(文章)函数的奇偶性的判定
函数的奇偶性
（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：
若f(－x) =f(x)或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x)或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
(14).设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝ ，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝()
A.0B.1C. D.5
(15)．若 ，g（x）都是奇函数， 在（0，＋∞）上有最大值5，
则f（x）在（－∞，0）上有（ ）
A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3
（16）定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(99)＝( )
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。
(2)利用图像判断函数奇偶性的方法：
图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数，
（3）简单性质：
设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：
A．13B．2 C.13/2D.2/13
（17）定义在R上的函数f(x)满足：对于任意α，β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2010，则下列说法正确的是( )
A．f(x)－1是奇函数 B．f(x)＋1是奇函数
C．f(x)－2010是奇函数 D．f(x)＋2010是奇函数
（18）设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log (1－x)，则函数f(x)在(1,2)上( )
高中数学解题方法谈函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法较多，下面把常见的判定方法分类加以研究分析．1．定义域判定法例1 判定()(1)2f x x x =--的奇偶性．解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数． 评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数的奇偶性． 2．定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-和奇偶性． 解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且()()()()f a x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=，∴函数()f x 是偶函数．评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数的奇偶性．3．等价形式判定法例3 判定2211()11xx f x x x ++-=+++的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =， ∴图象过原点．又0x ≠时，2222()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--，(1)()f f x ∴-=-．又(0)0f =，∴()f x 为奇函数．评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或()1()f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）．4．性质判定法例4 若0a >，()([])f x x a a ∈-，是奇函数，()()g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ϕ=的奇偶性．解：在()()f x g x ，的公共定义域[]a a -，内，任取一个x ，则()()()x f x g x ϕ-=-，()()f x g x ，分别是奇函数和偶函数，()()()()()()f x f x g x f x g x x ϕ∴-=-=-=-．()x ϕ∴在[]a a -，上为奇函数．评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数、积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．。
函数的对称性与奇偶性的判定
函数的对称性与奇偶性的判定函数是数学中的重要概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。
在函数的研究中，对称性和奇偶性是两个常见的性质。
函数的对称性可以告诉我们函数在某个坐标轴或者某个点上是否对称，而奇偶性则指函数在自身点上的性质。
本文将介绍函数对称性和奇偶性的判定方法。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某个坐标轴或者某个点上保持不变的性质。
常见的对称性有关于x轴、y轴以及原点的对称性。
1. 关于x轴的对称性如果函数f(x)在x轴上对称，即对于任意x，有f(x) = f(-x)，那么称函数f(x)关于x轴对称。
这意味着函数图像关于x轴对称，即将函数图像沿x轴翻转180度后，图像与原图像完全一致。
