中考数学 函数重点难点突破解题技巧传播十五

2019-2020年中考数学函数重点难点突破解题技巧传播十五

1、如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经

过点A、C、B的抛物线的一部分C

1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C

2

组合

成一条封闭曲线，我们把这条封

闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C

2

：（＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．

【答案】解：（1）令y=0，则，

∵m＜0，∴，解得：，。

∴A（，0）、B（3，0）。

（2）存在。理由如下：

∵设抛物线C1的表达式为（），

把C（0，）代入可得，。

∴Ｃ1的表达式为：，即。

设P（p，），

∴ S△PBC = S△POC + S△BOP–S△BOC =。

∵<0，∴当时,S△PBC最大值为。

（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），

∴BD2=，BM2=，DM2=。

∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：

当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即＋=，

解得：, (舍去)。

当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2

，即＋=，

解得：， (舍去) 。

综上所述， 或时，△BDM 为直角三角形。

【解析】（1）在中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标。

（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值。

（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即

可求得m 的值。

2、一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中图象如图，A 点为（－2，0）。则下列结论中，正确的是【 】

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 。

【解析】将A （－2，0）代入，得。

∴二次函数()2

22y ax bx ax 2ax a x 1a =+=+=+-。∴二次函数的顶点坐标为（－1，－a ）。 当x=－1时，反比例函数。

由图象可知，当x=－1时，反比例函数图象在二次函数图象的上方，且都在x 下方， ∴，即。故选D 。

（实际上应用排它法，由，也可得ABC 三选项错误）

3．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：

①b ＜0；②4a+2b+c ＜0；③a ﹣b+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2．其中正确的结论是

A ．①②

B ．①③

C ．①③④

D ．①②③④

【答案】C

【解析】

试题分析：①图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，能得到：a ＞0，＞0，则b ＜0。正确。 ②∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等，∴当x=2时，y=4a+2b+c ＞0。错误。 ③当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＞0。正确。

④∵a ﹣b+c ＞0，∴a+c ＞b 。

∵当x=1时，y=a+b+c ＜0。∴a+c ＜﹣b 。∴b ＜a+c ＜﹣。∴|a+c|＜|b|。∴（a+c ）2＜b 2。

正确。

所以正确的结论是①③④。故选C 。

4、如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象交，那么值为 .

【答案】。

【解析】∵A ，B 在反比例函数上，∴。

又∵正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，

∴对于有。

∴2121111111(x x )(y y )(x x )(y y )4x y 4624--=----==⨯=。 5、如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，∠BOA=45°，则过A 点的双曲线解析式是 ．

【答案】

【解析】

试题分析：∵∠BOA=45°，∴设A （m ，m ）。

∵⊙O 的半径为1，∴AO=1。∴m 2+m 2=12，解得：m=，∴A （，），

设反比例函数解析式为（k≠0），

∵图象经过A 点，∴k=×=。∴反比例函数解析式为。

6、如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC 在x 轴正半轴上滑动，点C 的坐标为（t ，0），直角边AC=4，经过O ，C 两点做抛物线（a 为常数，a ＞0），该抛物线与斜边AB 交于点E ，直线OA ：y 2=kx （k 为常数，k ＞0）

（1）填空：用含t 的代数式表示点A 的坐标及k 的值：A ，k= ；

（2）随着三角板的滑动，当a=时：

①请你验证：抛物线的顶点在函数的图象上；

②当三角板滑至点E 为AB 的中点时，求t 的值；

（3）直线OA 与抛物线的另一个交点为点D ，当t≤x≤t+4，|y 2﹣y 1|的值随x 的增大而减小，当x≥t+4时，|y 2﹣y 1|的值随x 的增大而增大，求a 与t 的关系式及t 的取值范围．

【答案】解：（1）∵点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，∴点A的坐标是（t，4）。∵直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0），∴4=kt，则（k＞0）。

（2）①当a=时，，其顶点坐标为。

对于，当x=时，

∴点在抛物线上。

∴当a=时，抛物线的顶点在函数的图象上。

②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K，

∵AC⊥x轴，∴AC∥EK。

∵点E是线段AB的中点，∴K为BC的中点。

∴EK是△ACB的中位线。

∴EK=AC=2，CK=BC=2。∴E（t+2，2）。

∵点E在抛物线上，

∴，解得t=2。

∴当三角板滑至点E为AB的中点时，t=2。

（3）如图2，由

()

4

y x

t

y ax x t

⎧

=

⎪

⎨

⎪=-

⎩

得，

解得，或x=0（不合题意，舍去）。

∴点D的横坐标是。

当时，|y2﹣y1|=0，由题意得，即。

又()

22

2

21

44t2t2 y y x ax x t ax at x a x a

t t2at2at

⎡⎤

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-=--=-++=--+++

⎪ ⎪ ⎪

⎢⎥

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎣⎦

，