高二数学寒假作业(人教A版必修五)解三角形的综合应用word版含答案
高二数学寒假作业（人教A 版必修五）解三角形的综合应用(时间：40分钟)1．(2016·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4。
(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值。
解析 (1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35。
由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝52。
(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210。
因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210。
因此， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620。
答案 (1)5 2 (2)72－6202．(2016·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A。
(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值。
解析 (1)由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C 。
从而sin A ＋sin B ＝2sin C 。
由正弦定理得a ＋b ＝2c 。
(2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12， 当且仅当a ＝b 时，等号成立。
故cos C 的最小值为12。
答案 (1)见解析 (2)123．(2016·北京高考)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac 。
(1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值。
解析 (1)由余弦定理及题设得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22。
又0<∠B <π，所以∠B ＝π4。
(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4，则2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4。
因为0<∠A <3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1。
答案 (1)π4(2)14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足2a －b c ＝cos Bcos C 。
(1)求角C 的大小；(2)设函数f (x )＝cos(2x ＋C )，将f (x )的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的值域。
解析 (1)∵a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的三边，且2a －b c ＝cos Bcos C ，∴由正弦定理得2sin A －sin B sin C ＝cos Bcos C ，即(2sin A －sin B )cos C ＝cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin(B ＋C )。
∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0， ∴2cos C ＝1，即cos C ＝22。
∵C 是△ABC 的内角，∴C ＝π4。
(2)由(1)可知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4。
∵0≤x ≤π3，∴－π4≤2x －π4≤5π12，又cos 5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π4＝6－24， ∴6－24≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4≤1，∴g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－24，1。
答案 (1)π4 (2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－24，1(时间：20分钟)1.(2016·广东茂名二模)如图，已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。
若B ＝π3，b ＝7，c ＝2，D 为BC 的中点。
(1)求cos ∠BAC 的值； (2)求AD 的值。
解析 (1)解法一：由正弦定理得sin C ＝c b sin B ＝27×32＝37，又∵在△ABC 中，b >c ，∴C <B ，∴0<C <π2，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝27， ∴cos ∠BAC ＝cos(π－B －C )＝－cos(B ＋C ) ＝－(cos B cos C －sin B sin C ) ＝sin B sin C －cos B cos C ＝32×37－12×27＝714。
解法二：在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，∴7＝4＋a 2－2×2×a ×12，即(a －3)(a ＋1)＝0，解得a ＝3(a ＝－1舍去)，∴cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝4＋7－92×2×7＝714。
(2)解法一：在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋7－2×2×7×714＝9。
∴BC ＝3，∴BD ＝32。
在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ＝4＋94－2×2×32×12＝134。
∴AD ＝132。
解法二：如图，取AC 的中点E ，连接DE ，则DE ＝12AB ＝1，AE ＝72，cos ∠AED ＝－cos ∠BAC 。
在△ADE 中，由余弦定理得AD 2＝AE 2＋DE 2－2AE ·DE ·cos∠AED ＝74＋1－2×72×1×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－714＝134。
∴AD ＝132。
答案 (1)714 (2)1322．(2016·郑州二模)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos2C －cos2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C 。
(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，且b ≥a ，求2b －c 的取值范围。
解析 (1)由已知得2sin 2A －2sin 2C ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2C －14sin 2C ，化简得sin 2A ＝34，∴sin A ＝±32，又0<A <π，∴sin A ＝32，故A ＝π3或2π3。
(2)由a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，因为b ≥a ，所以B ≥A ，所以A ＝π3，故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6。
因为b ≥a ，所以π3≤B <2π3，所以π6≤B －π6<π2，所以2b －c 的取值范围为[3，23)。
答案 (1)π3或2π3(2)[3，23)。
2020年高中数学人教A必修5练习3 解三角形的实际应用 Word版含解析
学业分层测评（三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图1-2-9，测得下面四组数据，较合理的是()图1-2-9A．c与αB．c与bC．b，c与βD．b，α与γ【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，α与γ.【答案】 D2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是()A．50 n mile B．70 n mileC．90 n mile D．110 n mile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝70 (n mile)．【答案】 B3．如图1-2-10，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，AD＝20(3＋1)，则A，B间距离是()图1-2-10A．202米B．203米C．206米D．402米【解析】可得DB＝DC＝40，AD＝20(3＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB 中，由余弦定理得AB＝206(米)．【答案】 C4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为()A．20 m B．30 mC．40 m D．60 m【解析】如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝203，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．【答案】 C5．如图1-2-11所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为()图1-2-11A．15 6m B．20 6 mC．25 6 m D．30 6 m 【解析】设建筑物的高度为h，由题图知，P A＝2h，PB＝2h，PC＝233h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝602＋2h2－4h22×60×2h，①cos∠PBC＝602＋2h2－43h22×60×2h. ②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③由①②③，解得h＝306或h＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.【答案】 D二、填空题6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长千米．【解析】如图，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，ABsin C＝ACsin ∠ABC，∴AC＝AB·sin ∠ABCsin C＝1×2212＝2(千米)．【答案】 27．如图1-2-12，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是m.图1-2-12【解析】 tan 30°＝CD AD ，tan 75°＝CD DB ，又AD ＋DB ＝120，∴AD ·tan 30°＝(120－AD )·tan 75°，∴AD ＝603，故CD ＝60.【答案】 608．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A 开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 做匀速直线滚动，如图1-2-13所示，已知AB ＝4 2 dm ，AD ＝17 dm ，∠BAC ＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A 点 dm 的C 处截住足球. 【导学号：05920061】图1-2-13【解析】 设机器人最快可在点C 处截住足球，点C 在线段AD 上，设BC ＝x dm ，由题意知CD ＝2x dm ，AC ＝AD －CD ＝(17－2x )dm.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，即x 2＝(42)2＋(17－2x )2－82(17－2x )cos 45°，解得x 1＝5，x 2＝373.∴AC ＝17－2x ＝7(dm)，或AC ＝－233(dm)(舍去)．∴该机器人最快可在线段AD 上距A 点7 dm 的点C 处截住足球．