单自由度体系-1汇总
第1章--单自由度系统的自由振动题解
习 题1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k 则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ=则 k =324EJh设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m x kx =- 所以固有频率3n 24mhEJp =1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角2a ＝h题1-1图题1-2图θF sin α2θαhmgθ2F cos ＝mg由动量矩定理：aha mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ&&其中12cossin ≈≈θααhl ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ&& g h a l gah l p T n 3π23π2π222===1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为21211k k k k k +='，212132k k kk k k ++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
第3章 单自由度体系1(时域)
第三章单自由度体系自由振动和强迫振动时域分析3.1力学模型•单自由度体系：SDOF（Single－Degree－of－Freedom ）System•结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定•分析单自由度体系的意义：1、单自由度系统包括了结构动力分析中涉及的所有物理量及基本概念。
2、很多实际的动力问题可以直接按单自由度体系进行分析计算。
3、多自由度系统在很多情况下可以转变为单自由度系统进行分析重力的影响1、考虑重力影响时，结构体系的运动方程与无重力影响时的运动方程完全一样，此时u是由动荷载引起的动力反应。
在研究结构的动力反应时，可以完全不考虑重力的影响，建立体系的运动方程，直接求解动力荷载作用下的运动方程，即得到结构体系的动力解。
2、当需要考虑重力影响时，结构的总位移为总位移=静力解+动力解应用叠加原理将结构的动力反应和静力反应相加即得到结构的总体反应。
在结构反应问题中，应用叠加原理可将静力问题（一般是重力问题）和动力问题分开计算。
重力的影响3、注意1：由于应用了叠加原理，上述结论是用于线弹性体系。
4、注意2，在以上推导过程中，假设悬挂的弹簧―质点体系只发生竖向振动，在动荷载作用之前，重力被弹簧的弹性变形所平衡，而施加荷载后，重力始终被弹性变形所平衡。
如果重力的影响没有预先被平衡，则在施加动力荷载产生进一步变形后，可以产生二阶影响问题，例如P―Δ效应。
1.1无阻尼自由振动运动方程的通解为：121212()n n i ti ts ts tu t c e c ec ec eωω−=+=+指数函数与三角函数的关系：cos sin cos sin ixixe x i x ex i x−=+=−运动方程的解：()cos sin n n u t A t B tωω=+A ，B —待定常数，由初始条件确定。
一些重要性质：（1）自振周期只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。
（2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。
第一章单自由度系统
第一章 单自由度系统振动
1. 基本概念
自由度： 确定某个机械系统几何位置的独立参数的数目。
单自由度系统,多自由度系统: 若只用一个独立参数即可确定机械系统的几何
位置,称为单自由度系统。 需要两个或两个以上独立参数才能确定机械系
统的几何位置的系统称多自由度系统。
2.常见单自由度系统建模
3 无阻尼自由振动
x
n2 x
Fo m
k K
cost
xst
n2
cost
特解假设为 Acost 代入得
最后
A xst
1 2
n
x
t
xo
cos nt
xo
n
sin nt
xst
1
2
cos t
xst
1
2
cos nt
无阻尼简谐激振
有阻尼简谐激振
mx cx kx FO sin t
x 2n x n2 x xstn2 sin t
