第8章 广义单自由度体系-23
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建筑力学第八章 结构体系的几何组成分析
第八章 结构体系的几何组成分析
第一节 几何组成分析的基本概念 第二节 平面体系的自由度 第三节 几何不变体系的组成规则 第四节 几何组成的分析方法 第五节 体系的几何组成与静定性的关系
第一节 几何组成分析的基本概念
几何组成分析，是以几何不变体系的组成规则为根据，确定体系的几何形状和空 间位置是否稳定的一种分析方法
分析时可针对体系的具体情况，从以下几个方面入手： ①、依次撤除体系上的一元片及二元片，使体系的组成简化，再根据基本组成 规则进行分析 ②尽可能地将体系中几何不变的局部归结为两个或三个刚片，然后考察刚片间 的连接方式是否满足几何不变体系的组成规则； ③体系仅用不共点的三根链杆与地基相连时，可先拆除这三根链杆，再由体系 的内部可变性确定整个体系的几何性质。
解：将图8-13a中的AEC、DFB与基础分别视为刚片I、II、III，刚片I和III以 铰A相联，A铰用(1，3)表示，B铰联系刚片II、III以(2，3)表示，刚片I和 刚片II是用CD、EF两链杆相联，相当于一个虚铰O用(1，2)表示，如图813b所示。则连接三刚片的三个铰(1，3)、(2，3)、(1，2)不在一直线上， 符合规则二，故为不变体系，且无多余约束。
二 、 三刚片规则
三刚片规则：三个刚片用不共线的三个铰两两相连，组成几何不变体系， 且无ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余约束。
第三节 几何不变体系的组成规则
常变体系 瞬变体系
瞬变体系是不可以用于工程结构的
第四节 几何组成的分析方法
一、计算体系的自由度W，判别体系是否满足几何不变的必要条件。 若自由度W＞0，体系是几何可变的 若自由度W≤0，在此基础上进一步对体系进行几何组成分析。 二、对体系进行几何组成分析，判别其是否满足几何不变的充分条件。 (1)一元片撤除 (2)二元片撤除 (3)刚片的合成
第一节 几何组成分析的基本概念 第二节 平面体系的自由度 第三节 几何不变体系的组成规则 第四节 几何组成的分析方法 第五节 体系的几何组成与静定性的关系
第一节 几何组成分析的基本概念
几何组成分析，是以几何不变体系的组成规则为根据，确定体系的几何形状和空 间位置是否稳定的一种分析方法
分析时可针对体系的具体情况，从以下几个方面入手： ①、依次撤除体系上的一元片及二元片，使体系的组成简化，再根据基本组成 规则进行分析 ②尽可能地将体系中几何不变的局部归结为两个或三个刚片，然后考察刚片间 的连接方式是否满足几何不变体系的组成规则； ③体系仅用不共点的三根链杆与地基相连时，可先拆除这三根链杆，再由体系 的内部可变性确定整个体系的几何性质。
解：将图8-13a中的AEC、DFB与基础分别视为刚片I、II、III，刚片I和III以 铰A相联，A铰用(1，3)表示，B铰联系刚片II、III以(2，3)表示，刚片I和 刚片II是用CD、EF两链杆相联，相当于一个虚铰O用(1，2)表示，如图813b所示。则连接三刚片的三个铰(1，3)、(2，3)、(1，2)不在一直线上， 符合规则二，故为不变体系，且无多余约束。
二 、 三刚片规则
三刚片规则：三个刚片用不共线的三个铰两两相连，组成几何不变体系， 且无ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余约束。
第三节 几何不变体系的组成规则
常变体系 瞬变体系
瞬变体系是不可以用于工程结构的
第四节 几何组成的分析方法
一、计算体系的自由度W，判别体系是否满足几何不变的必要条件。 若自由度W＞0，体系是几何可变的 若自由度W≤0，在此基础上进一步对体系进行几何组成分析。 二、对体系进行几何组成分析，判别其是否满足几何不变的充分条件。 (1)一元片撤除 (2)二元片撤除 (3)刚片的合成
机器人机构学的数学基础(第2版)课件第8章 运动与约束
sac sa
SΔS r 0
$e21 sa ; ra labsab sa SΔS r 0
$e22
0 ;