【答案】 7三、解答题9．A ，B ，C ，D 四个景点，如图1-2-14，∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，∠ADC ＝15°.A ，D 相距2 km ，C ，D 相距(32－6)km ，求A ，B 两景点的距离．图1-2-14 【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得BDsin ∠BCD＝CDsin ∠CBD，即BD＝CD·sin 75°sin 60°＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝2.答：A，B两景点的距离为2 km.10．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离．【解】如图所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝30(m)，∴BC＝30(m)，在Rt△ABD中，BD＝30tan 30°＝303(m)．在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，∴CD＝30(m)，即两船相距30 m.[能力提升]1．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为()A．d1>d2B．d1＝d2C．d1<d2D．不能确定大小【解析】如图，B，C，D分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知α＝β.在△PBC中，d1sin α＝PBsin∠PCB，在△PCD中，d2sin β＝PDsin∠PCD，∵sin α＝sin β，sin∠PCB＝sin∠PCD，∴d1d2＝PBPD.∵PB<PD，∴d1<d2.【答案】 C2．如图1-2-15，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m, 3＝1.732)()图1-2-15A．2.7 m B．17.3 mC．37.3 m D．373 m【解析】在△ACE中，tan 30°＝CEAE＝CM－10AE.∴AE＝CM－10tan 30°(m)．在△AED中，tan 45°＝DEAE＝CM＋10AE，∴AE＝CM＋10tan 45°(m)，∴CM－10tan 30°＝CM＋10tan 45°，∴CM＝10(3＋1)3－1＝10(2＋3)≈37.3(m)．【答案】 C3.如图1-2-16所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角∠ABC＝120°；从B 处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角∠ADC＝150°；从D处再攀登300米到达C处．则石竹山这条索道AC长为米．图1-2-16【解析】在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°.因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得BDsin∠DAB＝ADsin∠ABD，所以200sin 30°＝ADsin 120°.所以AD＝200×sin 120°sin 30°＝2003(米)．在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC＝10039(米)．故石竹山这条索道AC长为10039米．【答案】100394．2015年10月，在邹平县启动了山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图1-2-17)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．图1-2-17【解】方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B 点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d.②第一步：计算AM.由正弦定理AM＝d sin α2sin(α1＋α2)；第二步：计算AN.由正弦定理AN＝d sin β2sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝AM2＋AN2－2AM·AN cos(α1－β1).方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d.②第一步：计算BM.由正弦定理BM＝d sin α1sin(α1＋α2)；第二步：计算BN.由正弦定理BN＝d sin β1sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝BM2＋BN2－2BM·BN cos(β2＋α2)......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
高中数学必修5解三角形测试题及答案(K12教育文档)
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高中数学必修5解三角形测试题及答案一、选择题：（每小题5分，共60分）1．在ABC中，45,75AB A C==︒=︒，则BC= （ A )A．3．．2 D．32．下列关于正弦定理的叙述或变形中错误．．的是（ B ）A．在ABC中,a:b:c=sinA:sinB:sinCB．ABC⇔中,a=b sin2A=sin2BC．ABC a b+c中,=sinA sinB+sinCD．ABC中,正弦值较大的角所对的边也较大3．ABC中,若sin cos,A BBa b=∠则的值为 ( B )A．30︒ B．45︒ C．60︒ D．90︒4．ABC在中，若c=a b=cosA cosB cosC，则ABC是（ B ）A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形5．下列命题正确的是（ D ）A．当a=4,b=5，A=30︒时，三角形有一解。
B．当a=5,b=4,A=60︒时，三角形有两解。
C．当a=，B=120︒时，三角形有一解。
D．当a=A=60︒时,三角形有一解。
6．ΔABC中,a=1，b=3，∠A=30°，则∠B等于 ( B ）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°7．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ D ）A．a=1,b=2 ，c=3 B．a=1,b=2，∠A=30°C．a=1，b=2,∠A=100°D．b=c=1, ∠B=45°8．若（a+b+c ）（b+c －a ）=3abc,且sinA=2sinBcosC ， 那么ΔABC 是 （ B ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=3π,a=3，b=1,则c= （ B ）（A ）1 (B)2 (C) 3－1 (D) 310．（2009重庆理)设ABC ∆的三个内角,,A B C ，向量(3,sin )A B=m ,(cos )B A =n ，若1cos()A B =++m n ，则C =（ C )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 11．已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（D ） Ａ．2Ｃ．8Ｄ．712．如图：D ，C ，B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C ，D两点测得A 点仰角分别是β, α(α〈β）,则A 点离地面的高度AB 等于（ A ）A ．)sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a二、填空题：(每小题5分,共20分）13．已知2sin a A =,则sin sin sin a b cA B C++=++_______2_______ 14．在ΔABC 中,若S ΔABC =41 （a 2+b 2－c 2)，那么角∠C=_4π_____.AD8π ．16．已知2,4,a b a b ==与的夹角为3π，以,ab 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为____ 三、解答题：（17题10分，其余小题均为12分） 17．在ΔABC 中 ，已知045,332,2===B b c，解三角形ABC 。
2020年高中数学人教A版 必修5 同步作业本《解三角形应用举例-三角形中的几何计算》(含答案解析)
2020年高中数学人教A 版 必修5 同步作业本 《解三角形应用举例-三角形中的几何计算》一、选择题1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，a=5，b=4，cos C=45，则△ABC 的面积是( )A ．8B ．6C ．4D ．22.在△ABC 中，三边a ，b ，c 与面积S 的关系式为a 2＋4S=b 2＋c 2，则角A 为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°3.在△ABC 中，A =60°，AB=1，AC=2，则S △ABC 的值为( )A.12B.32 C.3 D ．2 34.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a=1，B=π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C 等于( )A. 3 B ．－ 3 C ．－2 3 D ．－25.在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2=0，且a=6，cos A=78，则△ABC 的面积等于( )A.152B.15 C ．2 D ．36.在△ABC 中，若cos B=14，sin C sin A =2，且S △ABC =154，则b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题7.△ABC 中，下述表达式：①sin(A ＋B)＋sin C ；②cos(B ＋C)＋cos A 表示常数的是________．8.在△ABC 中，已知a －b=4，a ＋c=2b ，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．9.在△ABC 中，若A=60°，b=16，此三角形的面积S=2203，则a 的值为________．10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a=23，c=22，1＋tan A tan B =2cb，则角C 的值为________．三、解答题11.某市在进行城市环境建设时，要把一个三角形的区域改造成一个公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为70 m，90 m，120 m，这个区域面积是多少？12.在△ABC中，c=22，a>b，tan A＋tan B=5，tan A·tan B=6，试求a，b及△ABC的面积．13.已知△ABC 的面积为1，tan B=12，tan C=－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．答案解析1.答案为：B ；解析：因为cos C=45，C ∈(0，π)，所以sin C=35，所以S △ABC =12absin C=12×5×4×35=6.2.答案为：A ；解析：4S=b 2＋c 2－a 2=2bccos A ，所以4·12bcsin A=2bccos A ，所以tan A=1，又因为A∈(0°，180°)，所以A=45°.3.答案为：B ；解析：S △ABC =12AB ·AC ·sin A=32.4.答案为：C ；解析：S △ABC =12acsin B=12·1·c ·32=3，所以c=4，由余弦定理得b 2=a 2＋c 2－2accos B=13，所以b=13， 所以cos C=a 2＋b 2－c 22ab =－113，所以sin C=1213，所以tan C=sin Ccos C =－12=－2 3.5.答案为：A ；解析：因为b 2－bc －2c 2=0，所以(b －2c)(b ＋c)=0，所以b=2c.由a 2=b 2＋c 2－2bccos A ，解得c=2，b=4，因为cos A=78，所以sin A=158，所以S △ABC =12bcsin A=12×4×2×158=152.6.答案为：C ；解析：依题意得：c=2a ，b 2=a 2＋c 2－2accos B=a 2＋(2a)2－2×a×2a×14=4a 2，所以b=c=2a.