概率论与数理统计习题课课件共100页
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《概率论与数理统计》全套课件PPT(完整版)
m?????若对于一随机试验每个样本点出现是等可能的样本空间所含的样本点个数为无穷多个且具有非零的有限的几何度量即则称这一随机试验是一几何概型的20义定义当随机试验的样本空间是某个区域并且任量意一点落在度量长度面积体积相同的子区域是等可能的则事件a的概率可定义为?mamap??说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时就归结为几何概率
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
概率论与数理统计课件(最新完整版)
“骰子出现2点”
图示 A与B互斥
A B
说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形式 A+B. 任意事件A与不可能事件为互斥.
5. 事件的差 事件 “A 出现而 B 不出现”，称为事件 A 与
B 的差. 记作 A- B(或 AB
)
实例 “长度合格但直径不合格”是“长度合格”
与“直径合格”的差.
实例4 “从一批含有正
其结果可能为:
品和次品的产品中任意抽
取一个产品”.
正品 、次品.
实例5 “过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
指挥灯”.
实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可 短. 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联
系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 , 则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B. 实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
A
B
若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事 件A与事件B相等,记作 A=B. 2. 事件的和(并) “ 二 事 件A, B至 少 发 生 一 个 ” 也 是 个 一事件 , 称 为 事 件A 与 事 件 B的和事件.记 作A B， 显 然 A B {e | e A或e B}. 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件 A 与 B 的并.
(2) ABC or AB C;
( 3) ABC ;
概率论与数理统计课件(PPT)
随机现象：不确定性与统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
目录
• • • • • • 第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量 第三章 随机变量的数字特征 第四章 样本及抽样分布 第五章 参数估计 第六章 假设检验
第一章 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 概率的定义及其运算 • 条件概率 • 事件的独立性
注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义
1.定义(p8) 若对随机试验E所对应的样本空间中 的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数
P(A)满足条件：
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
N ( A) P( A) N ()
P(A)具有如下性质(P7)
(1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩 ={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
1.1随机事件及其概率
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
目录
• • • • • • 第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量 第三章 随机变量的数字特征 第四章 样本及抽样分布 第五章 参数估计 第六章 假设检验
第一章 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 概率的定义及其运算 • 条件概率 • 事件的独立性
注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义
1.定义(p8) 若对随机试验E所对应的样本空间中 的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数
P(A)满足条件：
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
N ( A) P( A) N ()
P(A)具有如下性质(P7)
(1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩 ={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
1.1随机事件及其概率
概率论与数理统计完整ppt课件
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
概率论与数理统计全套精品课件(PPT)
概率论与数理统计
河南工业大学理学院
教材：《概率论与数理统计》第三版 王松桂 等编 科学出版社
参考书：1.《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社
2. 《概率论与数理统计》 魏振军 编
中国统计出版社
序言
概率论是研究什么的？
人们所观察到的现象大体上分成两类： 1.确定性现象或必然现象 事前可以预知结果的：即在某些确定的条 件满足时，某一确定的现象必然会发生，或根 据它过去的状态，完全可以预知其将来的发展 状态。 2.偶然性现象或随机现象 事前不能预知结果：即在相同的条件下重 复进行试验时，每次所得到的结果未必相同， 或即使知道它过去的状态，也不能肯定它将来 的状态。
写出样本空间，指出哪些是基本事件，表示B ，C，D。
解： {1, 2,..., 6} Ai {i},i 1,..., 6 为基本事件
B {2, 4, 6} C {1,3,5} D {4,5, 6}
既然事件是一个集合，因此有关事件 间的关系、运算及运算规则也就按集合 间的关系、运算及运算规则来处理。
1.1.1 随机试验与事件
随机试验（试验）的特点： 1.可在相同条件下重复进行； 2.每次试验之前无法确定具体是哪种结果出 现，但能确定所有的可能结果。
试验常用“E”表示
（随机）试验的例子