sac sa
$1r1 0 ; sac sa
$$11rr23
0 ; sa ;
sab
0
sa
$1r4 sac ; 0
$2r1 0 ; sac sa
$$22rr23
与自由度和约束相关的基本概念
• 【实例1】：考察Scott-Russell机构的过约束情况。
$2r
B
3
$3r
$1r
A2 1
4
C
5O
• 【实例2】：考察斜面机构的过约束情况。
3 $3 $2
2
1
$1
机构自由度计算的基本公式
系统的自由度F = 所有活动构件的自由度-系统损失的自由度
g
g
3 f1 3 f2 3 fi 3 fg 3 fi 3g fi
从机构的自由度和约束的角度讲，Blanding法则所述一组 对偶线图（自由度线与约束线）之间的“相交”是一种双向映 射。即，已知自由度线图可以确定相应的约束线图，反之亦然。 且当某一种线图给定时，其对偶线图是唯一确定的。
广义Blanding法则
【Blanding广义法则】：
① 机构的所有转动自由度的转动轴线都与其受到的所有约束 力的作用线相交；
末端运动模式或自由度类型为自由度空间
【约束空间】：约束空间（constraint space）是物体所受力旋量所张成 的空间，它表征了物体受限的空间运动，即所受约束情况。当物体受基本约 束（力或力偶）时，其力旋量也退化为线矢量及偶量，约束空间也可简单地 描述成约束线图的形式，这时更便于几何表达使其可视化、图谱化，而且其 中蕴含着局部自由度、冗余约束等诸多信息。
单自由度体系自由振动
单自由度体系自由振动一、无阻尼振动单自由度体系自由振动可分为有阻尼和无阻尼振动两种。
在模型建立过程当中，可以直接进行建立。
在运行时，只需将c=0即可。
ω增加，单位时间内振动次数增加。
无阻尼振动是简谐振动，振幅和初相位仅取决于初位移和速度。
初始干扰反映了外部初始赋予体系能量的大小。
由于不考虑振动过程中体系能量的耗散，因而体系的总能量保持不变，这就表现为振幅Ａ保持不变，永不衰减。
于是振动一旦发生便永不停息，但这仅是一种理想状态。
二、对阻尼自由振动的讨论当阻尼系数ｃ不为０时，体系做阻尼运动。
由于有能量的耗散，体系的运动幅度会逐渐减小，最终停止振动。
有阻尼单自由度体系，自由振动的运动方程为ωξωm c m k t ky t y c t y m 2,0)()()(2===++∙∙∙， 则原式可变为022=++∙∙∙ωξωy y 。
解微分方程有如下结果：2.1 当1<ξ时，即小阻尼运动，方程的解为：)sin(A )sin cos ()(000ϕωωωξωωξωξω+=++=--t e t y v t y e t y d t d d d t 其中2200201)(ξωωωξω-=++=d d y v y A可画出小阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：是一条逐渐衰减的波动曲线2.2 当1>ξ时，即大阻尼的情况，方程的解为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--+=-t ch y t sh v y e t y o t ωξωξξξωωξ11)1()(20220 上式不含有简谐振动的因子，是因为体系受干扰后偏离平衡位置所积蓄起来的初始能量在恢复平衡位置的过程中全部消耗克服阻尼，由于阻尼很大，不足以引起振动。
当初始速度，初始位移都大于０时，可画出大阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：2.3 当1=ξ时，即临界阻尼的情况，方程的解为：[]t v t y e t y t 00)1)(++=-ωω（当初始速度，初始位移都大于０时，可画出临界阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如下图所示；当体系在临界阻尼时，其运动衰减的最快，即他能在最短时间内无振动的回到平衡位置。
结构力学-单自由度体系
应用条件：微幅振动（线性微分方程）
振动方程的建立：
y(t) P(t)
考虑图示单质点的振动过程。杆
件的刚度为EI，质点的质量为
EI
m, 时刻 t 质点的位移y(t)
1. 阻尼力