因为B∈(0，π)，所以sin B=1－cos 2B=154， 又S △ABC =12acsin B=12×b 2×b ×154=154，所以b=2.7.答案为：②；解析：①sin(A ＋B)＋sin C=sin(π－C)＋sin C=2sin C ，不是常数； ②cos(B ＋C)＋cos A=cos(π－A)＋cos A=0，是常数．8.答案为：30；解析：因为a －b=4，所以a ＞b ，又因为a ＋c=2b ，所以b ＋4＋c=2b ，所以b=4＋c ，所以a ＞b ＞c.所以最大角为A ，所以A=120°，所以cos A=b 2＋c 2－a 22bc =－12，所以b 2＋c 2－a 2=－bc ，所以b 2＋(b －4)2－(b ＋4)2=－b(b －4)，即b 2＋b 2＋16－8b －b 2－16－8b=－b 2＋4b ，所以b=10，所以a=14，c=6. 故周长为30.9.答案为：49；解析：因为12bcsin A=2203，所以c=55，又a 2=b 2＋c 2－2bccos A=2 401.所以a=49.10.答案为：π4；解析：由正弦定理得1＋sin A cos A ·cos B sin B =2sin C sin B ，即sin （A ＋B ）sin Bcos A =2sin Csin B，所以cos A=12，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，A=π3，sin A=32，由a sin A =c sin C 得sin C=22，又c<a ，C<A ，所以C=π4.11.解：设a=70 m ，b=90 m ，c=120 m.根据余弦定理的推论，cos B=a 2＋c 2－b 22ac =702＋1202－9022×70×120=23，sin B=1－（23）2=53.应用S=12casin B ，得S=12×120×70×53=1 400 5 (m 2)，即这个区域的面积为1 400 5 m 2.12.解：因为tan A ＋tan B=5，tan A ·tan B=6，且a>b ，所以A>B ，tan A>tan B ，所以tan A=3，tan B=2，A ，B 都是锐角．所以sin A=31010，cos A=1010，cos B=55，sin B=255，所以sin C=sin(A ＋B)=sin Acos B ＋cos Asin B=22. 由正弦定理a sin A =b sin B =c sin C 得，a=6105，b=855，所以S △ABC =12absin C=12×6105×855×22=245.13.解：因为tan B=12＞0，所以B 为锐角．所以sin B=55，cos B=255. 因为tan C=－2＜0，所以C 为钝角．所以sin C=255，cos C=－55.所以sin A=sin (B ＋C)=sin Bcos C ＋cos Bsin C=55·⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255·255=35. 因为S △ABC =12absin C=2R 2 sin Asin Bsin C=2R 2×35×55×255=1.所以R 2=2512，R=536.所以πR 2=2512 π，即外接圆的面积为2512 π.所以a=2Rsin A=3，b=2Rsin B=153，c=2Rsin C=2153.。
2020年高中数学 人教A版 必修5 课后作业本《解三角形应用举例--几何计算问题》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修5 课后作业本《解三角形应用举例--几何计算问题》一、选择题1.在△ABC 中，A=60°，b=1，其面积为3，则asin A等于( )A.2393B.2293C.2633D ．3 32.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c=2，b=6，B=120°，则△ABC 的面积等于( )A.62 B ．1 C.32 D.223.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若S △ABC =14(b 2＋c 2－a 2)，则角A 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6 4.在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，3a=2csin A ，c=7，且a ＋b=5，则△ABC 的面积为( ) A.332 B.92 C.532 D.725.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3acos C=4csin A ，若△ABC 的面积S=10，b=4，则a 的值为( ) A.233 B.253 C.263 D.2836.如图，四边形ABCD 中，B=C=120°，AB=4，BC=CD=2，则该四边形的面积等于( )A. 3 B ．5 3 C ．6 3 D ．7 37.已知△ABC 中，a 比b 大2，b 比c 大2，且最大角的正弦值为32，则△ABC 的面积为( ) A.1534 B.154 C.2134 D.932二、填空题8.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b=3，c=2，△ABC 的面积为2，则sin A=________. 9.若△ABC 的面积为3，BC=2，C=60°，则边AB 的长度等于________．10.锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则AB=________.11.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c=2，cos A=－14，则a 的值为________．12.在△ABC 中，若a=2，B=60°，b=7，则BC 边上的高等于________．三、解答题13.已知△ABC 中，B=30°，AB=23，AC=2，求△ABC 的面积．14.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足2B=A ＋C ，且AB=1，BC=4，求边BC 上的中线AD 的长．15.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C(acos B ＋bcos A)=c.(1)求C ；(2)若c=7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．16.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．答案解析1.答案为：A ；解析：由S △ABC =12bcsin A=3可知c=4.由余弦定理得a 2=b 2＋c 2－2bccos A=1＋16－8cos 60°=13，所以a=13.所以a sin A =13sin 60°=2393.2.答案为：C ；解析：由正弦定理得6sin 120°=2sin C ，∴sin C=12，∴C=30°或150°(舍去)．∵B=120°，∴A=30°，∴S △ABC =12bcsin A=12×6×2×sin 30°=32.3.答案为：B ；解析：∵S=12bcsin A=14(b 2＋c 2－a 2)，∴sin A=b 2＋c 2－a 22bc =cos A ，又∵A ∈(0，π)，∴A=π4.4.答案为：A ；解析：由3a=2csin A 及正弦定理得a c =2sin A 3=sin Asin C，∵sin A≠0，∴sin C=32，故在锐角△ABC 中，C=π3. 再由a ＋b=5及余弦定理可得7=a 2＋b 2－2abcos π3=a 2＋b 2－ab=(a ＋b)2－3ab=25－3ab ，解得ab=6，故△ABC 的面积为12ab·sin C=332.5.答案为：B ；解析：由3acos C=4csin A ，得a sin A =4c3cos C.又由正弦定理a sin A =c sin C ，得c sin C =4c 3cos C ，∴tan C=34，∴sin C=35.又S=12bcsin A=10，b=4，∴csin A=5.根据正弦定理，得a=csin A sin C =535=253，故选B.6.答案为：B ；解析：连接BD(图略)，在△BCD 中，由已知条件，知∠DBC=180°－120°2=30°，∴∠ABD=90°.在△BCD 中，由余弦定理BD 2=BC 2＋CD 2－2BC·CDcos C，知BD 2=22＋22－2×2×2cos 120°=12，∴BD=23，∴S 四边形ABCD =S △ABD ＋S △BCD =12×4×23＋12×2×2×sin 120°=5 3.7.答案为：A ；解析：由题目条件，知a=c ＋4，b=c ＋2，故角A 为△ABC 中的最大角，即sin A=32， 解得A=60°(舍去)或A=120°.由余弦定理，得cos A=cos 120°=c 2＋c ＋22－c ＋422c c ＋2=－12， 解得c=3，所以b=5，所以S △ABC =12bcsin A=1534.8.答案为：23；解析：∵S △ABC =12bcsin A ，∴sin A=2S △ABC bc =223×2=23.9.答案为：2；解析：在△ABC 中，由面积公式，得S=12BC·AC·sin C=32AC=3，∴AC=2，∴△ABC 为等边三角形，∴AB=2.10.答案为：13；解析：由三角形面积公式得12×3×4·sin C=33，sin C=32.又∵△ABC 为锐角三角形，∴C=60°.根据余弦定理AB 2=16＋9－2×4×3×12=13.AB=13.11.答案为：8；解析：因为0<A<π，所以sin A=1－cos 2A=154，又S △ABC =12bcsin A=158bc=315，∴bc=24，解方程组{ b －c ＝2bc ＝24得b=6，c=4，由余弦定理得a 2=b 2＋c 2－2bccos A=62＋42－2×6×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14=64，所以a=8.12.答案为：332；解析：由余弦定理b 2=a 2＋c 2－2accos 60°，即7=4＋c 2－2×2c×12，整理得c 2－2c －3=0，解得c=3.所以BC 边上的高为csin B=3×sin 60°=332.13.解：由正弦定理，得sin C=ABsin B AC =23sin 30°2=32.∵AB>AC ，∴C=60°或C=120°.当C=60°时，A=90°，S △ABC =12AB·AC=23；当C=120°时，A=30°，S △ABC =12AB·ACsin A= 3.故△ABC 的面积为23或 3.14.解：∵2B=A ＋C ，∴A ＋B ＋C=3B=180°，∴B=60°，∵BC=4，D 为BC 中点，∴BD=2， 在△ABD 中，由余弦定理知： AD 2=AB 2＋BD 2－2AB·BD·cos B =12＋22－2×1×2·cos 60° =3，∴AD= 3. 15.解：(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos B ＋sin Bcos A)=sin C ， 即2cos Csin(A ＋B)=sin C ．故2sin Ccos C=sin C ，可得cos C=12，所以C=π3.(2)由已知得，12absin C=332.又C=π3，所以ab=6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2abcos C=7，故a 2＋b 2=13，从而(a ＋b)2=25，所以a ＋b=5. 所以△ABC 的周长为5＋7.16.解：如图，连接BD ，则四边形ABCD 的面积S=S △ABD ＋S △BCD =12AB·ADsin A＋12BC·CDsin C.∵A ＋C=180°， ∴sin A=sin C.∴S=12(AB·AD＋BC·CD)·sin A=12(2×4＋6×4)sin A=16sin A.在△ABD 中，由余弦定理， BD 2=AB 2＋AD 2－2AB·ADcos A=22＋42－2×2×4cos A=20－16cos A. 在△BCD 中，由余弦定理， BD 2=BC 2＋CD 2－2BC·CDcos C=62＋42－2×6×4cos C=52－48cos C. ∴20－16cos A=52－48cos C. ∵A ＋C=180°， ∴cos A=－cos C ， ∴64cos A=－32，∴cos A=－12，∴A=120°.∴S=16sin 120°=8 3.。
高二数学人教A必修5练习：第一章 解三角形 Word版含解析.docx