E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几; E2 ：工商管理部门抽查产品是否合格； E3: 观察某城市某个月内交通事故发生的次数; E4 ：已知物体长度在a和b之间，测量其长度； E5: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命; E6: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小
于200小时。
样本空间：试验的所有可能结果所组成
的集合称为样本空间。记为：
河南工业大学理学院
教材：《概率论与数理统计》第三版 王松桂 等编 科学出版社
参考书：1.《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社
2. 《概率论与数理统计》 魏振军 编
中国统计出版社
序言
概率论是研究什么的？
人们所观察到的现象大体上分成两类： 1.确定性现象或必然现象 事前可以预知结果的：即在某些确定的条 件满足时，某一确定的现象必然会发生，或根 据它过去的状态，完全可以预知其将来的发展 状态。 2.偶然性现象或随机现象 事前不能预知结果：即在相同的条件下重 复进行试验时，每次所得到的结果未必相同， 或即使知道它过去的状态，也不能肯定它将来 的状态。
写出样本空间，指出哪些是基本事件，表示B ，C，D。
解： {1, 2,..., 6} Ai {i},i 1,..., 6 为基本事件
B {2, 4, 6} C {1,3,5} D {4,5, 6}
既然事件是一个集合，因此有关事件 间的关系、运算及运算规则也就按集合 间的关系、运算及运算规则来处理。
1.1.1 随机试验与事件
随机试验（试验）的特点： 1.可在相同条件下重复进行； 2.每次试验之前无法确定具体是哪种结果出 现，但能确定所有的可能结果。
试验常用“E”表示
（随机）试验的例子
E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几; E2 ：工商管理部门抽查产品是否合格； E3: 观察某城市某个月内交通事故发生的次数; E4 ：已知物体长度在a和b之间，测量其长度； E5: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命; E6: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小
于200小时。
样本空间：试验的所有可能结果所组成
的集合称为样本空间。记为：
概率论与数理统计ppt课件
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件!! 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,相 则容
P( Bi |A) P(Bi |A.)
注 当A＝S时!! P【B｜S】=P【B】!! 条件概率 化为无条件概率!! 因此无条件概率可看成条
计算件条概件率概. 率有两种方法:
1. 公式法： 先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算 P(B| A) P(AB.) P(A)
二. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下!! 确定B的缩减样本空间!!
(3) 对于两两互斥个 的事 可 A件 1,列 A2, 多, P(A1A2)P(A1)P(A2)
三. 统计定义:
【一】 频率
一. 在相同的条件下!! 共进行了n次试验!!事件A发生的
次数nA!! 称为A的频数!! nA/n称为事件A发生的频率!! 记 为fn【A】.
2. 频率的基本性质：
(1) 0f（ n A） 1； （非负性）
二.概率的性质： 性1质 . P()0.
性质 2. 若A1,A2,,An是两两互不相容, 则 P(A1A2 An)
P(A1)P(A2) P(An).(有 限 可 )
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
P (B )P (A ).
一般地有: P【B-A】=P【B】-P【AB】.
性4质 .对任一 A, 事 P(A)件 1.
【一】 样本空间中的元素只有有限个!!
【二】 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子!!观察出现的点数.
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件!! 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,相 则容
P( Bi |A) P(Bi |A.)
注 当A＝S时!! P【B｜S】=P【B】!! 条件概率 化为无条件概率!! 因此无条件概率可看成条
计算件条概件率概. 率有两种方法:
1. 公式法： 先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算 P(B| A) P(AB.) P(A)
二. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下!! 确定B的缩减样本空间!!
(3) 对于两两互斥个 的事 可 A件 1,列 A2, 多, P(A1A2)P(A1)P(A2)
三. 统计定义:
【一】 频率
一. 在相同的条件下!! 共进行了n次试验!!事件A发生的
次数nA!! 称为A的频数!! nA/n称为事件A发生的频率!! 记 为fn【A】.
2. 频率的基本性质：
(1) 0f（ n A） 1； （非负性）
二.概率的性质： 性1质 . P()0.
性质 2. 若A1,A2,,An是两两互不相容, 则 P(A1A2 An)
P(A1)P(A2) P(An).(有 限 可 )
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
P (B )P (A ).
一般地有: P【B-A】=P【B】-P【AB】.
性4质 .对任一 A, 事 P(A)件 1.
【一】 样本空间中的元素只有有限个!!
【二】 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子!!观察出现的点数.
(最新整理)概率论与数理统计ppt课件
2021/7/26
4
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的 结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
2021/7/26
5
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包 含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中的基本事k件数 2021/7/26 P(A)S中的基本事n件总数 16
古典概型概率的计算步骤:
(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集. (2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
P(B| A) P(AB ) P(A)
为202在1/7/2事6 件A发生的条件下事件B发生的条件概率3.0
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B个 有 , 1事 P件 (|BA )0.
