数列求和各种方法总结归纳汇总
高中数学数列求和题型总结
数列的求和1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论） 2．公式法： 1+2+3 …+n =()21+n n 222221(1)(21)1236n k n n n k n =++=++++=∑L 2333331(1)1232nk n n k n =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑L 如：)...321(...)321211n s n +++++++++++=（）（3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅n a =5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+-Λ的和。
7．倒序相加法：2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++o o o o L L3．错位相减法求和例1．已知 12n n a n -=•，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .例2．已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n Λ，求前n 项和。
思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列120,,,,-n aa a a Λ对应项积，可用错位相减法求和。
解：()1)12(53112--++++=n n a n a a S Λ ()2)12(5332n n a n a a a aS -++++=Λ()()n n n a n a a a a S a )12(22221)1(:21132--+++++=---Λ当n n n n a a a S a a )12()1()1(21)1(,121----+=-≠-时 21)1()12()12(1a a n a n a S n n n --++-+=+ 当2,1n S a n ==时4、裂项相消法求和例1.求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n Λ 思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解: )121121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22+--+=+-+=+-+-=+-=k k k k k k k k k k a k 12)1(2)1211(21)]121121()5131()311[(2121++=+-+=+--++-+-+=+++=n n n n n n n n a a a S n n ΛΛ 7、倒序相加法:已知函数()xf x = （1）证明：()()11f x f x +-=；（2）求128910101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值. 8、拆项分组求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例4、求和：()()()()123235435635235n n S n ----=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯L解：()()()()123235435635235n n S n ----=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯L()()123246235555n n ----=++++-++++L L()2111553113114515n n n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-⨯=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-。
数列求和公式方法总结
数列求和公式方法总结数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数构成的序列。
在数列中，求和是一个常见的问题，而求和公式和方法则是解决这一问题的关键。
本文将对数列求和的常见公式和方法进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握数列求和的技巧。
一、等差数列求和公式。
等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列，常用的求和公式有以下两种：1. 等差数列的前n项和公式，Sn = (a1 + an) n / 2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
2. 等差数列的通项公式，an = a1 + (n-1) d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
二、等比数列求和公式。
等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列，常用的求和公式有以下两种：1. 等比数列的前n项和公式，Sn = a1 (1 q^n) / (1 q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
2. 等比数列的通项公式，an = a1 q^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，q为公比。
三、其他常见数列求和公式。
除了等差数列和等比数列外，还有一些其他常见的数列求和公式，如：1. 平方和公式，1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6。
2. 立方和公式，1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n (n + 1) / 2)^2。
3. 斐波那契数列求和公式，F(n) = F(n+2) 1，其中F(n)为斐波那契数列的前n项和。
四、数列求和的常用方法。
除了利用求和公式外，还有一些常用的方法可以帮助我们求解数列的和，如：1. 数学归纳法，通过证明首项成立，然后假设第k项成立，推导出第k+1项也成立，从而得出结论。
2. Telescoping series，利用数列中相邻项之间的关系，将求和式中的部分项相互抵消，从而简化求和过程。
3. 倒序相消法，将数列按照相反的顺序排列，然后与原数列相加，利用相邻项之间的关系进行相消，从而简化求和过程。
数列求和公式七个方法
数列求和公式七个方法数列求和是数学中常见的问题之一、下面将介绍七种常用的数列求和方法，包括等差数列求和、等比数列求和、等差数列二次项求和、递归数列求和、斐波那契数列求和、等差数列部分项求和、正弦数列求和。
一、等差数列求和：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，n为项数，a1为首项，an为末项，Sn为和。
二、等比数列求和：等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)其中，n为项数，a1为首项，q为公比，Sn为和。
三、等差数列二次项求和：对于等差数列的二次项和，可以通过对等差数列求和公式进行二次求和得到。
Sn=(n/6)*(2a1+(n-1)d)(a1+(n-1)d+d)其中，n为项数，a1为首项，d为公差，Sn为和。
四、递归数列求和：递归数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前一项的函数。
递归数列的求和可以通过编写一个递归函数来实现。
例如，对于斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1可以编写一个递归函数，将前两个项相加，并递归调用函数来求和。
五、斐波那契数列求和：斐波那契数列是一种特殊的递归数列，其中前两个项为1，从第三项开始每一项都是前两项的和。
斐波那契数列求和可以通过编写一个循环来实现，累加每一项的值。
六、等差数列部分项求和：对于等差数列的部分项求和，可以通过求解两个和的差来实现。
设Sn为从第m项到第n项的和，Sm为从第1项到第m-1项的和，Sn 可以通过以下公式计算：Sn = Sn - Sm = (n-m+1)(a1 + an) / 2其中，m和n为项数，a1为首项，an为末项。
七、正弦数列求和：正弦数列是一种特殊的数列，其中每一项的值由正弦函数确定。
数列求和常用方法总结