第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一)课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，bc＝sin_B .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2 答案 D2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1B ．23＋1 C ．26D ．2＋2 3 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，得4sin45°＝b sin60°，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形 答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定 答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135°B ．60° C ．45°D ．135° 答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝2sin60°3＝22.∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75° 答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C . ∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________. 答案 75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°. ∴C ＝75°.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案 102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝ABsin C，∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin150°1010＝102.9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析 由正弦定理，得 3sin 2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°， ∴sin(A ＋60°)＝2sin A 即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°.三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形． 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2.∴sin(π4＋B )＝1.又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a 、b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况.A 为锐角a <b sin A a ＝b sin A b sin A<a <b a ≥b无解 一解(直角) 两解(一锐角， 一钝角)一解(锐角)A 为直角或钝角 a ≤b a >b 无解 一解(锐角)1.1.1 正弦定理(二)课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.2．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形 答案 D2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞B ．(10，＋∞)C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎤0，403 答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C .∴0<c ≤403.4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 答案 A解析 由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C . 5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．6∶5∶4 B ．7∶5∶3 C ．3∶5∶7 D ．4∶5∶6 答案 B解析 ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4k c ＋a ＝5k a ＋b ＝6k，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k b ＝52kc ＝32k.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4 答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.答案 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin60°＝1sin B，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a >b ，得A >B ，∴B ＝30°，故C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C＝________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C＝2＋1＋4＝7. 10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝asin A＝12，∴c ＝6.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B2R sin B －2R sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A＝右边． 所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状． 解 设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A⇔4R 2sin 2A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A⇔sin A cos A ＝sin B cos B⇔sin2A ＝sin2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45°B ．60°C ．75°D ．90° 答案 C解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A ＝sin120°cos A －cos120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S . 解 cos B ＝2cos 2B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.1．在△ABC 中，有以下结论：(1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)A ＋B 2＋C 2＝π2；(4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tanC2.2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．1．1.2 余弦定理(一)课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°； (2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°； (3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A.3B ．3 C.5D ．5 答案 A2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3B.π6 C.π4D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6.3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1B.2C ．2D ．4 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ＝2.4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14B.34C.24D.23 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b2c，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C . 由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ， ∴C ＝45°. 二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 答案 120°8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos60° ＝12∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________． 答案 120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°.10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.答案 －2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3. 三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49 ⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32.能力提升 13．(2010·潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．答案 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC＝22，∴sin C ＝22. ∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3.14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状． 解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已知条件得 a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4. ∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，即(a －c )2＝0. ∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°， c ＝2a ，则( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理得， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120° ＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab . ∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定 答案 A解析 设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2， 则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角变为锐角． 二、填空题 7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 答案 19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2. 由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， ∴c ＝19.8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 答案 2<a <8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________． 