小学数学应用题之方阵问题
小学数学广角专题10.方阵问题_通用版
小学数学广角专题10.方阵问题_通用版夯实基础1.在一个正方形花坛的四周栽树，要求4个顶点各栽1棵，每边只栽10棵，共栽了（）棵树．A.36B.32C.48D.40【答案】A【解析】试题分析：此题可以看做是空心方阵问题，四周点数=每边点数×4﹣4，由此即可解答．解：10×4﹣4=36（棵），答：一共栽了36棵树．故选：A．2.一队学生围成一个正方形，每边站了12人（四个顶点都有人），共有（）名学生．A.44B.48C.52D.40【答案】A【解析】试题分析：因为每个顶点处的人数在每条边上重复相加，所以最外层人数=每边人数×4﹣4，由此即可解答．解：12×4﹣4，=48﹣4，=44（人），答：共有44人．故选：A．3.一个正方形平顶天花板上每边要装20盏彩灯，一共需要（）盏彩灯．A.40B.76C.44D.50【答案】B【解析】试题分析：这个问题可以看做是空心方阵问题：根据四周点数之和=每边点数×4﹣4即可计算所需要的彩灯盏数．解：20×4﹣4=76（盏），答：一共需要76盏灯．故选：B．4.王大伯在正方形鱼塘的四周栽树，每边栽5棵，王大伯最少能栽棵，最多能栽棵．【答案】16，20．【解析】试题分析：要使植树的棵数最少，那么四个顶点都栽树，则植树棵数=每边植树棵数×4﹣4；要使植树的棵数最多，那么四个顶点都不栽，则栽树棵数=每边栽树棵数×4，据此计算即可解答．解：植树的棵数最少是：5×4﹣4=20﹣4=16（棵）植树的棵数最多是：5×4=20（棵）答：王大伯最少能栽16棵，最多能栽20棵．故答案为：16，20．5.在一个正方形操场的四周插上红旗，4个角上也插上红旗，如果每条边上插15面，那么四周一共插了面红旗．【答案】56【解析】试题分析：每一边上都插了15面红旗，那么15×4=60（面），其中四个角的红旗重复加了一次，所以要减去，即可得出红旗的总面数．解：15×4﹣4，=60﹣4，=56（面），答：四周一共插了56面红旗．故答案为：56．6.36个同学围成一个正方形，相邻两人之间的距离相等．每条边上站了人．【答案】10【解析】试题分析：因为围成一个封闭图形，所以间隔数等于总人数36个，因为是正方形，所以每边上有36÷4=9个间隔，则每边上的人数等于间隔数加1即可解答．解：36÷4+1，=9+1，=10（个）．答：每边上站了10人．故答案为：10．7. 一个正方形游泳池的四周要安装护栏，每边安装10根，每个顶点都要安装，一共要安装多少根？【答案】36根【解析】试题分析：每个边上安装10根，一共是4个边，所以是10×4根，但是四个顶点的被计算了2次，所以再减去4就是一共要安装的根数。
小学数学中年级篇--方阵问题
方阵问题知识归纳：1.方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2.方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83.方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数习题精练：1. 100名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列.问减少了多少人？分析与解：100人排成10行10列的方阵，减去一行一列后剩下的是9行9列的方阵.9×9=81 (人)100-(10-1)×(10-1)=19 (人)答：减少19人.2. 在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵.求原来两个方阵各有多少人？分析与解：10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人.大方阵人数应该在50～100之间，可取64或81，运用枚举法，可求出当大方阵人数是64人，小方阵人数为36人时满足条件.答：大方阵有64人，小方阵有36人.3. 有一个用棋子摆成的方阵，如果再放入19枚棋子，可使每行每列上的棋子各增加一枚.原来的方阵中有多少棋子？分析与解：增加的19枚棋子，使原方阵增加了一行一列，其中有一枚棋子是这一行一列的交点，被重复计算了.因此增加后每边棋子数为(19+1)÷2=10(枚)，则原来最外层每边有9枚棋子.原来每边上的棋子数(19+1)÷2-1=9 (枚)；原来方阵中棋子总数9×9=81 (枚).答：原来的方阵中有81枚棋子.4. 180枚棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层有多少棋子？最外层每边有多少棋子？分析与解：由于外层比中层多8枚棋子，中层比内层多8枚棋子，因此中层的棋子数为180÷3=60(枚)，外层的棋子数为60+8=68(枚).利用公式：每边棋子数=总数÷4+1，可以求出每边有多少棋子.180÷3+8=68 (枚)；68÷4+1=18 (枚).答：最外层的有68枚，最外层每边上有18枚棋子.5. 在一次团体操表演中，有一个中空方阵最外层有64人，最内层有32人.参加团体操表演的共多少人？分析与解：根据层外层和最内层的人数，可以分别求出内外层每边的人数.一个空心方阵，可以看作从一个最外层有64人的实心方阵中，减去一个小方阵.