是考察的重点，尤其是图像与单调性的应用。
首先指数函数的定义就是一个规定性的概念，不符合这个规定标准的都不能称之为指数函数。
对于指数函数以及对数函数，在记忆其图像的时候，要抓住它的关键点——定点，关键线——渐近线，关键性质——单调性。
尤其是渐近线，同学们往往容易忽略，却很重要。
对于指数函数的性质，其单调性是核心知识，其判断标准是在解题时首先要考虑的——a是否大于1。
最好是先记图像，后记性质。
指数函数的题目大部分是与单调性以及其图像有关。
比如值域问题就是与单调性有关，与复合函数有关，其中使用到换元法，正是我在之前所说，换元是一种思想方法，并不是仅仅用来求解析式。
指数函数因为其图像的特征，经常与图像变换结合在一起，比如平移变换，翻折变换，在变换过程中要考虑渐进线。
就像前面一元二次函数、方程、不等式的关系一样，指数函数、方程与不等式也是一个比较重要的知识点，其中的基础是指数方程。
解指数方程需要对指数运算及其性质比较熟悉，有时还可以使用换元法。
在指数方程的基础上，指数不等式还需要掌握指数函数的单调性。
指数函数单调性是比较重要的内容，所以围绕它会有很多题型，比如复合函数单调性。
2022年初升高暑期数学精品讲义专题10 函数的三要素重难点突破(原卷版)
专题10 函数的三要素一、考情分析二、经验分享【重难点1．函数的定义域】当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③要求；y x =0x ≠④当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合；⑤已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；()f x [()]f g x ()g x x ⑥已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围；[()]f g x ()f x x ()g x ⑦由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求．名师提醒：（1）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．（2）已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围．这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．【重难点2．求函数值或函数的值域】（1）函数求值即用数值或字母代替表达式中的x ，而计算出对应的函数值的过程．注意所代入的数值或字母应满足函数的定义域要求．求函数值应遵循的原则：①已知的表达式求时，只需用a 替换表达式中的x ．()f x ()f a ②求的值应遵循由里往外的原则．()f f a ⎡⎤⎣⎦③用来替换表达式中x 的数a 必须是函数定义域内的值．（2）求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法．求值域时一定要注意定义域的影响．如函数的值域与函数223y x x =-+223,{|0y x x x x =-+∈≤的值域是不同的；3}x <③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x 仅出现在分母上，这样x 对函数的影响就比较清晰了；利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解．求新元的范围，要根据已知函数的定义域．【重难点3．函数解析式的求法】（1）已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数．（2）已知f （g （x ））=h （x ），求f （x ），常用的有两种方法：①换元法，即令t =g （x ），解出x ，代入h （x ）中，得到一个含t 的解析式，即为所求解析式；②配凑法，即从f （g （x ））的解析式中配凑出“g （x ）”，即用g （x ）来表示h （x ），然后将解析式中的g （x ）用x 代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意g （x ）的取值范围的限定．（3）已知f （x ）与f （g （x ））满足的关系式，要求f （x ）时，可用g （x ）代替两边所有的x ，得到关于f （x ）与f （g （x ））的方程组，消去f （g （x ））解出f （x ）即可．常见的有f （x ）与f （−x ），f （x ）与．1()f x （4）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定．三、题型分析（一）．函数的定义域考点1.具体函数的定义域例1．（1）、（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））设集合，，则{A x y =={}1,0,1,2B =-（ ）A B = A ．B ．C ．D ．{}1,0-{}0,1,2{}1,2{}1,0,1-（2）、（2022·广西·平桂高中高二阶段练习（理））函数的定义域为___________.