2019年安徽师大附中自主招生数学试题及答案
安徽师大附中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)
＝－
１２ａ２
＋ｂ２
＋ａｂ＝１００
……………………… ８分
又由（１）知 ａ２ ＋ｂ２ －ｃ２ ＝ａｂ即 ａ２ ＋ｂ２ －４８＝ａｂ
所以 ａｂ＝２６，
所以
Ｓ＝
１ ２ａｂｓｉｎＣ＝Βιβλιοθήκη １ ２×２６×槡２３
＝１３２槡３
……………………………………
１０分
２０．（本小题满分 １０分）
（１）由已知可得２ａｎｎ＋＋１１
×０．１＋２９０×０．０５ ………………………………………………………………… ９分 —ｘ＝２２５．６ ………………………………………………………………………… １０分
１９（本小题满分 １０分）
（１）由正弦定理得ａｂ－ｃ＝ａａ－＋ｂｃ，化简得 ａ２ ＋ｂ２ －ｃ２ ＝ａｂ．………………………… ２分
在
△ＰＭＮ中，由正弦定理得，ｓｉｎ∠ＭＮＭＰＮ
＝
ＰＭ
ｓｉｎ（１２０°－α）
＝ ＰＮ ｓｉｎα
＝４
所以 ＰＭ ＝４ｓｉｎ（１２０°－α），ＰＮ ＝４ｓｉｎα ………………………………………… ５分
所以 ＰＭ ＋ＰＮ ＝４ｓｉｎ（１２０°－α）＋４ｓｉｎα ＝４（槡２３ｃｏｓα＋１ ２ｓｉｎα）＋４ｓｉｎα
２１．（本小题满分 １０分）
（１）在 △ＡＭＮ中，由余弦定理得，
ＭＮ２ ＝ＡＭ２ ＋ＡＮ２ －２ＡＭ·ＡＮｃｏｓ１２０°＝２２ ＋２２ －２×２×２×（－１） ＝１２， ２
所以 ＭＮ ＝２槡３千米 ……………………………………………………………… ３分
（２）设 ∠ＰＭＮ ＝α，因为 ∠ＭＰＮ ＝６０°，所以 ∠ＰＮＭ ＝１２０°－α，
ｆ（ｘ） ＜０即（ｘ－２ａ）［ｘ－（ａ＋１）］ ＜０ ………………………………………… ５分
2019-2020学年安徽师大附中高二(上)期中数学试卷(理科)试题及答案(解析版)
2019-2020学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．方程0()(o y y k x x -=- ) A ．可以表示任何直线 B ．不能表示过原点的直线C ．不能表示与y 轴垂直的直线D ．不能表示与x 轴垂直的直线2．设α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，且m α⊂，(n β⊂ ) A ．若m ，n 是异面直线，则α与β相交 B ．若//m β，//n α则//αβC ．若m n ⊥，则αβ⊥D ．若m β⊥，则αβ⊥3．过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( ) A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=或250x y -=C ．210x y --=D ．210x y --=或250x y -=4．给出三个命题：①线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面，②在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面，③空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行．正确的是( ) A ．②③B ．①②C ．①②③D ．②5．某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是平行四边形A B C D ''''，如图2所示．其中24A B A D ''=''=，则该几何体的表面积为( )A ．1612π+B ．168π+C ．1610π+D ．8π6．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，则下列结论正确的是( )A ．PB AD ⊥B ．平面PAB ⊥平面PBC C ．直线//BC 平面PAED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45︒7．已知三棱锥A BCD -中，BC CD ⊥，AB AD =，1BC =，CD =，则该三棱锥的外接球的体积为( )A ．43π B ．83π C D ．36π8．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是( )A ．8B ．CD ．169．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知{(x ，)|(3)34}{(y m x y m x ++=-，)|7(5)80}y x m y +--==∅，则直线(3)34m x y m ++=+与坐标轴围成的三角形面积是( )A ．2B ．4C ．1287D ．2或128711．如图，正四面体D ABC -的顶点A 、B 、C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz上，则在下列命题中，错误的是( )A ．O ABC -是正三棱锥B ．直线OB 与平面ACD 相交C ．直线CD 与平面ABCD ．异面直线AB 和CD 所成角是90︒12．如图，正方体1AC 的棱长为a ，作平面α（与底面不平行）与棱1A A ，1B B ，1C C ，1D D 分别交于E ，F ，G ，H ，记EA ，FB ，GC ，HD 分别为1h ，2h ，3h ，4h ，若1232h h h +=，3433h h h +=，则多面体EFGH ABCD -的体积为( )A ．21710a h B ．2278a hC ．2376a hD ．2474a h二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分把答案填在答题卡的相应位置. 13．在正三棱锥P ABC -中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个论断：①AC PB ⊥；②//AC 平面PDE ； ③AB ⊥平面PDE ．其中正确的个数是 ．14．若直线2(1)(2)1m x m m y m ++--=+在y 轴上的截距等于1，则实数m 的值为 ．15．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的表面积之比为 ．16．表面积为20π的球面上有四点S 、A 、B 、C ，且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为1，若平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -体积的最大值为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17．已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)0l a x y b -++=．求分别满足下列条件的a ，b 的值．（1）直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与2l 垂直；（2）直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l ，2l 的距离相等．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且2AB =，60BAD ∠=︒． （1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）当三棱锥M BCD -PB 的长．19．已知直线:120()l kx y k k R -++=∈． （1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．20．如图．在直棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC ==，13AA =，D 是BC 的中点，点E 在棱1BB 上运动． （1）证明：1AD C E ⊥；（2）当异面直线AC ，1C E 所成的角为60︒时，求三棱锥111C A B E -的体积．21．如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，//CB DA ，2EA DA AB CB ===，EA AB ⊥，M 是EC 的中点．（1）求异面直线DM 与BE 所成角的大小； （2）求二面角M BD A --的余弦值．2019-2020学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．方程0()(o y y k x x -=- ) A ．可以表示任何直线 B ．不能表示过原点的直线C ．不能表示与y 轴垂直的直线D ．不能表示与x 轴垂直的直线【解答】解：方程0()o y y k x x -=-是直线的点斜式方程， 当直线垂直x 轴时，斜率不存在，不能用点斜式表示． 故选：D ．2．设α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，且m α⊂，(n β⊂ ) A ．若m ，n 是异面直线，则α与β相交 B ．若//m β，//n α则//αβC ．若m n ⊥，则αβ⊥D ．若m β⊥，则αβ⊥【解答】解：由α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，且m α⊂，n β⊂，知：在A 中，若m ，n 是异面直线，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，若//m β，//n α，则α与β相交或平行，故B 错误； 在C 中，若m n ⊥，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，若m β⊥，则由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故D 正确． 故选：D ．3．过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( ) A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=或250x y -=C ．210x y --=D ．210x y --=或250x y -=【解答】解：当直线过原点时，再由直线过点(5,2)，可得直线的斜率为25， 故直线的方程为25y x =，即250x y -=． 当直线不过原点时，设直线在x 轴上的截距为k ，则在y 轴上的截距是2k ，直线的方程为12x y k k+=， 把点(5,2)代入可得5212k k+=，解得6k =． 故直线的方程为1612x y+=，即2120x y +-=． 故选：B ．4．给出三个命题：①线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面，②在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面，③空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行．正确的是( ) A ．②③B ．①②C ．①②③D ．②【解答】解：①错误．如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交．②正确．如图，平面//αβ，A α∈，C α∈，D β∈，B β∈且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过C 作//CG AB 交平面β于G ，连接BG 、GD ． 设H 是CG 的中点，则//EH BG ，//HF GD ． //EH ∴平面β，//HF 平面β． ∴平面//EHF 平面//β平面α．