外层每边人数64÷4+1=17 (人)；内层每边人数32÷4+1=9 (人)；中空方阵人数17×17-(9-2)×(9-2)=240 (人).答：参加团体操表演的共240人.6. 将一个每边16枚棋子的实心方阵变成一个四层的中空方阵，此中空方阵的最外层每边有多少棋子？分析与解：棋子总数为16×16=256(枚)，由于“中空方阵总个数=(每边个数-层数)×层数×4”，所以“每边个数=中空方阵总个数以÷层数÷4+层数”.16×16÷4÷4+4=20 (枚).答：最外层每边有20枚棋子.7. 252名同学组成一个三层的空心方阵.如果要在方阵内部再增加一层，组成四层空心方阵要增加多少人？如果要在外部增加一层，又要增加多少人？分析与解：首先求出原三层方阵中间层的人数，由于每向里或向外一层，人数减少或增加8人，因此可以求出答案.中间层人数252÷3=84 (人)；向里增加一层需84-8×2=68 (人)；向外增加一层需84+8×2=100 (人).答：向内部增加一层需增加68人，向外部增加一层需100人.8. 同学们要把操场的盆花摆成实心方阵，结果还剩4盆，如果增加一行一列，又少15盆.求共有多少盆花？分析与解：由题目可知要增加的这一行一列共需花4+15=19(盆)，因此生边上有花(19+1)÷2=10(盆).如果摆满，将是由100盆花组成的实心方阵，但实际上只有100-15=85(盆).增加的那条边上有花(4+15+1)÷2=10 (盆)；实际有花10×10-15=85 (盆).答：共有85盆花.9. 一群学生，如果排成三层空心方阵多10人，如果在中空部分增加一层又少6人，问有多少学生？分析与解：增加的那一层人数应为10+6=16(人)，从而可求出此每边人数及最外层每边人数.增加的那一层每边人数(10+6)÷4+1=5 (人)；最外层人数5+2×3=11 (人)；四层方阵总人数(11-4)×4×4=112 (人)；实有人数112-6=116 (人).答：共有学生106人.10. 有一群学生排成三层中空方阵，多9人.如中空部分增加两层，又少15人.问有学生多少人？分析与解：增加的两层人数为9+15=24(人)，这两层人数之差是8人.因此最里层有(24-8)÷2=8(人).现在的方阵共5层，那么最外层有8+8×4=40(人)，知道最外层人数及层数就不难求出总人数.最外层人数(9+15-8)÷2+8×4=40(人)；总人数40+(40-8)+(40-8×2)+9=105(人).答：有学生105人.11. 用若干围棋子摆成一个方阵，有两行两列都是黑棋，共48枚，其余都是白棋.白棋有多少枚？分析与解：方阵中的每行每列，棋子数都是一样的。
小学数学典型应用题16：方阵问题(含解析)
小学数学典型应用题16：方阵问题（含解析）方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵）。
根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4解题思路和方法方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1：佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。
那么参加团体操表演的运动员一共有多少人？解：1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。
2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。
所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。
例2：欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？解法1：1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。
2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。
知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。
最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。
方阵问题
方阵问题【知识要点】1.方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2.方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83.方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数 （每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数【典型题解】例1.四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？分析：方阵中的任何1人，既是其中一排中的人，也是其中一列中的人。