1 2
KA2
sin
2
t
dt
1 kA2 2 sin 2 t dt
2
0
0
Wd cxdx cAcost 2 dt
2/cA22 1cos2t dt
0
2
1cA2 2 2 1cA22 2/cos2t dt
2
2
0
cA2
激振力的功
wf Fo sint dt Fo sint Acost dt
cos
sin dt
Asin t
定义
A xst
1
1 2 2 2 2
为动力数大系数，表示振幅相对于静变形的放大倍数
5.2 稳态响应振幅和相位
第3章 单自由度体系1
D n 1 2
2
n i D
D—阻尼体系的自振频率
TD
D
TD
2
n 1
2
Tn 1 2
4
3.2.2 低阻尼体系（Underdamped Systems）
D n 1 2
TD Tn 1
2
3.2.2 低阻尼体系
u(t)
ku 0
u (0)
(t ) t 0 u (0) u
3.2 有阻尼自由振动
令u(t)=est，代入运动方程 整理得：
3.2 有阻尼自由振动 u(t)=est
当：( 当：( 使：(
cu ku 0 mu
ms 2 cs k 0
c c 2 2 ( ) n 2m 2m
u(0) -ω n u(0) t u(0) -ωn u(0)
阻尼比：阻尼系数c和临界阻尼ccr的比值，用表示。
临界阻尼体系的自由振动
c c ccr 2m n
3.2.1 临界阻尼和阻尼比
c c ccr 2m n
3.2 有阻尼自由振动
u(t )
u(0)
过阻尼，ζ=2 临界阻尼，ζ=1
3.2.3 运动的衰减和阻尼比的测量
ui u (t i ) 2 ) exp( nTD ) exp( ui1 u (t i TD ) 1 2
u(t) u1 TD ui TD ui+1 ti+TD t
对数衰减率: ln ui 2 ui 1 1 2 阻尼比计算公式：
A，B—待定常数，由初始条件确定。
i 1， n
3.1 无阻尼自由振动
机械振动基础-单自由度系统-1
• 速度和加速度也是简谐函数，并与位移具有相同频率； • 在相位上，速度超前位移90，加速度超前位移180°。
• 加速度始终与位移反向： u&&(t) n2u(t) • 速度和加速度的幅值分别是振幅的 n和n2倍。
• 简谐振动过程
最大振幅
最大速度
最大振幅
-A
速度为零， 位移，加速度 绝对值最大， 方向反向。
m
解：系统的动能和势能分别为：
系统的广义力为：
T 1 mx2 , 2
U 1 kx2 2
Q W P(t)x Pt
x
x
代入到拉格朗日方程得：
d dt
Tx
dU dx
Q
mx kx P(t)
例1-3： 如图所示：圆弧形滑道上，有一均质圆柱体 作纯滚动。建立其运动方程。
解：因为纯滚动，所以振动
a) 简谐振动是一种周期振动
周期振动满足条件： u(t T ) u(t)
（1.2.13）
即每经过固定时间间隔，振动将重复原来的过程。最小正 常数 T -振动周期。
Tn
2 n
2
m k
（1.2.14）
— 无阻尼单自由度系统自由振动的固有周期。
固有频率的另一种形式：
fn
n 2
1 Tn
(赫兹）
表示1秒内重复振动的次数。
该矢量在t 时刻在y轴 上的投影 即为位移 响应在同 一时刻的 值.
b) 简谐运动的位移、速度和加速度之间的关系：
• 速度和加速度可分别表达为：
u&(t )
na
cos
nt
na
sin(nt
2
)
（1.2.17）
u&&(t) n2a sin nt n2a sin nt （1.2.18）
结构动力学-第三章 单自由度体系 (Part 1)
结构动力学Dynamics of Structures 第三章单自由度体系Chapter 3 Single-Degree-of-Freedom SystemsPart 1华南理工大学土木工程系马海涛/陈太聪本章主要目的及内容目的:z 通过单自由度体系介绍动力学的基本概念z 若干实际问题的解内容:(1)无阻尼自由振动(2)有阻尼自由振动(3)对简谐荷载的反应(4)对周期荷载的反应(5)对任意荷载的反应(6)体系的阻尼和振动过程中的能量(7)隔振(震)原理(8)结构地震反应分析的反应谱法自由振动free vibration强迫振动forced vibration第三章单自由度体系SDOF Systems自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后，不再受任何外力影响的振动过程。
