《分数指数幂》教学设计
分数指数幂
一、教学目标
〖知识与技能〗
（1） 理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算
和化简。
（2） 会对根式、分数指数幂进行互化。
（3） 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗
通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。
〖情感、态度与价值观〗
通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。
二、教学重难点
根式、分数指数幂的概念及其性质。
三、教学情景设计
1、复习讨论
（1）根式的相关概念
（2）整数指数幂：a a a a n ⨯⨯⨯=
运算性质：n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===⋅+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。
2、问题情境设疑
问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体
内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)2
1
(t
P =，考古学家根据这个式子可以知道，生
物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。
例如：
当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为21
，2)21(，3)2
1(，……
当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含
量P 分别为57306000
)21(，573010000
)2
1
(，5730
100000)
21(。
设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ 问题2：如何计算：322⨯？
分析：66236263332222222=⨯=⨯=⨯，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？
3、分数指数幂
实例引入：5
102
55
25
10
)(a a a a ===，4
123
44
34
12
)(a a a a ===
问题：1、从以上两个例子你能发现什么结论？
当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成根指数
被开方数的指数
a
的形式
2、4532,,c b a 如何表示？ 结论：规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n
m 问题3、正数的负分数指数幂是：)1,,,0?(*>∈>=-n N n m a a n
m
分析：)1,,,0(1
*00>∈>=
=
=-
-
n N n m a a a
a a a n
m
n
m n
m n
m
如：3
4
3
45
1
5
=
-，)0(1
3
2
3
2>=
-
a a
a。
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
特别指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
4、有理指数幂的运算性质： （1）r a ·s r r a a +=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>> 回到前面的问题，则有66
53
1213
12
133222
2222===⨯=⨯+，对于本节开头的问题2，考
古学家正式利用有理数指数幂的知识，计算出生物死亡6000年，10000年，100000年后体内碳14含量P 的值。
例如
当t=6000时，P=484.0)2
1
()21(573600573600
≈=（精确到0.001），即生物死亡6000年后，
其体内碳14的含量约为原来的48.4%。
相信学生在真正掌握了分数指数幂的意义及运算性质后，都能够顺利解决。
例1．求值：43
52
13
2
)81
16(,)21(,25,8-
--
例2．用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0）:
①a a ⋅3
②a 2
·
3
a2③3a a
例3.计算下列各式（式中字母都是正数）
（1）)3()6)(2(6
56
13
12
12
13
2b a b a b a -÷- （2）8
834
1)(-n m 例4.计算下列各式
（1）4325)12525(÷- （2）
)0(3
2
2>⋅a a
a a
例5.设c b a 、、均为不等于1的正数，且z y x c b a ==，,0111=++z
y
x
求abc 的值。
5、无理数指数幂
结合教材P 52实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．
指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
思考：参照以上过程，请你说明无理数指数幂32的含义。
例3．22)5
1(5⋅=