FD Cy(t) 称为粘滞阻尼力，阻尼力与运动方向相反
一切引起振动衰减的因素均称为阻尼，包括: ①材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失 ②周围介质对结构的阻尼（如，空气的阻力） ③节点，构件与支座连接之间的摩擦阻力 ④通过基础散失的能量
其中 kyj=W 及 yj 0 上式可以简化为
myd kyd 0
或
my ky 0 .......... .......... .......... ......( b)
例题2 试建立图示结构的振动方程，质点的质量m , EI=常数
m
L
L
m
yt
myt
原理：任意时刻受力平衡
yt myt 1 P sint 2
1. 求惯性力为1时质点的位移δ1
求位移的方法：
1. 用位移法求位移
P=1
2. 用变形体系虚功原理
问题
用位移法求位移
1
R1P
R2P
r21 r11
r22 r12
MP图
M1
R1P=0, R2P= -1 , r11=10 i , r21= r12= 3i/L
R
3L
K1
2
y(t 3
)
2L
Cy(t 3
)
L
K
2
y(t) 3L
3L mdx( y(t) x) x 0
单自由度模态分析理论
要点二
非线性模态分析的研 究
目前，大多数模态分析研究都集中在 线性系统上。然而，在许多工程应用 中，非线性因素对结构振动的影响是 不可忽视的。因此，未来可以进一步 研究非线性模态分析方法，以更准确 地描述这些非线性效应。
要点三
智能材料和结构的应 用
随着智能材料和结构的发展，它们在 许多领域的应用越来越广泛。这些材 料和结构具有独特的动态特性，需要 新的模态分析方法来描述。因此，未 来的研究可以探索适用于智能材料和 结构的模态分析方法。
背景
随着工程结构的日益复杂化，模态分析在结构健康监测、振 动控制、地震工程等领域的应用越来越广泛。单自由度模态 分析作为模态分析的基础，为多自由度模态分析提供了理论 支持。
模态分析的定义
模态
模态是结构的固有振动特性，包 括频率、阻尼比和振型。
模态分析
模态分析是通过试验或数值方法 识别结构的模态参数的过程。
模态振型之间具有正交性， 即不同模态的振动不会相 互干扰。
选择性
在实际工程中，可以根据需要 选择特定的模态进行分析，以 简化计算和提高分析效率。
Part
03
单自由度系统的01
激振器激励
STEP 02
自由衰减振动
通过激振器对系统施加激励 ，使其产生振动响应，然后 采集响应信号进行分析。
04
单自由度系统的模态特性分析
模态正交性分析
模态正交性是指在模态空间中，不同的模态之间相互独立， 没有耦合关系。在单自由度系统中，模态正交性表现为各模 态振型函数的正交性，即它们的内积为零。
模态正交性的意义在于，它使得各模态之间互不干扰，各自 独立地响应外部激励，从而使得系统的响应可以通过叠加各 模态的响应得到。
单自由度系统模态计算
单自由度系统模态计算一、引言单自由度系统是结构动力学中一个重要的研究对象，它可以用来描述许多实际工程中的振动问题。
在计算单自由度系统的模态时，我们需要了解什么是模态、模态计算的目的以及常用的计算方法。
二、什么是模态模态是指一个振动系统在固有频率下的振动形态。
对于单自由度系统来说，它的振动主要由一个自由度（通常是一个质点的位移）决定，而模态则是描述这个振动的特征。
每个模态都有一个固有频率和振型。
三、模态计算的目的模态计算的目的是确定单自由度系统的固有频率和振型。
固有频率是系统在没有外力作用下自由振动时的频率，而振型则是系统在该频率下的振动形态。
通过模态计算，可以帮助我们了解系统的振动特性，进而进行动力设计和振动控制。
四、常用的模态计算方法常见的模态计算方法包括解析法和数值计算法。
解析法主要是通过对系统的微分方程进行求解，得到固有频率和振型的解析解。
数值计算法则是利用计算机进行数值模拟，通过数值求解的方法来计算固有频率和振型。
1. 解析法解析法主要有两种常见的方法，即初始条件法和特征值法。
初始条件法是通过给定初始条件，求解系统的微分方程，得到固有频率和振型的解析解。
特征值法则是将系统的微分方程转化为特征值问题，通过求解特征值和特征向量来得到固有频率和振型。