()f x =【变式训练1-1】、（2021·广西崇左市·崇左高中高一开学考试（文））函数的定义域()11f x x =+-为（ ）A ．[)2,-+∞B ．[)()2,11,-⋃+∞C ．R D ．(],2-∞-【变式训练1-2】、（2022·全国·高三专题练习）函数__________．()f x =考点2.抽象函数的定义域例2、（1）、（2022·江苏·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域为(21)y f x =+[]1,2-(1)=-y f x _________.（2）、（2022·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）已知函数的定义域为，则函数()22f x -{}|1x x <的定义域为（ ）()211f x x --A ．B ．C ．D ．(,1)-∞(,1)-∞-()(),11,0-∞-- ()(),11,1-∞-- 【变式训练2-1】、（2021·上海市徐汇中学高一阶段练习）若函数的定义域为，则函数()f x []22-,的定义域是___________(21)f x -【变式训练2-2】、（2021·黑龙江大庆市·大庆中学高一开学考试）若函数的定义域为，则()y f x =[0,2]函数的定义域是__________．(2)()1f x g x x =-（二）．求函数值或函数的值域考点3.一次函数、二次函数的值域的问题例3、（2022·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知函数f (x )，，则函数的值域2263x x =-+[]12x ∈-，是（ ）A ．B ．C ．D ．3[112-3[ 112，）[]111-，3112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【变式训练3-1】、（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数的定义域和值213()22f x x x =-+域都是，则（ ）[1,]b b =A ．1B ．3C ．D ．1或33-例4、（2022·江西省定南中学高二阶段练习（文））函数的值域为2y x = （ ）A ．B ．C ．D ．15,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦15,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭15,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【变式训练4-1】、（2020·舒城育才学校高一月考）函数的值域是（ ）()f x x =+A ．B ．C ．D ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦[)2,+∞(],2-∞考点4.类“反比例”函数的值域的问题例5.(1)、（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习（理））函数值域是（ ）()211f x x =+A ．B ．C ．D ．(],1-∞[)1,+∞[)0,∞+(]0,1(2)、（2021·四川自贡·高一期中）函数的值域是（ ）2()1xf x x =+A ．B ．(),1-∞- ()1,+∞(),2-∞C ．D ．(),2-∞ ()2,+∞[)1,-+∞【变式训练5-1】、（2021·河南南阳·高一阶段练习）函数的值域为___________.21(),(2,1)(1,2)1x f x x x -=∈-- 【变式训练5-2】、（2021·浙江高二期末）已知函数，则函数的值域为（ ）2(),[2,6]1x f x x x +=∈-A ．B ．C ．D ．8,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦8,[4,)5⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦8,[4,)5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭8,45⎛⎫⎪⎝⎭考点5.“双勾”函数的值域问题例6、（2022·湖南娄底·高二学业考试）下列函数中，最小值为2的函数是（ ）A ．B ．()10y x x x=+<222y x x -=+C ．D ．()301y x x =+<<y =【变式训练6-1】．（2021·上海虹口区·高一期末）函数，的值域为__________．4()f x x x =+1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（三）．函数解析式的求法考点6.用换元法求函数的解析式例7．（1）、（2022·河南·临颍县第一高级中学高二阶段练习（文））已知，则()22143f x x +=+（ ）．()f x =A ．B ．C ．D ．224x x -+22x x+221x x --223x x ++（2）、（2022·山西运城·高二阶段练习）已知函数满足，则（ ）()f x 2(1)71f x x x -=--(2)f =A ．