点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．
四、实战演习
1.课本54页练习题
2.化简：
43
232)(ab
b a b a ⋅
3.已知32
12
1=+-a
a ，求下列各式的值
（1）1-+a a （2）22-+a a （3）2
12
1
232
3-
-
--a
a a a
4.① 错误!②2错误!⨯错误!⨯错误! ③错误!(a>0) 答案：3
6
3 ; 6;
6a5
五、归纳小结，强化思想
本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．
六、作业布置。
高一数学上 第二章 函数分数指数幂优秀教案
城东蜊市阳光实验学校分数指数幂 教学目的1.分数指数幂的概念2.有理指数幂的运算性质教学重点1．分数指数幂的概念2．有理指数幂的运算法那么教学难点对分数指数幂概念的理解教学方法发现法教具准备十张幻灯片教学过程教学过程一、复习二、分数指数幂1．导入)0()0()0(4824831243125102510>==>==>==a a a a a a a a a a a a⇒231254(0)(0)(0)a a b b c c =>=>=> 事实上，kn n k a a =)(假设设a>0,*),1(N n n nm k ∈>=，那么m n n m n k a a a ==)()( 由n 次根式定义,n a a m n m的是次方根，即：n m n ma a =2．正分数指数幂的意义 规定：)1*,,0(1>∈>=-n N n m a a a n mn m且0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
3．整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂注：1．分数指数幂是根式的另一种表示形式2．根式与分数指数幂可以进展6互化3．根式之间的运算可借助分数指数幂运算性质进展三、例题讲解练习1x 取何值时以下各式有意义？解：(1)10,1x x -≥∴≤(2)10,1x x -≠∴≠例1．求值 解：323(2)(3)61(1)()(2)22644----⨯-==== 例2．化简0a >解：313224()a a ====例3．化简求值11223x x -+=，求3322123x x x x --++++的值。
解：111222()27x x x x --+=+-=练习2：1．化简答案：4(1)a 2233(2)2x y ---2．30,3,na a >=求33n nn n a a a a --++的值 答案：73四、小结1．)1n ,,0(>∈>=+，N n m a a a n m n m2．分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进展6互化根式之间的运算可借助分数指数幂运算性质进展3．化简：将根式化为分数指数幂；立方和、立方差、平方和、平方差公式的灵敏运用。
2第二课时4.1.1(2)分数指数幂教学设计教案
课题 4.1.1.（2）分数指数幂课型新授第几课时2教材分析本节内容是在前面n次根式的基础上讨论和研究。
分数上的指数幂的学习则在n次根式的学习的的基础上进行的拓展和延伸，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解根式这一基本概念，另一方面它又为接下来实数指数幂的运算法则的学习作必要的准备。
学情分析1、现阶段的学生的运算能力较差。
2、学生在新知识的探究问题的能力稍有欠缺，合作交流的意识等方面发展不够均衡，必须在老师一定的指导下才能进行。
课时教学目标1.理解分数指数幂的概念．2.会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．3.培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题．教学重点与难点教学重点：分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质教学难点：根式、分数指数幂进行互化．教学方法与手段问题解决教学法板书设计4.1.1.（2）分数指数幂1．整数指数幂的概念．a n ＝a ×a ×a ×…×a (n 个a 连乘)；a 0＝1(a ≠0)；a －n ＝1a n (a ≠0，n ∈N +)．例1：一、根式的性质(1)(n a )n ＝a ．例2：(2)当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝{a （a ≥0）－a （a ＜0）.小结：二、分数指数幂a 1n ＝n a (a ＞0)；a mn ＝n a m ＝(n a )m (a ＞0，m ，n ∈N +，且mn 为既约分数)．a －m n ＝1a m n(a ＞0，m ，n ∈N +，且mn 为既约分数)．作业设计教材P74，练习4.1.1；1、2、3题教学反思本节课的是为让学生突破所学的根式，学会将一般的根式通过一定的方式方法转化为常用的分数指数幂的形式，从而能够达到用辩证的思维去看待不同的问题的目的，最终将有理指数幂推广到实数指数幂的形式。
必修一第二章教案2分数指数幂
课题：分数指数幂
授课时间：
教学目标
知识与技能
理解分数指数幂的概念。
过程与方法
让学生感受由特殊到一般的数学思想方法，通过一般化促进学生在原有的基础上的自足构建，从而增强学生对数学本质的认识。