//EF α∴，//EF β．③不正确．如图，设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，E 为AB 的中点，过E 作//a a '，//b b '，则a '、b '确定的平面即为与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等的平面，并且它是唯一确定的．与平面EFH 平行的平面（与异面直线不重合的平面）与两条异面直线都平行．故选：D ．5．某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是平行四边形A B C D ''''，如图2所示．其中24A B A D ''=''=，则该几何体的表面积为( )A ．1612π+B ．168π+C ．1610π+D ．8π【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：是半个圆柱， 所以几何体的表面积为：2224441612πππ++⨯=+． 故选：A ．6．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，则下列结论正确的是( )A ．PB AD ⊥B ．平面PAB ⊥平面PBC C ．直线//BC 平面PAED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45︒ 【解答】解：AD 与PB 在平面的射影AB 不垂直，所以A 不成立，又，平面PAB ⊥平面PAE ，所以平面PAB ⊥平面PBC 也不成立；////BC AD 平面PAD ， ∴直线//BC 平面PAE 也不成立．在Rt PAD ∆中，2PA AD AB ==，45PDA ∴∠=︒， 故选：D ．7．已知三棱锥A BCD -中，BC CD ⊥，AB AD =，1BC =，CD =，则该三棱锥的外接球的体积为( )A ．43π B ．83π C D ．36π【解答】解：如图，BC CD ⊥，1BC =，CD =， 2BD ∴=，AB AD ==，AB AD ∴⊥，BD ∴的中点O 为外接球球心，故半径为1， 体积为43π， 故选：A ．8．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是( )A ．8B ．CD ．16【解答】解：根据题意，点(,)P x y 在直线40x y +-=上， 则有4x y +=，即4x y =-，则222222(4)28162(2)8x y y y y y y +=-+=-+=-+， 分析可得：当2y =时，22x y +取得最小值8， 故选：A ．9．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA ⊥底面ABCD ，AC =，CD =，3PC =，PD =，可得三角形PCD 不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：PAB ∆，PBC ∆， PAD ∆．故选：C ．10．已知{(x ，)|(3)34}{(y m x y m x ++=-，)|7(5)80}y x m y +--==∅，则直线(3)34m x y m ++=+与坐标轴围成的三角形面积是( )A ．2B ．4C ．1287D ．2或1287【解答】解：因为{(x ，)|(3)34}{(y m x y m x ++=-，)|7(5)80}y x m y +--==∅， 所以3134758m m m +-=≠-，解得2m =-． 所以直线方程为20x y ++=．它与坐标轴的交点为(2,0)-与(0,2)-．直线20x y++=与坐标轴围成的三角形面积是12222⨯⨯=．故选：A．11．如图，正四面体D ABC-的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz 上，则在下列命题中，错误的是()A．O ABC-是正三棱锥B．直线OB与平面ACD相交C．直线CD与平面ABCD．异面直线AB和CD所成角是90︒【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，ABC∴∆为等边三角形，又OA、OB、OC两两垂直，OA∴⊥面OBC，OA BC∴⊥．过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BC AM⊥，M∴为BC中点，同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，N∴为底面ABC∆中心，O ABC∴-是正三棱锥，故A正确；对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行．则B正确；对于C，CD在平面ABC AC，直线CD与平面ABC C错误；对于D，AB和OE垂直，且OE平行于CD，则异面直线AB和CD所成的角为90︒，故D正确．故选：C．12．如图，正方体1AC 的棱长为a ，作平面α（与底面不平行）与棱1A A ，1B B ，1C C ，1D D 分别交于E ，F ，G ，H ，记EA ，FB ，GC ，HD 分别为1h ，2h ，3h ，4h ，若1232h h h +=，3433h h h +=，则多面体EFGH ABCD -的体积为( )A ．21710a h B ．2278a hC ．2376a hD ．2474a h【解答】解：由正方体的对面平行及面面平行的性质定理得： //EF GH ，//EH FH ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，连结AC ，BD 交于点O ，连结EG ，FH ，交于点1O ， 连结1OO ，则123412h h h h OO +=+=， 1232h h h +=，3433h h h +=，∴1343h h =，2323h h =，4353h h =， 两个多面体EFGHABCD 可以拼成都市个长方体， ∴多面体EFGHABCD 的体积为：222221331247777268410h h V a a h a h a h a h +=====． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分把答案填在答题卡的相应位置. 13．在正三棱锥P ABC -中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个论断：①AC PB ⊥；②//AC 平面PDE ； ③AB ⊥平面PDE ．其中正确的个数是 2 ．【解答】解：①根据正三棱锥的性质可知对棱互相垂直，故正确； ②//AC DE ，AC ⊂/面PDE ，DE ⊂面PDE ，//AC ∴平面PDE ，故正确；③若AB ⊥平面PDE ，则AB DE ⊥，因为//DE AC ，AC 与AB 不垂直，如图，③显然不正确．故答案为：2．14．若直线2(1)(2)1m x m m y m ++--=+在y 轴上的截距等于1，则实数m 的值为 3 ． 【解答】解：由题意可知直线过(0,1)，代入可得221m m m --=+，变形可得2230m m --=， 解得3m =，或1m =-当1m =-时，2120m m m +=--=，不满足题意， 故答案为：315．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的表面积之比为 61:4 ．【解答】解：设球的半径为R ，则圆柱的表面积为2212226S R R R R πππ=+=， 圆锥的表面积2225(51)S R R R R πππ=+=+， 球的表面积234S R π=，所以表面积之比为61:4+．故答案为：61:4+．16．表面积为20π的球面上有四点S 、A 、B 、C ，且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为1，若平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -体积的最大值为 【解答】解：过球心O 作平面ABC 的垂线段OD ，垂足为D ，过D 作DE AB ⊥，垂足为E ， 连接BD ，则OD BD ⊥，OD DE ⊥，如图所示；则球的表面积为2420OB ππ=，解得半径OB =；又1OD =，2BD ∴===； 又ABC ∆是等边三角形，D ∴是ABC ∆的中心， 112DE BD ∴==，2AB BE ====；223ABC S AB ∆∴=== 由球的对称性可知当S 在AB 的中垂线上时，S 到平面ABC 的距离最大， 过O 作平面SAB 的垂线段SH ，垂足为H ，平面SAB ⊥平面ABC ，DE AB ⊥，平面SAB ⋂平面ABC AB =，DE ⊂平面ABC ， DE ∴⊥平面SAB ；又SE ⊂平面SAB ， DE SE ∴⊥，∴四边形ODEH 是矩形，1OH DE ∴==，1HE OD ==，OS OB ==2SH ∴===，213SE SH HE ∴=+=+=；则三棱锥面积的最大值为：11333ABC S ABC V S SE ∆-=⋅⋅=⨯=三棱锥．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17．已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)0l a x y b -++=．求分别满足下列条件的a ，b 的值．（1）直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与2l 垂直；（2）直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l ，2l 的距离相等． 【解答】解：（1）12l l ⊥，(1)()10a a b ∴-+-=，即20a a b --=①又点(3,1)--在1l 上， 340a b ∴-++=②由①②得2a =，2b =． （2）12//l l ，∴1a a b =-，1ab a∴=-，故1l 和2l 的方程可分别表示为： 4(1)(1)0a a x y a --++=，(1)01aa x y a-++=-， 又原点到1l 与2l 的距离相等． 14||||1a a a a -∴=-，2a ∴=或23a =， 2a ∴=，2b =-或23a =，2b =． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且2AB =，60BAD ∠=︒． （1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）当三棱锥M BCD -PB 的长．【解答】证明：（1）PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，底面ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥， AC ⊂面PAC ，PA ⊂面PAC ，ACPA A =，BD ∴⊥平面PAC ，BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC ．（2）因为底面ABCD 是菱形，M 是PD 的中点，所以1124M BCD M ABCD P ABCD V V V ---==，从而P ABCD V -=．又2AB =，60BAD ∠=︒，所以ABCD S =，四棱锥P ABCD -的高为PA ，∴13PA ⨯=，得32PA =，PA ⊥面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，PA AB ∴⊥．在Rt PAB ∆中，52PB ===．19．