1B ．9C ．D ．1-13-【变式训练7-1】．（2020·广西南宁市东盟中学高一期中）已知是一次函数，满足()f x ，则（ ）．()3164f x x +=+()f x =A ．B ．C ．D ．64x +24x +223x -263x -【变式训练7-2】、（2022·江苏·高一）已知，则（ ）()14f x x +=-()0f f ⎡⎤=⎣⎦A ．B ．C ．D ．9-10-11-12-考点7.求一次、二次函数的的解析式例8、（1）、（2021·山东威海·高一期中）已知函数是一次函数，满足，则()f x (())1630f f x x =-__________．()f x =（2）、（2021·广东·珠海市华中师范大学（珠海）附属中学高一阶段练习）已知是一次函数，且()f x ，则解析式为___________．(1)32f x x +=+()f x ()f x =【变式训练8-1】、（2020·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一期中）若二次函数满足()f x ，.()()12f x f x x +-=()01f =(1)求的解析式；()f x (2)求在上的值域；()f x []0,2(3)若在上恒成立，求m 的取值范围.()2f x x m>+[]1,1-考点8.用消去法求函数的解析式（方程思想）例9．（2021·湖北·黄冈中学新兴分校高一期中）已知函数满足，则()f x ()2()23f x f x x +-=+___________.()f x =【变式训练9-1】、（2021·全国·高一课时练习）若，则______．()1324f x f xx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x =（四）．函数的综合应用例10、（2020·四川·广安二中高一期中）已知函数满足：()f x )13f x =+(1)求的解析式；()f x (2)判断函数在区间上的单调性，并证明．()()2f x x g x x +=[)2,+∞【变式训练10-1】、（2022·江苏·高一）已知函数.()f x =(1)若函数定义域为，求的取值范围；R a (2)若函数值域为，求的取值范围.[0,)+∞a。
高一数学知识点重点难点
高一数学知识点重点难点一、函数与方程函数是数学中的重要概念，高一数学课程中需要掌握函数的定义、函数图像的变换以及函数的性质等知识点。
对于平方函数、绝对值函数、一次函数等常见函数，需要熟练掌握其图像特征和性质，并能够应用到实际问题中去解答。
方程作为数学中的基本工具之一，是高一数学的难点之一。
高一数学课程中的方程主要涉及到一元二次方程、一次方程组和二元二次方程等。
特别是对于一元二次方程，需要重点掌握求根公式和判别式的运用，并能够运用到实际问题中解决。
二、几何与三角在几何的学习中，需要掌握几何基本性质、常见的几何公式以及几何图形之间的关系。
对于圆的相关知识，需要熟练掌握圆的基本性质和常见的定理，如切线定理、弦切角定理等。
三角学是高中数学中的重点难点，主要包括正弦定理、余弦定理、正切定理以及三角函数的相关性质等。
在解决实际问题时，需要能够灵活运用这些定理和公式。
三、概率与统计概率与统计是高一数学的另一难点。
概率主要涉及到事件的概率计算、事件之间的关系以及样本空间的构建等。
统计则需要掌握统计调查的方法和数据处理的技巧，包括频率统计、图表分析、平均数和标准差的计算等。
四、数列与逻辑数列是高一数学中的一个重要内容，需要理解数列的概念、数列的通项公式和前n项和的计算。
同时，需要熟练掌握等差数列和等比数列的性质以及其应用。
逻辑推理是高一数学的一个考察点，需要能够运用命题逻辑的方法进行推理和证明。
包括条件命题、充分必要条件、充要条件等概念的理解，并能够应用到相关问题中去解答。
五、矩阵与变量矩阵是高一数学中的一个重要概念，需要理解矩阵的定义、矩阵的运算以及矩阵的性质。
同时，需要能够运用矩阵解决实际问题，如线性方程组的解法等。
变量是数学中的一个基本概念，需要理解变量的含义和变量的应用。
在高一数学中，需要熟练掌握解方程的方法以及应用变量解决相关问题。
六、解析几何解析几何是高中数学的重点内容，需要掌握平面直角坐标系、直线和曲线的方程以及相关的性质。
高一数学常见难点解析
高一数学常见难点解析在高一的数学学习过程中，很多同学常常会遇到一些难点和困惑。
针对这些常见难点，本文将进行解析，并给出相应的解决方法，帮助同学们更好地应对数学学习中的挑战。
难点一：函数与方程函数与方程是高一数学中的重点和难点。
其中，函数的概念、性质和应用，以及一元二次方程的解法都是学生们容易混淆和出错的地方。
在理解函数的概念时，同学们应该注意函数的定义域和值域，以及函数图像的特征。
在解题过程中，要善于利用函数的性质，如奇偶性、单调性、周期性等。
对于一元二次方程的解法，同学们应该熟练掌握求根公式的应用，并注意解的存在性和唯一性。
难点二：平面几何在平面几何中，三角形、四边形和圆的性质及相关定理是高一数学的又一个难点。
同学们容易混淆各种定理，难以理解其证明和应用。
对于三角形，同学们应该熟悉各种三角函数的定义和性质，掌握常用的三角恒等式，并能够灵活运用正弦定理、余弦定理和面积公式等解题。
在学习四边形时，同学们需要理解各种四边形的性质和判定条件，掌握解题的关键步骤和技巧。