情感，态度与价值观
让学生感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感。
重点难点
重点：利用正分数有理指数幂的运算性质，计算、化简有理数指数幂的算式。
难点：正分数有理指数幂的运算性质。
教法学法：探讨研究
教学用具：多媒体。
分数指数幂课程设计二
分数指数幂课程设计二。
一、教学大纲1.分数指数的概念（1）分数指数的定义：正实数的分数指数幂是指一个正实数的幂次方的指数是一个分数。
（2）分数指数的含义：分数指数表示的是指数为分数时，底数的幂次方需要根号或分数幂次方来表示。
如2的1/2次方表示为根号下2，2的1/3次方表示为2的开3次方。
（3）分数指数与整数指数的联系：整数指数是分数指数的特殊情况。
当指数为自然数时，分数指数的定义就是整数指数的拓展。
2.分数指数的性质（1）分数指数的加减法：分数指数的加减法可以用指数乘法公式进行推导。
如：a^(b+c)=a^b * a^ca^(b-c)=a^b / a^c（2）分数指数的乘除法：分数指数的乘除法需要用到指数运算法则和根号的概念。
如：a^(b*c)=(a^b)^ca^(b/c)=c√a^b（3）分数指数的零次幂和负次幂：分数指数的零次幂等于1，分数指数的负次幂可以用整数指数的规律进行推导。
a^0=1a^(-n)=1/a^n, (a不等于0)（4）分数指数与根号的关系：分数指数可以使用根号来表示。
二、教学策略1.针对分数指数概念的教学策略（1）引导学生理解分数指数的概念：可以通过实际应用来引导学生去理解分数指数的概念，如温度的变化规律以及物体的增长规律。
（2）梳理分数指数概念的难点：针对学生理解分数指数概念的难点，可以利用多媒体课件、数据分析软件、教学视频等教学资源。
（3）给予学生分数指数各类例题的练习：通过让学生多做几个分数指数的例题，可以让学生更加清晰分数指数的概念与性质。
2.针对分数指数性质的教学策略（1）强调分数指数的运算法则：可以通过多个例子引导学生去理解分数指数的运算法则，让学生能够更加清晰分数指数的乘除和加减法。
（2）引导学生树立自主思考的意识：在教学过程中，需要引导学生养成自主思考的习惯，让学生能够根据已经学习到的基本知识，去发掘新的知识点。
（3）引导学生发现分数指数的特殊性质：通过引导学生去发现分数指数的特殊性质，可以让学生通过掌握少量分数指数的性质，就能够快速掌握分数指数的运算法则。
《分数指数幂》教学设计
教学设计：《分数指数幂》教学目标〖知识与技能〗（1） 理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。
（2） 会对根式、分数指数幂进行互化。
（3） 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。
〖情感、态度与价值观〗通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。
教学重难点根式、分数指数幂的概念及其性质。
教学情景设计1、复习讨论（1）根式的相关概念（2）整数指数幂：a a a a n⨯⨯⨯= 运算性质：n n n mn n m nm nmb a ab a a a a a ===⋅+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。
2、问题情境设疑问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP =，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。
例如：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为21，2)21(，3)21(，…… 21，2)21(，3)21(，……是正整数指数幂。
当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(。
设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ 问题2：如何计算：322⨯？ 分析：66236263332222222=⨯=⨯=⨯，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？3、分数指数幂 实例引入：5102552510)(a a a a===，4123443412)(a a a a===问题：1、从以上两个例子你能发现什么结论？当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成根指数被开方数的指数a的形式2、4532,,c b a 如何表示？ 结论：规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm问题3、正数的负分数指数幂是：)1,,,0?(*>∈>=-n N n m a a nm分析：)1,,,0(1*00>∈>===--n N n m a a aa a anmnm nm nm如：3434515=-，)0(13232>=-a aa。
人教版高中数学教案-分数指数幂