已知直线:120()l kx y k k R -++=∈． （1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【解答】解：（1）直线l 的方程可化为：21y kx k =++，则直线l 在y 轴上的截距为21k +， 要使直线l 不经过第四象限，则0120k k ⎧⎨+⎩……，解得k 的取值范围是：0k ⋯…（2）依题意，直线l 在x 轴上的截距为：12kk+-，在y 轴上的截距为12k +， 12(k A k +∴-，0)，(0,12)B k +，又120kk+-<且120k +>， 0k ∴>，故1112111||||(12)(44)(44)42222k S OA OB k k k k +==⨯+=+++=…，当且仅当14k k=，即12k =时取等号， 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=⋯20．如图．在直棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC ==，13AA =，D 是BC 的中点，点E 在棱1BB 上运动． （1）证明：1AD C E ⊥；（2）当异面直线AC ，1C E 所成的角为60︒时，求三棱锥111C A B E -的体积．【解答】解：（1）直棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，1AD BB ∴⊥ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 中点，AD BC ∴⊥又BC 、1BB ⊂平面11BB C C ，1BC BB B =AD ∴⊥平面11BB C C ，结合1C E ⊂平面11BB C C ，可得1AD C E ⊥；（2）直棱柱111ABC A B C -中，11//AC A C ，11EC A ∴∠（或其补角）即为异面直线AC 、1C E 所成的角 11190BAC B A C ∠=∠=︒，1111A C A B ∴⊥，又1AA ⊥平面111A B C ，可得111A C AA ⊥，∴结合1111A B AA A =，可得11A C ⊥平面11AA B B ，1A E ⊂平面11AA B B ，111A C A E ∴⊥因此，Rt △11A C E 中，1160EC A ∠=︒，可得111111cos 2A C EC A C E ∠==，得1112C E A C ==又112B C ==，12B E ∴==由此可得1111111111223323C A B E A B EV SA C -=⨯=⨯⨯=21．如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，//CB DA ，2EA DA AB CB ===，EA AB ⊥，M 是EC 的中点．（1）求异面直线DM 与BE 所成角的大小； （2）求二面角M BD A--的余弦值．【解答】解：DA ⊥平面EAB ， ∴平面ABCD ⊥平面EAB ，又EA AB ⊥，且平面ABCD ⋂平面EAB AB =， EA ∴⊥平面ABCD ，∴直线AE 、AB 、AD 两两垂直，以点A 为原点，AE 、AB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设4EA =，(0A ∴，0，0)，(0B ，4，0)，(0C ，4，2)，(0D ，0，4)，(4E ，0，0)，M 是EC 的中点， (2M ∴，2，1)，（1）(2,2,3)DM =-，(4,4,0)BE =-，∴cos ,0||||491616DM BE DM BE DM BE <>===+，∴异面直线DM 与BE 所成角的大小为90︒；（2）设二面角M BD A --的大小为θ， (0,4,4)BD =-，(2,2,1)BM =-，(0,4,0)AB =，∴平面BDM 的一个法向量1(4,8,8)n =，平面BDA 的一个法向量2(16,0,0)n =-∴121212||1|cos ||cos ,|3||||16n n n n n n θ=<>===，由图可知，θ为锐角，∴二面角M BD A --的余弦值为13．。
【2020-2021自招】安徽师范大学附属中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年安徽师范大学附属中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
2019-2020学年安徽师范大学附中高一期中数学试题及答案
2019-2020学年安徽师范大学附中高一期中数学试题及答案一、单选题1．下列集合符号运用不正确的是( ) A ．2Z ∈ B ．}{}{1,2,31,2⊆ C ．{}12⋂∅=∅，D ．N R R ⋃= 【答案】B【解析】根据集合知识,逐项分析,即可求得答案. 【详解】对于A,由2Z ∈,故A 正确; 对于B,因为}{}{1,21,2,3⊆,故B 错误;对于C,因为{}12⋂∅=∅，,故C 正确; 对于D,因为N R R ⋃=,故D 正确. 故选:B. 【点睛】解题关键是掌握集合的基础知识,考查了分析能力,属于基础题.2．设集合1|2M y y ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭,{}|1N x x =<,则M N =()A ．1|2y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ B ．{}|1x x <C ．1|12x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭D ．∅ 【答案】C【解析】根据交集定义,即可求得答案.11|,22M y y ⎧⎫⎡⎫=≥=+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭{}()|1,1N x x =<=-∞∴()11,,1,122M N ⎡⎫⎡⎫⋂=+∞⋂-∞=⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭故选: C. 【点睛】本题主要考查了交集运算,解题关键是掌握交集定义,考查了计算能力,属于基础题.3．已知集合{}1,0,4A =-,集合{}2|230,B x x x x N =--≤∈,全集为U ,则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{}4B ．{}1,4-C ．{}0,4D ．{}1,0-【答案】B【解析】化简集合B ,分析可得阴影部分所表示的集合为()U A B ,根据补集定义和交集定义,即可求得答案.【详解】 化简{}{}2|230,{|13,}0,1,2,3B x xx x N x x x N =--≤∈=-≤≤∈=分析可得阴影部分所表示的集合为()U AB{}1,0,4A =-结合韦恩图可得:{}()1,4U A B ⋂=- 故选: B. 【点睛】本题主要考查了根据韦恩图求解集合运算,解题关键是掌握集合基本知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 4．已知11232f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭且()6f m =，则m 的值为（ ）A ．32-B ．32C ．14D ．14-【答案】D【解析】令11,2+22m x x m =-=代入11232f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，求出()f m ，再由()6f m =，即可求出结果. 【详解】令11,222m x x m =-=+，则()4+7f m m =，1()647,4f m m m ==+∴=-. 故选:D. 【点睛】本题考查由复合函数的解析式求函解析式，常用的方法有：换元法、拼凑法、待定系数法、解方程法，注意解题方法的积累，属于基础题.5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，32()2f x x x =-，则(3)f =()A ．9B ．-9C ．45D ．-45【答案】C【解析】函数()f x 为奇函数，有(3)(3)f f =--，再把3x =-代入已知条件得到(3)f 的值.因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以32(3)(3)[(3)2(3)](2718)45f f =--=----=---=. 【点睛】本题考查利用奇函数的定义求函数值，即(3)(3)f f =--，考查基本运算能力.6．若函数()y f x =的定义域是[0，4]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[]0,8 B ．[]0,1)(1,8⋃ C ．[]0,1)(1,2⋃ D ．[]0,2【答案】C【解析】先根据抽象函数()y f x =的定义域，求出(2)f x 的定义域，结合分式，可得选项. 【详解】 因为()y f x =的定义域是[0，4]，所以024x ≤≤，即02x ≤≤；由于10x -≠，所以1x ≠，故选：C. 【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，抽象函数的定义域的求解策略是整体代换，侧重考查数学抽象的核心素养. 7．若1a >,01c b <<<,则下列不等式不正确的是( ) A ．20192019log log a b > B ．log log c b a a > C ．c ba a <D ．a a b c <【答案】D【解析】根据对数函数的单调性和指数函数的单调性,结合不等式的性质,逐项判断,即可求得答案.对于A,根据2019log y x =是单调增函数,由1a >,01c b <<<,可得0a b >>,所以20192019log log a b >,故A 正确;对于B,log 1log log log a c a a a a c c ==,log 1log log log a ba a a ab b==又log ,(1)a y x a =>是单调增函数当01c b <<<,可得log log 0a a c b <<∴11log log a a c c >故log log c b a a >,故B 正确;对于C,根据x y a =(1a >)是单调增函数,由01c b <<<,可得c b a a <,故C 正确;对于D,由1a >,01c b <<<,根据ay x =(1a >)单调性递增可知:a a b c >,故D 错误 综上所述, D 错误. 故选: D. 【点睛】本题主要考查了对数单调性和指数单调性,及其不等式的基本性质,解题关键是掌握函数的基本性质和熟练使用不等式的基本性质,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.8．已知幂函数()y f x =图像过点(2,)2,则关于此函数的性质下列说法错误的是( ) A ．()f x 在()0,∞+上单调递减 B ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数C ．()f x 的值域为[)0,+∞D ．()f x 图像与坐标轴没有交点 【答案】C【解析】求出幂函数的解析式,从而判断函数的奇偶性和单调性,即可求得答案. 【详解】设()f x x α=(α是常数)幂函数()y f x =图像过点∴12222α-== 12α∴=-12()f x x-∴==对于A,因为12()f x x-==,根据幂函数图像可知:()f x 在()0,∞+上单调递减,故A 正确;对于B,因为12()f x x-==可得()f x 既不是奇函数也不是偶函数,故B 正确; 对于C,因为12()f x x-==可得值域为()0,∞+,故C 错误;对于D,12()f x x-==,根据幂函数图像可知:()f x 图像与坐标轴没有交点,故C 正确. 综上所述, C 错误.【点睛】本题主要考查了根据幂函数上的点求幂函数解析式,及其判断函数相关性质,解题关键是掌握幂函数的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9．