去掉一行一列，不管去掉哪一行哪一列，总有1人被去掉了两次，因此，求去掉一行一列去掉多少人，就是求比原来方阵中2行的人数少1人是多少人解：82115⨯-=（人） 881549⨯-=（人）答：要去掉15人，还剩49人例2.菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？分析：正方形空心花坛是空心方阵，依题意，四个角上的1盆在横、竖排中各计算了一次。
求李师傅共要用多少盆，就是求这个空心方阵的总数，可以4个5盆中减去重复计算的4个1盒解：541416⨯-⨯=（盆）答：李师傅摆这个花坛共要用16盆菊花例3.某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？ 分析：在三层空心方阵中，外层比中层多8，中层比内层多8，如果中层、内层的人数与外层同样多，需要加上3个8人，这样总人数180就多了()83⨯人，平均分成3份，就可求出最外层有多少人，然后求外层每边多少人解：()+⨯÷=÷=（人）684117118180833204368÷+=+=（人）答：这个方阵外层每边有18名学生例4.某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？分析：排成一个实心方阵多7人，增加一行一列后少4人，说明增加一行一列的总人数是()74+人，就可先求出原来方阵中一排的人数，然后求出抽出学生总数解：()+-÷=÷=（人）5572573274121025⨯+=+=（人）答：共抽出学生32人【能力训练】A 卷1.同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2.同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3.小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？4.一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？5.学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？6.同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？7.沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
小学数学方阵问题应用题及参考答案
小学数学方阵问题应用题及参考答案1.全校排成一方阵做操．已知外层共有80人，那么这个学校共有多少学生做操？2.学校要美化校园，要在正方形水池四周摆花，四个角都摆一盆，每边都摆5盆，那么一共要准备多少盆花．3.同学们在操场上排队，每行人数和行数恰好相等，最外一圈有100人，每行多少人．4.同学们在操场上排队，每行人数和行数恰好相等，最外一圈有100人，每行同学们做操，排成一个正方形的队伍，从前，后，左，右数，小红都是第5个，问一共有多少人．5.把12枚棋子均匀围成一个正方形，每边是几枚棋子？6.一个池塘（正方形），每边都种10棵树，最少需要种多少棵，如果有48棵树苗，4角上都要种，平均每边种多少棵．7.四年级大家唱大家跳排成方阵，最外层每边都是25人，最外层一共有多少名队员？整个方阵共有多少名队员？8.一个方阵，最外层每边有10人，最外层一共有多少人？9.一个正方形的操场边长20米，如果每边栽5棵数（每个角的顶点栽一棵），一共要栽多少棵树？每两棵树之间的距离多少米？10.在一个边长是40米的正方形草地的四周擦彩旗，每隔5米插1面（正方形的每个顶点插1面），一共要插多少面彩旗．11.同学们用小红花排成了一个四层空心方阵，最外层每边12朵，共有红花多少朵？12.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少个棋子．摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子．13.在迎接神七返回的庆祝活动中，瑞金三中的同学们朝气蓬勃地扭着秧歌，排成了两个正方形阵，每一边有20人，在每个方阵的中心空出了36人的正方形空地，你能算出这个队伍的人数吗？14.一群人排成n×n的方阵，最外3层共有120人，求n的数值．15.共有960名男生站成一个三层的空心方阵，问：中间一层每边有多少人？参考答案：1.解：80÷4+1=21（人），21×21=441（人）；答：这个学校共有441个学生做操．【分析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：80÷4+1=21（人），因此这个方阵共有学生21×21=441（人），据此解答．2.解：（5-1）×4=4×4=16（盆）答：一共要准备16盆花．【分析】由题意，此题可看作是一个空心方阵，要求四周一共要摆多少盆花，根据“四周的盆数=（每边的盆数-1）×4”解答即可．3. 解：100÷4+1=25+1=26（人）答：每行26人．【分析】每行人数和行数恰好相等，即排成的是一个正方形实心方阵，已知最外一圈有100人，根据“每边的人数=四周的人数÷4+1”解答即可．4.解：每边人数是：5×2﹣1=9（人），共有：9×9=81（人），答：一共有81人．