典中点平行四边形专训5 构造中位线解题的五种常用方法
平行四边形中位线定理
平行四边形中位线定理平行四边形中位线定理平行四边形是指有两组对边分别平行的四边形。
在平行四边形中，连接相邻顶点的线段称为对角线，且对角线互相平分。
定义平行四边形中位线是指连接相邻顶点的中点所构成的线段。
定理在平行四边形中，两条对角线互相平分，且它们的交点是它们的共同中心。
证明设ABCD为平行四边形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的中点。
连接EG和FH，并延长至交于点O。
因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ADC；同理可得∠CBD=∠CDA。
又因为AE=EB，AD=DG，所以△AED≌△GBD（SAS）；同理可得△FHC≌△CHD（SAS）。
因此AE=BG，CF=DH。
又因为AF∥DC，所以∠FAH=∠DCH；同理可得∠EBG=∠FCD。
但是由于ABCD是一个平行四边形，所以AD=BC。
因此，在△AED和△FHC中：AE+ED+CF+CH=AD+FC+DG+GBBG+ED+AH+CH=AD+AF+DG+FC将AE=BG，CF=DH代入上式，得：ED+CH=DG+AFBG+ED=AF+DG因此，△AEG≌△DFH（SAS），所以EG=FH。
因此，EG和FH互相平分。
又因为E、F、G、H是ABCD的中点，所以OE=OF=OG=OH。
因此，O在EG和FH的交点处，且它们的交点是它们的共同中心。
应用平行四边形中位线定理可以用来证明两条对角线互相平分的性质，并且可以用来求解平行四边形各个部分的长度。
例如，在平行四边形ABCD中，已知AD=6cm，DC=8cm，AC=10cm。
连接AC并延长至交于点E。
由于AE=EC（垂直平分线段），所以AE=5cm。
又因为AB∥DC（对角线互相平分），所以BE/ED=BA/AD；同理可得CE/EB=CD/BA。
将已知数据代入上式可得BE/ED=4/3，CE/EB=5/2。
因此BE=(4/7)AC=(4/7)×10cm≈5.71cm，ED=(3/7)AC=(3/7)×10cm≈4.29cm。
平行四边形的判定(4)中位线的运用
A H E F B C O G
D
例4：求证顺次连结四边形各边中点所得的四边 形是平行四边形。
已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中AB、 BC、CD、DA的中点。 A H 求证：EFGH是平行四边形。
E G F C
D
B
任意四边形四边中点连线所得的四边形一定是 平行四边形。
3、 如图所示， △ABC中，中线BD、CE相 交于O，F、G分别为OB、OC的中点。 求证：四边形DEFG为平行四边形。
练一练
1.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， BC=10cm，则DE=______.
2. △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， ∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____.
A D E (1) C
B D A
E C
B
(2)
3. 如图所示，EF是△ABC的中位线， BD平分∠ABC交EF于D，若ED=2，则 EB=________________。
(2011孝感中考试题)如图，在△ABC中， BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交 于点O，点F、G分别是BO、CO的中点， 连结AO.AO=6cm，BC=8cm，则四边形 DEFG的周长是（ ） A.14cm B.18cm C.24cm D.28cm
(11年泉州中考)如图，在四边形ABCD 中，P是对角线B的中点，EF分别是AB、 CD的中点，AD=BC, ∠PEF=18°, 则 ∠PFE的度数是 ．
菱形
（3）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是________？
矩形
（4）顺次连结正方 形各边中点所得的四 边 形 是 ___________ ？ （5）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是 ______________？ （6）顺次连结等腰梯形 各边中点所得的四边形 是__________？