对于圆的学习，同学们应掌握圆的性质和相关定理，如切线、弦长和圆心角的关系等。
难点三：数列与集合数列和集合是高一数学中的抽象概念，对于初学者来说往往难以理解和应用。
在学习数列时，同学们需要掌握数列的定义、通项公式和递推关系，能够准确计算数列的前n项和等问题。
此外，同学们还需理解数列的收敛性、极限和无穷等概念，并能够应用到实际问题中。
在集合的学习中，同学们应熟悉集合的定义、表示和运算法则，能够灵活应用集合的性质解题。
对于集合的化简、交集、并集和差集等操作，同学们需要严谨地进行推理和演算。
难点四：解析几何解析几何是高一数学中的一大难点，涉及直线、曲线和图形的分析与运算。
在学习直线和曲线时，同学们应该熟悉直线的方程和曲线的一般方程，能够根据已知条件确定直线和曲线的方程，并且灵活应用直线与曲线的性质解题。
对于图形的分析与运算，同学们需要掌握平移、旋转、对称等变换的概念和性质，能够准确描述和判断图形的位置关系、相似关系和全等关系。
高一数学知识点重点难点
高一数学知识点重点难点高一数学是学生在中学数学学习过程中的一个重要阶段。
在这个阶段，学生将接触到更复杂和抽象的数学概念和问题。
下面将介绍高一数学的重点知识点和难点，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
一、函数与方程函数和方程是高中数学的基础概念，也是数学学习的重要内容。
掌握函数和方程的性质、图像和应用是解决数学问题的基础。
其中，一次函数、二次函数和指数函数是高一数学中的重点。
1. 一次函数一次函数是一种线性函数，其图像为一条直线。
掌握一次函数的斜率和截距的计算方法，能够确定直线的方程。
同时，理解函数在坐标系中的表示和性质，并能够应用一次函数解决实际问题，如速度、距离和成本等相关问题。
2. 二次函数二次函数是一种具有抛物线形状的函数，其图像为开口向上或向下的抛物线。
掌握二次函数的顶点、轴、对称性等性质，能够确定二次函数的标准形式和一般形式的方程。
同时，理解二次函数的图像变化规律和应用，能够解决相关的最值、交点和面积等问题。
3. 指数函数指数函数是一种以底数为常数的指数幂形式表达的函数。
掌握指数函数的图像、性质和基本变形，了解指数函数与对数函数的关系，能够解决指数函数的增长、衰减和复利等实际问题。
二、三角函数三角函数是高一数学中的另一个重要内容，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
掌握三角函数的周期性、图像、性质和基本公式，能够解决三角函数的变化规律和相关的几何问题。
1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是以角度为自变量的周期函数，其图像分别为正弦曲线和余弦曲线。
理解正弦函数和余弦函数的图像变化规律和性质，能够解决三角函数的图像平移、伸缩和翻转等问题。
2. 正切函数正切函数是以角度为自变量的周期函数，其图像为一组相交的直线。
了解正切函数的图像变化规律和性质，能够解决三角函数的图像平移、伸缩和翻转等问题，并能应用正切函数解决实际的测量和计算问题。
三、数列与数学归纳法数列和数学归纳法是高一数学中的重要概念和方法，也是数学学习中的难点。
专题2.2 函数的单调性与最值(重难点突破)(解析版)
专题2.2 函数的单调性与最值（重难点突破）（理科）一、考纲要求1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。
二、考情分析三、考点梳理【基础知识梳理】1、函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述1/ 112 / 11自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2、函数的最值前提设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得()0f x M =（3）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≥；（4）存在0x I ∈，使得()0f x M =结论 M 为最大值 M 为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 【知识拓展】1、函数单调性的常用结论（1）若()(),f x g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增(减)函数； （2）若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 的单调性相反； （3）函数()()()0y f x f x =>在公共定义域内与()y f x =-，1()y f x =的单调性相反； （4）函数()()()0y f x f x =≥在公共定义域内与()y f x =（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ①1y x x =+的单调性：在(],1-∞-和[)1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减； ②b y ax x=+（0a >，0b >）的单调性：在,b a ⎛-∞-⎝和,b a ⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在,0b a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和b a ⎛ ⎝3 / 11上单调递减．