答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ， ∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12. 10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ·cos B －sin Bsin C·cos A＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边． 所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB=53， 且AB ·BC ＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C . 解（1）∵AB ·BC ＝－21，∴BA ·BC =21.∴BA ·BC =|BA |·|BC |·cosB=accosB=21. ∴ac=35，∵cosB=53，∴sinB=54. ∴S △ABC=21acsinB=21×35×54=14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B.∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理) ∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值；（2）设BA ·BC =23，求a+c 的值. 解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74. 由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA ·BC =23得ca ·cosB = 23由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.1．解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件 应用定理 一般解法一边和两角 (如a ，B ，C ) 正弦定理由A ＋B ＋C ＝180°，求角A ；由正弦定理求出b 与c .在有解时只有一解．两边和夹角 (如a ，b ，C ) 余弦定理正弦定理 由余弦定理求第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解．三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有一解时只有一解.两边和其中一边的对角如(a，b，A)余弦定理正弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．§1.2应用举例(一)课时目标1．了解数学建模的思想；2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题1．若点P在点Q的北偏西45°10′方向上，则点Q在点P的()A．南偏西45°10′B．南偏西44°50′C．南偏东45°10′D．南偏东44°50′答案 C2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为() A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km答案 B解析∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，∴由余弦定理得AB＝3a.3．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()A．103nmileB.1063nmileC．52nmileD．56nmile答案 D解析在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得：BCsin A＝ABsin B∴BCsin60°＝10sin45°解得BC＝5 6.4．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m答案 A解析由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，∴AB＝AC·sin∠ACBsin∠ABC＝50×2212＝50 2 (m)．5．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A．20(6＋2) 海里/小时B．20(6－2) 海里/小时C．20(6＋3) 海里/小时D．20(6－3) 海里/小时答案 B解析由题意，∠SMN＝45°，∠SNM＝105°，∠NSM＝30°.由正弦定理得MNsin30°＝MSsin105°.∴MN＝MS sin30°sin105°＝106＋24＝10(6－2)．则v货＝20(6－2) 海里/小时．6．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507分钟B.157小时 C ．21.5分钟D ．2.15分钟 答案 A解析 设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ， 则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝⎛⎭⎫x －5142－257＋100 ∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小． 二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．答案 32－ 28．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 40 39．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得 ∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120m ，则河的宽度为______．答案 60m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120m. 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，∴120sin90°＝CD sin30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60m.10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1km. 由正弦定理得 BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB∴BC ＝1sin60°·sin15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为126nmile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为83nmile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24(nmile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos30°， 解得CD ＝83≈14(nmile)．即A 处与D 处的距离为24nmile ， 灯塔C 与D 处的距离约为14nmile.12．如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为32km ，∠ADB＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BC sin30°＝CDsin45°，则BC ＝CD sin30°sin45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形．∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos45° ＝34＋616－2×32×64×22＝38， ∴AB ＝64(km)．答 河对岸A 、B 两点间距离为64km.能力提升13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 答案 B解析 设t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得： (20t )2＋402－2×20t ×40·cos45°＝302. 化简得：4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1.14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解 如图所示，连结A 1B 2， 由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200.∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船速度的大小为 10220×60＝302(海里/小时)． 答 乙船每小时航行302海里．1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解． 2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．§1.2 应用举例(二)课时目标1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题．2．利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题．1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)2．已知△ABC 的两边a 、b 及其夹角C ，则△ABC 的面积为12ab sin C .一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α与β的关系为( ) A ．α>βB ．α＝βC ．α<βD ．α＋β＝90° 答案 B2．设甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )A ．203m ，4033mB ．103m,203mC ．10(3－2) m,203m D.1523m ，2033m 答案 A解析 h 甲＝20tan60°＝203(m)．h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)．3．如图，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60m ，则树的高度为( )A ．30＋303mB ．30＋153mC ．15＋303mD ．15＋33m 答案 A解析 在△P AB 中，由正弦定理可得60sin (45°－30°)＝PBsin 30°，PB ＝60×12sin 15°＝30sin 15°，h ＝PB sin45°＝(30＋303)m.4．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米B.2h 米 C.3h 米D ．22h 米答案 A解析 如图所示， BC ＝3h ，AC ＝h ， ∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h . 5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600m 后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进2003m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是( )A ．200mB ．300mC ．400mD ．1003m 答案 B解析 如图所示，600·sin2θ＝2003·sin4θ，∴cos2θ＝32，∴θ＝15°， ∴h ＝2003·sin 4θ＝300 (m)．6．平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是( ) A ．16B ．17.5C ．18D ．18.53 答案 A解析 设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α， 则a ＋b ＝9，a 2＋b 2－2ab cos α＝17， a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65.