如果函数()f x 对任意实数a ,b 满足()()()f a b f a f b +=,且1(1)2f =,则(2)(4)(6)(2020)...(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f ++++=( )A ．505B ．1010C ．1515D ．2020【答案】A 【解析】因为()()()f a b f a f b +=,可得()()()f a b f b f a +=,令1b =,故(1)1(1)()2f a f f a +==,即可求得答案. 【详解】函数()f x 对任意实数a ,b 满足()()()f a b f a f b +=∴()()()f a b f b f a += 令1b =,故(1)1(1)()2f a f f a +== (2)(4)(6)(2020)11010505(1)(3)(5)(2019)2f f f f f f f f ∴+++⋯+=⨯= 故选:A. 【点睛】本题主要考查了根据函数关系式求函数值,解题关键是掌握由函数关系式求值的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10．函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.11．设函数()31,1{2,1x x x f x x -<=≥，则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．0,1C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞【答案】C【解析】【详解】试题分析：令()f a t =，则()2tf t =，当1t <时，312t t --，由()312tg t t =--的导数为()32ln 2t g t =-'，当1t <时，在(,1)-∞递增，即有()()10g t g <=，则方程无解；当1t ≥时，22t t =成立，由()1f a ≥，即311a -≥，解得23a ≥且1a <；或1,21a a ≥≥解得0a ≥，即为1a ≥，综上所述实数a 的取值范围是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.【考点】分段函数的综合应用. 【方法点晴】本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查，注重考查了分类讨论思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中构造新的函数()312t g t t =--，利用新函数的性质是解答的关键.12．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增,且(1)(2)f mx f x +≤-对任意的1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,则m 的取值范围是( )A．11,62⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】因为()f x 定义在R 上偶函数,且在[)0,+∞上单调递增,根据偶函数关于y 轴对称可知:()f x 在(]0-∞，上单调递减,由(1)(2)f mx f x +≤-,即12mx x +≤-,分别讨论23x ≤≤和122x ≤<,即可求得答案. 【详解】()f x 定义在R 上偶函数,且在[)0,+∞上单调递增根据偶函数关于y 轴对称可知:∴()f x 在(]0-∞，上单调递减(1)(2)f mx f x +≤-∴12mx x +≤-①当23x ≤≤12mx x +≤-可化为:1212mx x mx x +≤-⎧⎨+≥-⎩要保证(1)(2)f mx f x +≤-对任意的[]2,3x ∈恒成立只需保证:[][]min max 31,2,311,2,3m x x m x x ⎧⎛⎫≤-∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪≥-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩即:1212m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩,故12m =- ②当122x ≤<12mx x +≤-可化为:1212mx x mx x +≤-⎧⎨+≥-⎩要保证(1)(2)f mx f x +≤-对任意的1,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒成立只需保证:min max 311,,22111,,22m x x m x x ⎧⎛⎫⎡⎫≤-∈ ⎪⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭⎪⎨⎛⎫⎡⎫⎪≥-∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩即:51m m ≤-⎧⎨≥⎩,无解. 综上所述,m 的取值范围是:12m =-. 故选:D. 【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求参数范围,解题关键是掌握函数基本性质和求解函数不等式恒成立的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.二、填空题13．集合{}1,0,4A =-,集合{}0,2,4B =,则A B 的子集个数为__________. 【答案】4个【解析】根据交集定义求得AB ,根据子集计算公式,即可求得答案. 【详解】集合{}1,0,4A =-,集合{}0,2,4B =∴{}0,4A B ⋂=根据子集个数计算公式:2n . 可得AB 的子集个数为:224=∴A B 的子集个数为:4个故答案为:4个. 【点睛】本题主要考查了交集运算和求子集个数,解题关键是掌握交集定义和子集定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.14．以下结论中,正确结论的序号是__________． ①lg(lg10)0=; ②lg(ln )0e =; ③若lg 1x =,则10x =; ④若8log 2x =,则3x =-; ⑤若3log log 2m n m ⋅=,则9n =. 【答案】①②③⑤【解析】根据指数运算,逐项检验,即可求得答案. 【详解】对于①,因为(10)10lg lg lg ==,故①正确;对于②,因为lg?(ln )lg10e ==,故②正确; 对于③,因为lg 1x =,则110x =,即10x =,故③正确;对于④,因为8log 2x =,则82x =,即13x =,故④错误; 对于⑤,3lg lg lg log log 2lg lg3lg3m n m nn m m ⋅=⋅== ∴lg 2lg 3n=,可得:lg lg9n = 解得:9n =.故⑤正确. 故答案为:①②③⑤. 【点睛】本题主要考查了指数运算,解题关键是掌握指数运算基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.15．设2()log f x x =-,()g x 的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称,()h x 的图像由()g x 的图像向左平移1个单位得到,则()h x =__________．【答案】11()2x +【解析】根据函数()g x 的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称,求出()g x ,再根据平移求出()h x ,即可求得答案. 【详解】212()log log f x x x=-=根据()g x 的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称∴1()2⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x()h x 的图像由()g x 的图像向左平移1个单位得到根据函数的左加右减可得:+11()2x h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为:+11()2x h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了函数的对称变换和平移变换,解题关键是掌握对称变换和平移变换的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.16．已知函数()()0,1x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则a b +=__________. 【答案】3或1918- 【解析】因为函数()()0,1xf x ab a a =+>≠,讨论1a >和01a <<,根据函数的单调性,即可求得答案. 【详解】①当1a >时,根据指数函数单调可知:x y a =是单调递增函数,∴此时()()0,1x f x a b a a =+>≠单调递增,可得:()010f b =+=,解得1b =-1211()122f a --=-=-,即1212a -= 解得:4a =.∴3a b +=②当01a <<时,根据指数函数单调可知:x y a =是单调递减函数,∴此时()()0,1x f x a b a a =+>≠单调递减,可得:()1012f b =+=-,解得:32b =-1213()022f a --=-=,即1232a -= 解得:49a =.∴1918a b +=-综上所述,3a b +=或1918a b +=- 故答案为:3或1918-. 【点睛】本题主要考查了根据函数定义域和值域相同求参数问题,解题关键是掌握指数函数的单调性和函数的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.三、解答题 17．化简求值: （1）122.5053[(64)]π-（2）52log 333325log 2log 59-+ 【答案】（1）114e -（2）11【解析】（1）根据指数幂运算,即可求得答案; （2）根据对数运算,即可求得答案. 【详解】 （1）122.5053[(64)]π-+6521252322(2)1e ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--2221e -=+--134e =+- 114e =-（2）52log 333325log 2log 59-+ 25log 353332log 2log 59=-+ 5log 93332log 32log 59=-+2911=+=【点睛】本题主要考查了指数幂运算和对数运算,解题关键是掌握指数幂运算和对数运算基础知识,考查了计算能力,属于基础题.18．已知函数()|21|f x x =-.（1）用分段函数的形式表示该函数;（2）在所给的坐标系中画出该函数的图像,并根据图像直接写出该函数的定义域、值域(不要求写作图及解答过程) 【答案】（1）121()2()112()2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩（2）图见解析，定义域R ，值域[0,)+∞ 【解析】（1）因为()|21|f x x =-,分别讨论12x ≥和12x <,即可求得答案; （2）由（1）得:121()2()112()2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩,画出函数图像,即可求得答案.（1）()|21|f x x =-当12x ≥,()21f x x =-; 当12x <,()12f x x =-∴121()2()112()2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩（2）由（1）得:121()2()112()2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩画出函数的图像,如图:根据函数图像可知:()f x 定义域R ,值域[0,)+∞. 