数列求和常用方法总结一、公式法：必须记住几个常见数列前n 项和 等差数列：2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=； 等比数列：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==11)1(111q q q a q na S n n ；例1.求和（1）1+2+3+…+n=二、分组求和法例2.求和：()()()()n S n n -++-+-+-=2322212321解：三、错位相减法 例3. 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 22的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21的通项之积 n n n S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① （乘公比） 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S ……………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n S （错位相减） 1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习：1、求数列()13231,,35,34,33,2-⨯+⨯⨯⨯n n 的前n S n 项和.nn n S 2)12(...252321232⨯-++⨯+⨯+⨯=、求和：四、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式：（1）111)1(1+-=+n n n n (2) 1111()(2)22n n n n =-++ (3) )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n （4）n n n n -+=++111 例4. 已知数列{}()11+=n n a a n n 中，，求前n S n 项和.练习：1、在数列{}n a 中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{}nb 的前n S n 项和.2、求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.。
有关数列求和公式方法总结
有关数列求和公式方法总结有关数列求和公式方法总结总结是指社会团体、企业单位和个人在自身的某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而肯定成绩，得到经验，找出差距，得出教训和一些规律性认识的一种书面材料。
以下是小编精心整理的数列求和公式方法总结，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
一、分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列构成，则求这个数列的前n项和Sn时可以用分组求和法求解。
一般步骤是：拆裂通项――重新分组――求和合并。
例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和解由和式可知，式中第n项为an=n（3n+1）=3n2+n∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2=n（n+1）2二、奇偶分析求和法求一个数列的前n项和Sn，如果需要对n进行奇偶性讨论或将奇数项、偶数项分组求和再求解，这种方法称为奇偶分析法。
例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）分析：观察数列的通项公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn与数列项数n的奇偶性有关，故利用奇偶分析法及分组求和法求解，也可以在奇偶分析法的基础上利用并项求和法求的结果。
解：当n为偶数时，Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2=-n2-n2+n2+n2=n当n为奇数时，Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2=-n2+n2+n2-n2=-n综上所述，Sn=（-1）nn三、并项求和法一个数列an的前n项和Sn中，某些项合在一起就具有特殊的`性质，因此可以几项结合求和，再求Sn，称之为并项求和法。
数列求和的8种常用方法(最全)
求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，()111nn a q S q-=-，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+L ；（2）21nk k ==∑222211631123(1)(21)()(1)2n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n k k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=L ；（4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L .例1 已知3log 1log 23-=x ，求23n x x x x ++++ 的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n S n =++++ ，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即8n =时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
数列求和各种方法总结归纳
数列求和各种方法总结归纳数列求和是数学中常见的问题之一，涉及到很多的方法和技巧。
下面我将对几种常见的数列求和方法进行总结归纳。
一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项的差都相等的数列。
我们可以通过以下几种方法来求等差数列的和：1. 公式法：对于等差数列求和的最常用的方法是通过公式来求和。
等差数列的和可以表示为：S = (a1 + an) * n / 2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
2.差分法：我们可以通过差分法来求等差数列的和。
即将数列中相邻两项的差列示出来，并求和，这样就变成了一个等差数列求和的问题。
例如对于数列1,3,5,7,9，差分后得到的数列是2,2,2,2，再求和得到83.数学归纳法：我们可以通过数学归纳法来求等差数列的和。
首先假设等差数列的和为Sn，然后通过归纳可以得到Sn+1和Sn之间的关系，最终求得Sn的表达式。
例如对于数列1,3,5,7,9，我们可以假设Sn=1+3+5+7+9，然后通过归纳可以得到Sn+1=1+3+5+7+9+11=Sn+a(n+1)，其中a(n+1)为数列的第n+1项，最终求得Sn=n^2二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项的比相等的数列。
我们可以通过以下几种方法来求等比数列的和：1.公式法：对于等比数列求和的最常用的方法是通过公式来求和。
等比数列的和可以表示为：S=a*(1-r^n)/(1-r)，其中a为首项，r为公比，n为项数。
需要注意的是，当r小于1时，求和公式仍然成立。
当r等于1时，等比数列的和为a*n。
2.求导法：我们可以通过对等比数列求导来求和。
对等比数列进行求导得到的结果是一个等差数列，然后再对等差数列进行求和就可以求得等比数列的和。
3.数学归纳法：和等差数列一样，我们也可以通过数学归纳法来求等比数列的和。
首先假设等比数列的和为Sn，然后通过归纳可以得到Sn+1和Sn之间的关系，最终求得Sn的表达式。
三、递推数列求和递推数列是指数列中每一项都是由前面一项或几项推出来的。
数列求和方法汇总
数列求和方法汇总数列求和是数列中各项数值的总和。
在数学中，数列求和是基本的概念之一，有许多不同的方法可以用于解决数列求和问题。
我将在以下几个方面对数列求和的方法进行归纳总结：等差数列求和、等比数列求和、调和数列求和、斐波那契数列求和以及其他常见数列求和方法。
一、等差数列求和：等差数列是指数列中每一项与前一项的差值都相等的数列。
等差数列的求和有以下几种方法：1. 公式法：等差数列的求和可以使用求和公式Sn=n(a1+an)/2，其中Sn表示数列的和，n表示数列中项数，a1表示数列的首项，an表示数列的末项。
这个公式可以直接应用于已知首项、末项和项数的情况。
2.累加法：如果项数较少，可以直接将各项相加求和，这种方法适用于求和数列项数较少的情况。
3.差分法：等差数列的求和也可以通过差分法来解决。
差分法的基本思想是利用数列的递推关系进行求和。
通过计算相邻两项的差值，然后将这些差值相加，得到数列的和。
二、等比数列求和：等比数列是指数列中每一项与前一项的比值都相等的数列。
等比数列的求和有以下几种方法：1.公式法：等比数列的求和可以使用求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，n表示数列中项数，a1表示数列的首项，q表示公比。
这个公式可以直接应用于已知首项、公比和项数的情况。
2.累加法：与等差数列类似，如果项数较少，可以直接将各项相加求和，这种方法适用于求和数列项数较少的情况。
3.分组法：对于一些特殊的等比数列，可以将数列拆分为多个子数列，然后分别求和。
通过分组求和可以简化求和过程，得到最终结果。
三、调和数列求和：调和数列是指数列中每一项的倒数构成的数列。
调和数列的求和有以下几种方法：1.公式法：调和数列的求和可以使用求和公式Sn=1/1+1/2+1/3+...+1/n，其中Sn表示数列的和，n表示数列中的项数。
调和数列的求和公式没有一般形式的解，但可以通过近似方法来求和，如泰勒级数展开等。
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3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应 项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.