【分析】因为从前、后、左、右数，小红都是第5个，所以每行都有：5×2﹣1=9人，由此利用方阵问题中：总人数=每边人数×每边人数，即可解答．5.解：12÷4+1=4（枚），答：围成的正方形的每边棋子数是4枚．【分析】此题可以利用空心方阵的每边点数=四周点数÷4+1，先求出围成的这个正方形的每边上的棋子数，再进行选择．6.解：（10-1）×4 =9×4 =36（棵）48÷4+1 =12+1 =13（棵）答：最少需要种36棵，如果有48棵树苗，4角上都要种，平均每边种13棵．故答案为：36，13．7.解：25×4-4=100-4=96（名）25×25=625（名）答：最外层一共有96名队员，整个方阵共有625名队员．【分析】根据方阵问题中最外层人数=每边人数×4-4实心方阵中总人数=每边人数×每边人数；代入数据即可解答．8.解：10×4-4=40-4=36（人）答：最外层共有36人．故答案为：36．【分析】最外层每边都是10人，4条边共有：10×4=40（人），由于四个顶点重复计算了1次，实际最外层共有40-4=36（人）．9.解：5×4-4 =20-4 =16（棵）20÷（5-1）=20÷4 =5（米）答：一共要栽16棵树，每两棵树之间的距离5米．故答案为：16，5．【分析】根据方阵问题中最外层点数=每边点数×4-4，即可求出植树的总棵数；因为每条边上植树5棵，所以每条边上都有5-1=4个间隔，据此可以求出每个间隔的长度是20÷4=5米．10.解：40÷5+1 =8+1 =9（面）9×4-4 =36-4 =32（面）答：一共要插32面彩旗．故答案为：32．【分析】（1）先求出40里面有几个5，再加1就是每边最多要插的面数；（2）再用每边插的面数×4-4即可解答．11.解：（12-4）×4×4=8×16=128（朵）答：共有红花128朵．【分析】由题意知，要求这个四层空心方阵共有红花多少朵，就是求这个方阵的总点数；根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数-空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4解答即可．12.解：根据分析可得，最里层：15﹣2×2=11（个），（11﹣1）×4=40（个）（15﹣3）×3×4=12×12=144（个）答：明明摆这个方阵最里层一周共有40个棋子．摆这个三层空心方阵共用了144个棋子．故答案为：40，144．【分析】由于方阵每减少一层，每边的围棋子数减少2个，所以这个方阵最里层每边有：15﹣2×2=11个，那么明明摆这个方阵最里层一周共有：（11﹣1）×4=40（个）；根据公式：空心方阵的总点数=（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得：（15﹣3）×3×4=144（个）；据此解答．13.解：（20×20﹣36）×2=（400﹣36）×2=364×2=728（人）答：这个队伍有728人．【分析】每一边有20人，则实心时应该有20×20=400人，减去36人的正方形空地，每一个方阵应有400﹣36=364人．两个方阵共有364×2=728人14.解：120÷4÷3+3=10+3=13（人）这个方阵的最外层每边13人，也就是n=13．答：n的数值是13．【分析】由题意知，可以先看成一个三层空心方阵，已知共有学生120人，要求最外层每边有多少名学生，据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出：最外层每边人数=总人数÷4÷层数+层数，据此解答即可．15.解：最外层每边人数是：960÷4÷3+3，=80+3，=83（人），83﹣2=81（人），答：中间一层每边人数是81人．【分析】根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出最外层每边人数=空心方阵总人数÷4÷空心方阵的层数+空心方阵的层数，据此求出最外层每边人数，则再减去2人，就是中间一层的每边人数，据此解答即可．。
小学奥数之方阵问题—例题习题及含答案
方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：一、实心方阵1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－15、每层数=（每边数-1）×4二、空心方阵1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数2、总数=最外层人数2 - 最内层人数2=（最外层每边数-层数）×层数×4=（最外层数+最内层数）×层数÷23、内层数=外层数-84、每层数=（每边数-1）×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。
例1 四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。
排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。
排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。
求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。