【点睛】本题主要考查了求解带绝对值的函数,解题关键是掌握函数的基础知识和函数图像的画法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.19．设全集U =R ,已知集合2{|(2)0}M x x =-≤,2{|60}N x x x =+-≤. （1）求()U M N ;（2）已知集合{|132,}B x a x a a R =-≤≤-∈,若A B A ⋃=,求实数a的取值范围.【答案】（1）{|32}x x -≤<（2）{|53}A B x x ⋃=-≤< 【解析】（1）化简集合M ,N ,求得UM,根据交集定义,即可求得答案;（2）因为A B A ⋃=,可得B A ⊆,分别讨论B =∅和B ≠∅,即可求得答案. 【详解】 （1）2{|(2)0}M x x =-≤∴{2}M =故{|2}UM x x =≠2{|60}N x x x =+-≤ ∴{|32}N x x =-≤≤∴(){|2}{|32}{|32}U M N x x x x x x ⋂=≠⋂-≤≤=-≤<（2）集合{|32}A x x =-≤<,A B A ⋃=,∴B A ⊆①当B =∅,则132a a ->-, 解得43a > ②当B ≠∅,即43a ≤时, 则13322a a -≥-⎧⎨-<⎩,解得:12a >∴1423a <≤, 综上所述,12a >. 【点睛】本题主要考查了集合运算和根据集合包含关系求参数范围,解题关键是掌握集合的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20．已知函数()f x =A ,关于x 的不等式2(3)30()x a x a a R -++<∈的解集为B .（1）当1a =时,求集合A B ;（2）求集合AB .【答案】（1）{|53}A B x x ⋃=-≤<（2）答案见解析 【解析】（1）化简集合A ,B 根据并集定义,即可求得答案; （2）化简集合B ,对参数a 进行讨论,根据交集定义,即可求得答案. 【详解】（1）()f x =∴函数()f x =:5{|0}2x A x x +=≥-化简可得:{|52}A x x =-≤<关于x 的不等式2(3)30()x a x a a R -++<∈的解集为B . 当1a =时,可得2430x x -+<∴2{|430}B x x x =-+<化简可得:{|13}B x x =<<∴{|52}{|13}{|53}A B x x x x x x ⋃=-≤<⋃<<=-≤<（2）{|52}A x x =-≤<,{|(3)()0}B x x x a =--<当5a <-时,{|52}A B x x ⋂=-≤< 当52a -≤<时,{|2}A B x a x ⋂=<<当2a ≥时,A B =∅【点睛】本题主要考查了集合的交集和并集运算,解题关键是掌握交集定义和并集定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 21．已知213()log [(2)2]f x a x ax =-+-，a R ∈.（1）若()f x 的定义域是1(,2)(,)3-∞-⋃+∞，求a 的值；（2）若3a =，求()f x 的单调区间； （3）若()f x 的值域是R ，求a 的取值范围.【答案】（1）5a =（2）函数单增区间为(-∞，单减区间为)+∞（3）2a ≥ 【解析】（1）因为()f x 的定义域是1(,2)(,)3-∞-⋃+∞,所以2(2)20a x ax -+->的解集为1(,2)(,)3-∞-⋃+∞,即可求得答案;（2）当3a =时,由2320x x +->,得定义域为33(,()22--+-∞⋃+∞,根据复合函数单调性同增异减,即可求得答案.（3）由()f x 的值域是R ,可得2(2)2y a x ax =-+-可取到所有正值,分别讨论2a =和2a ≠,即可求得答案. 【详解】 （1）()f x 的定义域是1(,2)(,)3-∞-⋃+∞∴2(2)20a x ax -+->的解集为1(,2)(,)3-∞-⋃+∞∴12x =-,213x =是2(2)20a x ax -+-=的两根将12x =-,代入2(2)20a x ax -+-=,即:()()2(2)2220a a -⋅-+⋅--= 解得:5a =（2）当3a =时,由2320x x +->,得定义域为()-∞⋃+∞ 13log y t=单调递减及232t x x =+-图像开口向上且对称轴为32x =- 根据复合函数单调性同增异减可得:∴函数单增区间为3(,2---∞,单减区间为)+∞ （3）由()f x 的值域是R可得2(2)2y a x ax =-+-可取到所有正值当2a =时,22y x =-,满足题意当2a ≠时,有200a ->⎧⎨∆≥⎩,解得:2a > 综上所述,2a ≥【点睛】本题主要考查了求复合函数单调区间和根据值域求参数范围,解题关键是掌握复合函数单调区间的求法和函数值域的定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 22．已知()f x 是定义域在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，当12,[1,1]x x ∈-，且120x x +≠时，有()1212()0f x f x x x +>+，若存在[1,1]x ∈-,使得2()34f x m am ≤-+对任意[2,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(,5][1,)m ∈-∞-⋃-+∞【解析】因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数且1212()()0f x f x x x +>+,可得()f x 是增函数,由题意可知2min ()34f x m am ≤-+,因为min ()(1)(1)1f x f f =-=-=-,可得2341m am -+≥-对任意[2,1]a ∈-恒成立,即可求得答案.【详解】()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数且1212()()0f x f x x x +>+ ∴1212()()0()f x f x x x -->--成立 由12,x x 为[1,1]-上任意值,且12x x ≠∴()f x 是增函数由题意可知2min ()34f x m am ≤-+又min ()(1)(1)1f x f f =-=-=-可得2341m am -+≥-对任意[2,1]a ∈-恒成立令2()35g a m am =-+,()0g a ≥在[2,1]-上恒成立则(2)0(1)0g g -≥⎧⎨≥⎩,即: 22(2)3(2)5013150a a ⎧--⋅-+≥⎨-⋅+≥⎩解得(,5][1,)m ∈-∞-⋃-+∞.【点睛】本题主要考查了由不等式恒成立求参数范围,解题关键是掌握函数单调性判断方法和不等式恒成立求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.。
安徽师大附中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1 (有解析)
安徽师大附中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.直线AB的倾斜角为45°，则直线AB的斜率等于()A. 1B. −1C. 5D. −52.点(2,3)到3x+4y+2=0的距离是()A. 2B. 3C. 4D. 53.若三直线2x+3y+8=0，x−y−1=0，x+ky+k+12=0相交于一点，则k的值为()A. −2B. −12C. 2 D. 124.圆锥SO的侧面展开图是一个半圆形，且圆锥的母线长为2，则圆锥SO的体积为()A. 2πB. √3πC. πD. √33π5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是()A. 4B. √5C. 2D. √26.过点(5,2)且在y轴上的截距与在x轴上的截距相等的直线有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 0条7.已知三棱锥P−ABC中，PB⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=√5，AB=BC=1，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为()A. 12πB. 6πC. 24πD. 4√6π38.直线kx+y+k+2=0与线段AB有交点，其中A(−4,2) , B(2,1)，则实数k的取值范围是()A. [−43,1] B. [−1,43]C. D.9.关于空间两条不重合的直线a、b和平面α，下列命题正确的是()A. 若a//b，b⊂α，则a//αB. 若a//α，b⊂α，则a//bC. 若a//α，b//α，则a//bD. 若a⊥α，b⊥α，则a//b10.过点(−2,1)，(3,−3)的直线方程为()A. 4x−5y+13=0B. 4x+5y+3=0C. 5x+4y+5=0D. 5x−4y+8=011.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，在线段A1D上取点M，在线段CD1上取点N，使得MN//平面AA1C1C.连接A1N，当线段MN的长度取最小值时，三棱锥A1−MND1的体积为()A. 13B. 1C. √3D. 312.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，BC=3，AA1=4，则直线A1B1与平面ABC1D1的距离为()．A. 52B. 154C. 125D. 203二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.过点(1,−2)且与直线l：x+2y+1=0垂直的直线方程为______ ．14.已知正三棱锥S−ABC中，底面△ABC的边长等于6，SA=4，则该正三棱锥的高为__________．15.若点M(m,n)为直线l:3x+4y+2=0上的动点，则m2+n2的最小值为________．16.已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，△ABC是正三角形，则棱锥P−ABC的体积为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17.已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+(a−1)y+a2−1=0(1)当l1⊥l2时，求a的值；(2)在(1)的条件下，若直线l3//l2，且l3过点A(1,−3)，求直线l3的一般方程．18.如图，在四面体PABC中，PA⊥平面ABC，面PAC⊥面PBC．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若PA=AB=2，BC=1，求异面直线AB与PC所成角的正弦值．19.已知直线l:a2x+2y−2a2−4=0．(1)求证直线l过定点并求此定点的坐标；(2)若直线l分别交x、y轴正半轴于A、B两点，O为坐标原点，求ΔAOB面积的最小值．20.在正三棱柱ABC−A′B′C′中，D、E、F分别为棱BC，A′A，AC的中点．(1)求证：平面AB′D⊥平面BCC′B′；(2)求证：EF//平面AB′D．CD=1．21.如图，在四棱锥E−ABCD中，ED⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，AB=AD=12(1)求证：BC⊥平面BDE；(2)当几何体ABCE的体积等于1时，求四棱锥E−ABCD的侧面积．