《平行四边形性质与判定的应用：中位线定理》
三角形中位线定理的探索及其判定一、说教材三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
(地位与关系)三角形中位线定理的探索及其判定，属于平行四边形性质定理与判定定理的应用，因而，在教材中这部分知识被安排在平行四边形性质与判定之后。
但从研究方法的角度而言，三角形中位线定理的研究较平行四边形的性质与判定有很大的不同。
后者，我们主要是利用三角形及其全等来研究平行四边形，而前者，则主要是利用我们学习的平行四边形去研究三角形中的有关问题。
(作用)三角形中位线定理涉及到了线段的位置关系，也涉及到了数量关系，特别是倍长关系，由于这些特殊性，使得其应用极其广泛。
同时，中位线定理证明过程中所涉及到的思考问题的方法对于相关类型的题目的解答具有启发意义。
二、教材的设计思想教材中关于三角形中位线定理的叙述大致思路如下：首先，给出三角形中位线的定义，辨别出中位线与中线之间的区别；其次，引导学生，提出猜想，讨论中位线与底边的位置关系与数量关系；最后，引导学生，证明猜想，得出中位线定理。
三、教学目的以及重难点教学目的：掌握三角形中位线定理及其应用。
难点：理解中位线定理的证明过程四、教学过程①回顾知识，引出问题师：前几节课，我们学习了平行四边形的性质定理与判定定理，大家还记得当时我们的结论是如何得出来的，比如说平行四边形的性质：对角线相互平分，这是如何得到的？生：通过证三角形全等得到的。
师：还比如说：我们知道两组对边相互平行的四边形是平行四边形，这是根据平行四边形的定义得到的判定定理。
而还有一些判定定理：如对角线相互平分的四边形是平行四边形，这个判定定理是如何得出的，大家还记得吗？生：记得，通过证三角形全等，得到内错角相等，然后得到对应边相互平行，得出是平行四边形。
师：那么，我们就会发现，关于平行四边形的性质定理、判定定理的得出，都是利用三角形的性质，特别是三角形全等。
也就是说，我们是利用三角形及其性质来研究平行四边形的性质。
五种辅助线解题方法
五种辅助线解题方法
在解题过程中，辅助线是一种非常有用的工具，能够帮助我们更好地理解问题和解决问题。
以下是五种常见的辅助线解题方法：
1. 垂线法
垂线法是一种常见的几何证明方法，也可以用来解决许多几何问题。
在使用垂线法时，我们通常要绘制一条垂线，将原来的形状分成几个小部分，从而更容易解决问题。
2. 中垂线法
中垂线法是一种特殊的垂线法，它可以帮助我们找到一个三角形的中心点，从而更容易解决问题。
在使用中垂线法时，我们需要绘制三角形的中垂线，并找到它们的交点，这个点就是三角形的中心点。
3. 对角线法
对角线法是一种常见的几何证明方法，可以用来证明平行四边形、菱形和正方形等形状的性质。
在使用对角线法时，我们需要绘制一条对角线，并利用对角线的特性来解决问题。
4. 相似三角形法
相似三角形法是一种常见的几何证明方法，可以用来解决许多与三角形相关的问题。
在使用相似三角形法时，我们需要找到两个相似的三角形，并利用它们的比例关系来解决问题。
5. 平移法
平移法是一种常见的代数证明方法，可以用来证明等式和不等式等代数关系。
在使用平移法时，我们需要通过平移变量的值，将等式
或不等式转化成更容易解决的形式。
初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型的构造1(倍长中线法;构造中位线法)
７.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,点Ｄ为BＣ得中点,点E、Ｆ分别为AB、AＣ上得点,且ＥD⊥FD。以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形?若能,该三角形就是锐角三角形、直角三角形,或者就是钝角三角形？
3、已知直角三角形斜边中点,可以考虑:构造斜边中线;
4.已知等腰三角形底边中点,可以考虑:连接顶点与底边中点利用“三线合一”性质.
新
课
内
容
做辅助线思路一:倍长中线法
经典例题1:如图所示,在△ABＣ中,AB＝２0,AC＝１2,求BC边上得中线AＤ得取值范围。
【课堂训练】
１。如图,已知CB、CＤ分别就是钝角△AEＣ与锐角△AＢC得中线,且ＡC＝AB,给出下列结论:①ＡＥ＝2ＡC;②CE＝２CD;③∠ＡCＤ＝∠BＣＥ;④CB平分∠ＤCE,则以上结论正确得就是()
2.如图,在△ABC中,BＤ⊥AC于D,CE⊥ＡB于E,点Ｍ、N分别就是BC、ＤE得中点,
(1)求证:ＭN⊥DＥ;
(2)连结ME、MD,若∠A=６0°,求得值.