例2 有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。
问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。
根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。
而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。
解：（1）棋子的总数是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。
应用题板块-方阵问题(小学奥数四年级)
应用题板块-方阵问题（小学奥数四年级）“方阵问题”是以现实生活中的方阵为题材，通过对方阵中“每边数量”、“边数”、“总数”的自主探究，探索出此类问题中各个数量之间存在的数量关系。
在此过程中，让孩子充分体验模型思想建立的一般过程，感受数学模型的魅力。
【一、题型要领】士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数相等，正好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵。
根据不同的排列方式，方阵分为实心方阵和空心方阵。
1.实心方阵【基本概念】实心方阵是内部全部排满的方阵。
下图左侧是一个5 * 5的方阵，下图右侧是一个6 * 6的方阵，图中绿色表示的是方阵的最外层。
【基本公式】假设方阵最外层每边的人数是N（1）方阵层数 = （N + 1）÷ 2，当N为奇数时= N ÷ 2，当N为偶数时（2）方阵最外层总人数 = 最外层每边的人数* 4 - 4 = （N - 1）* 4 （3）方阵总人数 = 最外层每边的人数* 最外层每边的人数= N * N2. 空心方阵【基本概念】空心方阵是内部未全部排满的方阵，注意只能是内部未排满，且未排满的部分也是一个方阵。
下图左侧是一个整体5 * 5，内部1* 1未排满的空心方阵；下图右侧是一个整体6 * 6，内部2 * 2未排满的空心方阵【基本公式】假设方阵最外层每边的人数是N，层数是M（1）方阵最外层总人数 = 最外层每边的人数* 4 - 4 = （N - 1）* 4 （2）内部方阵最外层每边的人数 = 最外层每边的人数 - 2 * 层数 = N - 2 * M（3）方阵总人数 = 外部方阵总人数 - 内部方阵总人数 = N * N - （N - 2 * M）*（N - 2 * M）= 4 * M * （N - M）【二、重点例题】例题1【题目】一个正方形花坛，原来摆了一些花，组成了一个实心方阵，后来运走了11盆花，使行和列都减少了一排，原来摆了多少盆花？【分析】如下图所示，原先鲜花摆放成如下的方阵，蓝色部分为后来运走的鲜花，绿色及省略部分为剩下的鲜花。
【课后延时】小学数学专项《应用题》经典方阵问题基本知识-4星题(含解析)全国通用版
应用题-经典应用题-方阵问题基本知识-4星题课程目标知识提要方阵问题基本知识•概述在日常生活中，我们常把人或物排成正方形的形状，在数学上我们把研究这样的问题称为方阵问题。
在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它实心方阵，也叫中实方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它空心方阵，也叫中空方阵。
•实心方阵的特点总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数•空心方阵的特点总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数−层数）×层数×4奇数层：总人数=中间层总数×层数偶数层：总人数=（外层+内层）×层数÷2若最外层每边有a人，内部虚方阵每边有b人，则空心方阵共有(a2−b2)人。
•变化规律相邻两边之间相差2；相邻两层之间相差8；每层人（或物）数=每边人（或物）数×4−4 =[每边人（或物）数−1 ] ×4精选例题方阵问题基本知识1. 五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲、乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好可以填满丙方阵的空心，那么，五年级参加广播操比赛的一共有人．【答案】260【分析】根据题意，乙方阵加上两个甲方阵的人数128人可以构成实心的丙方阵，且丙方阵每边人数比乙方阵多4人，所以由(b+4)2−b2=128，得到：4×(2×b+4)=128，所以b＝14，因此乙方阵每边人数14人，五年级一共有14×14+8×8=260（人）．2. 有一些人组成2个正方形方阵，2个正方形方阵之间相差97个人，那么这2个正方形方阵一共有人．【答案】4705【分析】假设A方阵有a人，B方阵有b人，那么应该有b2−a2=97，因此(b−a)(b+a)=97，49×49+48×48=4705．3. 有196枚围棋子，摆成一个14×14的正方形．甲、乙两人依次从最外一层起取走每一层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了枚棋子．