2. 关于y轴的对称性如果函数f(x)在y轴上对称，即对于任意x，有f(x) = f(-x)，那么称函数f(x)关于y轴对称。
这意味着函数图像关于y轴对称，即将函数图像沿y轴翻转180度后，图像与原图像完全一致。
3. 关于原点的对称性如果函数f(x)在原点上对称，即对于任意x，有f(x) = -f(-x)，那么称函数f(x)关于原点对称。
这意味着函数图像关于原点对称，即将函数图像绕原点旋转180度后，图像与原图像完全一致。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自身点上的性质，即函数在(-x, f(-x))和(x, f(x))两点上的关系。
根据函数的奇偶性，可以将函数分为奇函数和偶函数。
1. 奇函数如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x) = -f(x)，那么称函数f(x)为奇函数。
换言之，奇函数关于原点对称，即函数图像关于原点对称。
2. 偶函数如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x) = f(x)，那么称函数f(x)为偶函数。
换言之，偶函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。
三、对称性与奇偶性的判定方法1. 对称性的判定方法对于函数的对称性判定，可以通过以下步骤进行：Step 1：将函数f(x)与f(-x)进行比较，判断是否相等。
函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性的判定方法山东 刘海函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法．1．定义域判定法例1 判定()(1)2f x x x =--的奇偶性．解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数．评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性．2．定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性．解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ， 且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数．评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性．3．等价形式判定法例3 判定()f x =的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点．又0x ≠时，2222()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-． 又(0)0f =，()f x ∴为奇函数．评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或()1()f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()()g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ϕ=的奇偶性．解：在()()f x g x ，的公共定义域[]a a -，内，任取一个x ，则()()()x f x g x ϕ-=--， ()()f x g x ，分别是奇函数和偶函数，()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=．()()()()()()x f x g x f x g x x ϕϕ∴-=--=-=-．()x ϕ∴在[]a a -，上为奇函数．评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．。
函数的奇偶性
函数的奇偶性第一部分 知识梳理1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数；2.函数奇偶性的判定方法①定义法：ⅰ)若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；ⅱ)若函数的定义域关于原点对称，在判断()f x -是否等于()f x ±-，或判断()()f x f x ±-是否等于零，或判断()()f x f x -是否等于1±；判断函数奇偶性一般步骤：ⅰ)求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称ⅱ）用x -代替x ，验证()()f x f x -=-，奇函数；若()()f x f x -=，偶函数；否则，非奇非偶。
②图像法③性质法：偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍奇函数； 奇数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇函数；一个偶函数与一个奇函数的乘积是奇函数3.奇偶函数图像的性质①()()()()0f x f x f x f x ⇔-=-⇔+-=奇函数⇔函数的图像关于中心原点对称；⇔偶函数()()()-()0f x f x f x f x -=⇔-=⇔函数的图像关于y 轴对称②若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．③()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=④奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.