2. 数值计算法数值计算法主要包括有限元法和模态超级位置法。
有限元法是一种常用的工程计算方法，通过将系统离散化为有限个子结构，然后求解子结构的固有频率和振型，最后组合得到整个系统的固有频率和振型。
模态超级位置法则是通过对系统的响应进行频谱分析，得到系统的固有频率和振型。
五、总结通过模态计算，我们可以了解单自由度系统的固有频率和振型，从而更好地理解和分析系统的振动特性。
在实际工程中，模态计算是进行结构动力学分析和振动控制的重要手段。
不同的计算方法可以根据具体情况选择，以获得准确和可靠的结果。
因此，掌握单自由度系统模态计算的方法和原理是非常重要的。
通过本文的介绍，希望读者对单自由度系统模态计算有一个初步的了解，并能够在实际工程中灵活应用。
《理论力学 动力学》 第八讲 单自由度系统的有阻尼自由振动
（2）振动微分方程
如果以平衡位置为坐标原点，则在建立自由振动系统的振
动微分方程时可以不再计入重力的作用。分析物块受力。
k
c
① 恢复力Fe, 方向指向平衡位置O， 大小与偏离平衡位置的距离成正比。
Fe = -kx
O
Fe Fd
② 黏性阻尼力Fd, 方向与速度方向
相反，大小与速度大小成正比。
物块的运动微分方程为：
m
d2x dt 2
Fd = -cvx =
=
-kx
-
c
dx dt
-c
dx dt
x
m
v
方程两边同除以m，并令：
w
2 0
=
k m
(ω0—固有角频率) ,
d2x dt 2
+
2d
dx dt
+
w
2 0
x
=
0
x = e 解d 的= 形2cm式(δ为：—阻尼系数rt),
得到： ——有阻尼自由振动微分方程的标准形式 其中r为待定常数。
3、单自由度系统的有阻尼自由 振动
代入微分方程中，并消去公因子ert，得到本征方程： r2 + 2d r + w02 = 0
本征方程的两个根分别为：r1 = -d +
d
2
-
w
2 0
r2 = -d -
d
2
-
w
2 0
由此得到微分方程的通解： x = C1er1t + C2e r2t
单自由度系统的自由振动理论
向相反。这个比例系数即为所求的圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系。
假设阻力偶矩M=uω，u为阻力偶系 数，则圆盘绕杆轴转动的微分方程为：
广义坐标自由度自由度
非定常几何约束 若约束方程中明显包含时间t， 这种约束就称为非定常几何约束。
v
x2 y 2 z 2 l0 vt
2
1, y 1, z n , y n , z 1,x n , t ) 0 f j ( x1, y1, z1 xn , yn , zn , x
( j 1, 2, s )
（2）定常约束与非定常约束 定常约束 当约束方程中都不包含时间t时， 这种约束称为定常约束。 定常几何约束 z
O
l
y A
约束方程的一般形式：
x
1, y 1, z n , y n , z 1, x n ) 0 f j ( x1, y1, z1 xn , yn , zn , x
它们被用于描述刚体的位形。
4.受约束刚体的自由度
设刚体数为n，则 k = 6n -S
4、约束刚体的自由度与广义坐标
约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动 形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运 动形式时的广义坐标数。
刚体约束情况 刚体上一轴被固定 （定轴转动） 刚体上一点被固定 （定点运动） 刚体被限制作平面平行运 动（平面运动） 刚体被限制作平行移动 （平移） 自由度 1
三、广义坐标、自由度
1、基本概念 自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数
自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数. 空间质点: k 3n s,
平面质点:
k 2n s ,
广义坐标： 用以确定质点系位置的独立参变量
与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标.