四、题型分析(一) 判断函数的单调性 1．判断函数单调性的方法：（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对1x 或2x 进行适当变形，进而比较出()1f x 与()2f x 的大小．（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．例1．（2020·安徽省池州一中模拟）下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |【答案】C【解析】当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．【变式训练1】．（2020届陕西省咸阳市高三第一次模拟）函数cos 4y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．132,244k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．372,244k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．312,244k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z D ．152,244k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z4 / 11【答案】C【解析】令()224k x k k Z πππππ-≤-≤∈，解得()312244k x k k Z -≤≤+∈， 因此，函数cos 4y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是()312,244k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故选C 。
高一数学重点及难点知识点
高一数学重点及难点知识点一、函数与方程函数是高中数学的基础，而方程则是函数的重要应用。
在高一数学中，学生将会学习如何掌握函数与方程的基本概念和性质。
下面是一些重点及难点知识点：1. 函数的概念与性质：- 定义函数的方法及表示方式；- 函数的定义域和值域；- 函数的奇偶性和周期性。
2. 一次函数：- 函数的表示与性质；- 函数图像与函数的关系；- 函数的平移和伸缩。
3. 二次函数：- 函数的表示与性质；- 函数图像与函数的关系；- 函数的最值及其求解。
4. 指数函数与对数函数：- 函数的表示与性质；- 函数图像与函数的关系；- 指数函数与对数函数的互逆性；- 对数函数的常用性质与计算方法。
二、三角函数三角函数是数学中的重要概念，对于几何问题和物理问题的解决起着重要的作用。
以下是高一数学中的三角函数的重点及难点：1. 基本概念：- 角的概念与表示方法；- 弧度制与角度制的转换；- 扇形面积与弧长的计算。
2. 正弦函数与余弦函数：- 函数的定义与性质；- 函数图像与函数的关系；- 函数的周期性与对称性。
3. 正切函数与余切函数：- 函数的定义与性质；- 函数图像与函数的关系；- 函数的周期性与对称性。
4. 三角恒等式：- 三角函数的和差化积；- 三角函数的倍角化简；- 三角函数的半角化简。
三、平面向量平面向量是高中数学中引入的新概念，它在几何与代数中都有广泛的应用。
以下是高一数学中平面向量的重点及难点：1. 平面向量的表示与运算：- 向量的表示方法；- 向量的加法与减法；- 向量的数量积与向量积。
2. 向量的共线与垂直：- 向量的共线与夹角的关系；- 向量的垂直与正交投影。
3. 向量的坐标表示与应用：- 向量与坐标的转换；- 平面向量在几何问题中的应用。
四、概率与统计概率与统计是高中数学的重要内容，它们可以帮助我们理解和处理随机事件与实际问题。
以下是高一数学中概率与统计的重点及难点：1. 随机事件与概率：- 随机事件的基本概念；- 概率的定义与性质；- 概率计算与应用。
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高一函数重难点突破一、 求复合函数的定义域的四种题型 1. 已知f[x]的定义域,求f(g(x))的定义域例1设函数f(x)的定义域为(0,1),求函数f(lnx)的定义域2. 已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域例2已知f(3-2x)的定义域为x € [-1,2], 求函数f(x)的定义域3. 已知f[g(x)]的定义域,求f(h(x))的定义域例3若函数f(2 x )的定义城为[-1,1], 求f(log 2X )的定义域4. 