0mucu ku ++= 无阻尼自由振动单自由度系统的运动方程()mucu ku P t ++=00c muku =⇒+= 自由振动运动方程单自由度系统无阻尼自由振动的运动方程0muku += 初始扰动：00(0)(0)t t u u uu ==== 初始位移初始速度二阶齐次常微分方程Homogeneous second orderordinary differential equation无阻尼自由振动的数学模型000;(0),(0)t t muku u u uu ==+=== 初始条件Initial conditions2()0stC ms k e +=设解有以下形式()stu t Ce=代入方程得 C 和s 为待定常数。
因此，方程通解为：121212()n n i ti ts t s tu t C e C eC eC eωω−=+=+或模型求解0muku += 2ms k ⇒+=1,2n ks i mω⇒=±=±()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+00(0)(0)t n t u A u uB u ω====== (0)()(0)cos sin n n nuu t u t tωωω=+(0)(0),nuA uB ω⇒==利用初始条件，我们有单自由度系统无阻尼自由振动问题的解其中n kmω=无阻尼自由振动为简谐运动Simple harmonic motion ωn 称为圆频率或角速度Angular frequency / velocity ()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+振幅无阻尼自由振动问题解的图示（1）振幅–Amplitude of motion[]220(0)(0)n u u u ω⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦基本参数（2）固有周期–Natural period of vibration2n nT πω=（3）固有频率–Natural frequency of vibration1n nf T =Hz (赫兹)固有频率s (秒)固有周期rad/s (弧度/秒)固有圆频率单位定义物理量名称2n nT πω=1n nf T =n k m ω=单自由度系统无阻尼自由振动系统参数§3.2 有阻尼自由振动0c uk u m u ++= 运动方程2()0stC ms cs k e ++=设解有以下形式()stu t Ce =代入方程得解为：221,222nc c s m m ω⎛⎞=−±−⎜⎟⎝⎠粘性阻尼模型2ms cs k ++=2c k s s m m++=22n c s s mω++=阻尼系数影响此项的取值进一步决定解的特征Critical damping and damping ration临界阻尼22022n cr n c c m m k c m ωω⎛⎞−=⇒⎜⎟⎝⎠===此时运动方程的解为12ns s ω==−()()n tu t A Bt e ω−=+0mucu ku ++= 验证—分别将两个解代入方程()n tu t Aeω−=()n tu t Bteω−=()22220n t nnnAem m m ωωωω−=−+=()2n t nnAem c k ωωω−−+左端=()()221n t nnnBem t c t kt ωωωω−⎡⎤−++−+⎣⎦左端=()2220n tnnnBec m t m k ωωωω−⎡⎤=−+−+=⎣⎦Critical damping and damping ration运动方程的解为()()n tu t A Bt e ω−=+()()(0)(1)(0)n tn u t u t ut e ωω−=++ (0)(0)n u AuA B ω==−+ 因此，解为根据初始条件，有()()n tn u t A Bt B eωω−=−++⎡⎤⎣⎦ 对应的速度表达式为(0)(0)(0)n A u B u uω==+ 或者(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦ 解的特征由此项控制当阻尼大于临界阻尼时，0mucu ku ++= 220n n uu u ζωω++= 2n crc cm c ζω==其中，阻尼比1221120()s ts ts s u t C e C e<<=+临界阻尼可定义为：体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值。
单自由度体系-1
动力平衡方程
惯性力—绝对加速度
fI+fD+fS=0
弹性力和阻尼力—相对位移u(t)