解得：a ＝5，b ＝4，cos α＝35或a ＝4，b ＝5，cos α＝35，∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16. 二、填空题7．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．答案 北偏东30° 3a 解析如图所示，设到C 点甲船追上乙船， 乙到C 地用的时间为t ，乙船速度为v ， 则BC ＝t v ，AC ＝3t v ，B ＝120°，由正弦定理知BC sin ∠CAB ＝ACsin B ，∴1sin ∠CAB ＝3sin120°，∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，∴BC ＝AB ＝a ，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2，∴AC ＝3a . 8．△ABC 中，已知A ＝60°，AB ∶AC ＝8∶5，面积为103，则其周长为________． 答案 20解析 设AB ＝8k ，AC ＝5k ，k >0，则 S ＝12AB ·AC ·sin A ＝103k 2＝10 3. ∴k ＝1，AB ＝8，AC ＝5，由余弦定理： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝82＋52－2×8×5×12＝49.∴BC ＝7，∴周长为：AB ＋BC ＋CA ＝20.9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．答案 27π5解析 不妨设三角形三边为a ，b ，c 且a ＝6，b ＝c ＝12，由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158. 由12(a ＋b ＋c )·r ＝12bc sin A 得r ＝3155. ∴S 内切圆＝πr 2＝27π5.10．某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10nmile 的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9nmile 的速度向一小岛靠近，舰艇时速21nmile ，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．答案 23解析 设舰艇和渔船在B 处相遇，则在△ABC 中，由已知可得：∠ACB ＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t ，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，AC ＝10，则(21t )2＝(9t )2＋100－2×10×9t cos120°，解得t ＝23或t ＝－512(舍)．三、解答题11．如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求山高CD .解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.根据正弦定理得：AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC sin (90°－α)＝BC sin (α－β)， ∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β). 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β ＝h cos αsin βsin (α－β). 即山高CD 为h cos αsin βsin (α－β).12．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求圆内接四边形ABCD 的面积．解连接BD ，则四边形面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD ·sin A ＋12BC ·CD ·sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A ＝16sin A .由余弦定理：在△ABD 中，BD 2＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A ， 在△CDB 中，BD 2＝42＋62－2×4×6cos C ＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12.∴A ＝120°.∴四边形ABCD 的面积S ＝16sin A ＝8 3. 能力提升13．如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量．已知AB ＝50m ，BC ＝120m ，于A 处测得水深AD ＝80m ，于B 处测得水深BE ＝200m ，于C 处测得水深CF ＝110m ，求∠DEF 的余弦值．解 作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298(m)， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130(m)，EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150(m)． 在△DEF 中，由余弦定理的变形公式，得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.即∠DEF 的余弦值为1665.14．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．解 如图所示：∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°∵AB＝30，∴BC＝30，BD＝30tan30°＝30 3.在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，∴CD＝30，即两船相距30m.1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．第一章解三角形复习课课时目标1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135°B ．135° C ．45°D ．以上答案都不对 答案 C解析 sin B ＝b ·sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形 答案 C解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0)C.⎝⎛⎭⎫－12，0D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 D解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)， c ＝2mk (m >0)， ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c a ＋c >b 即⎩⎪⎨⎪⎧m (2k ＋1)>2mk 3mk >m (k ＋1)，∴k >12.4．如图所示，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(β<α)．则A 点离地面的高AB 等于( )A.a sin αsin βsin (α－β)B.a sin αsin βcos (α－β)C.a sin αcos βsin (α－β)D.a cos αcos βcos (α－β) 答案 A解析 设AB ＝h ，则AD ＝h sin α， 在△ACD 中，∵∠CAD ＝α－β，∴CD sin (α－β)＝ADsin β.∴a sin (α－β)＝h sin αsin β，∴h ＝a sin αsin βsin (α－β). 5．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25B ．51C ．493D ．49 答案 D解析 S △ABC ＝12AC ·AB ·sin60°＝12×16×AB ×32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos60°＝552＋162－2×16×55×12＝2401.∴BC ＝49. 6．(2010·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ， sin C ＝23sin B ，则A 等于( ) A ．30°B ．60° C ．120°D ．150°答案 A解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得 c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc 得 a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b＝6b 243b 2＝32. 又∵0°<A <180°，∴A ＝30°. 二、填空题7．三角形两条边长分别为3cm,5cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.答案 6解析 由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2.∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－35，得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6 (cm 2)．8．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A＝____________.答案 2393解析 由S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝3，∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos60° ＝13.∴a sin A ＝13sin60°＝2393. 9．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是 ______________． 答案 2<x <2 2解析 因为三角形有两解，所以a sin B <b <a ，即22x <2<x ，∴2<x <2 2. 10．一艘船以20km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________km.答案 20 2解析 如图所示，BC sin45°＝ACsin30°∴BC ＝AC sin30°×sin45°＝2012×22。
人教A版高中数学必修五高二上学期寒假作业(二).docx
2015高二数学寒假作业（二）一、单项选择1、下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g2、已知直线的向量参数方程为(x ，y ，z )＝(5，0，3)＋t (0，3，0)，当21=t 时，则对应直线上的点的坐标是( )A ．(5，0，3)B ．)23,0,25(C ．)3,23,5(D ．)3,23,25(3、AB 为过椭圆22a x +22by =1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是（ ）A.b 2B.abC.acD.bc4、函数f （x ）=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是 （ ） A ．ab=0 B ．a+b=0 C ．a=b D ．a 2+b 2=05、若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为 （ ）A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f =C ．)()(x g x f <D ．随x 值变化而变化 6、设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．128 二、填空7、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为 . 8、若+∈R b a ,，则b a 11+与ba +1的大小关系是 ．9、 已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，, 则不等式3)2(≤+x f 的解集___ _ ____.10、下列命题中_________为真命题．①“A∩B=A”成立的必要条件是“A B”； ②“若x 2+y 2=0，则x ，y 全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题。