【答案】28【分析】196枚围棋子围成的方阵，最外层棋子数为14×4−4=52，相邻两层棋子数相差8，从外向内每一层棋子数为：52、44、36、28、20、12、4．所以甲取走了52+36+20+4=112(枚)棋子，乙取走了44+28+12=84(枚)棋子，甲比乙多取了112−84=28(枚)棋子．4. 东风小学仪仗队的同学们排队，若排成正方形，则多余12名同学，如果把这个正方形扩大，纵横每排各增加一人，则缺少9人．【答案】112【分析】增加的一行一列有12+9=21(人)，那么原来排成的正方形的每条边上有(21−1)÷2=10(人)，东风小学仪仗队有学生10×10+12=112(人)．5. 一个正方形方阵，其中的4行5列的人数总和为250人，那么如果将这个方阵去掉一行一列还剩人．【答案】841【分析】4行5列，包括重复计算的：250＋20＝270人，每行：270÷9＝30人，所以还剩：30×30−30−30＋1＝841人6. 有大小相同的正方形白石和黑石各n个．首先，将黑石不留空隙地摆成一个正方形，然后在其外围摆一圈白石，再用剩下的黑石在白石圈的外围摆一圈，最后再用剩下的白石在黑石的外围再摆一圈，正好将所有石子用完（如下图所示）．那么2n=．【答案】144个【分析】如上图所示，记最外层的一圈白石为a个，它里面的一圈黑石为b个，再里边的一圈白石为c个，最中间的黑石组成的正方形再分成外面一圈(d个)和里面的正方形(e个)两部分．注意到a−b=b−c=c−d=8，所以c=d+8,b=d+16,a=d+24．因为黑石的总数=白石的总数，所以b+d+e=a+c,d+16+d+e=d+8+d+24,e=32−16=4×4．最大的正方形的每一边有4+4×2=12（个）石子，所以石子的总数为12×12=144（个）．7. 小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45枚棋子，就正好摆成一边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了枚棋子．【答案】285【分析】45=3×3×5，它小于19的最大约数为15，所以不变的边长应为15，另一边最长为19，所以小虎最多用了15×19=285（枚）棋子．8. 在一个实心学生方阵中加入13人，可将原来的方阵变成一个多一行，多一列的大方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】36【分析】(13－1)÷2＝6（人），所以原来的方阵有6×6＝36（人）．9. 用白、蓝两种颜色的正方形瓷砖铺满一面正方形的墙，共用了324块，最里面一层是蓝色的，第二层是白色，第三层是蓝色……这样下去，最外面一层是什么颜色？整面墙上共有白色瓷砖多少块？【答案】蓝色；144．【分析】324=18×18，共有9层，所以最外层是蓝色的；共有白色瓷砖：12+28+44+ 60=144块．10. 在一个实心学生方阵中加入若干人，原来的方阵变成一个多一行，多一列的方阵；若原来的方阵减少13人，可将原来的方阵变成一个少一行，少一列的方阵，问后来加入的学生有多少人？【答案】15【分析】(13+1)÷2＝7（人），7×2＋1＝15（人），所以后来加入的学生有15人．11. 在一个实心学生方阵中减少11人，可将原来的方阵变成一个少一行，少一列的方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】36【分析】(11+1)÷2＝6（人），所以原来的方阵有6×6＝36（人）．12. 有大小一样，张数相同的黑白两种颜色的正方形纸片．小高用白色纸片拼成中间没有缝隙的长方形，然后用黑色纸片围绕已经拼成的白色长方形继续拼成更大的长方形，之后有用白色纸片拼下去，……，这样重复拼．当小高用黑色纸片拼过5次以后，黑、白纸片正好用完．请问：黑色纸片至少有多少张？【答案】350张．【分析】不妨设每张小纸片的边长为1．从外往内，每次同时“剥开”一层黑纸片和一层白纸片，剥了5次之后，就只剩下中心的一个由白纸片组成的长方形．每次“剥开”的过程，黑纸片比白纸片多8张．由于一共有5层黑纸片，所以一共可以剥除5次，所有被剥除的黑纸片比所有被刹除的白纸片多40张，而总共的黑白纸片数量相同，所有最后剩余的只有白纸片构成的长方形中有40张白纸片．这个长方形的长和宽都是整数，它的长与宽的所有可能是：40×1、20×2、10×4、8×5．由于全部纸片铺成的大长方形的长和宽比被“剥除”五次之后剩下的长方形的长和宽都大20，所以大长方形的面积可以是60×21=1260、40×22=880、30×24=720、28×25= 700，其中最小的面积是700．而黑纸片的张数是这个面积的一半，所以最少有黑纸片350张．13. 如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成．现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点都种上（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成了一个三角形点阵，且每条边上有10朵花．