20 P(|SA)Байду номын сангаас.
33
(二) 乘法公式:
由 条 件,概 立率 即P定 可 ( A 义 0得 则 ), 有 P (A P B()A|)A P)(.B
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
(2 )P ( ) 1 ,P ( ) 0 ; (3) 对 于 两 两 互 斥个的事可 A1件 ,A列 2,多 , P(A1A2)P(A1)P(A2)
概率论与数理统计书ppt课件
条件概率与独立性
CHAPTER
随机变量及其分布
02
随机变量的概念与性质
定义随机变量为在样本空间中的实值函数，其取值依赖于随机试验的结果。
随机变量
讨论随机变量的可数性、可加性、正态性等性质。
随机变量的性质
离散型随机变量的概念
定义离散型随机变量为只能取可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布
讨论离散型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布等。
应用
中心极限定理及其应用
CHAPTER
贝叶斯推断与决策分析
07
贝叶斯推断的基本原理
金融风险管理
贝叶斯推断在金融风险管理领域有着广泛的应用，如信用风险评估、投资组合优化等。
医疗诊断
贝叶斯推断在医疗诊断方面也有着重要的应用，如疾病诊断、预后评估等。
机器学习与人工智能
贝叶斯推断在机器学习算法和人工智能领域中也有着广泛的应用，如朴素贝叶斯分类器、高斯混合模型等。
参数估计与置信区间
01
点估计
用单一的数值估计参数的值。
02
区间估计
给出参数的一个估计区间，通常包括一个置信水平。
比较两个或多个组的均值差异，确定因素对结果的影响。
方差分析
检验两个或多个组的方差是否相等。
方差齐性检验
研究变量之间的关系，并预测结果。
回归分析
假设检验与方差分析
CHAPTER
回归分析与线性模型
应用
在现实生活中，大数定律被广泛应用于保险、赌博、金融等领域，通过统计数据来预测未来的趋势和风险。
大数定律及其应用
在独立随机变量序列中，它们的和的分布近似于正态分布，即中心极限定理。这意味着，当样本量足够大时，样本均值近似于正态分布。
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P(B| A)nAB2 nA 3
四. 全概公式
由于 A2 A1A2A1A2，其A1中 A2与A1A2 互不相容。因此有
P (A 2) P (A 1A 2) P (A 1A 2) P (A 1)P (A 2A 1)P (A 1)P (A 2A 1)
四. 全概公式
一般地,有
定理1.1 设有限个或可数个事件A1, A2,L ,
解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
P ( A 1 A 2 A 3 A 4 ) P ( A 1 ) P ( A 2 |A 1 ) P ( A 3 |A 1 A 2 ) P ( A 4 |A 1 A 2 A 3 )
P( A1)
2 5
P(A2
|
A1)
3 6
P(A3
|
A1A2)
3 7
P(A4| A1A2A3)84
将加法公式推广3个 到事件的情况, 设A, B,C ,则 P(AB C) P(A) P(B) P(C) －P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC).
§1.3 古典概型与几何概型
一. 古典概型
称满足下列两个条件的概率模型为古典概型:
(1)由有限个基本事件组成,即
，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一 箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱 .问这一箱含有一个次品的概率是多少？
解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.
B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品
已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1 P(A|B0)1
An,L 为一个完备事件组,且P(Ai ) 0,
(i 1,2,L , n,L ),且U Ai =,则对于任意事件 i1
B ,有 P(B) P(Ai)P(BAi).
i
特别地A， 1 A 当 ，A2 A 时，有
P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA).
五. 贝叶斯公式
定理 1.2 设 A1, A2,, An, 为一个完
公1理 . P()1; 公2理 . 对任A， 意都 事 :P(有 A 件 )0;
公理3. 对任意可数个两 相两 容不 的事件
A1, A2,, An,,有:
P (Ai) P(Ai).
i1
i1
称具有概 P()的 率样 测本 度 ， 空为 间一
概率空间 :( ， ,P).记作
性质 4. P(AB)P(AB)P(A)P(AB); (由 于 A(AB)AB,且AB与AB互不 相容 ,则由性 2:P质 (A)P(AB)P(AB).)