已知f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 例4已知函数f x 定义域为是[a,b]，且a b 0 求函数h x = fx ，m 「fx -m ]〔m - 0的定义域b - m ： b m ，又 a - m ： b m要使函数h x 的定义域为非空集合，必须且只需 a • m 空b - m ，即0 ：：： m 乞b 「a2 此时函数h x的定义域为{x|a+m]l ：二：…iT (}求函数解析式的六种题型 1•待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法 例1设f(x)是一次函数，且f[f (x)] =4x ・3，求f(x)a —m^x^b —m .a+m^x^b+mm 0, a - m ：： a m2. 配凑法或换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f (x)的解析式。
f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。
1 1例 2 ( 1)已知f(x + _)=x2+p (x>0)，求f (x)的解析式x x(2)已知f(x 1) =x 2 x，求 f (x 1)3•构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组, 通过解方程组求得函数解析式。
例3 设 f (x)满足 f (x) -2f (1Hx,求f(x)x1变式训练：设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x) + g(x)= -------------------- ,试求f(x)和g(x)的解析式x — 14.赋值法：例4已知：f(0)=1,对于任意实数x,y,等式f(x-y)= f(x)-y(2x-y+1)恒成立，求f(x)5. 性质法：例5已知奇函数f (x )(x € R)，当x >0时，f (x ) = x (5 — x ) + 1,求f (x )在R 上的解析式6.代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
(暂时不做要求)例5已知：函数y =x 2 • x 与y =g(x)的图象关于点(-2,3)对称，求g(x)的解析式 解：设M(x, y)为y =g(x)上任一点，且M (x ：y)为M (x, y)关于点(-2,3)的对称点•点 M (x ；y)在 y 二g(x)上2 . 卜x~~ »2，解得:"x " = -x - 4y' = 6-y 'y 二x x丄十x‘ = -x —4 八、、/口把丿代入得：y” = 6 _y26 _ y = ( _x _4) ( _x _ 4)整理得y = —x2—7x -62g (x)二_x ■ ■ 7x - 6*注*函数的定义域不要漏写三、复合函数的单调性的四种题型判断复合函数单调性步骤：(1) 求复合函数定义域；(2) 将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幕、指、对函数)；(3) 判断每个常见函数的单调性；(4) 将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5) 求出复合函数的单调性。
1. 外层函数与内层函数只有一种单调性的复合型：例1已知函数y=log a(2-ax)在［0,1］上是x的减函数，贝U a的取值范围是()(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D). ［2, +-)2•外层函数只有一种单调性，而内层函数有两种单调性的复合型: 例2 (1)求函数y=log0.5(X2+4X+4)的增区间。
(2)讨论函数y=0.8 x2-4x+3的单调性。
3. 外层函数有两种单调性，而内层函数只有一种单调性的复合型:n例3在下列各区间中，函数y=sin(x+才)的单调递增区间是()n n n n(A).[ 2，n ] (B)JO , 4] (C)•[- n, 0] (D). [ 4, 2】n变式训练：求函数y=sin(-x+ 4)的增区间例4讨论函数y=(log 2X)2+log 2X的单调性。
4. 外层函数与内层函数都有两种单调性的复合型：(了解)例6( 89 •全国•理)已知函数f(x)=8+2x-x 2,如果g(x)=f(2-x 2)，那么g(x)() (A).在区间(-1 , 0)上是减函数；(B).在区间(0, 1)上是减函数；(C).在区间(-2 , 0)上是增函数；(D).在区间(0 , 2)上是增函数.变式训练：利用复合函数求参数取值范围求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须将已知的所有条件加以转化。
1.已知函数f(x)=…」(x 2-ax+3a)在区间[2 , )上是减函数，则实数a的取值范围是_______ 。
2.若f(x)=log a(3-ax)在[0 , 1]上是减函数，则a的取值范围是 _________________求f (x)在x I -3,3 1上的值域。