第二部分 精讲点拨考点1 奇偶函数的概念与性质1、下列说法错误的个数（ ）①图像关于坐标原点对称的函数奇函数 ②图象关于y 轴对称的函数是偶函数③奇函数的图像一定过坐标原点 ④偶函数的图像一定与y 轴相交.1A 个 .2B 个 .3C 个 .4D 个[].1EX (1)已知函数()y f x =是偶函数，其图像与x 轴有四个交点，则方程()0f x =的所有实根之和是（ ）A ．4 B.2 C.1 D.0（2）已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x >时，()f x 的图像如图，那么()f x 的值域是___________[].2EX （1）设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当[]0,5x ∈时,()f x 的图象如右图,则不等式()0f x < 的解是____________(2)设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 （ ）.()()A f x f x -是奇函数 .()()B f x f x -是奇函数 .()()C f x f x --是偶函数 .()()D f x f x +-是偶函数(3)若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a 等于（ ）.2A - .1B - .1C .2D(4)已知2()1x f x m x =++为奇函数，则(1)f -的值是________考点2 奇偶函数的判断判断下列函数的奇偶性（1）()f x = （2）()11f x x x =++- （3）()(f x x =-（4）23()f x x x =- (5)2223(0)()0(0)23(0)x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩考点3 函数奇偶性的应用（1） 已知53()8f x ax bx cx =++-，且()10f d =，求()f d -的值。
奇偶函数的判定方法
奇偶函数的判定方法多项式函数在数学中占有重要的地位，其性质和特点一直是学术讨论的重点。
其中一个比较常见的问题就是如何判定函数的奇偶性。
在这篇文章中，我们将探讨奇偶函数的判定方法，希望能够帮助读者更清晰地了解这一问题。
一、奇数函数和偶函数的概念首先，我们需要了解奇数函数和偶数函数的概念。
一个函数f(x) 被称为奇数函数，当且仅当对于任意实数 x，都有 f(-x) = -f(x) 。
另一方面，一个函数 g(x) 被称为偶数函数，当且仅当对于任意实数 x，都有 g(-x) = g(x) 。
这两个概念中，奇数函数的特点是对称于原点，即从原点过一条线，函数曲线两侧呈镜像关系；而偶数函数的特点则是对称于 y 轴，即从 y 轴上某一点过一条线，函数曲线两侧呈镜像关系。
二、判定奇偶函数的方法了解奇偶函数的定义后，我们需要明确一点：奇偶性是函数的本质属性，可以通过函数表达式进行判定，而不是通过函数图像判定。
因此，下面介绍的方法都是基于函数表达式的。
1. 奇偶函数的特殊函数表达式有些函数有特殊的函数表达式，可以直接判定其奇偶性。
具体来说，以下这些函数都是奇函数或偶函数：奇函数：f(x) = x^n(n为奇数)f(x) = sin(x)f(x) = tan(x)偶函数：f(x) = x^n(n为偶数)f(x) = cos(x)f(x) = sec(x)注意，以上列出的函数，只有在定义域的范围内才能判定它的奇偶性。
2. 利用函数的性质判定奇偶性如果函数表达式不属于上述特殊形式，那么我们可以利用函数的性质来判定它的奇偶性。
首先，每个函数都可以写为奇函数和偶函数的和：f(x) = g(x) + h(x)其中，g(x) 是函数的偶部分，h(x) 是函数的奇部分。
于是，我们可以通过以下方法判定 g(x) 和 h(x) 的奇偶性，从而判定 f(x) 的奇偶性。
- g(x) 和 h(x) 的奇偶性相同，且不为零。
则 f(x) 为偶函数。
函数的奇偶性
函数的奇偶性定义：设函数y=f(x)如果对于任意的x A ∈都有发y=f(x)f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数设函数y=f(x)如果对于任意的x A ∈都有发f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数注：1 函数y=f(x)是奇函数或偶函数，则称函数y=f(x)具有奇偶性2 定义域不关于原点对称或得不出y=f(x)和 f(-x)=-f(x)，则称f(x)不具有奇偶性一 判断函数奇偶性的几种方法1.直接利用定义判定如果函数f(x)的定义域关于原点对称，则可验证是否满足f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)，从而判定f(x)是奇函数还是偶函数。
注：a:既是奇函数又是偶函数只能f(x)=0f(x)=0,但定义域的不同。
f(x)=0有无穷个b:若函数是奇函数则f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0例1．判断下列函数的奇偶性 (1) 11)(--+=x x x f ； (2) xx x x f -+-=11)1()( ; (3)221)(2---=x x x f ; (4) ⎪⎩⎪⎨⎧>+<-=)0()1()0()1()(x x x x x x x f ④33)(22-+-=x x x f 既是奇函数又是偶函数 ⑤2)(2+--=a x x x f a=0时偶函数，a ≠0时非奇非偶函数 ⑥22)(+--=x x x f5．(2008年高考上海卷)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________________.2.间接利用定义判定（定义的等价命题）f(x)+f(-x)=0⇔f(x)是奇函数，f(x)-f(-x)=0⇔f(x)是偶函数或当f(x)≠0时，1)()(-=-x f x f ⇔)(x f 是奇函数。