2. 1.1第二課時分數指數冪教案【教學目標】1.通過與初中所學知識進行類比，理解分數指數冪的概念進而學習指數冪的性質.2.掌握分數指數冪和根式的互化，掌握分數指數冪的運算性質培養學生觀察分析、抽象類別比的能力3.能熟練地運用有理數指數冪運算性質進行化簡、求值，培養學生嚴謹的思維和科學正確的計算能力.【教學重難點】教學重點：（1）分數指數冪概念的理解.（2）掌握並運用分數指數冪的運算性質.（3）運用有理數指數冪性質進行化簡求值.教學難點：（1）分數指數冪概念的理解（2）有理數指數冪性質的靈活應用.【教學過程】1、導入新課同學們，我們在初中學習了整數指數冪及其運算性質，那麼整數指數冪是否可以推廣呢？答案是肯定的.這就是本節的主講內容，教師板書本節課題—分數指數冪2、新知探究提出問題（1）整數指數冪的運算性質是什麼？a>（2）觀察以下式子，並總結出規律：01051025525===；a a a a()884242===；()a a a a③1212344434()a a a a ===； ④1010522252()aa a a ===.（3） 利用（2）的規律，你能表示下列式子嗎？435,57a ，n m x *(0,,,x m n N >∈且n>1)(4)你能用方根的意義來解釋（3）的式子嗎？（5）你能推廣到一般情形嗎？ 活動：學生回顧初中學習的整數指數冪及運算性質，仔細觀察，特別是每題的開始和最後兩步的指數之間的關係，教師引導學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發學生類比（2）的規律表示，借鑒（2）（3），我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他同學鼓勵提示.討論結果：形式變了，本質沒變，方根的結果和分數指數冪是相通的.綜上我們得到正數的正分數指數冪的意義，教師板書：規定：正數的正分數指數冪的意義是*(0,,,1)n nm ma a a m n N n =>∈>.提出問題（1） 負整數指數冪的意義是怎麼規定的？ （2） 你能得出負分數指數冪的意義嗎？（3） 你認為應該怎樣規定零的分數指數冪的意義？ （4） 綜合上述，如何規定分數指數冪的意義？（5） 分數指數冪的意義中，為什麼規定0a >，去掉這個規定會產生什麼樣的後果？ （6） 既然指數的概念從整數指數推廣到了有理數指數，那麼整數指數冪的運算性質是否也適用於有理數指數冪呢？活動：學生回顧初中學習的情形，結合自己的學習體會回答，根據零的整數指數冪的意義和負整數指數冪的意義來類比，把正分數指數冪的意義與負分數指數冪的意義融合起來，與整數指數冪的運算性質類比可得有理數指數冪的運算性質，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具體的實例說明0a >的必要性，教師及時作出評價.討論結果：有了人為的規定後指數的概念就從整數推廣到了有理數.有理數指數冪的運算性質如下：對任意的有理數r,s,均有下面的運算性質：①(0,,)r s r s a a a a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈3、應用示例例1 求值：21332416(1)8;(2)25;(3)()81--點評：本題主要考察冪值運算，要按規定來解.要轉化為指數運算而不是轉化為根式. 例2 用分數指數冪的形式表示下列各式.33223;;(0)a a a a a a a ••>點評：利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算.對結果不強求統一用什麼形式但不能不倫不類.變式訓練求值：（1）363333••； （2）346627()125mn4、拓展提升已知11223,a a +=探究下列各式的值的求法.（1）33221221122;(2);(3)a a a a a a a a-----++-點評:：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯繫，然後採取“整體代換”或“求值後代換”兩種方法求值5、課堂小結 （1）分數指數冪的意義就是：正數的正分數指數冪的意義是*(0,,,1)n n m ma a a m n N n =>∈>，正數的負分數指數冪的意義是*1(0,,,1),n mn nmmaa m n N n a a-==>∈>零的正分數次冪等於零，零的負分數指數冪沒有意義. （2） 規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數. （3）有理數指數冪的運算性質：①(0,,)r s r s a a a a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈ 【板書設計】 一、分數指數冪 二、例題 例1 變式1 例2 變式2【作業佈置】課本習題2.1A 組 2、4.2.1.1-2分數指數冪課前預習學案一． 預習目標 1. 通過自己預習進一步理解分數指數冪的概念 2.能簡單理解分數指數冪的性質及運算二． 預習內容１．正整數指數冪：一個非零實數的零次冪的意義是： ． 負整數指數冪的意義是： ．２．分數指數冪：正數的正分數指數冪的意義是： ．正數的負分數指數冪的意義是： ． ０的正分數指數冪的意義是： ．０的負分數指數冪的意義是： ．３．有理指數冪的運算性質：如果ａ＞０，ｂ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ，那麼rsaa ⋅＝ ；)(a rs＝ ；)(ab r＝ ．４．根式的運算，可以先把根式化成分數指數冪，然後利用 的運算性質進行運算．三． 提出疑惑通過自己的預習你還有哪些疑惑請寫在下面的橫線上課內探究學案一． 學習目標 1. 