自由度为k， 取广义坐标： q1 , q2 qk 一般地： n个质点，
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§8.2 广义性质：刚体集合
b f s k Z (t ) a b .. f 2 rab Z (t ) 2a 1 .. f 1 rab Z (t ) 2 a 2 b 2 1 .. M rab Z (t ) 12 a
高等结构动力学
对于这个简单体系的运动方程，可以直接用。对于铰支座 的力矩平衡来写出： a a f s b f 1 f 2 M p (t )a 2 2
例题E8-2建立刚体集合运动方程的第二个例子，就是图E8-4 所示的体系。这个体系的小振幅运动可以用荷载作用点的竖 向位移Z(t)来描述，而抵抗体系运动的个力可以用Z(t)表达 如下：
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
fs
f
I1
r=质量/面积
f
I2
p(t)
图 E8-4 在动力情况下的单自由度板
v Z
' '
Z v
v Z
(8-30*)
得
t2
t1
L 2 Z Z L m x g (t ) m( x ) dx dx Zv 0 0 L " 2 L '
(8-31*)
L
Z Z EI x ( ) dx NZ Z
高等结构动力学
高等结构动力学
第八章
广义单自由度体系
高等结构动力学
第8章 广义单自由度体系
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 单自由度体系的一般注释 广义性质：刚体集合 广义性质：分布柔性 广义体系特性的表达式 用Rayleigh法进行振动分析 Rayleigh振动形状的选择 改进的Rayleigh法
§8.1 单自由度体系的一般注释
高等结构动力学
§8.1 单自由度体系的一般注释
用一个坐标就可以描述质量的运动，问题就
归结为质量和坐标的选择。
将广义单自由度结构区分为二类： （1）刚体的集合，在这种集合中弹性变形完全限定于 在局部的弹簧元件中发生；
（2）体系具有分布弹性，在这个体系里变形可以在整 个结构上或它的某些元件上连续。
.
(a )
§8.2 广义性质：刚体集合
.. . c1 am 4 [(a m m2 ) Z (t ) ( c2 ) Z (t ) 3 9 16
高等结构动力学
k 9 16 p a ( k1 2 ) Z (t ) f (t )] Z 0 16 9 3
(b)
因为虚位移 Z 是任意的，所以方括号内的项必须 等于零。因此，运动方程最后变为k Nhomakorabea于是
9 1 7 N cr 0 k1 k2 16 9 12 a
27 4 N cr ( k1 k2 )a 28 21
(f)
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
一般来说，轴向压引力趋向减少结构体系的刚度，而轴 向拉力则引起刚度的响应增加。这种荷载对动力荷载下结构 的反应可能有显著影响。而且所引起的刚度改变总是应该算 出，以便确定它在给定问题中的重要性。这里有一点需注意， 在目前以及以后的讨论中均认为轴向力的作用线平行于构件 未变形的原始轴线，并且假定在结构发生运动时它的作用线 方向不变。
(8-15)
(8-16)
体系联合广义刚度
k ＝k －k
*
*
* g
§8.3 广义性质：分布柔性
或者除以长度a且代入上述力的表达式，则
1 b2 1 b2 .. b2 rab [ ( 2 1) 2 ] Z (t ) k 2 Z (t ) p(t ) 12 a 4 4a a
最后可写成
§8.2 广义性质：刚体集合
..