3、如图,△ABC中,AB＝BC,∠ABC=90°,点E、F分别在AB、AＣ上,且AE＝EF,点O、M分别为AF、ＣE得中点.求证:(１)OM=CE;(２)OB=OM。
4、如图,∠ＤBＣ＝∠BＣE＝90°,M为DE得中点,求证:MB=ＭC、
教
学
后
记
学生签名:家长签名:
A.①②④ B.①③④ C、①②③ D.①②③④
第1题图 第2题图
２、如图,在正方形AＢCＤ中,E为ＡB边得中点,G、F分别为ＡD,BC边上得点,若AＧ＝1,BＦ＝2,∠GＥＦ＝9０°,则GF得长为()
典中点相交线与平行线专训4 应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
典中点相交线与平行线专训4 应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法◐名师点金◑在解决平行线的问题时,当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时,通常借助輔助线来帮助解答,如何作辅助线需根据已知条件确定。
辅助线的添加既可以产生新的条件,又能与题目中原有的条件联系在一起。
类型1：加截线(连接两点或延长线段相交)1.如图,AB∥EF,CD⊥EF,∠BAC=50°,则∠ACD=( )A.120°B.130°C.140°D.150°类型2：过“拐点”作平行线a.“”形图2.如图,AB∥CD,点P为AB,CD之间的一点,已知∠2=28°,∠BPC=58°,求∠1的度数。
b.“”形图3.(1)如图①,若AB∥DE,∠B=135°,∠D=145°，求∠BCD的度数;(2)如图①,在AB∥DE的条件下,你能得出∠B,∠BCD,∠D之间的数量关系吗?请说明理由;(3)如图②,AB∥EF,根据(2)中的猜想,直接写出∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
c. 形图4.如图,AB∥DE,则∠BCD,∠B,∠D有何关系?为什么?d. ”形图5.如图,已知AB∥DE,∠BCD=30°,∠CDE=138°,求∠ABC的度数。
e.“”形图6.(1)如图,AB∥CD,若∠B=130°,∠C=30°,求∠BEC的度数;(2)如图,AB∥CD,探究∠B,∠C,∠BEC三者之间有怎样的数量关系?试说明理由。
类型3：平行线间多折点角度问题探究7.(1)如图,在图①中,AB∥CD,则∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何关系?(2)如图,在图②中,若AB∥CD,又能得到什么结论?。
构造中位线的方法
1
连接两点构造三角形的中位线
1、如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在 AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点 P,M,N分别为AC，AD，CE的中点。 （1）求证：PM=PN； （2）求∠MPN的度数。
大家好
2
已知角平分线和垂直构造中位线
2、如图，在⊿ABC中，点M为BC的中点，AD为 ⊿ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB=12， AC=18，求DM的长。
大家好
7
结束
大家好
8
大家好
3
已知角平分线和垂直构造中位线【练习】
3、如图，在⊿ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平 分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE 的长。
大家好
4
倍长法构造中位线
4、如图，在⊿ABC中，∠ABC=90o，BA=BC， ⊿BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90o，M为AF的中 点，求证：CF=2ME。
Байду номын сангаас大家好
5
已知一边中点，取另一边中点构造中位线
5、如图，在⊿ABC中，∠C=90o，CA=BC， E、F分 别为CA，CB上一点，CE=CF，M、N分别为AF、 BE中点，求证：AE= 2 MN。
大家好
6
已知两边中点，取第三边中点构造中位线
6、如图，在⊿ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D， 点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证： AC=3AN。
专训常用构造中位线的五种方法
八、句子工厂。
1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？ （陈述 句）
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文 化宝库 中一颗 璀璨的 明珠。 （缩写 句子） ___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。 她已经 成了我 灵魂的 一部分 。（用 关联词 连成一 句话） __________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _____
证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.
易得ME＝
1 2
AN.∵EF＝EN，∠BEF＝90°，
∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN.
∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，
∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，
∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.
3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。
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典中点平行四边形专训5 构造中位线解题的五种常用方法
◐名师点金◑
三角形的中位线具有两方面的性质：
一是位置上的平行关系,二是数量上的倍分关系.因此,当题目中给出三角形两边的中点时,可以直接 连出中位线;当题目中给出一边的中点时,往往需要找另一边的中点,作出三角形的中位线。
典例剖析：如图,在△ABC 中,BD,CE 分别平分∠ABC,∠ACB,AM ⊥CE 于点M,AN ⊥BD 于点N.
求证:MN=21(AB+AC-BC)
解题秘方:图中不存在中点,但结论与三角形中位线定理很类似,因此应设法寻找中点,再构造三角形的中位线.要证明MN=2
1(AB+AC-BC),可找以MN 为中位线的三角形,故延长AM 交BC 于点F,延长AN 交BC 于点G,易证明2MN=FG,而FG=BC+FC-BC.又易证明BG=AB,FC=AC,故问题得解。
方法1：连接两点构造三角形的中位线
1.如图,点B 为AC 上一点,分别以AB,BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE,点P,M,N 分别为AC,AD,CE 的中点。
(1)求证PM=PN ；
(2)求∠MPN 的度数。
方法2：已知角平分线及垂直构造中位线
2.如图,在△ABC 中,点M 为BC 的中点,AD 为△ABC 的外角平分线,且AD ⊥BD.若AB=12,AC=18,求DM 的长。
3.如图,在△ABC 中,已知AB=6,AC=10,AD 平分∠BAC,BD ⊥AD 于点D,点E 为BC 的中点，求DE 的长。
方法3：倍长法构造三角形的中位线
4.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BA=BC ，△BEF 为等腰直角三角形,∠BEF=90°,M 为AF 的中点， 求证ME=21CF
方法4：已知两边中点,取第三边中点构造三角形的中位线
5. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,CA=CB,E,F 分别为CA,CB 上一点,CE=CF,M,N 分别为AF 、BE 的中点， 求证AE=2MN
方法5：已知一边中点推理得出另一边中点再取第三边中点构造三角形的中位线
6.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC 于点D,点P 是AD 的中点,连接BP 并延长交AC 于点N ，求证AN=3
1AC。