理解分數指數冪的概念2.掌握有理數指數冪的運算性質，並能初步運用性質進行化簡或求值學習重點：（1）分數指數冪概念的理解.（2）掌握並運用分數指數冪的運算性質. （3）運用有理數指數冪性質進行化簡求值.學習難點：（1）分數指數冪概念的理解 （2）有理數指數冪性質的靈活應用.二． 學習過程 探究一１．若0a >，且,m n 為整數，則下列各式中正確的是 （ ） A 、mmnna a a ÷= B 、mn m n aa a = C 、()nm m n a a += D 、01n n a a -÷=２．c ＜0，下列不等式中正確的是（ ）A c 2B cC 2D 2c cc cc c．≥．＞．＜．＞()()()121212３．若)2143(x --有意義，則ｘ的取值範圍是（ ）Ａ．ｘ∈Ｒ Ｂ．ｘ≠０．５ Ｃ．ｘ＞０．５ Ｄ．Ｘ＜０．５ 4．比較a=0.70.7、b=0.70.8、c=0.80.7三個數的大小關係是________． 探究二例１：化簡下列各式：（1）()()()2233111a a a -+-+-；（２）)3324()3(5621121231b a baba-÷---例２：求值：（１）已知a xx =+-22（常數）求88xx -+的值；（２） 已知ｘ＋ｙ＝１２，ｘｙ＝９ｘ，且ｘ＜ｙ，求yxy x 21212121++的值例３：已知ax212+=，求aa aaxxx x --++33的值．三． 當堂檢測１．下列各式中正確的是（ ）Ａ．1)1(0-=- Ｂ．1)1(1-=-- Ｃ．aa 22313=- Ｄ．x x x 235)()(=--2.44等於（ ） A 、16aB 、8a C 、4a D 、2a３．下列互化中正確的是（ ）Ａ．)0(()21≠=--x x x Ｂ．)0(3162<=y yyＣ．)0,((4343)()≠=-y x xy yx Ｄ．331x x-=４．若1,0a b ><,且22bba a -+=,則b b a a --的值等於（ ）A 、6B 、2±C 、2-D 、2５．使)23(243x x ---有意義的ｘ的取值範圍是（ ）Ａ．Ｒ Ｂ．1≠x 且3≠x Ｃ．－３＜Ｘ＜１ Ｄ．Ｘ＜－３或ｘ＞１課後練習與提高１．已知ａ＞０，ｂ＞０，且b aab=，ｂ＝９ａ，則ａ等於（ ）Ａ．43 Ｂ．９ Ｃ．91Ｄ．39 ２．2222=+-x x且ｘ＞１，則x x 22--的值（ ）Ａ．２或－２ Ｂ．－２ Ｃ．6 Ｄ．２３．=⨯⨯61125.1323 ． ４．已知N n +∈則)1](1[812)1(---n n ＝ ．５．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>-n n a a x a 1121,0,求()nx x 21++的值．。
高中数学分数指数幂教案1
分数指数幂3三维目标一、知识与技能1.理解无理数指数幂的含义.2.掌握无理数指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行实数指数幂的运算和化简.二、过程与方法1.教学时不仅要关注幂运算的基本知识的学习，同时还要关注学生思维迁移能力的培养.2.通过指数幂概念及其运算性质的拓展，引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性.3.通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂与无理数指数幂之间的内在联系，培养学生辩证地分析问题、认识问题的能力.三、情感态度与价值观1.通过无理数指数幂概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类对事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣.2.教学过程中，通过教师与学生、学生与学生之间的相互交流，加深理解无理数指数幂的意义.3.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程，使学生认同科学是在不断的观察、实验、探索和完善中前进的.教学重点1.无理数指数幂的含义的理解.2.无理数指数幂的运算性质的掌握.教学难点1.无理数指数幂概念的理解.2.实数指数幂的运算和化简.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、回顾旧知，探索规律，引入新课师：我们所学习的数的进化过程是怎样的?生：自然数——整数——分数（有理数）——实数.师：从有理数到实数有什么补充?生：无理数.师：上节课学习了分数指数幂的概念及有理数指数幂的运算性质，指数的取值范围由整数推广到了有理数.那么，当指数是无理数时，我们又应当如何来处理呢?（众生思考，议论纷纷，但无结果）师：这就是我们本节课要学习的无理数指数幂.二、讲解新课（一）无理数指数幂的意义师：不妨看这样一个例子：52这个数的结果是一个什么数?为什么?生：无理数.因为指数是无理数，所以它也是无理数.师：我们从具体的数据来看一下是否成立呢?（多媒体操作显示如下图片）师：你发现上面的两表具有什么样的规律？生：第一张表是从大于2的方向逼近2，52就从51.5，51.42，51.415，51.4143，…，即大于52的方向逼近52；第二张表是从小于2的方向逼近2，52就从51.4，51.41，51.414，51.4142，…，即小于52的方向逼近52.师：因此，我们可以得出这样一个结论：52肯定是一个什么数?生：实数.