例2、f(x)对任意实数x 与y 都有f (x) - f (y) = f (x - y) - 2 ,当x>0 时,f(x)>2(1)求证:f(x)在R上是增函数； (2)若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3【专练】：1、已知函数f(x)对任意x, y R有f(x) f(y)= 2 • f(x • y)，当x 0时，f(x) ■ 2， f (3) =5，求不等式f(a2 -2a -2) ：：：3的解集。
2、定义在R上的函数f(x)满足：对任意x, y € R都有f(x-y)二f(x) - f(y)，且当x : 0时，f(x) ：：0(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k • 3x)+f(3 x-9 x-2) v 0对任意x € R恒成立，求实数k的取值范围.二类：对数函数型| 函数满足：|f (a[_b)= f (a) + f (b)| 或 f (a) = f (a) _ f (b)---------------------- ------------------------------------------------- | b例1、f(x)是定义在x>0 的函数，且f(xy) = f(x) + f(y); 当x>1 时有f(x)<0;f(3) = -1.(1)求f(1)和f(1/9)的值；(2)证明f(x)在x>0上是减函数；(3)解不等式f(x) + f(2-x) <2。
例2、定义在(0,=)上函数y = f(x)对任意的正数a,b均有：f(a)= f(a) - f (b)，且当x ：：： 1时,bf(x) 0, ( I )求f (1)的值；(II )判断f (x)的单调性,x【专练】：1、定义在(0,母)上的函数f(x)对任意的正实数x,y有f(—)= f(x)—f(y)且当0cx<1y1时，f (x) :: 0 . 求:(1) f(1)的值• (2)若f(6)=1,解不等式f(x 3)— f『)：：2 ；x2、函数f (x)的定义域是x = 0的一切实数，对定义域内的任意x「X2都有f(X1 X2)= f (xj f(X2)，且当x 1 时f(x) 0,又f (2) =1，( 1)求证：f (x)是偶函数；(2)2f (x)在(0, 7)上是增函数(3)解不等式f(2x -1)：：：23、设f(x)是定义在(0,：：)上的函数，对任意x,y (0,二)，满足f (xy) = f (x) f (y)且当x 1时, f (x) 0。
(〔)求证：f (?) = f (x)—f (y) ；( 2)若 f (5) =1，解不等式 f (x+1)一 f (2x) £2.例1、定义在R上的函数f(x)，满足当x时，f(x) .1,且对任意xy R,有f (x y)二f(x) f(y),又知f(1) = 2. ( 1)求f(0)的值；(2)求证：对任意R都有f(x) 0 ； ( 3)解不等式f (3x -x2) 4 ；【专练】：1、定义在R上的函数y = f (x)对任意的m,n都有f (m • n) = f(m£|f (n)，且当x 0时, 0 - f (x) =1， ( I )证明：R 都有f(x) 0 ； (II )求证：y=f(x)在R 上为减函数；(III) 解不等式f(x) • f(2x-x2)>1。
2、若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a b^ f(a) f (b)，且当x ：：： 0时，f(x) 1 ；1(1)求证：f(x) 0 ； (2)求证：f(x)为减函数(3)当f(4)= 1时，解不等式162 1f (x 一3) f (5 —X2)乞;4四类：幕函数型|函数满足：|f @也)「= f (a)」f(b)]或f (-^丄®------------------ --------------------------------------------- J f(b)|例1、已知函数f(x)满足：①对任意x,r R,都有f(xy)二f(x)L|f(y)，② f(-1) =1,f (27) =9,且当0X1 时，f(x) [0,1。
(I)判断f(x)的奇偶性，(II )判断f(x)在〔0, •上的单调性，并证明。
(III )若a —0，且f (a T) —39，求a的取值范围。
五类：其他类数函数型例1、定义在1-1,11上的奇函数y=f(x)有f(1) = 1,且当m,n - 1-1,1时，总 有：f(m) f (n)(I )证明:f(x)在〔—1,1］上为增函数，(11)解不等式:f(x 1)：：：f( 1 ),(III) 若f (x) _t 2 -2at 1对所有. -1,11,-1,1恒成立，求实数t 的取值范围.例2、定义在(-1, 1)上的函数f(x)满足，对任意x ，r (-1, 1)都有f (x^ f (y^ f (x y )， 且当(-1, 0)时，有f(x) 0，( 1)试判断f(x)的奇偶性；(2)判断f (x)的单调性;五、函数恒成立和存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化类型 1： 一次函数型 f(x)=ax+b(a M 0)在［m,n ］内恒有 f(x)>0,贝U f(m)>0 且 f(n)>0 类型 2:设 f(x) = ax 2 bx c(a = 0)，(1) f(x) 0在x ，R 上恒成立二 a •0且「：0; (2) f(x) ：：0 在x • R 上恒成立二 a ：0 且二-0。