3-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析： 【分析】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角和斜率的关系，是基础题． 直接由斜率等于倾斜角的正切值得答案． 【解答】解：∵直线的倾斜角为45°， ∴该直线的斜率k =tan45°=1． 故选：A ．2.答案：C解析：解：点(2,3)到直线3x +4y +2=0的距离 d =√32+42=205=4．∴点(2,3)到直线3x +4y +2=0的距离为4． 故选：C ．利用点到直线的距离公式即可解答． 本题考查点到直线的距离公式，属于基础题．3.答案：B解析： 【分析】本题考查两条直线的交点坐标，属基础题.先联立已知的两条直线方程求出两直线的交点，然后把交点坐标代入第三条直线中即可求出k 的值． 【解答】解：由{2x +3y +8=0x −y −1=0得交点为(−1,−2)，代入x +ky +k +12=0， 得k =−12． 故选B ．4.答案：D解析：【分析】本题考查圆锥的侧面展开问题以及圆锥的体积，题目比较基础．首先设出圆锥底面半径r，高h，母线长l，由题意列出等式，求得r=1，故ℎ=√l2−r2=√3，故圆锥SO的体积为，问题得解．【解答】解：设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，则l=2，由题意，解得r=1，所以ℎ=√l2−r2=√4−1=√3，所以圆锥SO的体积为．故选D．5.答案：B解析：【分析】本题考查三视图，确定空间几何体的形状是解题的关键，属于基础题．首先由三视图还原出几何体，即可求解．【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面在左边的四棱锥，如图，S ABCD=2×1=2，S△PAB=12×2×2=2，S△PAD=12×1×2=1，S△PBC=12×1×2√2=√2，PD=√22+12=√5，SΔPCD=12×CD×PD=12×2×√5=√5，故选B．6.答案：B解析：【分析】本题考查了直线的截距式方程，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题．根据题意，讨论直线过原点时和直线不过原点时，求出直线的方程．x，符合题意;【解答】解：当直线过坐标原点时，方程为y=25当直线不过坐标原点时，设直线方程为x+y=a，代入(5,2)得a=5+2=7，则直线方程为x+y=7．∴过点(5,2)且在x轴、y轴上的截距相等的直线共有2条．故选B．7.答案：B解析：解：如图，∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AB，∵AB=1，PA=√5，∴PB=2，又AB⊥BC，把三棱锥P−ABC补形为长方体，则长方体对角线长为√22+12+12=√6，，则三棱锥P−ABC外接球的半径为√62∴三棱锥P−ABC的外接球的表面积为4π×(√6)2=6π．2故选：B．由题意画出图形，求出PB的长度，然后利用分割补形法求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查了“分割补形法”，是中档题．8.答案：D解析： 【分析】本题考查一元二次不等式表示平面区域，注意直线与线段AB 相交，即A 、B 在直线的异侧或在直线上．根据题意，分析可得A 、B 在直线的异侧或在直线上，进而可得[k ×(−1)−2−k +1]×[2k −3−k +1]≤0，解可得k 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，若直线l ：kx +y +k +2=0与线段AB 相交，则A 、B 在直线的异侧或在直线上， 则有[k ×(−4)+2+k +2]×[2k +1+k +2]≤0， 即(3k −4)(k +1)≥0，解可得k ≤−1或k ≥43，即k 的取值范围是(−∞,−1]∪[43,+∞)． 故选D ．9.答案：D解析：解：选项A ，根据线面平行的判定定理可知，缺一条件a ⊄α，故不正确 选项B ，若a//α，b ⊂α，a 与b 有可能异面，故不正确选项C ，若a//α，b//α，a 与b 有可能异面，相交，平行，故不正确 选项D ，若a ⊥α，b ⊥α，则a//b ，满足线面垂直的性质定理，故正确 故选：D ．根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，不正确的只需取出反例即可．本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，以及直线与直线的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．10.答案：B解析：解：设该直线的斜率为k ， ∵直线过(−2,1)和(3,−3) ∴k =−3−13−(−2)=−45，∴直线方程为y −1=−45×[x −(−2)]， 化简得：4x +5y +3=0，∴过点(−2,1)，(3,−3)的直线方程为4x+5y+3=0．故选：B．根据两个点的坐标先求出直线的斜率，然后根据斜率和其中一点的坐标得到直线的方程，化简即可求出所求．本题主要考查学生会根据两个点的坐标求直线的两点式方程，以及根据两点的坐标会求过两点的斜率，同时考查了运算能力，属于基础题．11.答案：B解析：【分析】本题考查了线面平行的性质和棱锥的体积，属于较难题．分别过M，N两点向上底面引垂线，则分别交A1D1，C1D1于M1、N1点，可得M1N1A1C1=D1N1D1C1，从而求得MN取最小值时M，N的位置，再根据三棱锥体积公式求解即可．【解答】解：如图，分别过M，N两点向上底面引垂线，则分别交A1D1，C1D1于M1、N1点，过N点向MM1引垂线并交其于点O，则有MM1//NN1，所以M、O、N、N1、M1五点共面，又因为NN1⊥M1N1，OM1⊥M1N1，NO⊥MM1，所以四边形ONN1M1为矩形，则有M 1N 1=ON ，NN 1=OM 1，NN 1//CC 1，从而可以得到NN1CC 1=D 1N 1D 1C 1，MM1DD 1=A 1M 1A 1D 1，因为NN 1//CC 1，CC 1⊂平面AA 1C 1C ，NN 1⊄平面AA 1C 1C ， 所以NN 1//平面AA 1C 1C ，因为MN//平面AA 1C 1C ，MN ∩NN 1=N ，MN 、NN 1⊂平面MNN 1M 1， 所以平面MNN 1M 1//平面AA 1C 1C ，因为平面MNN 1M 1∩平面A 1B 1C 1D 1=M 1N 1，平面AA 1C 1C ∩平面A 1B 1C 1D 1=A 1C 1， 所以M 1N 1//A 1C 1， 所以M 1N 1A1C 1=D 1N 1D 1C 1，因为正方体的棱长为3，所以其面对角线长度为3√2， 设D 1N 1的长度为x ，可得NO =√2x ，MM 1=3−x ，M 1O =x ， 所以MO =3−x −x =3−2x ，则MN =√NO 2+MO 2=√(√2x)2+(3−2x)2=√6x 2−12x +9， 所以当x =1时，MN 最小值为√3，此时MM 1=2， 所以S △A 1MD 1=12×3×2=3，则三棱锥A 1−MND 1的体积为V A 1−MND 1=V N−MA 1D 1=13S △A 1MD 1×D 1N 1=13×3×1=1， 故选B ．12.答案：C解析： 【分析】本题考查了线面平行的判定，利用等体积求点到平面的距离，属于中档题．利用线面平行的判定定理，判断直线A1B1//平面ABC1D1，直线A1B1与平面ABC1D1的距离即为点点A1到直线AD1的距离，即可求出答案．【解答】解：∵几何体为长方体ABCD−A1B1C1D1，∴AB//A1B1∵AB⊂平面ABC1D1，A1B1⊄平面ABC1D1，∴直线A1B1//平面ABC1D1，所以直线A1B1与平面ABC1D1的距离即为点A1到直线AD1的距离，设点A1到直线AD1的距离为h，因为AB=5，BC=3，AA1=4，故可得AD1=5，故可得ℎ=3×45=125，故选C．13.答案：2x−y−4=0解析：解：∵直线l：x+2y+1=0的斜率为−12，∴与l垂直的直线的斜率为2，又直线过点(1,−2)，∴所求直线的方程为y+2=2(x−1)，化为一般式可得2x−y−4=0故答案为：2x−y−4=0由l的方程可得其斜率，进而由垂直关系可得所求直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属基础题．14.答案：2解析：【分析】本题考查三棱锥的结构特点，属于基础题．利用正三棱锥的结构特征求解即可．【解答】解：取底面等边△ABC的中心O，则AO=√33×6=2√3，所以高．故答案为2．15.答案：425解析：【分析】本题考查两点距离公式的应用，点到直线的距离公式，属基础题．把m2+n2转化为两点距离的平方求解．【解答】解：由题意知m2+n2的最小值表示：直线l:3x+4y+2=0上的点M(m,n)到点(0,0)的最近距离的平方，由点(0,0)到直线l:3x+4y+2=0的距离为：|0+0+2|√9+16=25，所以m2+n2最小值为425．故答案为425．16.答案：9√34解析：解：棱锥P−ABC为正三棱锥，如图是球的一个切面的一部分，∵PQ=4，=∠CPQ=30°，∴正三棱锥P−ABC的高PD=PC×cos30°=PQ×cos30°×cos30°=4×√32×√32=3，底面ABC的高为32CD=32×PQ×cos30°×sin30°=3√32，底面边长为3√32÷√32=3，则底面面积为S=12×3×3√32=9√34，则其体积为V=13×S×PD=13×9√34×3=9√34，故答案为：9√34． 由题意确定棱锥P −ABC 是正三棱锥，作出过直径PQ 及点C 的平面截出的三角形，从而解出体积． 考查了学生的空间想象力，及作图能力，注意量的相等． 17.答案：解：(1)由A 1A 2+B 1B 2=0⇒a +2(a −1)=0⇒a =23；(2)由(1)，l 2：x −13y −59=0，又l 3//l 2，设l 3：x −13y +C =0，把(1,−3)代入上式解得C =−2，所以l 3：x −13y −2=0．解析：本题考查了两条直线平行、两条直线垂直的条件，属于基础题．(1)利用两条直线垂直的充要条件即可得出;(2)根据平行可设l 3：x −13y +C =0，代值计算即可． 18.答案：(1)证明：在四面体PABC 中，∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC ，又面PAC ⊥面PBC ，在平面PAC 中，过A 作AE ⊥PC ，AE ⊂平面PAC ， 面PAC ∩面PBC =PC ，则AE ⊥平面PBC ，BC ⊂平面ABC ，∴AE ⊥BC ，而AE ∩PA =A ，AE ，PA ⊂平面PAC ，∴BC ⊥平面PAC ；(2)解：分别取PB ，BC ，AC 中点F ，G ，H ，连接FG ，GH ，FH ，则FG//PC ，GH//AB ，则∠FGH 为异面直线AB 与PC 所成角或补角．由PA =AB =2，BC =1，结合(1)可得AC =√3，PC =√7，FH =√52． 则FG =√72，GH =1， 在△FGH 中，由余弦定理可得：cos∠FGH =1+74−542×1×√72=3√714． ∴异面直线AB 与PC 所成角的正弦值sin∠FGH =(3√714)=√13314．解析：本题考查线面垂直的证明与异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．(1)由已知可得PA ⊥BC ，在平面PAC 中，过A 作AE ⊥PC ，由面面垂直的性质得AE ⊥平面PBC ，则AE ⊥BC ，再由线面垂直的判定可得BC ⊥平面PAC ；(2)分别取PB ，BC ，AC 中点F ，G ，H ，连接FG ，GH ，FH ，则FG//PC ，GH//AB ，则∠FGH 为异面直线AB 与PC 所成角或补角，再由已知求解三角形得答案．19.