一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α是无理数）是一个确定的实数.师：细心的同学可能已经发现了，我们这里讨论无理数指数幂的意义时，对底数a也有大于0这个规定的，为什么要作这个规定呢？如果去掉这个规定会产生怎样的局面？合作探究：在规定无理数指数幂的意义时，为什么底数必须是正数？（组织学生讨论，通过具体例子说明规定底数a＞0的合理性）若无此条件会引起混乱，如若a=－1，那么aα是+1还是－1就不确定了.（二）指数幂的运算法则师：有理数的运算性质能否适用于无理数呢?生：因为无理数指数幂也是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.有理数指数幂的运算性质依然可以进行推广，请回顾一下它们共同的运算性质.（生口答，师板书）对于任意的实数r 、s ，均有下面的运算性质： ①a r a s =a r +s（a ＞0，r 、s ∈R ）； ②（a r ）s =a r s（a ＞0，r 、s ∈R ）；③（ab ）r =a r b r（a ＞0，b ＞0，r 、s ∈R ）. （三）例题讲解【例1】 使用计算器计算下列各式的值：（保留到小数点后第四位）（1）0.21.52；（2）3.14－2；（3）3.132；（4）52. 解：（1）0.21.52≈0.0866；（2）3.14－2≈0.1014； （3）3.132≈2.1261； （4）52≈9.7385. 【例2】 化简下列各式： （1）113132++-x x x +1131++x x －13131--x x x ；（2）625-+347-－246-；（3）22222222-------+b a b a b a b a +1111))((----+--ba ab b b a a . （生板演，师组织学生总结解决此类问题的一般方法和步骤）解：（1）113132++-x x x +1131++x x －13131--x x x =11)(3132331++-x x x +11)(31331++x x －1)1(313231--x x x =1)1)(1(3132313231++++-x x x x x +1)1)(1(31313231++-+x x x x －1)1)(1(31313131-+-x x x x =（x 31－1）+（x32－x 31+1）－x 31（x 31+1）=x 31－1+x 32－x 31+1－x 32－x 31=－x 31.（2）625-+347-－246-=2)23(-+3)32(-－2)22(-=（3－2）+（2－3）－（2－2）=3－2+2－3－2+2=0.（3）22222222-------+b a b a b a b a +1111))((----+--b a ab b b a a =1)(44222222---+b a b a b a b a +)())((1111----+--b a ab ab b b a a ab = )1)(1()1)((22222222+--+b a b a b a b a +1)(221111+--+----b a ab b a b a ab ab =12222++b a b a +11222222+--+b a a b b a =112222++b a b a =1. 方法引导：化简（1）这类式子，要考虑运算公式；化简（2）这类式子，要考虑根号里面可能是一个平方数；化简（3）这类式子，一般有两个方法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化为正指数，另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化为正指数.【例3】 写出使下列等式成立的x 的取值范围： （1）（331-x ）3=31-x ； （2）)25)(5(2--x x =（5－x ）5+x .解：（1）只需31-x 有意义，即x ≠3，∴x 的取值范围是（－∞，3）∪（3，+∞）. （2）∵)25)(5(2--x x =)5()5(2+-x x =|x －5|5+x ，∴|x －5|5+x =（5－x ）5+x 成立的充要条件是x +5=0或⎩⎨⎧-=->+,5|5|,05x x x 即x =－5或⎩⎨⎧≤-->.05,5x x∴x 的取值范围是［－5，5］. 三、巩固练习 课本P 63练习：4（生完成后，同桌之间互相交流解答过程）4.（1）1.3346；（2）0.0737；（3）0.9330；（4）0.0885. 四、课堂小结师：本节课你有哪些收获，能和你的同桌互相交流一下你们各自的收获吗？请把你们的交流过程作简单记录.（生交流，师投影显示如下知识要点） 1.无理数指数幂的意义一般地，无理数指数幂a α（a ＞0，α是无理数）是一个确定的实数.2.指数幂的运算法则①a r a s=a r +s（a ＞0，r 、s ∈R ）； ②（a r）s=a rs（a ＞0，r 、s ∈R ）；③（ab ）r=a r b r（a ＞0，b ＞0，r 、s ∈R ）. 五、布置作业板书设计2.1.1 指数与指数幂的运算（3）1.无理数指数幂的意义2.指数幂的运算法则3.例题讲解与学生训练4.课堂小结5.布置作业。
沪教版数学七年级下册12.4《分数指数幂》教学设计
沪教版数学七年级下册12.4《分数指数幂》教学设计一. 教材分析《分数指数幂》是沪教版数学七年级下册第12.4节的内容，主要介绍了分数指数幂的定义、性质和运算方法。