P (B ) P (B 1 ) A P (B 2 ) A P (B 3 )A
P ( B |A 1 ) P ( A 1 ) P ( B |A 2 ) P ( A 2 ) P ( B |A 3 ) P ( A 3 )
0.0 210.0 110.0 310.0225
4
4
2
例6 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1
由Bayes公式:
P(A|
B1)
C149 C240
4 5
P(A|
B2)
CC124480
12 19
P(B1| A)
2PP (B(1B)iP)P (A (A|B|B 1)i ) 0.810.10.1454 50.111 2
0.0 9
84
i0
二. 有限个事件的独立性
定义 1.5 (两两相互) 独n (立 2)个事件 A1,A2,,An两两相互 独对 立任意 1i j n,都有 P ( Ai. Aj)P(Ai)P(Aj). 定1义 .6 (相互独 ) n 立 (2)个事A1,件 A2, ,,An相互独 对 立任k个 意事Ai1件 ,Ai2, ,,Aik(1i1i2ik n),都有
{1,2 , ,n};
(2)每个基本事件在一次试验中发生的可能性
相同,即:
P(i
)
1 n
, (i
1,2,
, n,(n 1,2,3),
为任意可度量子集,则
P( A)
S ( A) S ( ) .
称由上式定义的概率为几何概率, 其中
“伯努利概型”。
定义1.8 一个试验序列称为努伯利试验 序列，如果它是由一伯个努利试验独立 重复进行形成的试验列序。特别地，由 一个伯努利试验独立复重n次，形成的 试验序列称为n重伯努利试验。
事件,组 且P(Ai)0,(i 1,2,).则对任意
B,P(B)0,有
P(Ai
B)
P(AiB) P(B)
P(Ai )P(B Ai )
P(Aj )P(B Aj )
例3 盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取 一只，观察其颜色后放回，并再放
入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续 取球4次,试求第1、2次取得白球、 第3、4次取得红球的概率。
特别 ,P (BA 地 )1P (BA ).
例2 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、
白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球
，若取得的是一只红球，试求该红球是新球
的概率。
红白
设A--从盒中随机取到一只红球. 新 40 30
B--从盒中随机取到一只新球. 旧 20 10
nA 60 nAB40
第一章 随机事件与概率
七. 事件的运算 (参律见 教P材78) 其中特别注意两 偶个 律:对 A B A B; AB AB.
§1.2 随机事件的概率
三. 概率的公理化定义 定义1.2 设是一个样本空间，在定 的义 事件域 F上的一个实值P函()称 数为上的一 个概率测度，如果足它以满下 3条公理:
例4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品， 已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三 家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品 牌产品的次品率。
设 ：B： 买 到 一 件 次 品 A1 :买 到 一 件 甲 厂 的 产 品 A2 :买 到 一 件 乙 厂 的 产 品 A3 :买 到 一 件 丙 厂 的 产 品
S ( A)称为A的测度。
（ n1时 ,S(A)为 A的长 ;n 度 2时 ,S(A)
为 A的面 ;n 积 3时 ,S(A)为 A的体 .)积
§1.4 条件概率
定义1.3 给定概率空间: (, P), A, B是其 上的两个事件,且P(A) 0. 则称 P(B A) P(AB)
P(A) 为已知事件A发生的条件下,事件B发生的 条件概率.
四. 全概公式
由于 A2 A1A2A1A2，其A1中 A2与A1A2 互不相容。因此有
P (A 2) P (A 1A 2) P (A 1A 2) P (A 1)P (A 2A 1)P (A 1)P (A 2A 1)
四. 全概公式
一般地,有
定理1.1 设有限个或可数个事件A1, A2,L ,
解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
P ( A 1 A 2 A 3 A 4 ) P ( A 1 ) P ( A 2 |A 1 ) P ( A 3 |A 1 A 2 ) P ( A 4 |A 1 A 2 A 3 )
P( A1)
2 5
P(A2
|
A1)
3 6
P(A3
|
A1A2)
3 7
P(A4| A1A2A3)84
将加法公式推广3个 到事件的情况, 设A, B,C ,则 P(AB C) P(A) P(B) P(C) －P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC).
§1.3 古典概型与几何概型
一. 古典概型
称满足下列两个条件的概率模型为古典概型:
(1)由有限个基本事件组成,即
，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一 箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱 .问这一箱含有一个次品的概率是多少？
解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.