高等结构动力学
m* Z (t ) k * Z (t ) p* (t )
假定这个体系只能按唯一的形状挠曲
v( x, t ) x Z t
形状函数
(8-2)
x
2 1 L ( x, t ) dx T m x v (8-25*) 塔动能 2 0
v ( x, t ) Z t
(8-3)
图 8-2 可作单自由度处理的柔性结构
N v ' ( x, t ) v 'dx peff (t ) v dt 0 0
(8-29*)
§8.3 广义性质：分布柔性
高等结构动力学
存在下列关系
t v g v v
v Z
" "
v' ' Z
Z v
v v
t
v" " Z
3a
7 Z (t ) e1 e2 Z 12 a
于是轴向力做的虚功为
WN
7 NZ Z 12 a (d )
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
把方程(d)代入方程(a)，同时进行类似于导致方程(c)的简 化计算后，可见在运动方程内仅刚度这一项收到轴向力影响。 当考虑体系内轴力的效应时，联合广义刚度 * 减小为
图 E8-3 在轴力方向的位移成分
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
现在来讨论图E8-1中的轴力N。在图E8-3中可以看出，这个力 e2 在发生虚位移 e 时所作的虚功为N e ，这个虚位移由 e1 和 二部分组成，它们与二杆的转动有关，首先讨论伴随AB杆的转 Z e ( ) Z 。同 1 动所产生的影响。由图示三角形可知 4a 样的，可以求得 e2 ( Z ) Z ，因此，总位移成为
高等结构动力学
例题E8-1 一个典型的刚体集合的例子示于图E8-1，它由两 根刚性杆组成，二杆间用铰B链接，在A点和H点分别支承于 固定铰支座和滚轴支座上，动力干扰是沿杆AE长度线性变化 的横向荷载p(x,t).此外，还有一个不变的轴向力N作用在整 个体系上。体系的运动受到离散弹簧和阻尼器的约束，它们 沿杆长的设置位置如图所示。AB杆的质量是沿杆均匀分布的， 而在无重杆EH上支撑一集中质量m2，具有质量惯性矩J2。
P1 E' D' D fD1 fi1 B' F' G'
D
E
fs1
B fD2
F
fi2
G
fs2
§8.2 广义性质：刚体集合
3 f s1 k1 ( EE ) k1 Z (t ) 4 1 ' f s 2 k2 (GG ) k2 Z (t ) 3 . dDD ' 1 f D1 c1 ( ) c1 Z (t ) dt 4
.. . c1 k2 4 4 9 ( m a m2 ) Z (t ) ( c2 ) Z (t ) ( k1 ) Z (t ) 3 9 16 16 9
16 p a f (t ) 3
(c )
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
它也可以简化形式
m Z (t ) c Z (t ) k Z (t ) p (t )
* * * *
其中新符号的定义为
4 4 m m a m2 3 9
*
..
.
（8-1）
c*
c1 c2 16 16 p a f (t ) 3
k*
k 9 k1 2 16 9
p*
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
这些符号分别称为此体系的广义质量，广义阻尼，广义 刚度和广义荷载，他们根据广义坐标 Z (t ) 计算，而 Z (t ) 在此用以确定体系的位移。
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
m 表示单位长度的质量，而 f (t ) 表示动荷载变化。
P1 E' D' D fD1 fi1 B' F' G'
D
E
fs1
B fD2
F
fi2
G
fs2
图 E8-2 单自由度位移及合力
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
体系的运动方程可以用于作用于体系上的力在发生虚位移 Z 时所作的总功等于零来建立。如图E8-2所示，虚位移和Z成 正比，由于有虚位移，各个分力发生移动，因此总虚功可以 写为
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
§8.2 广义性质：刚体集合
刚体的集合，在这种集合中弹性变形完全 限定于在局部的弹簧元件中发生。
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
均质杆及均质板的质量及质量惯性矩
图 8-1 均质杆和单位厚度均质板的刚体质量和质心质量惯性矩
§8.2 广义性质：刚体集合
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
假定两根杆都是刚性的，体系只有一个自由度，其动力 反应可由一个运动方程来表达。 可以用直接平衡法来建立，因为体系较复杂，用虚功原 理来建立运动方程。
§8.2 广义性质：刚体集合
高等结构动力学
结构可能产生的位移如图E8-2所示，可以用铰的运动Z(t)作为 基本量，而它的一切位移可以利用它来表示。例如DD’=Z/4, EE’=3Z/4,FF’=2Z/3等等。作用于体系上的力也示于图中，每 一个抗力均可用Z或它对时间的导数表达如下：
§8.3 广义性质：分布柔性 弯曲变形位能
2 1 L Vt EI x v "( x, t ) dx 0 2 2 1 L ' e t v ( x, t ) dx 0 2
高等结构动力学
(8-26*) (8-11)
塔顶竖向位移分量 轴向力N的位能