答案：(1)证明：由已知得(x −2)a 2=4−2y ，令{x −2=04−2y =0⇒{x =2y =2, 故直线l 经过定点，且这个定点的坐标为(2,2)；(2)设l:y =k(x −2)+2,k <0，令x =0⇒y =2−2k >0，令y =0⇒y =2−2k >0，则S =12|OA|⋅|OB|=2(1−k)(1−1k )=2[2+(−k)+(1−k )]≥8，等号当且仅当 k =−1时成立，故ΔAOB 面积的最小值为8．解析：本本题考查过定点的直线系方程特征，以及利用基本不等式求表达式的最小值．考查转化思想以及计算能力．(1)直线l 过定点，说明定点的坐标与参数k 无关，故让k 的系数为0可得定点坐标．(2)求出A 、B 的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k 值，从而得到直线方程．20.答案：证明：(1)∵BB′⊥平面ABC ，BB′⊂平面B′C′CB ，∴平面B′C′CB ⊥平面ABC ，∵△ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，又平面B′C′CB ⊥平面ABC ，平面B′C′CB ∩平面ABC =BC ，∴AD ⊥平面B′C′CB ，∵AD ⊂平面AB′D ，∴平面AB′D ⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M ，连接EM ，DM ，DF ．∵D 、E 、F 、M 分别为棱BC ，A′A ，AC ，AB′的中点，∴DF = //12AB ，EM = //12A′B′，∵AB=//A′B′，∴DF=//EM，∴四边形DFEM是平行四边形，∴EF//DM，又EF⊄平面AB′D，DM⊂平面AB′D．∴EF//平面AB′D．解析：本题考查了线面平行，面面垂直的判定，构造平行线是证明的关键，属于中档题．(1)由BB′⊥平面ABC可得BB′⊥AD，由正三角形ABC得出BC⊥AD，于是AD⊥平面BCC′B′，从而有平面AB′D⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M，连接EM，DM，DF，则利用中位线定理可证四边形DFEM是平行四边形，于是EF//DM，于是EF//平面AB′D．21.答案：解：(1)证明：取CD的中点F，连接BF，则直角梯形ABCD中，BF⊥CD，BF=CF=DF，∴∠CBD=90°，即BC⊥BD，又ED⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥DE，又BD∩DE=D，∴BC⊥平面BDE；(2)∵ED⊥平面ABCD，∴DE⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面ADE，∴AB⊥AE，∴V三棱锥A−BCE =V三棱锥E−ABC=13⋅DE⋅12AB⋅AD=16DE=13，解得DE=2，又AD=12CD=1，DE⊥AD，∴EA=√5，又AB=1，∴BE=√6；∴BE2=AB2+AE2，∴AB⊥AE，∴四棱锥E−ABCD的侧面积为S 侧=12DE⋅AD+12AE⋅AB+12DE⋅CD+12BC⋅BE=6+2√3+√52．解析：(1)取CD的中点F，连接BF，证明BC⊥BD，再由ED⊥平面ABCD得出BC⊥DC，由此证明BC⊥平面BDE；(2)由三棱锥E−ABC的面积求出DE的值，利用勾股定理判断AB⊥AE，再求四棱锥E−ABCD的侧面积．本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了锥体的体积与表面积的计算问题，是中档题．。
师大附中 2019年高一自主招生考试数学试卷及答案
乙丙
人的各项成绩 单
如 表 学期总评成绩优秀的学生是
笔试
实践能力
90
83
乙
88
90
丙
90
88
4 已知点 A 是一 函数 y = x 的图像 反比例函数 y = 2 的图像在第一象限内的交点 x
原点 则 ∆AOB 的面 为
成长 录 95 95 90
点 B 在 x 轴的负半轴
且 OA = OB O 为坐标
5 如果多项式 x2 + px +12 以 解成两个一 因式的 那么整数 p 的值是
6 如 图所示 P 是边长为 1 的 角形 ABC 的 BC 边 一点 从 P 向 AB 作垂线 PQ Q 为垂足 延长 QP AC 的延长线交于 R 设 BP= x
0 ≤ x ≤ 1 △BPQ △CPR 的面 之和为 y 把 y 表示为 x 的函数是
A 36
B 37
C 38
D 39
二 填空题 每小题 6 分，共 48 分
1
乙两人骑自行车 同时从相距 65 千米的两地相向而行
乙两人的速度和为 32.5 千米/时 则经过
小时 两人相遇
2 若化简 1− x − x 2 − 8x +16 的结果为 2x − 5 则 x 的取值范围是
3 某校把学生的笔试 实践能力和成长 录 项成绩 按 50％ 20％和 30％的比例计入学期总评成绩 90 以 为优秀
华师一附中 2011 年高一自 招生考试
一1B2B3B4C5B
二 1 2 2 1≤ x ≤4 3
乙4
数学试题参考答案
2 5 ±7, ±8, ±13 6 3 (3x2 − 4x + 2) 7 7 8 20 8
安徽师范大学附属中学2019年高中自主招生考试数学试题
安师大附中2019年高中自主招生考试数学试题注意事项：1．本试卷总分150分，考试时间120分钟。
2．答案一律用0.5mm 黑色签字笔和2B 铅笔写在答题卷上，不能写在本试卷上。
一、选择题（每题4分，共16分）1A. 234△A. 56789101111222230a x b y a b ⎧⎨+=-+⎩的解为 ▲ . 11、已知：方程2310x x --=的两根分别为α、β，则31010αβαβ+-= ▲ . 12、由一次函数2y x =-+的图象与坐标轴围成的三角形未被圆心在（1，1）半径为1的圆覆盖的面积等于 ▲ .13、若关于x的不等式组4101x m xx m-+<+⎧⎨+>⎩的解集是4x>，则m的值为▲ .14、在△ABD中，AC是BD边上的高，且BC=9，DC=5，若AB+AD=28，则△ABD的面积为▲.15、如图，一束光线从点O射出照在经过A（1,0），B（0,1）的镜面上的点D，经过AB反射后，的，(第20题图)21、（本题满分14分）阅读理解：我们知道变量y 是变量x 的函数的解析法表示就是用x 的代数式来表示y ，如23y x =-、4y x=、23y x =-等，数学家欧拉是这样来表示函数的，如函数23y x =-，表示为()23f x x =-；函数4y x =表示为()4f x x=.在函数23y x =-中，当x =0时，y =-3，可表示为()02033f =⨯-=-.（（1.22)，（（（求23D 、C24、（本题满分10分）射影几何的奠基人之一、法国数学家庞斯莱（1788--1867）发明过一种玩具，如图，这种玩具用七根小棍做成，各个连接点均可活动，AF与AD等长，CD、DE、EF、FC等长，并且BC<AD－DC，使用时，将A,B钉牢在平板上，并使A，B间的距离等于木棍BC 的长，绕点B转动C点，则点C在一个圆上运动，E点就会在一条直线上运动.这样一边画圆一边画直线据此可设计出“狗熊走钢丝”等好玩的游戏.问题探究爱玩的小明看到这段材料，就想用数学家制作的这个玩具玩一把，可是身边没有这个玩具，怎么办呢？想了又想，最后他想用几何画板来模拟这个玩具，于是，他用几何画板构造了如图所示的“玩具”，在电脑上玩了起来，确实发现当点C在⊙B上运动时，点E在一条直线动，而且。
安徽师范大学附属中学2019年高中自主招生考试数学试题
注意事项：安徽师范大学附属中学2019年高中自主招生考试数学试卷1．本试卷总分150分，考试时间120分钟。
2．答案一律用黑色钢笔或墨水笔写在答题卷上，不能写在本试卷上。
一、选择题（本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分．在每小题所给的四个选项中，恰有一项．题．卷．相．应．位．置．上）1.16的平方根是( ▲ )A. 4 .2 D. ± 22.若1x-=x -1成立，则x 满足( ▲ )A. x ≥≥1 C. x ≤1 D. x <13.已知m 5-1，则m2 + 2m 的值是( ▲ )A.2B.3C.4D.54.如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b 与水平线平行，以其中一条为x 轴，取向右为正方向；直线c、d 与水平线垂直，以其中一条为y 轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数y =m x2 + 2mx +12 (m ≠ 0)的图像如图，则下面结论正确的是( ▲ )A.a 为x 轴，c 为y 轴B. a 为x 轴，d 为y 轴C.b 为x 轴，c 为y 轴D.b 为x 轴，d 为y 轴5.如图，已知AB 为圆的直径，C 为半圆上一点，D 为半圆的中点，AH⊥CD，垂足为H，HM 平分∠AHC，HM 交AB 于M．若AC=3，BC=1，则MH 长为( ▲ )A.1B.1.5C.0.5D.0.76.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 边上一点，∠ADC=3∠BAD，BD=8，CD=7，则AB 的值是( ▲A.16B.20C. 217D. 2+7二、填空题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题．卷．相．应．位．置．上）7.已知实数x、y 满足2542x yx y+=⎧⎨-=⎩则x -y =▲．8.分解因式：x2 + 4xy +4y2 +x +2y- 2 = ▲．9．在平面直角坐标系中，点A、B 的坐标分别是（m，3）、（3m-1，3）．若线段AB 与直线y = 2x +1相交，则m 的取值范围是▲．10.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径是▲cm.11.如图，已知在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE=2CE，将矩形沿着过点E 的直线翻折后，点C、D 分别落在M、N 处，且点M、N、B 在同一直线上，折痕与边AD 交于点F，NF 与BE 交于点G.设AB3EFG 的周长为▲．．（第 11 题）(第 12 题)12.如图，点 A 1，A 2，…，A n 均在直线 y = x -1 上，点 B 1，B 2，…，B n 均在双曲线 y = -1x上，并且满足：A 1B 1⊥x 轴，B 1A 2⊥y 轴，A 2B 2⊥x 轴，B 2A 3⊥y 轴，…，A n B n ⊥x 轴， B n A n +1⊥y 轴，…，记点 A n 的横坐标为 a n （n 为正整数）．若 a 1 =-1，则 a 2016 = ▲ . 13.如图，已知△ABC 中， ∠C = 90 °， ∠A = 30 °，AC =3．动点 D 在边 AC 上，以 BD 为边作等边△BDE (点 E 、D 、B 逆时针排列). 在点 D 从点 A 移动至点C 的过程中，点 E移动的路线长为 ▲(第 13 题)（第 14 题）（第 16 题）14. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，BC =3，点 M 是直线 BC 上一动点，且∠CAM +∠CBA =45°，则 BM = ▲ .15.在平面直角坐标系中，有三条直线，它们的函数表达式分别是y = x ， y = x + 1 ， y = x + 2 ．在这三条直线上各有一个动点，依次为 A 、B 、C ，它们的横坐标分别为 a 、b 、 c ，则当 a 、b 、c 满足 ▲ 时，A 、B 、C 三点不能构成三角形． 16.如图，已知点 P （2，0），Q （8 ，0），A 是 x 轴正半轴上一动点，以 OA 为一边在第一象限内作正方形 OABC ，当 PB + BQ 取最小值时，点 B 的坐标是 ▲ . 三、解答题（本大题共 8 题，共 86 分．请在答．题．卷．指．定．区．域．作答，解答题时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤）17.