【错位相减法】设 {an}的前n项和为Sn，an＝n·2n，则Sn＝
解析：∵Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…
＋n·2n
①
∴2Sn＝
1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n－21n
B．n2＋2－21n
C．n2＋1－2n1－1
D．n2＋2－2n1－1
解析：因为an＝2n－1＋21n， 则Sn＝1＋22n－1n＋1211－－1221n＝n2＋1－21n.
2．(2011·北京东城二模)已知{an}是首项为19，公差为－2的等差 数列，Sn为{an}的前n项和．
数列求和的方法
(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通 项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备 某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路： ①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比 数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来 完成． ②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等 或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒 序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
2．分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别 求和而后相加减．
【分组求和法】数列{(－1)n·n}的前n项和Sn=？
一、公式法
1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等
差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要
分q＝1或q≠1.
(1)1＋2＋3＋4＋ … ＋n＝
nn＋1 2
(2)1＋3＋5＋7＋ … ＋2n－1＝ n2
(3)2＋4＋6＋8＋ … ＋2n＝ n2＋n
二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法
[自主解答] (1)当a1＝3时，不合题意； 当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3， 故an＝2·3n－1.
(2)因为bn＝an＋(－1)nln an＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1) ＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
[例1] (2011·山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表
第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不
在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3
2
10
第二行 6 (1)求数列{an}的通项公式；第三行 9
4
14
8
18
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求 {bn}的前2n项和S2n
[冲关锦囊] 分组求和常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，
采用分组求和法求{an}的前n项和.
[精析考题] [例2] (2011·辽宁高考)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2an－n 1}的前n项和．
S2n＝a1＋a2－2 a1＋…＋an－2n－a1n－1－a2nn ＝1－12＋14＋…＋2n1－1－2－2n n ＝1－1－2n1－1－2－2nn＝2nn. 所以Sn＝2nn－1. 综上，数列{2an－n 1}的前n项和Sn＝2nn－1.
在本例条件不变情况下，求数列{2n－1·an}的前n项和Sn.
(1)求通项an及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}
的通项公式及其前n项和Tn
解：(1)因为{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，所以an＝ 19－2(n－1)＝－2n＋21. Sn＝19n＋nn2－1·(－2)＝－n2＋20n. (2)由题意知bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21. Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋3n－2 1.
[自主解答] (1)设等差数列{an}的公差为d， 由已知条件可得
a1＋d＝0， 2a1＋12d＝－10
，解得ad1＝＝－1，1.
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)设数列{2an－n 1}的前n项和为Sn， 即Sn＝a1＋a22＋…＋2an－n 1，① 故S1＝1，S2n＝a21＋a42＋…＋a2nn，② 所以，当n＞1时，①－②得
21－2n
① －②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝
－n·2n+1
1－2
＝2n+1－2－n·2n+1
∴Sn＝(n－1)·2n+1＋2
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可 以相互抵消，从而求得其和．
【裂项求和法】{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 Sn=
所以S2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2(1＋3＋…＋32n－1)＋[－1＋1－1＋…＋ (－1)2n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n2n]ln 3＝2×11－－332n＋ nln 3＝32n＋nln 3－1.
1．(2012·临沂模拟)数列112，314，518，7116，…的前n项和Sn为 (
解：Sn＝a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an① 2Sn＝2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan② ①－②得－Sn＝a1＋2(a2－a1)＋22(a3－a2)＋…＋2n－1(an－an－1)－2nan ＝1－(2＋22＋…＋2n－1)－2n(2－n)＝1－211－－22n－1－2n＋1＋n·2n ＝1＋2－2n－2n＋1＋n·2n＝(n－3)2n－3， ∴Sn＝3－(n－3)·2n.