这一节内容是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等相关知识的基础上进行学习的，是指数幂知识的重要组成部分，也是进一步学习对数等知识的基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，但对于分数指数幂这一概念可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
同时，学生可能对于指数幂的运算规则还不够熟悉，需要通过大量的练习来巩固。
三. 教学目标1.理解分数指数幂的概念和性质。
2.掌握分数指数幂的运算方法。
3.能够运用分数指数幂解决实际问题。
四. 教学重难点1.分数指数幂的概念和性质。
2.分数指数幂的运算方法。
3.运用分数指数幂解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过案例分析和练习，使学生理解和掌握分数指数幂的定义和运算方法；通过小组合作学习，培养学生的团队合作能力和交流沟通能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关案例和练习题。
3.小组合作学习的任务单。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾实数、有理数、无理数等相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用PPT呈现分数指数幂的定义、性质和运算方法，通过实例和动画演示，使学生直观地理解和掌握。
3.操练（10分钟）学生独立完成相关的练习题，教师巡回指导，及时发现和纠正学生的错误。
4.巩固（10分钟）学生分组讨论，总结分数指数幂的运算规律，教师点评并总结。
5.拓展（10分钟）学生运用分数指数幂解决实际问题，如计算化学反应的速率常数等，教师引导学生思考和探索。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，巩固所学知识。
7.家庭作业（5分钟）布置相关的练习题，要求学生独立完成，巩固所学知识。
5.1.1分数指数幂教案
5.1.1分数指数幂教案
一、教学目标知识与技能目标
1、（1）掌握分数指数幂的含义；
（2）掌握分数指数幂与根式之间的互化；
（3）掌握分数指数幂的运算性质.过程与方法目标
2、通过引导学生观察、比较、归纳得到分数指数幂的含义，并提高学生观察问题、解决问题的能力.
3、情感态度与价值观培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透“转化”的数学思想；以及对“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂”这一知识体系的不断扩充和完善的过程的学习，增强学生对数学本质的认识.
二、教学重难点
1、重点：分数指数幂的含义理解及其运算性质；
2、难点：分数指数幂与根式之间的互化三、教学方法：启发式教学法
四、教学过程1、复习引入（1)n次方根一般地，如果x“=a(nEN，n>1)，那么x叫做a的n次方根.
练习：①9的平方根为；
②16的四次方根为；
③-32的五次方根为
④8的立方根为（2)n次根式形如Va(nEN，n>1)的式子叫做a的n次根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.其中（Va）”=a；当n为奇数时，a”=a；当n为偶数时，Va”=a|.。
高一数学分数指数幂数学教案
高一数学分数指数幂数学教案一、教学目标1.理解分数指数幂的定义。
2.学会运用分数指数幂的性质进行计算。
3.能够运用分数指数幂的知识解决实际问题。
二、教学重难点重点：分数指数幂的定义及性质。
难点：分数指数幂的计算及实际应用。
三、教学过程1.导入新课（1）复习整数指数幂的概念和性质。
（2）引导学生思考：当指数为分数时，幂的运算规律会发生怎样的变化？2.新课讲解（1）分数指数幂的定义引导学生回顾整数指数幂的定义，然后类比得出分数指数幂的定义。
板书：a^(m/n)=(a^m)^(1/n)=(a^(1/n))^m（2）分数指数幂的性质引导学生通过举例验证分数指数幂的性质。
板书：a^(m/n)a^(p/q)=a^((m/n)+(p/q))(a^m)^n=a^(mn)(a^m)^(1/n)=a^(m/n)(a^m)^(p/q)=a^((mp)/(nq))（3）分数指数幂的运算讲解分数指数幂的运算方法，引导学生运用分数指数幂的性质进行计算。
例题：计算(2^3)^(1/2)(2^2)^(3/4)解析：根据分数指数幂的性质，我们可以将原式化简为2^(3/2)2^(3/2)=2^(3+3/2)=2^(9/2)3.练习与巩固（1）课堂练习1.计算(3^4)^(1/2)(3^2)^(3/4)2.计算(5^3)^(2/3)/(5^2)^(1/3)（2）课后作业1.计算(2^5)^(1/2)(2^3)^(1/4)2.计算(7^2)^(3/2)/(7^3)^(1/2)3.已知a>0，求证：(a^(m/n))^(p/q)=a^((mp)/(nq))4.课堂小结5.课后反思教师根据课堂教学情况，反思教学效果，为下节课的教学做好准备。
四、教学反思本节课通过复习整数指数幂的概念和性质，引导学生类比得出分数指数幂的定义和性质。
在教学过程中，注重让学生通过举例验证分数指数幂的性质，培养学生的动手操作能力和思维能力。
在练习环节，让学生独立完成课堂练习和课后作业，巩固所学知识。