请问：整个绿地一共要种多少朵花？【答案】162朵．【分析】每个三角形草地里每边都有10朵花，所以每片草地有：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55朵花，三片草地共有：55×3=165朵花．但这样算，三角形的连接处都被算了2次，多算1次，所以整个绿地一共种花165−3=162朵．14. 某小学三年级共有学生120人，排成一个三层的空心方阵．这个方阵最外层每边有多少人？如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，那应该增加几个人？如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，那么还需要增加几个人？【答案】13；56；24．【分析】一个三层方阵，外层比中层多8人，中层比内层多8人，所以中层有：120÷3=40人，最外层共有40+8=48人，所以，最外层每边48÷4+1=13人；外面加一层需要有48+8=56人；内部加一层需要40−8−8=24人．15. 某校少先队员可以排成一个四层空心方阵，如果最外层每边有20个学生，问这个空心方阵最内层共有多少个学生？这个四层空心方阵共有多少个学生？【答案】52；256【分析】20−2−2−2＝14（人）；14×4−4＝56−4＝52（人）；14−2=12（人），202−122=400−144=256（人）．所以这个空心方阵最内层共有52个学生，这个四层空心方阵共有256个学生．16. 在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中的阵列类似．从外向内一共8层，分别站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及两层三年级的同学．已知参加表演的六年级同学有126名，那么：（1）最外层有多少人？（2）现在阵列中一共有多少人？（3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？（最里层可站1个人）【答案】（1）66人；（2）360人；（3）37人．【分析】（1）六边形阵列中，相邻两层相差6人，所以最外层共有：(126+6)÷=66人．（2）共有：66+60+54+48+42+36+30+24=360人（3）还需要：18+12+6+1=37人．17. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边有12人，共有多少层？1∼4层一共有多少人？【答案】6；64【分析】12÷2＝6（层），2×4＝8（人），8×8＝64（人），所以共有6层，1∼4层一共有64人．18. 120个棋子摆成一个三层空心方阵，最外层每边有多少棋子？【答案】13个【分析】中间层总数为120÷3=40（人），则每边有40÷4+1=11（人），所以最外层每边有11+2=13（人）．19. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边比最内一层多10人，共有多少层？【答案】6【分析】(10÷2)+1＝6（层），所以共有6层．20. 同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面再增加一层成为三层方阵，还需多少盆花？【答案】44【分析】对于两层方阵，外层比内层多8盆，两层共64盆，利用和差问题的解法，可以求出外层盆数是(64+8)÷2=36（盆），从而得出需增加的盆数，36+8=44（盆）．21. 刘老师把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了6棵树苗；后来又运来了34棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵．那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？【答案】11或7【分析】若增加了1层，则现在最外层共有40棵树，所以最外层每边共有：(40+4)÷4= 11；若增加了2层，则40=16+24，此时最外层有：(24+4)÷4=7（棵）树．22. 在一个实心学生方阵中加入9人，可将原来的方阵变成一个多一行，多一列的大方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】16【分析】(9－1)÷2＝4（人），所以原来的方阵有4×4＝16（人）．23. 在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求较小方阵有多少人？【答案】36【分析】10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人，大方阵人数应该在50∼100之间，可取64或81，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有64人，小方阵有36人．24. 用黑、白两种颜色的正方形瓷砖共256块铺满一面正方形的墙，最外一层是黑色，第二层是白色，第三层是黑色……这样下去，那么整面墙上共有黑色瓷砖多少块？【答案】144．