2021年高二数学寒假作业5 Word版含答案
2021年高二数学寒假作业5 Word 版含答案完成时间 月 日 用时 分钟 班级 姓名一．填空题1.若复数(是虚数单位)是纯虚数,则实数m 的值为__ __.2.已知“”是“”的充分不必要条件，则k 的取值范围是3.已知命题: “正数a 的平方不等于0”,命题:“若a 不是正数,则它的平方等于0”,则是的________.(从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空)4.根据如图所示的伪代码,最后输出的S 的值为____.5.若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为6.已知某物体运动位移与时间的函数关系是，记这物体在时刻的运动速度为，则不等式的解是 .7.等差数列中、是的极值点，则8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为9.求形如的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：,再两边同时求导得，于是得到：'''1()[()ln ()()()]()yf xg x f x g x f x f x ，运用此方法求得函数的一个单调递增区间是（第4题）10.求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于，用反证法证明时的假设为“三角形的 ”．11.设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是12. 对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解式：，，， ；，， ；，；按此规律，的分解式中的第三个数为 ____ ．13.已知“对任意的，”，“存在，”若均为命题，而且“且”是真命题，则实数的取值范围是 .14.若实数、、、满足,则的最小值为_____ ___. 二．解答题15.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. ①；②；③；④︒︒--︒+︒-48cos )18sin(48cos )18(sin 22；⑤︒︒--︒+︒-55cos )25sin(55cos )25(sin 22.(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数；(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.16.已知;不等式恒成立,若是的必要条件,求实数的取值范围.17．已知函数（为常数，且），当时有极大值. (1）求的值；(2）若曲线有斜率为的切线，求此切线方程.18. 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段，已知跳水板长为2m，跳水板距水面的高为3m，=5m，=6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点m（）时达到距水面最大高度4m，规定：以为横轴，为纵轴建立直角坐标系. （1）当=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时的取值范围.19.已知椭圆：的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；（Ⅲ）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足，求的取值范围.20.已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于，又当x∈时，f(x)≥.(1)求a的值；(2)设0<a1＜，a n+1=f(a n)，n ∈N*，证明：a n＜.xx 学年江苏省泰兴中学高二数学寒假作业（5）参考答案一．填空题1.22.［2，＋）3.否命题.4.1455.6. 7.2 8. 9. (0,e) 10.三个内角都小于 11. (0,3)∪(163，＋∞) 12.125 13. 14.二．解答题 15.16.解:,即, 是的必要条件, 是的充分条件, 不等式对恒成立, 对恒成立,,当且仅当时,等号成立17. （1）则（舍去），m=2. (2）由（1）知，依题意知 又所以切线方程为或 即或18.19.20.J34429 867D 虽33451 82AB 芫23351 5B37 嬷39787 9B6B 魫39872 9BC0 鯀I)8q25945 6559 教29602 73A2 玢u。
高二年级(必修5)寒假作业4Word版含答案
高二年级（必修5）寒假作业4一.选择题（60分）：1.公差为正数的等差数列{a n }中，a 1，a 5，a 6成等比数列，则使得S n 取得最小值的n 为（ ） A.5 B.6 C.7 D.82.已知a b >，c d <，则下列命题中正确的是（ ） A ．a c b d ->-B ．a bd c> C ．ac bd >D ．c b d a ->-3.满足不等式24120m m --≤的实数m 使关于x 的一元二次方程2240x x m -+=有实数根的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14 D ．154.在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S =（ ） A ．58B ．88C ．143D ．1765. 方程0122=++x ax 至少有一个负根的充要条件是（ ）A.10≤<aB. 1<aC.1≤aD.10≤<a 或0<a 6.在△ABC 中，已知8a =，60B ∠=︒，75C ∠=︒，则b =（ ） A．B．C．D ．2237.已知数列{}n a 的前n 项和31n S n =-，则4a =（ ）A ．37B ．27C ．64D ．91 8.已知0x >，0y >，且231x y+=，则23x y+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．2569.已知函数3()sin(2)2f x x π=+（x R ∈），下面结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 10.已知变量x 、y 满足约束条件230,330,10,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若目标函数z ax y =+仅在点(3,0)取到最大值，则实数a的取值范围是（ ）A.2(,)3+∞B ．1(,)3-∞C ．1(,)2+∞D. 1(,)3+∞11.已知等比数列｛a n ｝为递增数列，a 2-2，a 6-3为偶函数f(x)=x 2-(2a +1)x +2a 的零点，若T n =a 1a 2···a n ，则有T 7＝（ ）A.128B.-128C.128或-128D.64或-64 12“不等式x 2-5x-6＜0成立”是“0＜log 2(x+1)＜2成立”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二．填空题（20分）：13.不等式(12)0x x ->的解集为 ．14. 在ABC ∆中，已知cos cos )4cos cos B B C C B C --=，且4AB AC +=，则BC 长度的取值范围为_______________15.若不等式220x ax a -+>，对x R ∈恒成立，则关于t 的不等式221231t tt a a ++-<<的解为 ．16.给定下列四个命题： ①若110a b<<，则22b a >； ②已知直线l ，平面α，β为不重合的两个平面，若l α⊥，且αβ⊥，则//l β； ③若1-，a ，b ，c ，16-成等比数列，则4b =-； ④设1a b >>，0c <，则log ()log ()b a a c b c ->-． ⑤三棱锥的四个面中，最多有三个直角三角形 ⑥直线的斜率越大，倾斜角也越大⑦若两个向量的数量积为正数，则此两个向量的夹角为锐角 其中真命题编号是 （写出所有真命题的编号）．三、解答题17. 向量m =(sinA ,sinB),n =(cosB,cosA),C n m 2sin =⋅且A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a b c 、、所对的角。
2020年高中数学 人教A版 必修5 课后作业本《解三角形应用举例--高度、角度问题》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修5 课后作业本《解三角形应用举例--高度、角度问题》一、选择题1.某次测量中，甲在乙的北偏东55°，则乙在甲的( )A ．北偏西35°B ．北偏东55°C ．南偏西35°D ．南偏西55°2.已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km C.2a km D. 2a km3.从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( )A ．521 mB ．10 m C.4 90013m D ．35 m4.如图，从山顶A 望地面上C ，D 两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD=100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( )A ．100米B ．50 3 米C ．502米D ．50(3＋1)米5.一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是( )A ．15海里/时B ．5海里/时C ．10海里/时D ．20海里/时6.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 处测得水柱顶端的仰角为45°，从点A 沿北偏东30°方向前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 m D ．150 m7.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A．240(3－1)m B．180(2－1)mC．120(3－1)m D．30(3＋1)m二、填空题8.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB 高是______米．9.如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角为α=30°，测得乙楼底部D的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24米，则乙楼高CD=________米．10.在纪念抗战胜利七十周年阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡角为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为106m，则旗杆的高度为________m.11.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m，则山高MN=________m.12.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=____________m.三、解答题13.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，求cos θ的值．14.甲船在A处观测到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距10海里，乙船向正北行驶，设甲船的速度是乙船的3倍，问甲船应沿什么方向行驶才能追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？15.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB=BC=60 m，求建筑物的高度．16.海岛O上有一座海拔1 km的小山，山顶设有一观察站A，上午11时测得一轮船在岛的北偏东60°的C处，俯角为30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B处，俯角为60°.(1)求该船的速度；(2)若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时轮船所在点E离海岛O的距离是多少千米？