B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品
已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1 P(A|B0)1
An,L 为一个完备事件组,且P(Ai ) 0,
(i 1,2,L , n,L ),且U Ai =,则对于任意事件 i1
B ,有 P(B) P(Ai)P(BAi).
i
特别地A， 1 A 当 ，A2 A 时，有
P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA).
五. 贝叶斯公式
定理 1.2 设 A1, A2,, An, 为一个完
公1理 . P()1; 公2理 . 对任A， 意都 事 :P(有 A 件 )0;
公理3. 对任意可数个两 相两 容不 的事件
A1, A2,, An,,有:
P (Ai) P(Ai).
i1
i1
称具有概 P()的 率样 测本 度 ， 空为 间一
概率空间 :( ， ,P).记作
性质 4. P(AB)P(AB)P(A)P(AB); (由 于 A(AB)AB,且AB与AB互不 相容 ,则由性 2:P质 (A)P(AB)P(AB).)
P (B ) P (B 1 ) A P (B 2 ) A P (B 3 )A
P ( B |A 1 ) P ( A 1 ) P ( B |A 2 ) P ( A 2 ) P ( B |A 3 ) P ( A 3 )
0.0 210.0 110.0 310.0225
4
4
2
例6 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1
由Bayes公式:
P(A|
B1)
C149 C240
4 5
P(A|
B2)
CC124480
12 19
P(B1| A)
2PP (B(1B)iP)P (A (A|B|B 1)i ) 0.810.10.1454 50.111 2
0.0 9
84
i0
二. 有限个事件的独立性
定义 1.5 (两两相互) 独n (立 2)个事件 A1,A2,,An两两相互 独对 立任意 1i j n,都有 P ( Ai. Aj)P(Ai)P(Aj). 定1义 .6 (相互独 ) n 立 (2)个事A1,件 A2, ,,An相互独 对 立任k个 意事Ai1件 ,Ai2, ,,Aik(1i1i2ik n),都有
{1,2 , ,n};
(2)每个基本事件在一次试验中发生的可能性
相同,即:
P(i
)
1 n
, (i
1,2,
, n,(n 1,2,3),
为任意可度量子集,则
P( A)
S ( A) S ( ) .
称由上式定义的概率为几何概率, 其中
“伯努利概型”。
定义1.8 一个试验序列称为努伯利试验 序列，如果它是由一伯个努利试验独立 重复进行形成的试验列序。特别地，由 一个伯努利试验独立复重n次，形成的 试验序列称为n重伯努利试验。
事件,组 且P(Ai)0,(i 1,2,).则对任意
B,P(B)0,有
P(Ai
B)
P(AiB) P(B)
P(Ai )P(B Ai )
P(Aj )P(B Aj )
例3 盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取 一只，观察其颜色后放回，并再放
入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续 取球4次,试求第1、2次取得白球、 第3、4次取得红球的概率。
特别 ,P (BA 地 )1P (BA ).
例2 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、
白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球
，若取得的是一只红球，试求该红球是新球
的概率。
红白
设A--从盒中随机取到一只红球. 新 40 30
B--从盒中随机取到一只新球. 旧 20 10
nA 60 nAB40
第一章 随机事件与概率
七. 事件的运算 (参律见 教P材78) 其中特别注意两 偶个 律:对 A B A B; AB AB.
§1.2 随机事件的概率
三. 概率的公理化定义 定义1.2 设是一个样本空间，在定 的义 事件域 F上的一个实值P函()称 数为上的一 个概率测度，如果足它以满下 3条公理:
例4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品， 已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三 家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品 牌产品的次品率。
设 ：B： 买 到 一 件 次 品 A1 :买 到 一 件 甲 厂 的 产 品 A2 :买 到 一 件 乙 厂 的 产 品 A3 :买 到 一 件 丙 厂 的 产 品
S ( A)称为A的测度。
（ n1时 ,S(A)为 A的长 ;n 度 2时 ,S(A)
为 A的面 ;n 积 3时 ,S(A)为 A的体 .)积
§1.4 条件概率
定义1.3 给定概率空间: (, P), A, B是其 上的两个事件,且P(A) 0. 则称 P(B A) P(AB)
P(A) 为已知事件A发生的条件下,事件B发生的 条件概率.