1)()(=-x f x f ⇔)(x f 是偶函数 注：函数以对数形式或根式出现时，可考虑此方法。
函数的对称性与奇偶性判定
函数的对称性与奇偶性判定函数的对称性在数学中有着重要的地位，它是判断一个函数性质的重要方法之一。
其中，奇偶性是对称性的一种特殊情况，在函数的对称性中占据了重要的角色。
本文将讨论函数的对称性与奇偶性判定，并探究其在数学中的应用。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像具备某种对称性质。
常见的对称性包括轴对称、中心对称和周期性对称等。
下面将分别介绍这些对称性及其判定方法。
1.1 轴对称轴对称是指函数的图像关于某条直线对称。
对于任意给定的函数，要判断其是否具有轴对称性，可以通过以下方法进行：首先，确定函数的定义域和值域。
然后选取一个点P(x,y)，利用函数关系式计算对称点P’(2a-x,y)的函数值。
如果P'也在函数的定义域中，并且函数值与P相等，那么函数具有轴对称性。
否则，函数不具有轴对称性。
1.2 中心对称中心对称是指函数的图像关于某个点对称。
对于任意给定的函数，要判断其是否具有中心对称性，可以采用以下方法：确定函数的定义域和值域。
然后选取一个点P(x,y)，利用函数关系式计算对称点P'(-x,-y)的函数值。
如果P'也在函数的定义域中，并且函数值与P相等，那么函数具有中心对称性。
否则，函数不具有中心对称性。
1.3 周期性对称周期性对称是指函数的图像在一定的区间内重复出现。
对于任意给定的函数，要判断其是否具有周期性对称性，可以采用以下方法：确定函数的定义域和值域。
然后选取一个点P(x,y)，利用函数关系式计算对称点P'(x+a,y)的函数值。
如果P'也在函数的定义域中，并且函数值与P相等，那么函数具有周期性对称性。
否则，函数不具有周期性对称性。
二、函数的奇偶性判定函数的奇偶性是对称性的一种特殊情况。
在函数的定义域内，如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)，那么函数具有偶对称性；如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)，那么函数具有奇对称性。
根据这一定义，我们可以采用以下方法判断函数的奇偶性：2.1 奇对称性判定对于给定的函数，要判断其是奇对称还是非奇对称，可以采用以下步骤：首先，将函数关系式进行变形，得到f(x) - f(-x) = 0。
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函数的奇偶性的判定
一。
要点解读
1、 理解奇、偶函数的左义要把握好两个问题：英一，左义域关于原点对称是函数f (X ) 为奇函数或偶函数的必须满足的条件：其二，/(-X )= -/(x)或/(—x) = /(x)是左义域上 的恒等式。
2、 具有奇偶性的函数的图像的特征：偶函数的图像关于y 轴对称：奇函数的图像关于 原点对称。
所以判断函数的奇偶性，除了定义法还有图像法。
3、 由奇函数的泄义可知，在x=0处有意义的奇函数f (x),有f (0) =0成立。
4、 有时可以应用定义的等价形式来判断函数的奇偶性。
5、偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反：奇函数在关于原点对称的区间上单调 性相同。
二.典例剖析
1、常见函数的奇偶性的判断
例1、判断函数f(x) = 1 是否具有奇偶性。
解：先看左义域，由，一1工0得XH±1,则崔义域D = {xlxe^x^±l］关于原点 对称，即任取xwD,都有—xeD,又/(-x)= i =亠1 =蚀,
(-X )- -1 JC _]
I Y I
所以fW = 为偶函数。
-1
点评：第一步：判断立义域是否关于原点对称；第二步：若泄义域不关于原点对称，则 该函数既不是奇函数也不是偶函数，若左义域关于原点对称，则进一步寻找f(-X )与f(x) 之间的关系：第三步：根据定义下结论。
2.分段函数的奇偶性
\(l-x)(x<0) 一 x(l + x)(x>0) 解：由题意，得函数f (X)的泄义域关于原点对称，当XV0时.一x>0,
所以 /(-X )= x(l - X )= f(x),当 x>0 时,—x<0,所以 f(-x) = -x(l + x) = f(x), 综上所述，得f (一x) =f (x),则f(x)是偶函数。
点评：对于分段函数要在左义域的不同部分上来分析奇偶性，但是要在整体上给该函数 下结
论。
3、抽象函数的奇偶性
例4、已知函数f (x)对一切x, y 都有f(x + y) = /(x)+ /(y)-
(1) 求证：f (x)是奇函数：
(2) 若 f (一3) =a,试用 a 表示 f (12) •
分析：要证f (x)为奇函数,需证f (一x) =-f (x),即/(—x) + /(x)=O.
解：(1)令 x=y=O,得/(0 + 0) = /(0) + /(0),所以 f (0) =0,令 y=-x 得
/(—X )= ±/(x), 即心)即册
例2、判断函数/(%)=
的奇偶性。
/(X-X)=/(X)+/(-A),所以/(-x) + /(A) = 0.所以函数f (x)为奇函数。
(2)因为f (一3) =a,函数f (x)为奇函数，所以f (3) =-a,
所以f ⑹=/⑶ + /(3) = -2a ,所以/(12) = f(6) + f(6) = -4a.
点评：在解有关抽象函数的问题时，常用赋值法。
常常赋值为0或1,在判断函数的奇偶性时，需要判断f (一x)与f (x)的关系，可以从f (一X)开始化简得到，也可以从考虑+ f(x)或/(A)-/(-A)是否为零来判断两者的关系。