答案解析1.答案为：D ；解析：如图可知，D 项正确．2.答案为：B ；解析：∵∠ACB=120°， AC=BC=a ，∴由余弦定理知 AB=3a.3.答案为：A ；解析：作出示意图，设塔高OC 为h m.在△OAC 中，OA=h tan 60°=33h ，OB=h.AB=35，∠AOB=150°，由余弦定理求得h=521.4.答案为：D ；解析：在△ACD 中，CD=100米，∠D=30°，∠DAC=∠ACB －∠D=45°－30°=15°，∴AC sin ∠D =CD sin ∠DAC .∴AC=CDsin D sin ∠DAC =100sin 30°sin 15°=50sin 15°. 在△ABC 中，∠ACB=45°，∠ABC=90°，AC=50sin 15°米，∴AB=ACsin 45°=50sin 45°sin 15°=50(3＋1)米．5.答案为：C ；解析：如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC 中，可得AB=5，于是这只船的速度是10海里/时．6.答案为：A ；解析：设水柱高度是h ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠BAC=60°，AC=h ，AB=100，BC=3h ，根据余弦定理得，(3h)2=h 2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000=0， 即(h －50)(h ＋100)=0，解得h=50(负值舍去)，故水柱的高度是50 m.7.答案为：C ；解析：∵tan 15°=tan(60°－45°)=tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°=2－3，∴BC=60tan 60°－60tan 15°=120(3－1)(m)，故选C.8.答案为：106；解析：在△BCD 中，CD=10，∠BDC=45°，∠BCD=15°＋90°=105°，∠DBC=30°，由正弦定理得BC sin 45°=CD sin 30°，则BC=C Dsin 45°sin 30°=10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°=ABBC，所以AB=BCtan 60°=10 6.9.答案为：32；解析：ED=AB=24米，在△ACD 中，∠CAD=α＋β=30°＋60°=90°，AE ⊥CD ，DE=24 米，则AD=DE sin β=24sin 60°=163(米)，则CD=AD cos ∠ADC =AD cos 30°=16332=32 (米)．10.答案为：30；解析：如图，设旗杆高为h ，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC=h sin 60°=233h.在△ABC 中，AB=10 6 m ，∠CAB=45°，∠ABC=105°，∴∠ACB=30°，由正弦定理，得106sin 30°=233h sin 45°，故h=30 m.11.答案为：150；解析：在Rt△ABC 中，∠CAB=45°，BC=100 m ，所以AC=1002m. 在△AMC 中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，由正弦定理得，AC sin 45°=AMsin 60°，因此AM=1003m.在Rt△MNA 中，AM=100 3 m ，∠MAN=60°， 由MN AM =sin 60°得MN=1003×32=150(m)．12.答案为：1006；解析：依题意，∠BAC=30°，∠ABC=105°，在△ABC 中，由∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB=180°，所以∠ACB=45°，因为AB=600，由正弦定理可得600sin 45°=BCsin 30°，即BC=3002m ，在Rt△BCD 中，因为∠CBD=30°，BC=300 2.所以tan 30°=CD BC =CD3002，所以CD=1006m.13.解：在△ABC 中，由正弦定理可知，BC=AB·sin∠BAC sin ∠ACB =100sin 15°sin 45°－15°=50(6－2)．在△BCD 中，sin ∠BDC=BC·sin∠CBD CD=506－2·sin 45°50=3－1.由题图，知cos θ=sin ∠ADE=sin ∠BDC=3－1.14.解：设AB=10海里，两船在C 处相遇，∠CAB=θ，乙船行驶了x 海里，则AC=3 x 海里． 由题意，知∠ABC=180°－60°=120°.在△ABC 中，由正弦定理，得sin θ=BCsin ∠ABC AC =12，∴θ=30°或θ=150°.由题意知θ=30°.∴∠ACB=180°－(∠ABC ＋θ)=180°－(120°＋30°)=30°， ∴BC=AB=10海里，60°－θ=60°－30°=30°.故甲船应沿北偏东30°的方向行驶才能追上乙船，此时，乙船已行驶了10海里． 15.解：设建筑物的高度为h ，由题图知，PA=2h ，PB=2h ，PC=233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA=602＋2h 2－4h22×60×2h，①cos ∠PBC=602＋2h 2－43h22×60×2h.②∵∠PBA ＋∠PBC=180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC=0.③由①②③，解得h=306(m)或h=－306(m)(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.16.解：(1)如图，在Rt △AOB 和Rt △AOC 中，OB=OAcot 60°=33，OC=OAcot 30°= 3. 在△BOC 中，由余弦定理得BC=OB 2＋OC 2－2OB·OC·cos∠BOC=393， ∵由C 到B 用的时间为1060=16(h)，∴该船的速度为39316=239(km/h)．(2)在△OBC 中，由余弦定理，得cos ∠OBC=BC 2＋OB 2－OC 22BC·OB =51326，∴sin ∠OBC=1－cos 2∠OBC=33926， ∴sin ∠OEB=sin(∠OBE ＋∠EOB)=sin ∠OBE·cos∠EOB ＋cos ∠OBE·sin∠EOB=1313， 在△BEO 中，由正弦定理得 OE=OB·sin∠EBO sin ∠OEB =32.BE=OB·sin∠BOE sin ∠OEB =396， ∴从B 到E 所需时间为396239=112(h)，即所需时间为5 min. 即该船于11时15分到达岛的正西方向，此时E 离海岛O 的距离是1.5 km.。
人教A版高中数学必修五高二上学期寒假作业(三).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015高二数学寒假作业（三）一、选择题1、已知平面α 的一个法向量)41,12,(--=y x a ，又)2,21,3(),1,2,1(-=-=c b 且c b ,在α 内，则a ＝( )A ．)41,2653,529(---B ．)41,5227,529(---C ．)41,261,529(--D ．)41,2653,5227(---2、若直线l 1，l 2的方向向量分别为)23,1,21(),3,2,1(21---==v v ，则l 1，l 2的位置关系是( )A ．垂直B ．重合C ．平行D ．平行或重合3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长相等，AC 1与面BB 1C 1C 所成角的余弦值为（ ） A.54B.104C.52D.1024、如图所示，PA ＝PB ＝PC ，且它们所成的角均为60°，则二面角B －PA －C 的余弦值是( ) A ．21 B ．31C ．33D ．235、如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都是2，E 、F 分别是AB 、A 1C 1的中点，则EF 的长是( )A ．2 B. 3 C.5D.76、已知平面α∥平面β，直线l Ìα，α与β之间的距离为d ，有下列四个命题：①β内有且仅有一条直线与l 的距离为d ； ②β 内所有的直线与l 的距离都等于d ； ③β内有无数条直线与l 的距离为d ； ④β内所有直线与α的距离都等于d . 其中真命题是( ) A ．①B ．②C ．①与④D ．③与④二、填空7、在底面是直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，P A ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，则AD 到平面PBC 的距离为________．8、若P 是△ABC 所在平面外一点，而△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，PA ＝6，则二面角P －BC －A 的大小是______．9、已知)1,1,2(),2,0,1(==AC AB ，则平面ABC 的一个法向量为____________． 10．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段DD 1上任意一点，则在正方体的所有棱中与平面ABP 平行的共有______条.三、解答题11、如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M 是线段A 1D 的中点，点N 在线段C 1D 1上，且D 1N=13D 1C 1，∠A 1AD=∠A 1AB=60°, ∠BAD=90°，AB=AD=AA 1=1. (1)求满足1MN xA B yA D zA A =++uuu r uuu r uuu u r uuu u r的实数x 、y 、z 的值.(2)求AC1的长.12、抛物线的顶点在原点，它的准线过双22221(0,0)y x a b a b-=>>曲线的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为)6,23(，求抛物线的方程和双曲线的方程.13、 已知关于x 的一元二次方程 (m ∈Z) ① mx 2－4x ＋4＝0,② x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求方程①和②都有整数解的充要条件.2015高二数学寒假作业（三）参考答案一、选择题 1~6 CDBCCD 二、填空 7、 2 8、90°9、(－2，3，1) 10．(2)(3)(4) 三、解答题11、证明：（1）111112MN A N A M A A A D DN A D =-=++-uuu r uuu u r uuu u r uuuu r uuuu r uuu u ruuu r11111()32111,22311,.32A A A D A B A A A D A A A D A B x y z =++-+=++\===uuu u r uuu r uuu r uuu u r uuu r uuu u r uuu r uuu r （2）∵1||||||1,0AB AD AA AB AD ====u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u rg, 11221122211111,2||()2()1132(0)522|| 5.A B A A A A A D A C A B A D A A A B A D A A A B A D A B A A A D A A A C ==\=++=+++++=+++=\=uuu r uuu u r uuu u r uuu r g g uuuu r uuu r uuu r uuu u r uuu r uuu r uuu u r uuu r uuu r uuu r uuu u r uuu r uuu u r g g g uuuu r12、解：由题意可知，抛物线的焦点在x 轴，又由于过点)6,23(，所以可设其方程为)0(22〉=p px y p 36=∴ ∴p =2 所以所求的抛物线方程为x y 42=所以所求双曲线的一个焦点为（1，0），所以c =1，设所求的双曲线方程为112222=--∴ay a x 而点)6,23(在双曲线上，所以116)23(2222=--a a 解得412=a所以所求的双曲线方程为134422=-y x13、 方程①有实根的充要条件是,04416≥⨯⨯-=∆m 解得m ≤1方程②有实根的充要条件是0)544(41622≥---=∆m m m ， 解得.45-≥m,.145Z m m ∈≤≤-∴而故m=－1或m=0或m=1. 当m=－1时，①方程无整数解. 当m=0时，②无整数解；当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解. ∴①②都有整数解的充要条件是m=1.。