【分析】256=16×16，所以最外层每边16块，从外往里共有8层，所以黑的共有：60+ 44+28+12=144块．25. 一队战士排成一个三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又缺28人，这队战士共有多少人？【答案】196【分析】16+28=44（人），所以空心部分新增一层每边有44÷4+1=12（人），所以最外层每边有12+2×3=18（人），所以排好的三层共182−122=324−144=180（人），因此这队战士共180+16=196（人）．26. 如图所示，用10枚棋子可以摆出一个正三角形点阵，每边4枚棋子；用9枚棋子可以摆成一个正方形点阵，每边3枚棋子．今有一堆棋子，棋子总数小于100，用这堆棋子既可以摆出一个正三角形点阵，也可以摆出一个正方形点阵，问这堆棋子共有多少枚？【答案】36【分析】100以内的平方数，只有62=36=1+2+3+4+5+6+7+8所以36既可以组成边长为6的方阵，也能组成边长为8的正三角形点阵．27. 有一个240人排成的5层空心方阵，再增加多少人在最内层，就可以使该方阵变成一个6层空心方阵？【答案】24【分析】240÷4÷5＋5＝12＋5＝17（人），17−2−2−2−2−2＝7（人），(7−1)×4＝24（人），答：再增加24人在内部，就可以使该方阵变成一个6层空心方阵．28. 晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，如图所示，外层每边有14个棋子，你知道他一共用了多少个棋子吗？【答案】96【分析】方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个．知道最外面一层每边放14个棋子，就可以求出第二层每边的个数．知道各层每边的个数，就可以求出总数．(14−1)×4=52(个)(14−2−1)×4=44(个)52+44=96(个)一共用了96个棋子．。
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小学数学应用题之方阵问题
【含义】
将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4
每边人数＝四周人数÷4＋1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】
方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1：
佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。
那么参加团体操表演的运动员一共有多少人？
解：
1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。
2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。
所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。
例2：
欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？
解法1：
1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。
2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。
知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。
最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）
×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1）×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。
解法2: 若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4。
则：（16-3）×3×4=156(枚)
例3：
一个实心方阵由81人组成，这个方阵的最外层有多少人？
解：
方阵的行数和列数相同，9×9=81，所以这是一个9行9列的方阵。
最外层人数与一边人数的关系：一边人数×4-4=一层人数。
所以最外层的人数是9×4-4=32(人)。
例4：
明明在一个用棋子排成的实心方阵的下面和右面各多排一排棋子，一共用了23个棋子，这样排成了一个新方阵，他又把这个新方阵改排成一个4层的空心方阵，这个方阵最外层每边有多少个棋子？
解：
1、根据题意，排成的这个新方阵的每边棋子数是（23+1）÷2=12（个），那么这个实心方阵的棋子总数是12×12=144（个）。
2、根据空心方阵中，每相邻的两层的棋子数相差8的关系，我们可以找出等量关系，列方程解决。
设最外层有x个棋子，则从外到内每层的棋子数分别是（x-8）个、（x-16）个、（x-24）个。
则：x+ x-8+x-16+x-24=144，x=48
所以这个方阵最外层每边有48÷4+1=13（个）棋子。