（10 分）若关于 x 的分式方程223242m x x x +=--+无解，求m 的值． 18.（10 分）甲、乙两人周末从同一地点出发去某景点，因乙临时有事，甲坐地铁先出发，甲出发 0.2 小时后乙开汽车前往．设甲行驶的时间为 x (h)，甲、乙两人行驶的路程分别为 y 1 (km)与 y 2 (km)．图①是 y 1 与 y 2 关于 x 的函数图像． （1）分别求线段 OA 与线段 BC 所表示的 y 1 与 y 2 关于 x 的函数表达式； （2）当 x 为 ▲ 时，两人相距 6 km ； （3）设两人相距 S 千米，在图②所给的直角坐标系中画出 S 关于 x 的函数图像．19.（10 分）如图，在□ABCD 中， AB = 5 ， BC = 10，F 为 AD 的中 点，CE ⊥AB 于 E ，设 ∠ABC = α （60°≤ α < 90 °）. （1）当α = 60 °时，求 CE 的长； （2）当 60°< α < 90 °时，是否存在正整数 k ，使得 ∠EFD = k ∠AEF ？ 若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由.20.（10 分） 如图，直线 y = k 1x 和 y = k 2x 与反比例函数 y =1x图像分别交于两点 A 、C 和 B 、D ，连接 AB ,BC ,CD ,DA . （1）四边形 ABCD 一定是 ▲ 四边形； （2）四边形 ABCD 可能是矩形吗？若可能，求 k 1 ， k 2 满足 的关系式；若不能，说明理由；（3）设 P （ x 1 ，y 1 ），Q （ x 2 ，y 2)( x 2 > x 1 > 0 ）是函数 y =1x图像上的任意两点， a =122y y +, b =122x x +，试判断 a ， b 的大小关系，并说明理由.21.（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A （0，4）， 点 B 是 x 轴正半轴上一点，连接 AB ，过点 A 作 AC ⊥AB ，交 x 轴于点 C ，点 D 是点 C 关于点 A 的对称点，连接 BD ，以 AD 为直径作⊙Q 交 BD 于点 E ，连接并延长 AE 交 x 轴于点 F ，连接 DF . （1）求线段 AE 的长；（2）若 AB - BO = 2 ，求AF CF的值；（3）若△DEF 与△AEB 相似，求BE DE的值.22.（10 分）问题：如图 1，a 、b 、c 、d 是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离 为 1）．画出一个正方形 ABCD ，使它的顶点 A 、B 、C 、D 分别在直线 a 、b 、d 、c 上，并计 算它的边长．小明的思考过程：（图 1）（图 2）他利用图 1 中的等距平行线构造了 3⨯ 3 的正方形网格，得到了辅助正方形 EFGH ，如图 2 所示，再分别找到它的四条边的三等分点 A 、B 、C 、D ，就可以画出一个满足题目要求的正方形． 请回答：图 2 中正方形 ABCD 的边长为 ▲ ． 请参考小明的方法，解决下列问题：（1）请在图 3 的菱形网格（最小的菱形有一个内角为 60°，边长为 1）中，画出一个等边△ ABC ， 使它的顶点 A 、B 、C 落在格点上，且分别在直线 a 、b 、c 上，并直接写出等边△ ABC 的边长（只 需要画出一种即可）．（图 3）（图 4）（2）如图 4，a 、b 、c 是同一平面内的三条平行线，a 、b 之间的距离是1 ，b 、c 之间的距离是 12，等边△ ABC 的三个顶点分别在 a 、b 、c 上，直接写出△ ABC 的边长．23.（14 分）已知二次函数 y = ax 2 + 4x + c (a ≠ 0) 的图像是经过 y 轴上点C （0，2）的一条抛物 线，顶点为 A ，对称轴是经过点 H （2，0）且平行于 y 轴的一条直线．点 P 是对称轴上位于点 A 下方的一点，连接 CP 并延长交抛物线于点 B ，连接 CA 、AB ．（1）求这个二次函数的表达式及顶点 A 的坐标； （2）当∠ACB =45°时，求点 P 的坐标； （3）将△ CAB 沿 CB 翻折后得到△ CDB ，问点 D 能否恰好落在坐标轴上？若能，求点P 的坐标，若不能，说明理由．24. （12 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 M 和图形W 1 ，W 2 给出如下定义：点 P 为图形W 1 上一点，点 Q 为图形W 2 上一点，当点 M 是线段 PQ 的中点时，称点 M 是图形W 1 ，W 2 的“中立点”．如 果点 P ( x ， y )，Q ( x ， y )，那么“中立点”M 的坐标为12(,2x x +12)2y y + 已知，点 A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)．（1）连接 BC ，在点 D (12 ，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点 A 和线段 BC 的“中立点”的是 ▲ ；（2）已知点 G (3，0)，⊙G 的半径为 2．如果直线 y = -x +1上 存在点 K 可以成为点 A 和⊙G 的“中立点”，求点 K 的坐标； （3）以点 C 为圆心，半径为 2 作圆．点 N 为直线 y = 2x + 4 上的一点，如果存在点 N ，使得 y 轴上的一点可以成为 点 N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点 N 的横坐标 x N 的 取值范围．。
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2019安徽师大附中自主招生
数 学 试 卷
一、填空题（本大题共8小题，每小题7分，共56分. 把答案填在题中横线上）
1．若1x =
，则32(2(1x x x -++的值是 ．
2．有6个量杯A 、B 、C 、D 、E 、F ，它们的容积分别是16毫升、18毫升、22毫升、23毫升、24毫升和34毫升．有些量杯中注满了酒精，有些量杯中注满了蒸馏水，还剩下一个空量杯，而酒精的体积是蒸馏水体积的两倍．那么注满蒸馏水的量杯是 ． 3．各边互不相等的ABC ∆，两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，那么这条高的长度等于 ．
4．如图1,在ABC ∆中, AB AC = ,
40=∠A ,延长AC 到D ,使CD BC =,点P 是
ABD ∆的内心,则BPC ∠= ．
图1 图2 图3
5．ABC ∆的三边长,,a b c 都为整数,且24a bc b ca +++=,当ABC ∆为等腰三角形时,它的三边边长分别为 ． 6．如图2,凸五边形ABCDE 内接于半径为1的⊙O ,ABCD 是矩形, AE ED =,且BE 和CE 把AD 三等分.则此五边形ABCDE 的面积是 ．
7．方程2
0x ax b ++=的两根为12,x x ，且3322121212x x x x x x +=+=+，则有序实数对
(,)a b 共有 对．
8．如图3,正EFG ∆内接于正方形ABCD ，其中,,E F G 分别在边,,AB AD BC 上，若
2AE EB =，则BG
BC
= ．
二、解答题（本大题共3小题，共44分，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9．（本小题满分14分）如图，⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，过点B 的直线交⊙1O 与⊙
2O 于C 、D .弧BD 的中点为M ，AM 交⊙1O 于E ，交CD 于F ，连,,CE AD DM .
(1) 求证：AD EF DM CF ⋅=⋅;
(2) 求证：22EF MF
CE MA
=; (3) 若5,7,2,4BC BD CF DF AM MF ====，求MF 和CE 的长.
棋盘上用黑棋子和白棋子对局，规则10．（本小题满分14分）两个男孩曹俊和伍岳在33
如下：
（I）他们轮流下子；（II）每轮到一次，就把一个棋子放在棋盘的空格里；（III）棋手轮到时，可选择一白子或一黑子，并且不必要总用同色；（IV）当棋盘填满时，某一行、列或对角线有偶数个黑棋子，曹俊就得1分，而某一行、列或对角线有奇数个黑棋子，伍岳就得1分；（V）棋手至少得到8分中的5分，就算得胜．
（1）4:4和局是否可能？若可能,请列出一种表格的情况；若不可能，请说明理由；
（2）叙述先下手的男孩的取胜策略．
11．（本小题满分16分）已知直线1
2
y x =和y x m =-+，二次函数2y x px q =++图象的顶点为M
（1）若M 恰在直线1
2
y x =
和y x m =-+的交点处，证明无论m 取何实数值，二次函数2y x px q =++的图象与直线y x m =-+总有两个不同的交点；
（2）在（1）的条件下，直线y x m =-+过点)3,0(-D ，二次函数2y x px q =++的图象与y 轴交于点C ，与x 轴的左交点为A ，在直线1
2
y x =
上求异于M 的点N ，使N 在CMA ∆的外接圆上.
2019安师大附中自主招生数学 答案
1. 2
2. A 、C （或者填16毫升、22毫升）
3. 5
4. 145︒
5. 6,6,1；4,4,2；3,3,3
6.
7. 3
8.
9
9.(1)证明：连接AB ，BCE BAE ∠=∠,BM MD =,则BAM DAM ∠=∠BDM =∠
C E F
D M F 与中，CEF DMF ∠=∠.由,ECF MAD ∠=∠CEF AMD ∠=∠
CEF AMD ∴
△∽△ CF EF
AD MD = 即AD EF DM CF ⋅=⋅ ………………5分 （2）CEF DMF △∽△,有EF MF CE DM =，CEF AMD △∽△，有EF MD
CE AM = 22EF MF MD MF
CE DM AM MA
== ………………9分 （3）由题意3,4BF DF ==,由相交弦定理可知：BF DF MF AF ⋅=⋅
123,2MF MF MF =⋅=,由（2）可得2=64CE ，
8CE = ………………14分
10.解（1）4:4和局是可能的，结局如图1
图1
…………… 5分
（2）如果有0或2个黑子的行（列或对角线，下同）的数目超过4，曹俊就会得胜。
如果有3或1个黑子，也就是有0或2个白子的行的数目超过4，伍岳就会得胜。
由于曹俊（黑）和伍岳（白）之间的对称性，只要考虑曹俊先下手的情形就够了。
曹俊把一个黑子放在中心上，然后，不管伍岳怎样下子，曹俊总是把不同色的棋子放在关于中心对称的方格上。
这样，在他的后面4步中，每一步都保证有两条对角线之一或通过中心的行或列有2个黑子。
此外，至少还有另一行或另一列有2个黑子。
事实上。
试考虑游戏的结局的棋盘，恰好有两角方格放着黑子，这两个黑子不能在对角上。
因此，棋盘实际上类似于图
图2
方格1和2恰好有一个放黑子，它所在的一行有偶数个黑子。
……………14分
11（1）证明交点21,33M m m ⎛⎫
⎪⎝⎭
，此时二次函数为221()33y x m m =-+
22441393x mx m m =-++，联立消去y ，得22442
(1)0393
x m x m m --+-=
由1=可证 …………… 7分
（2）()0,3D -带入直线方程，3(2,1)m M =-∴--2(2)1(1)(3)y x x x =+-=++,
(0,3)(3,0)C A -,由勾股定理可知: CMA △为直角三角形，且CAM ∠为直角， MC ∴为CMA △外接圆的直径，设1
(,)2N n n 090CNM ∠=
222CN MN CM +=,2221(3)2CN n n =+-,2221
(2)(1)2
MN n n =+++,220CM =
解得126,25n n ==-.而22n =-即是M 点的横坐标，不合题意，舍去。
63
(,)55
P ∴
……………16分。