&& & mu + cu + ku = 0 && & && mu + cu + ku = − mu g
t
2.1.4 运动方程求解
结构动力响应 response
位移 速度 加速度 结构内力 内部应力 地震作用时，结构相对位移代表结构的变形，直接与 结构内力相关，因而是最重要的响应量
2.1.2 SDF运动方程—激振力作用
激振外力p(t) 作用于SDF自由度方向—u方向 牛顿第二定律 Newton’s second law of motion
&& p (t ) − f s − f D = mu f s = ku & f D = cu && & mu + cu + ku = p (t )
u (t ) = ∫ p (τ ) h(t − τ ) dτ
0
t
无阻尼和有阻尼SDF位移响应：
u (t ) = u (t ) =
1 mω n
∫ p(τ ) sin[ω (t − τ )]dτ
n 0
t
mω D
1
p (τ )e −ξωn ( t −τ ) sin[ω D (t − τ )]dτ ∫
0
运动方程的解
( u (t ) = u (0) cos ωnt + u&ω0 ) sin ωnt n
ωn =
k m
周期 natural period of vibration
1-2单自由度系统无阻尼振动(1)
选圆柱体在最低点为零势能 点，则系统势能：
圆柱体作微摆：
势能参考点的选取
势能是一个参考值，其具体值的大小和参考点选取有关。
d T U 0 在使用 dt 时，要注意，势能基准值的选 取，应使振动系统在动能最大时，势能为零。
(1)静变形法 （3）瑞利法
(2)能量法
运用能量原理，把一个分布质量系统简化为一个单自由度系统，从而把 弹簧的分布质量对系统频率的影响考虑进去，得到相对准确的固有频率值。
系统的初始条件只决定振动的振幅和初相位
结论4 系统参数对振动特性的影响
振系的质量越大，弹簧越软，则固有频率越低，周期越 长；质量越小，弹簧越硬，则固有频率越高，周期越短， 这个结论对复杂的振动系统也同样的适用。
m , k f , T m , k f , T
3 固有频率的计算
梁的等 效质量
一般来说，假定振型与实际振型之间是 有差异的。这种差异可以认为是由于系统受 到外加约束而增加了系统的刚性所致。因此 用瑞利法求出的固有频率是一偏高的近似值。
4 等效弹簧—质量系统
等效质量 等效刚度
刚度：使系统的某点在指定方向产生单位位移（或角位移）时，在该点同一 方向所要施加的力（或力矩），称为系统在该点在指定方向的刚度。 同一弹性元件，根据所要研究的振动方向不同，刚度亦不同。 左图为一端固定的等直物体，长为l，截面积为A，截面惯 性矩为J，截面极惯性矩为Jp，材料弹性模量为E，剪切 弹性模量为G。Oxy坐标如图。 分析自由端B不同方向的刚度。
解：以为广义坐标，以系统的静平 衡位置为零势能点，则：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若令
则得：
2.运动微分方程的求解
单自由度自由振动的微分方程：
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D’Alembert’s principle of dynamic equilibrium
惯性力 inertia force Mass-spring-damper系统
忽略弹簧和阻尼器的质量，质量块为刚体， 运动限定沿水平x轴方向
2.1.3 SDF运动方程—地震作用 earthquake excitation
无阻尼自由振动
C=0 p(t)=0 初始条件 t=0时刻，施加初位移和初速度
u(0) u(0)
运动方程
mu ku 0
运动方程的解
u(t
)
u(0)
c
osnt
u ( 0) n
sin
nt
n
k m
周期 natural period of vibration
结构完成一个完整的振动循环过程所需要的时间，称 为结构的自然振动周期。
结构自然振动特性
n Tn fn 结构的自然特性，固有性质，与外力无关， 与初始条件无关。
频率和周期仅决定于结构的质量和刚度。刚度愈大， 频率愈高，周期愈短；质量愈大，频率愈低，周期愈 长。
振幅 amplitude of motion
u0
u(0) 2
u (0)
n
2
振幅决定于初位移和初速度 无阻尼自由振动，振幅保持不变，振动无衰减
2.1.1 SDF体系
自由度 degrees of freedom 决定结构体系相对其初始状态变形位置的独立位移
分量数目，称为结构动力分析的自由度 凉亭 水塔 单层刚架 质量元件——集中质量 刚度元件——无质量刚架 阻尼元件——粘滞阻尼器（viscous damper or
dashpot）
初始位移引起的SDF自由振动
c系=统ccr恢，复临到界平阻衡尼位系置统，（不cr出itic现al振ly 荡damospceildlastoyrsyte，m）=，1 c围<绕ccr平，衡低位阻置尼振系荡统，（振un幅de随rd时am间p递ed减s，yste<m1） ，系统 c出>现ccr振，荡过，阻恢尼复系到统平（衡ov位er置da，m但pe回d s复ys速te率m更）慢，，系统>1不 ccr代表系统不发生振荡的最小阻尼值
Tn=2/n 单位：秒
园频率 natural circular frequency
n= 2fn 单位：弧度/秒; r/s (radians per second)
频率 natural cyclic frequency of vibration
结构每一秒经历的振动循环次数
fn=1/Tn 单位：Hz（次/秒）cycles per second (cps) fn= n/2
惯性力—绝对加速度
fI+fD+fS=0
弹性力和阻尼力—相对位移u(t)
mut cu ku 0 mu cu ku mug
2.1.4 运动方程求解
结构动力响应 response
位移 速度 加速度 结构内力 内部应力 地震作用时，结构相对位移代表结构的变形，直接与
结构内力相关，因而是最重要的响应量
C—粘滞阻尼系数，单位[F][T]/[L] 阻尼系数，通常通过结构振动试验确定，由
结构振幅衰减速率推算。
2.1.2 SDF运动方程—激振力作用
激振外力p(t) 作用于SDF自由度方向—u方向 牛顿第二定律 Newton’s second law of motion
p(t) fs fD mu fs ku fD cu mu cu ku p(t)
绝对位移与相对位移
地基位移ug(t) 质量总位移或绝对位移ut(t) Total or absolute displacement 质量对地基的相对位移u(t) Relative displacement
ut (t) u(t) ug (t) ut (t) u(t) ug (t)
动力平衡方程
2.2.2 粘滞阻尼SDF自由振动
运动方程
mu cu ku 0
u
c m
u
k m
u
0
u 2nu n2u 0
n
k m
c ccr
ccr 2mn
阻尼
阻尼比 damping ratio 临界阻尼系数ccr critical damping coefficient
临界阻尼系数的物理意义
力—位移 关系 刚架弹性抗力与刚架水平侧向位移的关系
fs=ku k—刚架侧向刚度系数 阻尼damping
振动过程中的能量耗损机制：固体结构往复变形的 内摩擦效应；连接结构的摩擦和往复碰撞效应；混 凝土结构内部微裂纹的往复开合效应。
等效阻尼器
线性粘滞阻尼器：阻尼力与变形速度成正比
fD cu
经典解法
线性微分方程的完全解由通解与特解之和构成 二个积分常数由初始条件确定 自由振动问题 激振力可用解析式表达的动力问题如：
简谐振动、阶跃和脉冲激振等
Duhamel积分
属时域解法 time-domain method
基本思想：将激振力p(t)划分为一系列脉冲，结构响应 u(t)为结构对t时刻之前所有脉冲激振的响应之和。
数值分析法
以上三种方法只适用于线性结构的动力分析 动力非线性分析只能采用数值逐步积分方法
numerical time-stepping method
2.2 SDF自由振动 Free viபைடு நூலகம்ration
无阻尼系统自由振动 粘滞阻尼系统自由振动
2.2.1 无阻尼SDF自由振动
自由振动
结构自平衡位置受到扰动，然后在不受外力的情况 下自行振动的振动过程，称为自由振动。
2 单自由度体系动力特性及地 震动力响应
Single-degree-of-freedom (SDF) system
SDF运动方程 SDF自由振动 Duhamel积分 SDF动力响应数值分析方法 地震反应谱
2.1 SDF运动方程
SDF体系 激振外力作用下的运动方程 地震作用下的运动方程 运动方程求解方法
结构位移响应的计算公式为一卷积积分公式，称为 Duhamel积分。
p(t)为简单表达式，可得到解析表达的积分结果；对p(t) 为复杂函数情况，可采用数值方法求积分。
频域解法 frequency-domain method
Laplace变换和Fourier变换 适用于分析结构与无限介质相互作用问题